高考数学开放性问题

如何提高高中数学开放性试题的有效性摘要：反观当下高考题的题型，大多是以开放性试题为主。

因此，在高中数学教学过程中，教师必须渗透开放性试题的解题技巧，有效培养高中生的创新思维和独立思维能力。

本文从增强高中数学开放性试题有效性的必要性出发，探讨如何使高中数学开放性试题更加有效。

关键词：高中数学；开放性试题；有效性随着社会的进步和时代的发展，教育水平也在发生着日新月异的改变。

目前，我国中学的教学目标已经从盲目追求高分的应试教育转变为以素质教育为基础、以培养学生能力为主导的新型教育模式。

数学作为高中阶段的一门基础性课程，能够为其他理科知识的学习打下坚实的基础，因此学好高中数学对于高中生而言是至关重要的。

为了给学生创造良好的学习环境，学校应当采取开放的考核方法对学生进行必要的考核，教师也应当努力思考和研究高中数学开放性试题的应用，开拓教育方式和教学方法，培养学生的创新能力和实践能力。

1增强高中数学开放性试题有效性的必要性1.1高中数学开放性试题贯彻了新课改素质教育的理念俗话说：“数学的魅力来源于生活的艺术。

”数学的产生来源于生活中的实际问题，学好数学也是为了解决生产、生活中的实际问题。

传统的数学学习方法主要是记忆公式定理，通过大量练习掌握计算方法，这样的学习方法限制了学生的创新思维和独立思维的发展。

因此，高中数学不断渗透开放性习题技巧，严格贯彻了素质教育理念，既是对传统教学模式的挑战，又是对新课改的教学实验。

1.2高中数学开放性试题能促进高中生思维水平的发展随着高考试题愈来愈多地出现开放性试题，很多家长质疑高考对于学生知识学习的难度要求是不是降低了。

其实不然，开放性试题的引入和重点讲解，对于提高学生知识熟悉程度是非常有帮助的，也能够促进学生在基础知识上的创新和拓展，挖掘出高中生的潜力。

开放性试题的有效性教学，能培养和提高高中生的数学思维，包括逻辑思维、开放思维、数形结合思维、抽象思维等，促进学生学习积极性和学习质量的提高。

用开放的方法解数学“开放型问题”摘要：本文结合具体的例题阐述了如何利用开放的方法解决高中数学“开放型问题”。

关键词：开放；数学；开放型问题作者简介：黄文毓，任职于广东省茂名市教育局教研室。

为了顺应素质教育和高考改革的需要，近十年来高考数学命题通过对知识、思维、应用、人文价值及创新等几方面的综合考查设计试题，创造性地融数学教育的新思想、新观点、新理念于数学命题中，开放型问题就是其中的一种。

关于开放题的概念，现在国内仍没有统一的认识，主要有下列几种描述：1.凡是具有完备的条件和固定答案的习题称为封闭题，而答案不固定或者条件不完备的习题则为开放题。

2.具有多种不同或可能的解答方法的问题称为开放题。

3.数学习题一般由条件y、结论z、解法p及解题依据o四个元素组成，即R={y，o，p，z}，四个元素齐备的题，为“封闭题”；缺少o或p的题为“小封闭题”，有三个元素是未知的题称为问题性题，有二个是未知的习题称为探索性题，问题性题或探索性题统称为开放性题。

4.开放题的问题不必有解，答案不必唯一，条件可以多余。

考察以上论述，关于开放题的条件的描述有：不完备；可以多余；多余需选择，不足需补充等等。

关于开放题的答案(结论、解法)的描述有：不固定；有多种：不必唯一；不确定；不必有解等等。

但基于当前我国数学教育的实际情况，数学高考试题中出现的开放题多是“开放度”比较弱的探索性问题，试题考查的侧重点也比较集中，题型比较固定。

如何灵活解答高中数学“开放型问题”？其常用的思维方法及解题方法又是怎样？下面仅举几例给予说明，以求师生们在此基础上进一步研究，真正做到见题知路。

根据问题的本质特征，笔者将高中数学开放题常见的题型分成判断型、思维发散型、归纳猜想型等。

一、判断型判断型是指题目中虽没有给出明确的结论，但已给出了结论的可能范围。

如“是否存在……”，就是“存在、不存在”二者之中选择结论，要求我们从已知条件出发，向着所给结论的方向去思考或用排除推测等方法，先猜想结论，再用分析法及综合法去论证。

