七年级数学下册第2章二元一次方程组2.5三元一次方程组及其解法(选学)校本作业(新版)浙教版

选学2.5 三元一次方程组及其解法A 组1．运用加减法解方程⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋3z ＝9，3x ＋2y ＋z ＝8，2x －6y ＋4z ＝5，较简单的方法是(C )A. 先消去x ，再解⎩⎪⎨⎪⎧22y ＋2z ＝61，66y －38z ＝－37B. 先消去z ，再解⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝－15，38x ＋18y ＝21C. 先消去y ，再解⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋7z ＝29，11x ＋3z ＝9D. 三个方程相加再除以2，得8x －2y ＋4z ＝11再解2．已知a ＋b ＝16，b ＋c ＝12，c ＋a ＝10，则a ＋b ＋c 的值为(A ) A. 19 B. 38 C. 14 D. 223．有甲、乙、丙三种商品，如果购买3件甲商品，2件乙商品，1件丙商品共需315元；购买1件甲商品，2件乙商品，3件丙商品共需285元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需(C )A. 50元B. 100元C. 150元D. 200元4．三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝12，2a ＋b －c ＝3，a －b ＋c ＝2的解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝53，b ＝5，c ＝163.5．已知a ，b ，c 是有理数，观察表中的运算，在空格内填上相应的数．6．解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z －3＝0，①2x －y ＋2z ＝2，②x －y －z ＝－3.③【解】 ②－③，得x ＋3z ＝5.④ ④－①，得2z ＝2， ∴z ＝1.把z ＝1代入①，得x ＋1－3＝0，∴x ＝2.把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，z ＝1代入③，得y ＝4. ∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，z ＝1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y 3＝z 5，①x －2y ＋3z ＝33.②【解】 设x 2＝y 3＝z5＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝5k .③把③代入②，得2k －6k ＋15k ＝33，解得k ＝3.把k ＝3代入③，得到原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝9，z ＝15.7．已知|x －z ＋4|＋|z －2y ＋1|＋|x ＋y －z ＋1|＝0，求x ＋y ＋z 的值．【解】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＋4＝0，①z －2y ＋1＝0，②x ＋y －z ＋1＝0，③③－①，得y ＝3.把y ＝3代入②，得z ＝5. 把z ＝5代入①，得x ＝1. ∴x ＋y ＋z ＝1＋3＋5＝9.B 组(第8题)8．如图，在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数之和都相等，则x ，y 的值分别是(B )A. x ＝1，y ＝－1B. x ＝－1，y ＝1C. x ＝2，y ＝－1D. x ＝－2，y ＝1【解】 设每行每列及对角线上三个方格中的数之和为m ，由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3＋2＝m ，2＋（－3）＋4y ＝m ，2x ＋y ＋4y ＝m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，m ＝3. 9．已知x ＋2y －3z ＝0，2x ＋3y ＋5z ＝0，则x ＋y ＋z x －y ＋z 的值为__729__．【解】 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3z ＝0，2x ＋3y ＋5z ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－19z ，y ＝11z .∴x ＋y ＋z x －y ＋z ＝－7z －29z ＝729.10．为确保信息安全，在传输时往往需要加密，发送方发出一组密码a ，b ，c 后，接收方对应收到的密码为A ，B ，C .双方约定：A ＝2a －b ，B ＝2b ，C ＝b ＋c ，例如发出1，2，3，则收到0，4，5.(1)当发送方发出一组密码为2，3，5时，接收方收到的密码是多少？ (2)当接收方收到一组密码为2，8，11时，发送方发出的密码是多少？ 【解】 (1)当a ＝2，b ＝3，c ＝5时， A ＝2a －b ＝2×2－3＝1， B ＝2b ＝2×3＝6， C ＝b ＋c ＝3＋5＝8.答：接收方收到的密码是1，6，8.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝2，2b ＝8，b ＋c ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4，c ＝7.答：发送方发出的密码是3，4，7.数学乐园11．要把一个棱长为6的正方体分割成49个边长为整数的小正方体(小正方体大小可以不等)，应如何分割？并画图示意．【解】 ①设切出棱长为5的正方体1个，棱长为1的正方体48个．∵48＋53≠63，∴不能分割出棱长为5的正方体．②设分割出棱长为4的正方体1个，棱长为2的正方体b 个，棱长为1的正方体a 个，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋23b ＋43＝63，a ＋b ＝48.解得b ＝1467，不合题意，舍去．即不能分割出棱长为4的正方体．③设分割出棱长为3的正方体c 个，棱长为2的正方体b 个，棱长为1的正方体a 个，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋23b ＋33c ＝63，a ＋b ＋c ＝49. 消去a ，得7b ＋26c ＝167.(第11题解)∵a ，b ，c 均为正整数， ∴c ＝4，b ＝9，a ＝36.∴可分割成棱长分别为1，2和3的正方体各36个，9个和4个，共计49个．分割法如解图所示．。

