非自映射不动点的迭代逼近

Brouwer不动点定理的几种证明学院名称：专业名称：学生姓名：指导教师：二○一一年五月摘要Brouwer不动点定理是很著名的定理.其中，关于它的证明很多有：代数拓扑的证明、组合拓扑的证明、微分拓扑的证明等.都涉及拓扑学上许多复杂的概念和结果.关于该定理，也可以用图论的方法证明，用离散离散理论解决连续系统中问题.本文试图在总结其他证明方法的基础上，对图论的方法证明Brouwer不动点定理进行详细的介绍来体现这一思想.关键词：Brouwer；不动点.ABSTRACTBrouwer fixed point theorem is very famous theorem . Among them , about its proof many : algebra topologies, proof of the proof, differential combined topology etc. The proof of topological Involves many complex on the concept of limited and results.About this theorem, also can use graph method to prove, in a discrete discrete theory in solving continuous system. This article tries to summarize the other proof method based on the method of graph theory prove Brouwer fixed point theorem for detailed introduction to reflect this thought.Keywords: Brouwer; Fixed point.目录第一章引言 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 本课题的研究内容 (1)第二章 Brouwer不动点定理的证明 (2)2.1 Brouwer不动点定理的图论证明 (2)引理2.1.1（sperner，1982） (3)定理2.1.2 (Brouwer) (3)2.2 Brouwer不动点定理的初等证明 (5)2.2.1 基本概念与引理 (5)定理2.2.2.1(Banach不动点定理) (5)定理2.2.2.2(KKM定理) (5)2.2.3 Brouwer不动点定理的证明 (7)定理2.2.3.2 (FKKM定理) (7)定理2.2.3.5(Brouwer不动点定理) (8)2.3 Brouwer不动点定理的nor分析证明 (9)2.3.6 Brouwer不动点定理 (18)参考文献 (19)致谢 (20)第一章引言1.1 研究背景Brouwer不动点定理是非线性分析和拓扑学中的重要基本定理，它的叙述简洁，应用广泛，但证明却很不简单.不论是代数拓扑的证明[1]，还是组合拓扑的证明[2]，以及微分拓扑的证明[3]，都涉及拓扑学上许多复杂的概念和结果.1978年著名的微分拓扑学家nor给出了一中新证明[4]，只用到多变量微分学的知识和某些基本分析定理.关于该定理，也可以用图论的方法证明，这种离散理论解决连续系统中问题的思想，对我们也给了很大的启示.本文试图在总结其他证明方法的基础上，对图论的方法证明Brouwer不动点定理进行详细的介绍.1.2 本课题的研究内容整理Brouwer不动点定理的初等、图论方面的证明和nor给出的用多变量微分学和某些基本分析定理的新证明.详细介绍Brouwer不动点定理的图论方法证明，体现离散理论解决连续系统中问题的思想.12第二章 Brouwer 不动点定理的证明2.1 Brouwer 不动点定理的图论证明Brouwer 不动点定理：若2∆表示平面上一个三角形区域围成的闭区域，f 是2∆到自身的连续映射，则f 至少有一个不动点，即存在一点20p ∈∆，使得00()f p p =.首先把2∆剖分成若干小三角形区域，即221m i i δ=∆=，221,n ij i ji j mδδ≠≤≤的面积为零.把2∆的三个顶点分别标志位0,1,2.每个2i δ的顶也用{0,1,2}中的数标志.若2i δ的顶i p 在2∆上的边上，且2∆的这条边端点之标号为k 与m ，2i δ的顶也标成k 与m ，称这些标志位正常标志，在正常标志中小三角形2i δ的三顶分别标志0,1,2时，称2i δ为正常三角形，见图a.2∆的这种标志的剖分称为三角剖分.1图 2.1v v 1v 59v 10v 11图 2.23引理2.1.1（sperner ，1982）在2∆的三角剖分中，正常三角形为奇数个.证：记20δ为2∆的外部区域，22212,,...,m δδδ是2∆进行三角剖分得到三角形子区域.以{}22212,,...,m δδδ为顶集造一个图G ，对于i 与j 接非零的情形，仅当2i δ与2j δ有公共边具此边端点标志为0与1时，才在此二顶间连一边，对20δ与2(0)i i δ≠的情形，仅当2i δ的0-1标志的边落在2∆的0-1标志的边上时，在顶20δ与2i δ间连一边，见图b.由于上述图G 中奇次项的个数是偶数，如果20()d δ是奇数，则22212(),(),...,()m d d d δδδ中奇数个奇次项，又2()3,1,2,...,i d i m δ<=.故22212,,...,m δδδ中的奇次项是一次项.而仅当2i δ是正常三角形时，2()1i d δ=，所以正常三角形有奇数个.下证20()d δ是奇数.事实上，20()d δ是2∆上0-1边上以0与1为端点的小区间的个数.当的这条0-1边之内点为任何小三角形之顶时，，是奇数.当的这条边内有小三角形之顶时，由于标志是正常的，的则这种小三角形在的这条0-1边上之端点标志位0或1.这时又有两种情况，（i ）在这条0-1边上的小三角形顶皆标志0或皆标志1，则，（ii ）在2∆这条0-1边上的小三角形之顶点标0与标1都有时，我们把端点标号一样的小区间收缩成一点，标号不变，则f 的这条0-1边上的标号序列为0-1交错列010101…01，这里出现奇数个以0，1为端点的小区间，故20()d δ为奇数.证毕. 定理2.1.2 (Brouwer)f 是2∆到自己的连续映射，则存在'20p ∈∆，使''00()f p p =. 证：012,,p p p 是2∆的三个顶点，则对任意2p ∈∆，可以写成001122p a p a p a p =++，则0i a ≥，201i i a ==∑，其中的012,,,p p p p 是二维向量，且012(,,)p a a a =，'''012()(,,)f p a a a =.令{}2'012012(,,)|(,,),,0,1,2i i i S a a a a a a a a i =∈∆≥=. 如果能证出 012S S S φ≠，则存在012012(,,)a a a S S S ∈，且',0,1,2ii a a i ≤=；又22'01i i i i a a ====∑∑，故必有'''001122,,a a a a a a ===，即f 有不动点. 下证2i i S φ=≠.事实上，考虑2∆的正常标志的三角形剖分，使得标志i 的每个顶点属于,0,1,2i S i =.2∆上任意一点'''012012(,,),()(,,)p a a a f p a a a ==时，存在一个i S ，使i p S ∈，且0i a >；否则当每个0i a >时，'ii a a >.于是22'00ii i i a a ==>∑∑，矛盾.若一个三4角形顶点i p S ∈且0i a >时，p 标志以i ，这种标志是正常标志，例如2∆的顶点(0,1,2)i p i =有1i a =，故i i p S ∈，标成i ；在2∆的01p p 边上各点的20a =，我们只能把这边上的点标以0或1；02p p 边上的点同理只能标志0或2；12p p 上的点只能标志1或2，故正常标志.