开放题在高中数学教学中的教育意义【摘要】开放题是最富有教育意义的一种数学问题的题型，好的数学开放性试题，能够充分体现出新的教育教学理念，加大教改力度，对教学的目标和学生的学习发展方向是具有指导意义的。

【关键词】数学；开放题；教学设计；教育意义数学开放性试题是相对于条件和结论明确的封闭题而言的，是指能引起学生发散性思维的一种数学试题，它的条件、问题变化不定型，有的条件隐蔽，有的条件多余，有的结论不一，有的解法多种等。

开放题的核心是考查学生运用数学知识解决问题的能力，激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新的教育理念的具体体现。

开放题是最富有教育意义的一种数学问题的题型，其类型包括条件开放型、结论开放型、策略开放型、综合开放型、实践开放型、设计开放型、信息开放型、解法开放型、情景开放型等。

1. 数学开放性试题的设计原则1.1 思维性原则；开放性试题的设计应对教材进一步去补充和拓宽，挖掘教材内容的思维因素，从而构建基础性的训练与探索性、思维性训练相结合的习题体系，培养学生思维的深刻性、发散性和创造性。

1.2 开放性原则；开放性试题的设计要有利于开放学生的思维，让学生认识到数学不仅仅是狭隘的数学知识本身，它是我们广泛联系、认识世界、改造世界的有力工具。

1.3 层次性原则；根据学生的个性发展及差异性，设计开放性试题应讲究梯度，由浅入深，拾级而上，螺旋上升，层层开放，在评分标准上要体现这一原则。

1.4 合理性原则；开放性试题的设计应立足于教材内容与学生的基础知识，符合学生的认知规律，注意避免不从客观实际出发的主观主义和追求形式的做法。

1.5 实用性原则；设计开放性试题要紧密联系生活实际，多设计一些面向生活的开放题。

把生活问题提炼为数学问题，调动生活经验用于数学问题的创造性活动积极性，以利于学生运用所学知识解决实际问题，体会数学的实用价值，体验数学知识来源于生活，又服务于生活的真谛。

1.6 趣味性与新颖性原则；开放性试题的设计要具有吸引力，出题的形式与角度有新意。

高考数学压轴题答题：数学压轴题体现开放性思维
学生会有陌生感;第(3)题求数列通项本质上已知数列的前
若干项，求其通项问题，没有固定方法，这一小题也要分类，这些知识点由于不常遇到，正考到了学生的弱项，自然会感到有难度。