2020-2021学年浙教版七年级下册第2章《二元一次方程组》同步练习【2.5 三元一次方程组及其解法】一、单选题：1.下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）A. {x +y =0y +z =1z +w =5B. {x +y =0y +2x =1C. {3x +4z =72x +3y =9−z 5x −9y +7z =8D. {x 2−2y =0y +z =3x +y +z =1 【答案】 C【考点】三元一次方程组解法及应用【解析】【解答】解： A.4个未知数，不符合题意；B.2个未知数，不符合题意；C.有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，符合题意；D.方程的次数为2，不符合题意；故答案为：C ．【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．2.解方程组 {3x −y +2z =32x +y −4z =117x +y −5z =1，若要使计算简便，消元的方法应选取（ ） A. 先消去x B. 先消去y C. 先消去z D. 以上说法都不对【答案】 B【考点】三元一次方程组解法及应用【解析】【解答】 y 的系数为1或1，故先消去 y ．故B 符合题意.故答案为：B.【分析】经观察发现，3个方程中先消去y ，即可得到一个关于x 、z 的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可.三元一次方程组的解法，先把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的思想方法.3.已知方程组 {2x −y +z =3①3x +4y −z =8②x +y −2z =−3③，若消去z ， 得二元一次方程组不正确的为（ ）A. {5x +3y =115x −y =3B. {5x +3y =115x +7y =19C. {5x −y =35x +7y =19D. {5x +y =35x +7y =19【答案】 D【考点】三元一次方程组解法及应用【解析】【解答】解：在方程组 {2x −y +z =3①3x +4y −z =8②x +y −2z =−3③中，①＋②得 5x +3y =11④ ，①×2＋③得 5x −y =3⑤ ， ②×2－③得 5x +7y =19⑥ ，所以由④与⑤可以组成A ，由④与⑥可以组成B ，由⑤与⑥可以组成C ，故D 不符合题意．故答案为：D.【分析】利用加减消元法消去z ，把三元一次方程组转化成二元一次方程组.4.如图所示，两个天平都平衡，则三个苹果的重量等于多少个香蕉的重量？答（ ）个.A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】 D【考点】三元一次方程组解法及应用【解析】【解答】解：设一个苹果的重量为x ，一只香蕉的重量为y ，一个三角形的重量为z ，∴2x=5z ，2y=3z ，∴ 2x 5＝z ＝2y 3 ，∴3x=5y ，故答案为：D.【分析】设一个苹果的重量为x ，一只香蕉的重量为y ，一个三角形的重量为z ，利用两个天平建立关于x ，y ，z 的方程组，分别用含x,y 的式子表示出z ，从而可得到x 与y 之间的数量关系.5.三角形的周长为18cm ，第一边与第二边的长度和等于第三边长度的2倍，而它们长度的差等于第三条边长的 13 ，这个三角形的各边长为( ) A. 7、5、8 B. 7、5、6 C. 7、1、9 D. 7、8、4【答案】 B【考点】三元一次方程组解法及应用【解析】【解答】解：设三角形的三边长分别是a 、b 、c 。

