第十一届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准 （非数学类，2021年4月17日）一、填空题（本题满分30分，每小题6分）1、极限12(1)(1sin lim (1sin )n n x x π−+−=−______________.【解】122)(1sinlim n n x x ππ−+→−= 211(sin 1)11111sin 23!n x x x n n π+−+−==⋅=− 2、设函数()y f x =由方程32arctan(2)x y y x −=−所确定，则曲线()y f x =在点1,32P ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭处的切线方程为______________.【解】对方程32arctan(2)x y y x −=−两边求导，得22321(2)y y y x '−−'=+−.将点P 的坐标代入，得曲线()y f x =在P 点的切线斜率为5.2y '=因此，切线方程为5(3)122y x ππ⎛⎫−+=−− ⎪⎝⎭，即51224y x π=+−.3、设平面曲线L 的方程为220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=，且通过五个点1(1,0)P −，2(0,1)P −，3(0,1)P ，4(2,1)P −和5(2,1)P，则L 上任意两点之间的直线距离最大值为______________.【解】将所给点的坐标代入方程得0042204220A D FB E F B E F A BCDEF A B C D E F −+=⎧⎪−+=⎪⎪++=⎨⎪+−+−+=⎪+++++=⎪⎩解得曲线L 的方程为223230x y x +−−=，其标准型为22(1)144/3x y −+=，因此曲线L 上两点间的最长直线距离为4.4、设()22()23arctan 3nx f x x x =+−，其中n 为正整数，则()(3)n f −=_________. 【解】记2()(1)arctan 3n x g x x =−，则()(3)()n f x x g x =+.利用莱布尼兹法则，可得1()()()0()!()(3)()n k n k nn k n k fx n g x C x g x −−=⎡⎤=++⎣⎦∑所以()22(3)!(3)(1)4!n n n f n g n π−−=−=−.5、设函数()f x 的导数()f x '在$[0，1]$上连续，(0)(1)0f f ==，且满足[]1124()?d 8()d 03f x x f x x '−+=⎰⎰ 则()f x =______________.【解】因为1110()d ()d ,()d 0f x x x f x x f x x =−''=⎰⎰⎰，且()1201441d 3x x x −+=⎰，所以()[]1112220124()d 8()d ()8()4()16164d 3()42d 0f x x f x x f x xf x f x x x x f x x x ''⎡⎤−+=+'−'+−+⎣⎦='+−=⎰⎰⎰⎰因此()24f x x '=−，2()22f x x x C =−+..由(0)0f =得0C =..因此2()22f x x x =−.二、（12分）求极限：11nn k =−.【解】记1nn k a ==−，则1111nnn n k k k a n===⎛==≤ ⎝. ....................... 3分因为1112((1)3n nk n kk k x x n ++==≤==+−∑⎰⎰，所以221133n a n ⎛<=+ ⎝ .................................................. 3分又01123nnkk k k x x −==≥==∑⎰⎰123nn k a =≥≥ 于是可得................221133n a n ⎛≤<+ ⎝3分三、（12分）设()()212313230,,cos ,sin d F x x x f x x x x πϕϕϕ=++⎰，其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数.已知()213230cos ,sin d i iFf x x x x x x πϕϕϕ∂∂⎡⎤=++⎣⎦∂∂⎰， ()2221323220cos ,sin d i iFf x x x x x x πϕϕϕ∂∂⎡⎤=++⎣⎦∂∂⎰，1i =，2，3 试求22232221233F F F Fx x x x x ⎛⎫∂∂∂∂+−− ⎪∂∂∂∂⎝⎭并要求化简.【解】令1323cos ,sin u x x v x x ϕϕ=+=+，利用复合函数求偏导法则易知123,,cos sin f f f f f f f x u x v x u vϕϕ∂∂∂∂∂∂∂===+∂∂∂∂∂∂∂， 22222222222222222123,,cos sin 2sin f f f f f f f f x u x v x u u v vϕϕϕ∂∂∂∂∂∂∂∂===++∂∂∂∂∂∂∂∂∂ .................................... 4分所以2223222123F F F x x x x ⎛⎫∂∂∂+− ⎪∂∂∂⎝⎭222222222232222000 d d cos sin 2sin d f f f f f x u v u u v πππϕϕϕϕϕϕν⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂=+−++⎢⎥ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰ 222222322sin sin 2cos d f f f x u u u v πϕϕϕϕ⎛⎫∂∂∂=−+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎰又由于203cos sin d F f f x u v πϕϕϕ∂∂∂⎛⎫=+ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰，利用分部积分，可得 22222222003222222223322002222322sin d cos d 11sin sin 2d sin 2cos d 22sin sin 2Ff u f v f u f v x u u v u v v f f f f x x u u v u v v f f f x u u v ππππϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕν⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂=−+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=−−− ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂∂=−+∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰22cos d πϕϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰........................................ 