第23题压轴题，注重考查能力，对考生阅读理解、分析问题的能力要求较高，也体现了一些开放性，具体运用的是解析几何知识。

但有点遗憾的是，几乎没有涉及解析几何的核心内容。

此外，三角、函数的考查分量都较轻，与其在教学中的重要地位不相称。

这里例举的几道题解题的关键知识点不是教材的重点内容，这对指导中学教学可能会有不利影响。

查字典数学网的编辑为大家带来的2019年高考数学压轴题答题：数学压轴题体现开放性思维，希望能为大家提供帮助。

高三数学教师的课堂互动与讨论技巧高三是学生迎接高考的关键阶段，数学教师在这一阶段的课堂教学中起着至关重要的作用。

为了提高学生的学习兴趣、帮助他们理解数学概念和应用技巧，教师需要掌握一些有效的课堂互动与讨论技巧。

本文将介绍几种适用于高三数学教师的互动与讨论技巧，帮助教师更好地促进学生的学习效果。

1. 提问技巧课堂中合理的提问是激发学生思考和参与讨论的有效手段。

教师可以采用开放性问题和有针对性的问题激发学生思考。

通过开放性问题，学生可以展开自由的思维，提出自己的见解。

而有针对性的问题能够帮助教师引导学生的思路和分析问题的能力。

例如，教师可以提问：“你认为如何证明一个三角形是等边三角形？”这个问题可以激发学生进行思考和讨论，并且提供不同的证明方法。

教师在提问时可以主动寻求学生的参与，鼓励学生回答问题并互相评价和补充。

2. 问题引导在课堂上，教师可以通过问题引导来促进学生的思考和讨论。

问题引导是以提问作为手段，引导学生逐步理解和解决问题的过程。

教师在引导中可以通过提供适当的提示、引导学生思考不同方面的问题，帮助学生更好地理解和掌握数学概念。

例如，在讲解三角函数时，教师可以提出一个实际问题：“你们在日常生活中有没有遇到过需要用到三角函数的情况？”学生可以结合自己生活经验，提出各种实际例子。

教师可以引导学生讨论这些实际问题与三角函数之间的联系，从而加深学生对该知识点的理解。

3. 小组合作小组合作是一种有效的课堂互动与讨论技巧，可以鼓励学生之间的互动和合作。

教师可以将学生分成小组，给予他们一个合作任务，例如解决复杂的数学问题或设计一个数学模型。

学生可以在小组中互相讨论、交流和合作，共同寻找解决问题的方法。

小组合作能够培养学生的团队精神和合作能力，提高他们的问题解决能力和创新思维。

教师可以定期组织一些小组活动，并根据小组表现给予适当的奖励或反馈，激发学生的积极性。

4. 角色扮演角色扮演是一种生动有趣的互动与讨论技巧，能够帮助学生更好地理解和应用数学知识。

研究性学习,解决高中数学开放题的有效方法研究性学习是学生在教师指导下,从自然、社会和生活中选择和确定专题进行研究,以类似科学研究的方式主动地获取知识、应用知识、解决问题,并在研究过程中通过多种渠道主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。

研究性学习与社会实践、社区服务、劳动技术教育共同构成“综合实践活动”,作为必修课程列入《全日制普通高级中学课程计划(试验修订稿)》。

研究性学习具有开放性、探究性、实践性等特点。

研究性学习的目标是获取亲身参与研究探索的体验、培养发现问题和解决问题的能力、培养收集、分析和利用信息的能力、学会分享与合作、培养科学态度和科学道德、培养对社会的责任心和使命感。

而数学研究性学习是学生数学学习的一个有机组成部分,是在基础性、拓展性课程学习的基础上,进一步鼓励学生运用所学知识解决数学的和现实的问题的一种有意义的主动学习,是以学生动手动脑主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习研究活动。

它能营造一个使学生勇于探索争论和相互学习鼓励的良好氛围,给学生提供自主探索、合作学习、独立获取知识的机会。

数学研究性学习更加关注学习过程。

用于数学研究性学习的材料应是建立在学生现有知识经验基础之上,能够激起学生解决问题的欲望,体现数学研究的思想方法和应用价值,有利于营造广阔的思维活动空间,使学生的思路越走越宽,思维的空间越来越大的一种研究性材料。

数学研究性学习的材料不仅仅是教师自己提供的,而且教师应鼓励学生通过思考、调查、查阅资料等方式概括出问题,甚至可以通过日常生活情景提出数学问题,进而提炼成研究性学习的材料。

在研究性学习的过程中,学生是学习的主人,是问题的研究者和解决者,是主角,而教师则在适当的时候对学生给予帮助,起着组织和引导的作用。

数学研究性学习的评价不仅仅关心学习的结果,而且更重要的是关注学生参与学习的程度、思维的深度与广度,学生获得了哪些发展,并且特别注意学生有哪些创造性的见解,同时对学生的情感变化也应予以注意。