由引理知，至少有一个正常三角形，其中顶点分别属于012,,S S S .我们是剖分无限变密，且小三角形中的最大直径足够小，则有分别在012,,S S S 中的三个点，两两相距可以任意小，又f 是连续的，故012,,S S S 是闭集.于是，012S S S φ≠.证毕.52.2 Brouwer 不动点定理的初等证明2.2.1 基本概念与引理定义2.2.1.1 设E 是一线性空间，其一切子集构成的集族记为2E .子集A E ⊂称为有限闭的，若它与每一有限维平面L E ⊂的交按L 上的Eucild 拓扑是闭的；一个集族{}A λλσ∈称为有限交性质，如果它的每一有限子集的交不空.定义2.2.1.2 设E 是一线性空间，X 是E 上的任意子集，称:2E G X →是一个KKM 映像，如果对任何有限子集{}12,,...mx x xX ⊂，有：{}121,,...()m mi i x x x G x =∞⊂引理2.2.1.3 设集合n X R ⊂非空，则距离函数()inf y Xd x x y ∈=-是Lipschitz的，即有：()()d x d y x y -≤- ,n x y R ∀∈2.2.2 利用Banach 不动点定理证明KKM 定理 定理2.2.2.1(Banach 不动点定理)有限维空间中有界闭凸集上的连续自映射必有不动点． 定理2.2.2.2(KKM 定理)设E 是一线性空间，X 是E 的子集，:2E G X →是一KKM 映像.如果对于任何x X ∈，()G x 是有限闭的，则集族{}()|G x x X ∈具有有限交性质.证: 反证法.假设存在{}12,,...mx x xX ⊂使得1()m i i G x φ==.设L 是由{}12,,...mx x x 张成的有限维平面，d 是上的Eucild 的度量.令{}12,,...mD co x x x =，则D L ⊂.由假定每个1,2,...,()i i m L G x =在L 中闭，故(,())0i d x L G x =的充分必要条件是()i x LG x ∈.定义函数： 1()(,())mi i x d x L G x λ==∑由于1()mii G x φ==，故对于每一x D ∈，()0x λ>.由引理1知：6()()x y n x y λλ-≤- ,x y D ∀∈不妨设D 包含原点，否则用11m ii D x m =-∑代替D 即可.令：11()(,())()mi i i f x d x L G x x t x λ==∑ x D ∀∈ 式中，1t >是待定参数.则:f D D →连续，且对任意,x y D ∈，有：1111()()(,())(,())()()mmiii i i i f y f x d y L G x x d x L G x x t y t x λλ==-≤-∑∑1111(,())(,())()()m miii i i i d y LG x x d x LG x x t y t y λλ==≤-∑∑1111(,())(,())()()mmiii i i i d x L G x x d x L G x x t y t x λλ==+-∑∑下面对式(3)右端两项分别进行估计.首先由引理1．对任意,x y D ∈，有：1111(,())(,())()()mmiii i i i d y L G x x d x LG x x t y t y λλ==-∑∑11()()mi i x x y t y λ=≤-∑ 其次根据式(2)，对任意,x y D ∈，有：1111(,())(,())()()mmiii i i i d x L G x x d x L G x x t y t x λλ==-∑∑11(,())()()()()mi i i d x L G x x x y t x y λλλλ=≤-∑1((,()))()()mi i i n d x L G x x x y t x y λλ=≤-∑综合式(3)、(4)、(5)知：(,)()()h x y f y f x x y t-≤-7式中，111(,)(,())()()()m mi i i i i nh x y x d x L G x x y x y λλλ===+∑∑.在有界闭集D D⨯上连续，因此有最大值M .取足够大的{}max ,1t M ≥，则，f 构成D 上的一个压缩映射.由Banach 不动点定理知道，，有一不动点x D ∈.令{}{}|(,())0,1,2,...i I i d x LG x i m -=>∈则()ii Ix G x -∈∉.另外:11()(,())()mi i i x f x d x L G x x t x λ---===∑{}1(,())|()()i i i i i Ii Id x LG x x x i I G x t x λ--∈∈=∈∞∈⊂∑导致了矛盾.故定理2成立.2.2.3 Brouwer 不动点定理的证明引理2.2.3.1 设集族{}A λλσ∈是n R 中的非空闭集合，其中一个有界，具有有限交性质，则该集族看非空交.证明:反证法.假设A λλσφ∈=，则它的余集为全空间，即()n CA C A R λλλσλσ∈∈==即开集CA λ.的并覆盖全空间，当然也覆盖集族中的有界闭集.由有限覆盖定理知，存在有限个开集12,,...,m CA CA CA .覆盖住0A ，即：012m A CA CA CA ⊂从而：012m CA A A A ⊃，即：012()m A A A A φ= 这与假设相矛盾，从而引理2成立.定理2.2.3.2 (FKKM 定理)设X 是n R 中的非空紧凸集，:n G X R →是闭值的KKM 映射，且存在一点0x 使0()G x 有界，则集族{}()|G x x X ∈有非空交.证明 ：根据定理2知集族{}()|G x x X ∈具有有限交性质，于是根据引理2知定理3成立.引理2.2.3.3. 设X 是n R 中的非空紧凸集，映射:n G X R →连续，则至少存8在一点y X -∈使得：()inf ()x Xy G y x G y ---∈-=-引理2.2.3.4. 设X 是n R 中的非空紧凸集，映射:n G X R →连续.若对于X 中每一满足()x G x ≠的点x ，连结x 和()G x 的线段[],()x G x 至少包含X 中2点.则G 在X 中有不动点.定理2.2.3.5(Brouwer 不动点定理)设:n n G D R R ⊂→是闭集D 上的压缩映像，()G D D ⊂，则对任意0x D ∈，迭代序列：1()k k x G x += 0,1,...k =存在唯一的极限点.证明:由引理2.2.3.3，2.2.3.4可知Brouwer 不动点定理2.2.3.5成立.92.3 Brouwer 不动点定理的nor 分析证明2.3.1 考虑所有实数n 元组的集合1{{,...,}|(1)}n n i E x x x x i n ==≤≤是实数，在n E 上引进三种线性运算之后,{,,,,}n n R E =+⋅<>就称为n 维欧式空间，其中1(,...,)n x x x =称为n R 的点或向量，诸i x 称为点x 的坐标或向量x 的分量；向量(,...,)i n x x x =和(,...,)i n y y y =相加，结果是一个向量，定义为11(,...,)n n x y x y x y +=++ 实数α和向量x 相乘，结果是一个向量，定义为1,...,)(n x x x ααα=向量x 和y 的内积是一个实数，定义为 1,ni ii x y x y =〈〉=∑于是，向量的长度定义为x ==向量x 和y 的之间的距离就是x y -=由于对任何α有2,,2,,0x y x y x x x y y y αααα〈++〉=〈〉+〈〉+〈〉≥ 所以判别式2,,,0x y x x y y 〈〉-〈〉〈〉≤ 即是对任何x 和y n R ∈有Canchy By -∏不等式 |,|x y x y 〈〉≤⋅10等式成立的充要条件是：相差一个常数因子.