4分所以222322212330F F F Fx x x x x ⎛⎫∂∂∂∂+−−= ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ......................................................2分四、（10分）设函数()f x 在[0，1]上具有连续导数，且110053()d ,()d 22f x x x f x x ==⎰⎰.证明：存在(0,1)ξ∈，使得()3f ξ'=.【解】考虑积分[]10(1)3()d x x f x x −−'⎰ .................................................. 4分利用分部积分及题设条件，得[]111001111132000(1)3()d (1)[3()](12)[3()]d 3(21)d (12)()d 32()d 2()d 2x x f x x x x x f x x x f x xx x x x f x xx x f x x x f x x−−'=−−−−−=−+−⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰3523022=−+−= ...................................... 4分根据积分中值定理，存在(0,1)ξ∈，使得[](1)3()0f ξξξ−−'=，即() 3.f ξ'=........................................ 2分五、（12分）设122021,,,B B B 为空间3R 中半径不为零的2021个球，()ij A a =为2021阶方阵，其(,)i j 元ij a 为球i B 与j B 相交部分的体积.证明：行列式||1E A +>，其中E 为单位矩阵。
全国大学生数学竞赛（非数学专业）微分学一、基本概念与内容提要1.出参数方程确定的函数的导数则冬二 dy df 二 d )，/dx 二 ©'(/)二儿‘ dx dt dx dt dt 0(f) x t 'd 严⑴ d/ 二以⑴0(/)-0(/)0® 1dt(p\ty dx~ [©(ordt2.多元函数微分学全微分：衣二空血臬密•腸式不变^=—dx + — Jy + —dx oydx dy dz处的切线对和轴的斜率。
函数的连续性和可微、可导必须会用定义判断。
连续的混合高阶偏导数与求导顺序无关。
二元函数的偏导数存在是连续的既不充分乂不必要条件。
二元两数存在两个偏导数是可微的必要不充分条件。
偏导数连续是函数可微的充分不必要条件。
函数连续是可微的必要不充分条件。
全微分的近似计算：Az"卩人(兀，刃山+/；(x ，y)Ay 多元复合函数的求导法:z = /D/(O,v(O]— = —dt du dt dv dt偏导数的儿何意义：粼規示册緝奇成，，z = /(s) y = >o(x o Jo Zo)z = /[u(x,y),u(x,y)] 当M 出&(x, y) v = v(x, y) dz dz du dz dv—= ----- ---- 1 -- ---dx du dx dv dxf du . du fdu =—dx-\ --- dy dx dydv = ^dx^dydx dy隐函数的求导公式：隐函数F(X,)')F O 尘=_・dx F y台7 F隐函数F(x,)^) = 0 — = -一dx Ed~y _ *( F C( F d y 乔一去(一亍石F忑) J 比_ Pydu _ 1 3(F,G) dv _ 1 a (F,G) du _ 1 Q(F,G) Ox J 6(x,v) ' 8x‘ J 8(u.x) ' dy J 6(>\v)二、常考例题讲解用基本方法求导数1. 设函数y = y(x)由方程xe f(y) =e y\n29确定，其中于具有二阶导数,冃广工1,则器,CF72.已知函数z = w(x,y)e ax+,y9且— =0,确定a,b ,使得函数z =z(x,y)满足 dxdy82z dz 8z n -------------------- z = 0 • Cd c c oxoy ox dy求訝罷4. 己知＜2山(1 +戶)，求y = t — arctan e 1V 丿5. 设函数i 心，刃的所有二阶偏导数都连续，空=驾且/心,2切“,dx~ dy~W](x, 2x) = x 29 求 wfj (x, 2x).解:u(x,2x) = x 两边对兀求导,得到：山(兀,2兀)+ 2弘；(兀,2兀)=1,代入”|'(兀,2兀)=/求[-x 2得：弘；(兀,2兀)= - ；u[(x,2x) = x 2两边对 x 求导,得到:wfj (兀,2兀)+ 2U [2(X 92X ) = 2x ；\ — x~ u ； (x,2x)= 两边对 x 求导，得到 «2i (兀,2x) + 2M 22 (x,2x) = -x.以上两式与 驾=驾联立，乂二阶导数连续，所以u ；2=u ：\，故U^,2x) = --x 8x 2 dy2 12J " 3用全微分求解隐函数隐函数方程组ygzT[G(x,y,u,v) = OJ 』F,G)d(u.v)ar一加竺avaG-avFv GrD 巩化G) dy J Q(u,y)3.设函数/⑴有二阶连续的导数,5.设z = z(x,y)是方程F(z +上,z -一) = 0确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导 兀 y数，以及 F u (w,v) = F v (W ,v)^(),求证兀3密+小(兀+刃籍+)异笑=0 ox dxdy dy导数与极限、积分、微分方程等结合求函数表达式6.设函数/(%)在［0,+oo)上连续，在(0,+oo)上可导,一川科)满足帶+弊』2詁严必(1) .求函数广(x)(x>0)的表达式;⑵•若ME 求出册522 q其中0(t)具有一阶导数，曲线y = 0(f)与y=f e~uclii + —在匸1处相2e8.设一元函数W = /(r)当0。