数学高考综合能力题选讲28结论开放的探索性问题100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测探索性问题是指那些题目条件不完备、结论不明确、或者答案不唯一，给学生留有较大探索余地的试题．这一类问题立意于对发散思维能力的培养和考察，具有开放性，解法活、形式新，无法套用统一的解题模式，不仅有利于考查和区分考生的数学素质和创新能力，而且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能，因而受到各方面的重视，近年来已成为高考试题的一个新亮点．探索性问题一般有三类：（1）探索结论的开放性问题；（2）探索条件的开放性问题；（3）探索规律（或策略）的问题．结论开放的探索性问题，往往结论不确定、不唯一，或结论需通过类比引申推广，或结论需通过特例归纳．解决这一类问题，要注意类比归纳、等价转化、数形结合等思维方法．范例选讲例1．设f (x ) 是定义域为R 的一个函数，给出下列五个论断：① f (x )的值域为R ；② f (x )是R 上的单调递减函数； ③ f (x )是奇函数；④ f (x )在任意区间[a , b ] (a <b )上的最大值为f (a )，最小值为f (b )，且f (a )> f (b )； ⑤ f (x )有反函数．以其中某一论断为条件，另一论断为结论（例如：⑤⇒①），至少写出你认为正确的三个命题： . 讲解：本题考察对于函数性质的理解． 根据单调性的定义，不难知道：②⑤等价，又由于单调函数必有反函数，所以，不难写出三个正确命题：②⇒⑤；④⇒⑤；②⇒④（或④⇒②）．进一步思考，函数的值域与单调性、奇偶性并无直接联系，而且单调性与是否存在反函数之间也不是等价的关系．所以，可以知道，只有上述三个正确命题．例2．已知,αβ是实数，给出下列四个论断： （1）αβαβ+=+； （2）αβαβ-≤+；（3） αβ>>4）5αβ+>以其中的两个论断为条件，其余两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题．__________________________________． 讲解 本题考查不等式的性质．显然，（1）、（2）等价，它们的含义均为：,αβ同号．在此前提之下，由（3）必可推出（4），所以，正确的命题为：（1）（3）⇒（4）；（2）（3）⇒（4）．点评：对于这一类只给出了一个特定的情境，而命题的条件、结论及推理论证的过程均不确定的开放性试题，应该灵活运用数学知识，回顾相近的题型、结论、方法，进行类比猜想．在给定的情境中自己去假设，去求解，去调整方法，去确定结果．例3．如右图，在正方体1111ABCD A B C D -中，写出过顶点A 的一个平面，使该平面与正方体的12条棱所成角都相等（写出你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况）．_____________________________讲解：正方体的12条棱共分为3组，每组有4条平行线，所以，只需考虑与过同一顶点的三条棱所成角相等即可． 正方体是我们较为熟悉的基本图形，不难知道：面ADB 1即符合条件（与BA 、BD 、BB 1所成角相等）．例4．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是___________________（只需写出一个可能的值）．讲解：本题为策略开放题，过程需学生自己设计．由于四面体的棱长未一一给出，首先需探求和设计符合题意的几何图形，再按图索骥，得出结论．本题只要求写出一个可能的值，所以，我们可以尽量构造相对简单、易求值的图形．如：底面为边长为1的正三角形，侧棱长均为2．不难算得，此时体积为12． 作为本题的延伸，我们可以考虑所有符合题意的图形．由于三角形的两边之长大于第三边，所以，组成四面体各个面的三角形中，或者只有一边长为1，或者3边长全为1．如果这些三角形中，有一个边长为1的正三角形，则将其作为底面，考虑其侧棱长，共四种情况：两边为1，一边为2；一边为1，两边长为2；三边长全为2．简单的考察不难知道，只有最后一种情况是可能的．如果这些三角形中，不存在边长为1的正三角形，则只可能有两种情况：四BB 1C面体的6条棱中，只有一组相对棱的长度为1，其余棱长全为2；只有一条棱长为1，其余棱长全为2．综上，共3种情况．如图：其体积分别为：,12126． 点评：数学需要解题，但题海战术绝对不是学习数学的最佳策略．如何能够跳出题海，事半功倍，关键是找到好的切入点．从本题来说，一方面当然要最快找到一个可能的结果，另一方面，对于这种具有多重结果的结论开放性试题，抓住条件中那些影响结果的动态因素，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解．例5．规定()()11!m x x x x m C m --+=，其中x R ∈，m 是正整数，且01x C =，这是组合数m n C （n ，m 是正整数，且m n ≤）的一种推广．（Ⅰ）求515C -的值；（Ⅱ）组合数的两个性质：①m n m n n C C -=；②11m m m n n n C C C -++=是否都能推广到（x R ∈，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；（Ⅲ）我们知道，组合数m n C 是正整数．那么，对于m x C ，x R ∈，m 是正整数，是否也有同样的结论？