因此我们可以定义的夹角,x y 〈〉︿的余弦为cos ,x y 〈〉︿,x y x y〈〉⋅＝显然，,cos x y 〈〉≤︿１｜｜；x 和y 相差正数因子时，,cos x y 〈〉≤︿１｜；相差负数因子时，,cos x y 〈〉=-︿１｜｜；此外由于222,x y x y x y -=+-〈〉２22,cos x y x y x y +-〈〉⋅︿＝２与通常的余弦定律一致，所以,cos x y 〈〉︿的定义是合理的.从而，向量x 和y 正交定义为， ,x y 〈〉︿＝０.向量x 可以用从原点到点x 的有向线段来表示，也可以平行移动到任何位置，只依赖于方向和长度.因此，在图示中，两个向量相加可以用平行四边形法则，也可以用三角形法则.图 2.3(a) 图 2.3(b)2.3.2 命*I 是n R 中的一个区域.如果对任何向量*x I ∈，都相应的地有一个向量()n y x R ∈，就说y 是把*I 映入n R 的一个映像（变换）.如果()y x 的诸分量1(,...,)(1)i n y x x i n ≤≤是1(,...,)n x x 的连续函数，就说y 是连续向量场.注意，在说到连续可微时，总是指函数对各个变元的一阶偏导数在包含*I 的一个n 维开领域中处处存在且连续.引理2.3.2.1 命*I 是有界闭域，v 是*I 上的连续可微向量场.于是存在Lipchitz 常数c ，使得*()(),,v x v y c x y x y I -≤-∈证明，由于v 是*I 上的连续，所以对任何*I ξ∈，存在()0δξ>，使得v 在方体 (,()){|||()(1)}n i i I x R x i n ξδξξδξ=∈-<≤≤11处处连续可微，命 *(,())sup ||iij x I jI v c x ξδξξ∈∈∂=∂ 于是，根据微分中值定理，对任何,(,())x y I ξδξ∈有22()()|(,...,)(,...,)|i n i n iv x v y v x x v y y -≤-∑1222{|(,...,)(,,...,)|i n i n iv x x x v y x x ≤-+∑1212|(,...,)(,,...,)|i n i n v y x x v y y x -+ .........1212|(,...,)(,,...,)|}i n i n v y y x v y x x -,,||ij i i ij i ji jc x y c x y ≤-≤-∑∑今证存在0δ>，不依赖于*I ξ∈，使得对任何,(,())x y I ξδξ∈，上述吧不等式成立.否则，对任何正整数p ，存在*p I ξ∈以及1,(,)p p p x y I pξ∈，使得()()p p ij p p ijx x v y c x y -≤-∑由于*I 是有界闭集，根据Bolzano-Weierstrass 定理，可设*p I ξξ→∈，从而，,p p x y ξ→.于是，当p 充分大时，,(,())p p x y I ξδξ∈，所以，()()p p ij p p ijv x v y c x y -≤-∑矛盾.这样一来，如果命 *,()()sup x y I M v x v y ∈=- ,max{,}ij i jMc c δ=∑则对任何*,x y I ∈有()()v x v y c x y -≤-引理2.3.2.2 命*I 是有界闭域，v 是*I 上的连续可微向量场.命u ：*n I R →是一个变换，定义为*()(),u x x t v x x I =+⋅∈ 于是，当||t 充分小时，u 是把*I 变成区域*()u I 的一一变换，区域*()u I 的体积可以表示为t 的多项式.证明：据引理1，设是的Lipschitz 常数.于是，当1||t c<时，变换u 是一一的.因为，若x y ≠而()()v x u y =，则由(()())x y t v y v x -=- 推出||x y t c x y x y -≤-<-，矛盾. 其次，由于所以的Jacobi 行列式是12,,()[]1,0,ii j ji jv J u tx i j i jδδ∂=+∂=⎧=⎨≠⎩因而可以表为的多项式：1()1()()n n J u a x t a x t =+++其中诸()i a x t 显然是的连续函数.注意，当0t =时，这个行列式之值为1，所以只要||t 充分小，则()J u 恒为正.于是，则反函数定理，当||t 充分小时，u 是把区域*I 变成区域*()u I 的一一连续可微变换，它的逆变换也是连续可微的.因此，按照体积的积分定义以及n 重积分的换元法则，区域的体积可以表示为**1()(())n u I vol u I du du =⎰⎰*12()I J u dx dx =⎰⎰01n n a a t a t =+++其中 **1()i i n I a a x dx dx =⎰⎰*0,1,,,1i n a ==,nc k 中的1n -维单位球面定义为 1{|1}n n S x h x -=∈= 命v 是1n S -上的向量场.如果对任何1n x S -∈都有,()0x v x =，就说v 是1n S -上的向量场.今设v 是1n S -上的连续可微的单位切向量场，即是对任何1n x S -∈有()1v x =. 考虑区域图 2.4*13{|}22n I x k x =∈≤≤13命*()(),xv x x v x I x=∈ 于是，v 被扩充为*I 上的连续可微的切向量. 再考虑变换*:n u I k → *()(),u x x tv x x I =+∈ 由于()u x ==可见变换u 把半径为13()22r r ≤≤的球面1(){|}n n S r x R x r -=∈=变到半径为的球面1(n S -上.引理2.3.2.3 当t 充分小时，变换u 把1()n S r -变成1(n S -证明：设11,3t t c<<，其中c 是在上的Lipschitz 常数.对于任何固定的10(n u S -∈命*()(),w x tv x x I =∈ 由于1()2tv x t x =⋅<， 所以13()()()22tv x w x tv x <-≤≤< 此外， ()()()()w x w y t v x v y t c x y -=⋅-≤⋅⋅-而1t c ⋅<，可见w 是把欧氏空间的闭集映入自身的压缩映像，据压缩映像原理，有唯一的原动点00()x w x =，即00()x tv x =+，所以1x =000()u tv ξξ=+，其中100n x S ξ-=∈.这就证明了对任何10(n u S -∈，存在唯一的10n S ξ-∈，使得00()u u ξ=14图 2.52.3.3 现在让我们对半径为r 的n 维球体(){|}n n B r x R x r =∈≤的体积给出一个计算公式(())n n n vol B r c r =其中 111312,2221322,23n nn n n cn n n c n n c n n n π----⎧⎪⎪-=⎨--⎪⎪-⎩为偶数为奇数 事实上，例如12342,,3c c c ππ===，按归纳法有10(())2[rn n n vol B r vol B dx -=⎰ 221012()2rn n n n c r x dx --=-⎰ 2102cos nn n c r d πθθ-=⎰算出上述积分，就得到所要的结果.图 2.6152.3.4 现在我们问：球面1n S -上是否存在连续可微的单位切向量？这个问题的回答有些古怪.如果1n -是奇数，回答是肯定的，事实上我们可以给出所要的向量，例如121321()(,,,),n n n v x x x x x x x x S --=---∈但是，如果1n -是偶数，回答则是否定的定理1.偶数维球面上不存在连续可微的单位切向量场.