三元一次方程组及其解法教学设计1学情分析1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能：①一元一次方程、二元一次方程（组）的概念。

②消元思想。

③求解二元一次方程组的方法。

2、学习者对即将学习的内容已经具备的水平：在学习三元一次方程组之前，学生已经能够解二元一次方程组。

这节课的目的就是让学生通过与二元一次方程组的概念及解法，总结出三元一次方程组的概念及解法方法。

2教学目标（一）知识要求：1、经历探索三元一次方程组的过程，进一步发展计算和推力能力。

2、会用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组，并能列三元一次方程组解简单的应用题。

（二）知识与技能：经历从具体情境中抽象出方程的过程，；掌握必要的运算技能；探索具体问题中的数量关系，并能运用代数式、方程等进行描述。

（三）解决问题：能结合具体情景学问题；尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，尝试评价不同方法之间的差异；通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。

（四）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；并尊重与理解他人的见解，能从交流中获益。

3重点难点重点：三元一次方程组的求解难点：三元一次方程的应用4教学过程教学活动活动1【导入】〈一〉、创设情境，提出问题[引入] ：2023年春节联欢晚会的魔术节目——《纸牌幻想》。

[问题1] ：54张。

老师将一副扑克牌分给甲，乙，丙三名小朋友，甲拿到的牌数是乙的2倍；若把丙拿到的牌分一半给乙，则乙的牌数就比甲多2张，问老师分给甲、乙、丙各几张？（允许学生用各种方法解决问题（只讲方法，不要求答案），如一元一次方程、二元一次方程组等。

如果学生中没有出现三元一次方程组的话，提出运用三个未知数如何列方程组？）[问题2]：甲、乙、丙三人的年龄之和为20岁，甲年龄的2倍比乙大1岁，乙年龄的三分之一等于丙年龄的二分之一，问甲、乙、丙三个各几岁？（在问题1运用三元方程组的情况下继续运用三元方程解决问题）[引入] ：2023年春节联欢晚会的魔术节目——《纸牌幻想》。

2.5 三元一次方程组及其解法（选学）教学目标1．理解三元一次方程组的含义．2．会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．3．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路．[来重点难点重点1．使学生会解简单的三元一次方程组．2．通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想．难点针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．教学设计前面我们学习了二元一次方程组的解法．有些问题，可以设出两个未知数，列出二元一次方程组来求解．实际上，有不少问题中含有更多的未知数．大家看下面的问题．一、研究探讨出示引入问题小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张．1．题目中有几个未知数，你如何去设？2．根据题意你能找到等量关系吗？3．根据等量关系你能列出方程组吗？请大家分组讨论上述问题．(教师对学生进行巡回指导)学生成果展示：1．设1元，2元，5元各x张，y张，z张．(共三个未知数)2．三种纸币共12张；三种纸币共22元；1元纸币的数量是2元纸币的4倍．3．上述三种条件都要满足，因此可得方程组12,2522,4.x y zx y zx y++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩师：这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？(学生小组交流，探索如何消元．)可以把③分别代入①②，便消去了x ，只包含y 和z 二元了：8,412,512,2,42522,6522. 2.x y y z y z y y y z y z z =⎧++=+=⎧⎧⎪=⎨⎨⎨++=+=⎩⎩⎪=⎩即解得 解此二元一次方程组得出y 、z ，进而代回原方程组可求x ．教师对学生的想法给予肯定并总结解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程． 即三元一次方程组 u u u u u u u u u u r 消元二元一次方程组u u u u u u u u u u r 消元一元一次方程二、例题讲解例1：解三元一次方程组347,239,5978.x z x y z x y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩(让学生独立分析、解题，方法不唯一，可分别让学生板演后比较．)解：②×3+③，得11x +10z =35．①与④组成方程组347,5,111035. 2.x z x x z z +==⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩解得 把x =5，z =-2代入②，得y =13． 因此，三元一次方程组的解为5,1,32.x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩ 归纳：此方程组的特点是①不含y ，而②③中y 的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③中消去y 后，再与①组成关于x 和z 的二元一次方程组的解法最合理．•反之用代入法运算较烦琐．例2：在等式y =ax 2+bx +c 中，当x =-1时，y =0；当x =2时，y =3；当x =5时，y =60，求a ，b ，•c 的值．(师生一起分析，列出方程组后交由学生求解．)解：由题意，得三元一次方程组0,423,25560.a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩②-①，得a +b =1，④③-①，得4a +b =10． ⑤④与⑤组成二元一次方程组1,410.a b a b +=⎧⎨+=⎩． 解得3,2a b =⎧⎨=-⎩把a =3，b =-2代入①，得c =-5．因此3,2,5.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，答：a =3，b =-2，c =-5．知能训练1．解下列三元一次方程组：29,34,(1)3,(2)2312,247; 6.22,2,:(1)15.5,(2)3,12.5; 1.x y x y z y z x y z z x x y z x x y y z z -=--+=⎧⎧⎪⎪-=+-=⎨⎨⎪⎪+=++=⎩⎩==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨⎪⎪==⎩⎩解2．甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大，乙数的13等于丙数的12，求这三个数． 解：设甲、乙、丙三个数分别为x 、y 、z ，则35,10,25,15,10.,32x y z x x y y y z z ⎧⎪++==⎧⎪⎪-==⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎩解得 即甲、乙、丙三数分别为10、15、10．课堂小结1．学会三元一次方程组的基本解法．2．掌握代入法，加减法的灵活选择，体会“消元”思想．。

浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章 二元一次方程组（解析版）2.5三元一次方程组及其解法（选学）【知识重点】 1．三元一次方程含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做三元一次方程. 2．三元一次方程组概念由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 3．三元一次方程组的解同时满足三元一次方程组中各个方程的解，叫做这个三元一次方程组的解. 4．解三元一次方程组基本步骤为解三元一次方程组的消元方法也是“代入法”或“加减法”，通过消元使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程. 【经典例题】【例1】解方程组{2x −3y +4z =12x −y +3z =44x +y −3z =−2【答案】解：{2x −3y +4z =12(1)x −y +3z =4(2)4x +y −3z =−2(3)（2）+（3）得： 5x=2，∴x=25，由（2）得： y=x+3z-4 （4），将（4）代入（1）得： 2x-3（x+3z-4 ）+4z=12，解得：z=-225，将x=25，z=-225代入（4）得：y=-9625， ∴原方程组的解为：{x =25y =−9625z =−225.【解析】观察方程组中同一个未知数的系数特点：方程②③中y ，z 的系数都互为相反数，因此由（2）+（3）消去y ，z 可求出x 的值；然后求出y ，z 的值，即可得到方程组的解.【例2】解方程组 {2x +y +z =−7①x +2y +z =−8②x +y +2z =−9③【答案】解：{2x +y +z =−7①x +2y +z =−8②x +y +2z =−9③由①+②+③得：4x+4y+4z=-24； x+y+z=-6④由①-④得：x=-1； 由②-④得：y=-2由③-④得：z=-3∴原方程组的解为：{x =−1y =−2z =−3.【解析】观察方程组中同一个未知数的系数和特点：①②③相加之后，x 、y 、z 的系数和相等，从而可以得出x+y+z 的值。

2.5　三元一次方程组及其解法
(选学)
第2章　
二元一次方程组　
第2章 二元一次方程组
2.5 三元一次方程组及其解法(选学)
学知识
筑方法
勤反思
学知识
知识点　三元一次方程(组)及其相关概念
和二元一次方程类似，含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做三元一次方程．由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组．
类型一　方程组中每个方程都是三元一次方程的三元一次方程组的解法筑方法
类型二　三元一次方程组的简单应用
小结
勤反思
实际
问题
定义三元一
次方程组解法
基本
思路
三元一
次方程
组
消元
转化
二元一
次方程
组
消元
转化
一元一
次方程
反思。