你能举出一些m x C R∈成立的例子吗？ 讲解：（Ⅰ）()()()515151619116285!C ----==-．（Ⅱ）一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义．从这个角度很快可以看出：性质①不能推广．例如当x =但1无意义．性质②如果能够推广，那么,它的推广形式应该是：11m m m x x x C C C -++=，其中x R ∈，m 是正整数．类比于性质①的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的，那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论．事实上，当1m =时，10111x x x C C x C ++=+=．当2m ≥时，()()()()()()()()()()()111112!1!121 11!121 !m m x x m x x x x m x x x m C C m m x x x m x m m m x x x m x m C -+--+--++=+---+-+⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭--++== 由此，可以知道，性质②能够推广．（Ⅲ）从m x C 的定义不难知道，当x Z ∉且0m ≠时，m x C Z ∈不成立，下面，我们将着眼点放在x Z ∈的情形．先从熟悉的问题入手．当x m ≥时，m x C 就是组合数，故m x C Z ∈． 当x Z ∉且x m <时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形（m x C ，x Z ∉且x m <）与已知的结论m n C Z ∈相联系？一方面再一次考察定义：()()11!mxx x x m C m --+=；另一方面，可以从具体的问题入手．由（Ⅰ）的计算过程不难知道：551519C C -=-．另外，我们可以通过其他例子发现类似的结论．因此，将515C -转化为519C 可能是问题解决的途径．事实上，当0x <时，()()()()()()()1111111!!mmm m x x m x x x m x m x x C C m m -+---+-+--+-==-=-．①若1x m m -+-≥，即1x ≤-，则1m x m C -+-为组合数，故mx C Z ∈．②若1x m m -+-<，即0x m ≤<时，无法通过上述方法得出结论，此时，由具体的计算不难发现：43C ＝0……，可以猜想，此时0m x C Z =∈．这个结论不难验证．事实上，当0x m ≤<时，在,1,,1x x x m --+这m 个连续的整数中，必存在某个数为0．所以，0m x C Z =∈．综上，对于x Z ∈且m 为正整数，均有m x C Z ∈．点评：类比是创造性的“模仿”，联想是“由此及彼”的思维跳跃．在开放题的教学中，引导学生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法、问题的结论等引申、推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有利于培养学生的创新思维能力，又有利于提高学生举一反三、触类旁通的应变灵活性．高考真题1．（1999年全国高考) α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m ⊥n ； ②α⊥β； ③n ⊥β； ④m ⊥α． 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：__________________________________．2．（2000年全国高考）如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是_______．（要求：把可能的图的序号都填上）3．（2001年上海春季高考）若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即2ba b a +=*，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实当选a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是__________________．4．（2002年上海春季高考）如下图．若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点12M M 、与点12N 、N ，则三角形面积之比11221122OM N OM N S OM ON S OM ON ∆∆=⋅．若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上，分别有点12P P 、，点12Q Q 、和点12R R 、，则类似的结论为：______________________________．[答案与提示：1．②③④⇒①／①③④⇒②； 2．②③； 3．(*)()*()a b c a b a c +=++／()()()()a*b c a b *c b c *a a c *b +=+=+=+等； 4．111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅．]。