证明：假若不然，当n 是奇数时，若1n S -上存在连续可微的单位切向量场v ，则据引理3，变换()()u x x tv x =+当t 充分小时把区域*13{|}22n I x R x =∈≤≤变成区域*(){n u I x R x =∈≤≤，所以*()u I 的体积是*(())[[n n vol u I vol B vol B =-31[()()22n n n n c =-*()n vol I =由于n 是奇数，这个体积不可能是t 的多项式，因而和引理2的结果矛盾. 定理1还可以稍加推广如下.定理2.偶数维球面上不存在处处不为零的连续向量场.证明：假若不然，命v 是1n S -上处处不为零的连续向量场， 1()n x Sm Min v x -∈=.于是0m >.据Weierstrass 逼近定理[8]，中有界闭集上的连续函数可以用多项式函数均匀逼近，所以存在一个多项式映像1:n n p S R -→，即诸()i p x 都是1(,,)n x x 的多项式，图 2.716使得 1()(),n p x v x m x S --<∈ ， 命 1()()(),,n u x p x p x x x x S -=-∈即 1()()()n i i j j i j u x p x p x x x =⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ 显然，上的联讯可微向量场，此外，21(),(),(),0,n u x x p x x p x x x x S -=-=∈所以u 是1n S -上的切向量场，最后，()0u x =蕴涵()(),p x p x x x =， 所以(),()0p x v x =,()()p x v x m -=>矛盾，从而u 在1n S -上处处不为零.因此()()()u x w x u x =就是1n S -上连续可微的单位切向量场.但是，如果1n -是偶数，定理1说，这是不可能的.例.地球表面的风的分布可以视为向量场，向量的长度和方向分别表示在该点的风力和风向.风力的分布当然是连续的，所以这个定理说，地球表面上总有一处是完全无风的.2.3.5 现在介绍一种方法，怎么样从维球体傻瓜的向量场构造出维球面上的切向量场.考虑1n k +，设111{|0}{|1}{|1}n n n n n n n k x k x S x k x B x k x +++=∈==∈==∈≤图 2.8n B 的边界球面1{|1}n n S x k x -=∈=是n S 的赤道.假设给了n B 上一个处处不为零的连续向量场u ，使得1n x S -∈时，()u x x =.首先，利用北极投影把n B 映成南半17球1{|0}n n n S x S x -+=∈≤，奇数对任何n x B ∈，从北极(0,0,1)N 到1(,,0)n x x x 的连线与n S 的交点ξ就是所要的对应点.容易验证，北极投影的确定义是2121()(2,,2,1),1n n x x x x x B x ξ=-∈+ 他的递变是111()(,,,0),1n n n x S ξξξξξ-+=∈-显然，这两个变换都是连续可微的.对于任何固定的n x B ∈， n k 中的直线()x tu x + ()t a <经过北极投影变成n S 上的球面曲线(())x tu x ξ+ （注意，北极投影显然对整个n k 上的点都有定义，不过n k 中不属于的点背变到北半球上罢了）.我们来证明：这条曲线在0t ≤时速度向量()u ξ是n S -在ξ处的切向量.事实上，按定义有 0()(())|t d u x tu x dt ξξ==+ 2201[(2()),,(2()),()1]1()t d x tu x x tu x x tu x dt x tu x =⎧⎫⎪⎪=⋅+++-⎨⎬++⎪⎪⎩⎭ {22121221(1)[2(),,2(),2,()][2,,2,1]2()[1]n x u x u x x u x x x x x u x x =+⋅--++ 由于()u x 连续依赖于x ，而x 连续依赖于ξ，可见()u ξ连续依赖于n S ξ-∈.此外，{}22222221(),(1)[4,()(1)2,()][4(1)]2,()[1]u x x u x x x u x x x x u x x ξξ=+⋅+--+-+ {2222221(1)2,()(1)2,()[1]0x x u x x x u x x =+-++=可见，u 是n S -上的连续切向量场.最后，还应指出μ在n S -上处处不为零，因为()0μξ=蕴涵,()0x u x =，从而有推出所有的()0i x μ=，与假设矛盾.只要当1n x S -∈时，(),()x x u x x ξ==所以()(0,,0,1)μξ=指向正北.同样，如果我们利用南极投影和向量场u 我们将得到北半球{}1|0n n n S x S x ++=∈≥上的处处不为零的连续向量场μ，但是在赤道1n S -上这个向量场指向正南.为了得到整个球面n S 上的连续向量场，我们利用向量场u -，这样18相应的向量场μ在赤道1n S -上也指向正北.与南半球上的向量场一致.这样一来，我们从所给的向量场u 构造出在整个上处处不为零的连续向量场μ.2.3.6 Brouwer 不动点定理定理3.把n 球体映入自身的任何连续映象f 至少有一个不动点，即存在n x B ∈，使()f x x =证明：假若不然，对任何n x B ∈，()f x x ≠.命1,(),1n x x u x x y x B x y-=-∈-- 其中()x f x =显然，当1n x S -∈时，()u x x =； ()u x 连续依赖于x ，因为,1x y ≠.此外，u 在n B 上处处不为零，因为()0u x =蕴涵,x x x y y x x y --=-或,,x x x x y y x x y +=+ 所以,,,,,,x x x x y x y x x x x y +=+ 即 ,,x x y x =由此再据()0u x =即得y x =于是，u 是n B 上处处不为零的连续向量场.使得1n x S -∈时，()u x x =.据F ，可以由此构造n S 上处处不为零的连续切向量场μ.据定理2，当是偶数时是不可能的.因此，我们证明了当n 是偶数时的Brouwer 定理.奇数的情形则由偶数的情形立即推出.事实上，如果2121:k k f B B --→没有不动点，那么22:k k F B B →也没有不动点，这里12121(,,)((,,),0)k k F x x f x x -=.参考文献[1] 江泽涵，拓扑学引论（第二分册）[M].1965年，上海科技出版社，126.[2] 中国科学院数学研究所，《对策论（博弈论）》[M].1965年，人民教育出版社，1960.[3] V.Guillemin，A.Pollack,Differential Topology,Prentice-Hall,Inc.1974.[4] nor. Analytic proofs of the"Hainy Ball Theorem"and the Brouwer Fixed Point Theorem[M]. 1978年，521—524.[5] 王树禾，图论（第二版）[M].2009年，科技出版社，15.[6] 熊金城，点集拓扑讲义（第三版）[M].2003年，高等教育出版社，251.[7] 燕子宗，杜乐乐，刘永明,Brouwer不动点定理的初等证明[J].长江大学学报，2008，5(1)，15-17.[8] 岳崇山，用组合发证明三维情况的Brouwer不动点定理 [J].数学学报，1962，No.7，p.33.[9] 江上欧，压缩映象原理的产生与应用，河北北方学院学报，2006，6(1)，3-6.[10] J.Dieudonne,Elements d’Analyse,I.fondements de l’Analyse moderme Ganthier-Villars,1972.19致谢回首既往，自己一生最宝贵的时光能于这样的校园之中，能在众多学富五车、才华横溢的老师们的熏陶下度过，实是荣幸之极.在这四年的时间里，我在学习上和思想上都受益非浅.这除了自身努力外，与各位老师、同学和朋友的关心、支持和鼓励是分不开的.论文的写作是枯燥艰辛而又富有挑战的.老师的谆谆诱导、同学的出谋划策及家长的支持鼓励，是我坚持完成论文的动力源泉.在此，我特别要感谢我的论文指导老师刘永平老师.从论文的选题、文献的采集、框架的设计、结构的布局到最终的论文定稿，从内容到格式，从标题到标点，她都费尽心血.没有刘老师的辛勤栽培、孜孜教诲，就没有我论文的顺利完成.在此我还要感谢和我一起学习和生活的同学，与他们的交流使我受益颇多.最后要感谢我的家人以及我的朋友们对我的理解、支持、鼓励和帮助，正是因为有了他们，我所做的一切才更有意义；也正是因为有了他们，我才有了追求进步的勇气和信心.这也将是我克服困难、不断前进的精神动力.郝斌斌2011年4月于兰州城市学院20。

长沙学院CHANGSHA UNIVERSITY 本科生毕业论文摘要非线性方程在工程实践、经济学信息安全和动力学等方面的大量实际问题中有着极为广泛的应用，而不动点迭代算法作为数学研究的一个新方向，是求解非线性方程问题的一个最基本而又重要的方法.本文主要介绍了非线性方程求解的不动点算法及其研究，首先，综述了非线性方程求解的不动点算法的研究背景、并阐述了本文的主要工作以及介绍了误差、有限差等基本知识；然后，详细介绍了不动点迭代算法的基本思想、在什么条件下方程存在不动点的收敛定理、不动点的收敛阶定理和Atiken加速公式；最后，考虑到方程可能会不满足不动点迭代收敛定理的两个条件的情况提出了反函数法、牛顿迭代法、Steffensen 迭代法和松弛法这四中处理方法.关键词：非线性方程，不动点原理，迭代法ABSTRACTA large number of practical problems of nonlinear equations in engineering practice,economics of information security and other the dynamics has a very wide range of applications.As a new direction in the study of mathematics,fixed point iterative algorithm is a basic and important methods to solving nonlinear equations problem.This paper describes the solving nonlinear equations fixed point algorithm and research. First, the research background of solving nonlinear equations fixed point algorithm and the main word are introduced, the basic knowledge of errors,finite difference are introduced ; Second, the fixed point iterative basic idea, algorithm convergence and convergence rate and the aitken formula are detailed; Last, inverse function method, the newton iterative method,Steffensen iterative method and the relaxation method are proposed when the equation dose not satisfy the fixed point iteration convergence conditions.Keywords:Nonlinear Equation, Fixed Point Theorem, Iterative Method目录摘要 (I)ABSTRACT (I)第1章绪论 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 预备知识 (2)1.2.1 误差 (2)1.2.2 有限差 (3)第２章非线性方程求解的不动点迭代算法 (5)2.1不动点迭代算法的基本思想 (6)2.2 不动点迭代算法的收敛性 (7)2.3 不动点迭代算法的收敛速度 (11)2.4 加速不动点迭代算法及其收敛性 (12)第3章非收敛不动点迭代格式的几类处理方法与比较 (14)3.1 非收敛不动点迭代格式的几类处理方法 (15)3.1.1 反函数法 (15)3.1.2 牛顿迭代法 (15)3.1.3 Steffensen迭代法 (15)3.1.4 松弛法 (16)3.2 数值实例 (17)结论 (21)参考文献 (23)附录 (24)致谢 (35)第1章绪论1.1 研究背景非线性数值解的问题是现代数学的主要研究课题之一，这不仅是由于科学技术发展的需要，而且也是由于计算技术的高速发展提供了解决这类问题的可能，利用计算机解决非线性问题时，最终总是将其化成为有限维非线性问题，或称为非线性代数问题．对于求解非线性方程，无论从理论上还是从计算机上，都比解线性问题要复杂的多，一般的非线性方程是很难求出精确解的，往往只能求出近似解、数值解，而长期以来，人们为了得到满足条件的近似值，许多计算工作者致力于研究求解非线性方程的有效方法，尤其是计算机出现后函数方程求根的数值解法得到了蓬勃发展，十七世纪，微积分出现时，Newton和Halley发明了各自的新的数学工具去解非线性方程，十八世纪，随着微积分的快速蓬勃发展，Euler和Lagrange分别找到了一个无穷级数来表示方程解，并以各自的名字来命名，十九世纪，人们开始注重问题分析的严密性，柯西建立了优级数技巧，该技巧不断的被以后的事实证明对于研究方程近似解序列的收敛性是很有成效的，在分析严密性发展的时代，Ostrowski对Newton迭代法的收敛性问题规定了一个合理的假设和一个令人满意的解法，在软件分析完善的年代，Kantorovich把Newton迭代法和Ostrowski的结果推广到Banach空间，从而使许多用硬分析去做非常棘手的有关问题被轻轻松松地推论中得到了令人满意的解决，等等，总之，这些方法不断地被后人完善，但在目前，实际问题中可能还需要求方程的负根，求非线性方程（组）的迭代法，求微分方程迭代法等等，迭代方法还需要更深入的研究，同时意味着迭代法的发展空间将会更广阔．本文将着重介绍求解非线性方程的不动点算法，其中文献[3]是由王则柯先生于1988年总结的单纯不动点算法，他简述了不动点在非线性方程数值解、微分方程初值问题、边值问题、分支问题等许多应用问题方面的十多年的发展，以及对单值连续映射的不动点或零点问题进行了讨论，在文献[4]中，许炎先生简单的阐述了国内外有关不动点理论的发展状况，并主要讨论了L-Lipschitz映射的不动点迭代逼近定理，[3][4]这两篇文献都总结出了不动点问题的研究和解决在实际问题中起到了至关重要的作用，这一系列的文献还有[5][6][7][8]，而秦小龙先生在文献[9]中介绍了迭代法的发展情况以及相关定理，为本篇论文提供了大量的基础信息，王公俊先生在文献[10]中分别介绍了常用的求解非线性方程的方法以及收敛性，在文献[11]中，张卷美主要研究了一类不动点迭代法的求解，在迭代格式不满足迭代条件的情况下，运用的几种处理方法，并且用Ｃ语言编程上机进行了计算，对迭代收敛结果进行了分析和比较，为本文提供了大量的信息，另外，本文还借鉴了2本不同出版社的《数值分析》教材的大量内容．本文主要介绍了非线性方程求解的不动点算法及其应用，第一章为绪论部分，主要介绍了为什么要研究本文的一些原因、目的，以及价值，也准备了一些预备知识作为对正文的补充；第二章介绍迭代法与不动点的相关思想原理、定理以及迭代法的收敛条件，是本文的一个主要章节和工作重心，并且举出了几个实例来辅助证明了运用不动点迭代法求解非线性方程的方便以及准确性；第三章作为对第二章节的一个完善，非常具有实用性，主要讨论了非收敛不动点迭代格式的几类处理方法，并通过数值实例给予了证明.1.2 预备知识1.2.1 误差误差的来源有多个方面，主要有模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差等．例1.1 可微函数)(x f 用泰勒(Taylor)多项式 ,!)0(...!2)0(!1)0()0()()(2n n n x n f x f x f f x p +''+'+= 近似代替，则数值方法的截断误差是 ,)!1()()()()(1)1(+++=-=n n n n x n f x p x f x R ξ ξ在0与x 之间．也就是说，截断误差就是近似值与精确值之间的误差．例1.2 用3.14159近似代替π，表示舍入误差..0000026.014159.3⋅⋅⋅=-=πR同样，可以定义舍入误差是指由于计算机字长有限在表示时产生的误差．定义1.1[1] 设x 为准确值，*x 为x 的一个近似值，称x x e -=**为近似值的绝对误差，简称误差．然而，在实际中，人们是无法准确计算出误差*e 的精确值的，一般是根据需要估计出误差的绝对值不超过某正数*ε，也就是误差绝对值的一个上界，*ε叫做近似值的误差限，它总是正数．对于一般情形，**||ε≤-x x ，即,****εε+≤≤-x x x (1.1)这个不等式有时也表示为.**ε±=x x (1.2)误差的大小有时还不能完全表示近似值的好坏，例如，有两个量110±=x ，51000±=y ，则.5,1000;1,10****====y x y x εε虽然*y ε是*x ε的5倍，但是%5.0**=y y ε比%10**=xx ε小得多，这就说明了*y 近似y 的程度比*x 近似x 的程度要好得多，因此，除了需要考虑误差的大小之外，还应该考虑准确值本身的大小．我们把近似值的误差*e 与准确值x 的比值 ,**xx x x e -= (1.3) 称为近似值*x 的相对误差，记作*r e ．在实际计算中，由于真值x 总是不知道的，通常取 ,*****xx x x e e r -== (1.4) 作为*x 的相对误差，条件是***xe e r =较小，此时 ,)(1)()()()(**2*****2*******x e x e e x x e x x x x e x e x e -=-=-=- (1.5) 是*r e 的平方项级，故可忽略不计．相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，记作*r ε，即 .||***x r εε= (1.6) 根据定义，上例中 %10||**=x x ε与%5.0||**=y y ε分别为x 与y 的相对误差限，很显然*y 近似y 的程度比*x 近似x 的程度好得多．在实际运算中，为了避免误差危害，数值计算中通常不采取数值不稳定算法，在设计算法是应该尽量避免误差危害，防止有效数字损失，通常要避免两个相近数字相减和用绝对值很小的数做除数，还要注意运算次序和减少运算次数．1.2.2 有限差定义1.2[2] 分别称),()()(x f h x f x f -+=∆ (1.7) ),()()(h x f x f x f --=∇ (1.8) ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22)(h x f h x f x f δ (1.9)为函数)(x f 在点x 的一阶向前差分，一阶向后差分和一阶中心差分，或者分别简称为一阶前差，一阶后差，一阶中心差，统称为(一阶)有限差，其中)0(>h 表自变量的有限增量，称为步长，∇∆,和δ分别成为(一阶)前差算子、(一阶)后差算子和(一阶)中差算子，统称为(一阶)有限差算，仿此，可以定义高阶有限差，例如，二阶前差记作)(2x f ∆，定义为[]).()()()(2x f h x f x f x f ∆-+∆=∆∆=∆ (1.10) 于是，有).()(2)2()(2x f h x f h x f x f ++-+=∆ (1.11) n 阶前差记作)(x f n ∆，定义为[]).()()()(111x f h x f x f x f n n n n ---∆-+∆=∆∆=∆ (1.12) 同样，二阶后差)(2x f ∇和n 阶后差)(x f n ∇分别定义为[])()()()(2h x f x f x f x f -∇-∇=∇∇=∇ (1.13)和[]).()()()(111h x f x f x f x f n n n n -∇-∇=∇∇=∇--- (1.14) 二阶中心差 )(2x f δ 和n 阶中心差)(x f n δ分别定义为[],22)()(2⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+==h x f h x f x f x f δδδδδ (1.15)和[].22)()(111⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛+==---h x f h x f x f x f n n n n δδδδδ (1.16)我们规定0()()f x f x ∆=, 0()()f x f x ∇=, 0()()f x f x δ=.有限差有下列一下性质：（1）常数的有限差恒为零．（2）有限差算子为线性算子，即对任意的实数α,β恒有()),()()()(x g x f x g x f ∆+∆=+∆βαβα (1.17) ()),()()()(x g x f x g x f ∇+∇=+∇βαβα (1.18)()).()()()(x g x f x g x f βδαδβαδ+=+ (1.19)（3）用函数值表示高阶有限差：()),)((1)(0h i n x f C x f ni in i n -+-=∆∑= (1.20)()),(1)(0ih x f C x f n i in i n --=∇∑= (1.21)()),)2((1)(0h i hx f C x f n i i n i n -+-=∑=δ (1.22)其中 .!)1()1(i i n n n C i n +-⋅⋅⋅-= （4）用有限差表示函数值 .)()(0∑=∆=+n i i i nx f C nh x f (1.23)第２章 非线性方程求解的不动点迭代算法2.1不动点迭代算法的基本思想首先讨论解非线性方程)(x g x = (2.1) 的问题. 方程(2.1)的解又称为函数g 的不动点. 为求g 的不动点，选取一个初始值0x ，令⋅⋅⋅==-,2,1),(1k x g x k k (2.2) 已产生序列}{k x . 这一类迭代法称为不动点迭代. )(x g 又被称为迭代函数， 很显然，若迭代序列}{k x 收敛，即有,lim p x k k =∞→ (2.3) 且)(x g 连续，则p 是g 的一个不动点．例2.1[2] 方程042)(23=-+=x x x f 在区间[]2,1中有唯一跟. 我们可以用不同的方法将它化为方程：（1）;42)(231+--==x x x x g x（2）;22)(212⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-==x x x g x （3）;22)(2133⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==x x g x （4）;212)(214⎪⎭⎫ ⎝⎛+==x x g x （5）,4342)(2235xx x x x x g x +-+-== 等等.取初始值5.10=x ，分别用式(2.2)的迭代格式计算，结果如下表．表2.1 例2.1迭代公式计算结果从表2.1中可以看到，选取迭代函数为)(4x g ，)(5x g ，分别12次和4次，得到方程的近似根1.130395435．若选取)(3x g 作为迭代函数，则k 为奇数时迭代子序列单调增加，k 为偶数时迭代子序列单调减小，迭代120次得到近似根1.130395436． 若选取)(1x g 作为迭代函数，则迭代序列不收敛， 若选取)(2x g 为迭代函数，则出现了负数开方，因而无法继续进行迭代．2.2 不动点迭代算法的收敛性通过例2.1，可以总结出，对于同一个非线性方程的求解问题，在转化为迭代方程时应该要使其解的迭代次数达到最小，且得到的解应该最精确. 在选择迭代函数)(x g 的基本原则是，首先必须保证不动点迭代序列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,21k x x x 在)(x g 的定义中，以使迭代过程不至于中断；其次要求迭代序列}{k x 收敛且尽可能收敛得快.定理2.1[2] 假设)(x g 为定义在有限区间[]b a ,上的一个函数，它满足以下条件 （1）对任意[]b a x ,∈有[];,)(b a x g ∈ (2.4) （2）)(x g 的导数)(x g '在[]b a ,上有界，且存在正数1<L 使得对一切[]b a x ,∈有 ,1|)(|<≤'L x g (2.5) 那么对于任意初始值[]b a x ,0∈由不动点迭代(2.2)产生的序列都收敛于g 在[]b a ,的唯一不动点p ，并且有误差估计式|,|1||01x x LL e kk --≤,1≥k (2.6) 其中p x e k k -=.证明 首先证明g 的不动点存在且唯一. 令 ).()(x g x x h -= (2.7)据条件(1),0)()(≤-=a g a a h .0)()(≥-=b g b b h又据条件(2)，在)(x g '上存在，因此)(x g 在[]b a ,上连续，从而)(x h 在[]b a ,上也连续，因此方程0)(=x h 在[]b a ,上至少有一个跟．现假设方程0)(=x h 在[]b a ,上有两个根q p q p ≠,,，则由Lagrange 中值定理知，在p 与q 之间存在ξ使得|,||)(||))((||)()(|||q p g q p g q g p g q p -'=-'=-=-ξξ 再由(2.5).|||||||)(|q p q p L q p g -<-≤-'ξ这就得到矛盾式：.||||q p q p -<- 因此q p =，即0)(=x h 在[]b a ,中的根是唯一的．其次证明由不动点迭代格式(2.2)产生的序列}{k x 是收敛于p 的．根据定理条件(1)[]b a x k ,∈，⋅⋅⋅=,2,1,0k ，因此不动点迭代过程不会中断．由(2.5)式有).()(1p g x g p x k k -=-- (2.8) 应用Lagrange 中值定理，并根据(2.5)式有|||||)(||)()(|||111p x L p x g p g x g p x k k k k -≤-'=-=----ξ.||0p x L k -≤⋅⋅⋅≤ (2.9) 因为10<<L ，所以,0||lim ||lim 0=-≤-∞→∞→p x L p x k k k k即.lim p x k k =∞→ (2.10)最后，推导估计式(2.6)．应用收敛性的证明过程，有|||)()(|||111-++-+++++-≤-=-j k j k j k j k j k j k x x L x g x g x x|,|01x x L j k -≤⋅⋅⋅≤+ (2.11) 于是()∑∑-=+++-=++++-≤-=-11101||m j j k j k m j j k j k k m k x x x xx x||1)1(||010110x x LL L x x Lm k m j jk ---=-≤∑-=+.||101x x LL k--≤ (2.12)在上式中令∞→m ，得.1||||01x x L L p x e kk k --≤-= (2.13) (2.6)式得证．例2.2[2] 讨论例2.1中不动点迭代⋅⋅⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==--,2,1,22)(213113k xx g x k k k (2.14) 的收敛性. 为使解的近似值的误差不超过810-，试确定迭代次数．解 迭代法(2.14)的迭代函数为.22)(2133⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=x x g )(3x g 的定义域为]4,(3-∞．取初始值5.10=x ，由不动点迭代(2.21)得559016994.01=x ，因此取区间[][]5.1,5.0,=b a ．由于,02243)(22133<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='-x xx g [],5.1,5.0∈x 因此)(3x g 在[]5.1,5.0上单调减小． 而[],559.0)5.1()(min 335.1,5.0≈=∈g x g x[],399.1)5.0()(max 335.1,5.0≈=∈g x g x于是，当[]5.1,5.0∈x 时，[]5.1,5.0)(3∈x g ，但,04432243)(232333<⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=''-x x x xx g [],5.1,5.0∈x )(3x g '在[]5.1,5.0上单调减小，因此 [][]{}3330.5,1.50.5,1.5max |()|max |(0.5)|,|(1.5)|x x g x g g ∈∈'''=.019.3)5.1(3≈'=g 因此，定理2.1的条件(2)不成立．从表2.1看到，取133074649.130=x 作为初始值0x ，128116321.131=x 作为1x ．当[]3031,x x x ∈时，[]303132,31,x x x x ∈从而[]30313,)(x x x g ∈．又由于[]313033,|()|max |()|x x x g x g x ∈''≤{}331330max |()|,|()|g x g x ''= ,1853541077.0)(303<=≈'=L x g因此定理2.1的条件成立．故迭代过程收敛[]3031,x x 中任意取初值，为使解p 的近似值k x 的误差不超过810-，根据误差估计式(2.6)|,|1||01x x L L p x kk --≤- 只要.10||1801-<--x x L L k因此，k 应取为810||lg10lg1lg x x L k L ---->853541077.0lg 146458923.0128116321.1133074649.1lg 8⎪⎭⎫⎝⎛---≈.69977.137≈取138=k ．于是迭代138+30=168次必可使近似解的误差不超过810-． 实际上，从表2.1中可以看到，只要迭代110次便可达到所要求解的精度．(2.6)式右端是最大可能的误差界． 就本例来说，估计的迭代次数偏大了.2.3 不动点迭代算法的收敛速度定理2.2[2] 在定理2.1的假设条件下，再设函数)(x g 在区间[]b a , 上)2(≥m 次连续可微，且在方程(2.1)的跟p 处,0)()(=p g j ,1,,1-⋅⋅⋅=m j ,0)()(≠p g m (2.15) 则不动点迭代为m 阶收敛.证明 据定理2.1知，方程（2.1）在[]b a ,上有唯一根p ．且对任意初始值[]b a x ,0∈，不动点迭代序列{}k x 收敛于p 由于),()()()(11p g e p g p g x g p x e k k k k -+=-=-=++ (2.16) 据Taylor 公式和定理条件有()mkk k m m k m k k k e e p g m e p g m e p g e p g e )(!1)()!1(1)(!21)()(1121θ++-+⋅⋅⋅+''+'=--+ ,)(!1)(mk k k m e e p g m θ+=其中10<<k θ. 易知，对于充分大的k ，若 01≠-k e ，则 ),1,(0⋅⋅⋅+=≠k k i e k ，从而()).(!1lim 1p g m e e m m k k k =+∞→ (2.17）故证得不动点迭代为m 阶收敛．关于不动点的迭代，还有下面的局部收敛定理.定理2.3[2] 设p 是方程(2.1)的一个根，)(x g 在p 的某领域内m 次连续可微，且 ,0)()(=p g j ,1,,1-⋅⋅⋅=m j ,0)()(≠p g m ),2(≥m则当初始值0x 充分接近p 时（存在正数r ，对一切[]r p r p x +-∈,0），不动点迭代序列{}k x 都收敛于p ，且收敛阶数为m .证明 由于假设()x g '在p 的某领域内连续且()0='p g ，因此必存在0>r 使得对一切[]r p r p x +-∈, 有.1|)(|<≤'L x g 又据Lagrange 中值定理，有),)(()()(p x g p g x g -'=-ξ ξ在x 与p 之间，从而,|||||)(||)()(|r p x p x g p g x g ≤-<-'=-ξ 即.|)()(|r p g x g <- (2.18) 因此当[]r p r p x +-∈,时，[]r p r p x g +-∈,)(．据定理2.2和定理2.3知，对于任意初始值[]r p r p x +-∈,0，不动点迭代收敛，且收敛阶数为m ．2.4 加速不动点迭代算法及其收敛性一个收敛的迭代过程将产生一个收敛序列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n x x x ，如p x n n =∞→lim ．这样，只要迭代足够多次，即n 充分大时，如m n =，则可取m x p ≈．但若迭代过程收敛缓慢，则会使计算量变得很大，因此需要加速收敛过程．假设一个序列{}n x ：⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n x x x ，线性收敛于p (收敛缓慢)，即有λ=--+∞→p x px n n n 1lim ().0≠λ (2.19) 于是当n 足够大时，有,121px px p x p x n n n n --≈---++ 即),)(()()221p x p x p x n n n --≈-++亦即.)(22222121p p x x x x p p x x n n n n n n ++-≈+-++++ (2.20) 解得nn n n n n x x x x x x p +--=++++12212222221121222n n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x x x ++++++-+--=-+.2)(1221nn n n n n x x x x x x +---=+++ 定义⋅⋅⋅=+---=++++,2,1,0,2)(~12211n x x x x x x x nn n n n n n ， (2.21)(2.21)称为Aitken 加速公式（方法）．Aitken 加速方法得到的序列{}n x ~：⋅⋅⋅⋅⋅⋅,~,,~,~21n x x x 较原来的序列{}n x 更快地收敛于p . 有下面的定理．定理 2.4[2] 设序列}{n x 是线性收敛于p 的，并且对于所有足够大的整数n 有0))((1≠--+n n x p x ，则由Aitken 加速方法(2.21)产生的序列{}n x ~有.0~lim 1=--+∞→p x px n n n (2.22) 证明 由假设序列}{n x 线性收敛于p ，即有,lim 1λ=--+∞→p x px nn n ，0≠λ.记,1λ---=+px px q n n n (2.23) 则有 0lim =∞→n n q ，0lim 1=+∞→n n q ． 据(2.21)式，()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+----=--++++p x x x x x x p x p x p x nn n n n n n n n 1221121~2121()1()(2)n n n n n n x x x p x x x +++-=---+21221212111[()]()1()[2()]111..21n n n n n n n n n n n n n n n x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p ++++++++----=-----+-⎡⎤-=--⎢⎥-⎡⎤---⎣⎦-+⎢⎥---⎣⎦ .1)(2))((1)1(112++-++⋅-+-=+λλλλn n n n q q q q (2.24)因此有.012)1(1~lim 221=+---=--+∞→λλλp x p x nn n在绪论中有讲到一阶前差：,1n n n x x x -=∆+ ⋅⋅⋅=,2,1,0n 二阶前差：,2)(122n n n n x x x x x +-=∆∆=∆++ .,2,1,0⋅⋅⋅=n 于是，Aitken 加速公式(2.21)可改写成,)(~221n n n n x x x x ∆∆-=+ .,2,1,0⋅⋅⋅=n (2.25)由于这个缘故，Aitken 加速方法又称为Aitken 2∆加速方法．例2.3[2] 设nx n 1cos =，则1lim =∞→n n x . 由于,111cos 111cos lim 11lim 1=--+=--∞→+∞→nn x x n n n n 因此序列{}nx 收敛于1． 由序列{}nx 应用Aitken 加速方法计算得{}nx ~的开头几项列表如下（表2.2）．{}n x ~确实比{}n x 更快的收敛于1．第3章 非收敛不动点迭代格式的几类处理方法与比较在第2章中主要介绍了求解非线性方程的不动点迭代法，其要求是迭代函数要满足收敛定理假定条件，而在现实生活中，明确满足这些条件的迭代函数是很少见的，本章对于迭代函数不满足收敛条件的情况，提出了几类处理方法.3.1 非收敛不动点迭代格式的几类处理方法一个方程的迭代格式不是唯一的，且迭代也不都是收敛的，其收敛性取决于迭代函数)(x g 和初值0x ，关于不动点迭代函数的收敛性，上一章已经进行了讨论， 但假若[]b a x ,∈时，1)(>≥'L x g ，就不满足定理2.1的条件(2)了，于是下面分别介绍了反函数法、牛顿迭代法、Steffensen 迭代法和松弛法这四中处理方法.3.1.1 反函数法因为)(x g x =，有[])(1)(1x g x g '='-，则当[]b a x ,∈时，[]11)(1<≤'-Lx g ，所以方程)(x g x =可写成等价形式)(1x g x -=，从而构造迭代格式)(11k k x g x -+=, ),1,0(⋅⋅⋅=k (3.1) 很明显，)(11k k x g x -+=满足收敛条件.对于)(x g 简单情况, 其反函数)(1x g -容易得到.3.1.2 牛顿迭代法对于迭代格式)(x g x =的情形，采用Newton 迭代格式有 ,)(1)()()(1)(1k k k k k k k k k x g x g x x g x g x g x x x '-'-='---=+ ),1,0(⋅⋅⋅=k (3.2)3.1.3 Steffensen 迭代法根据Aitken 加速算法，对迭代格式)(1k k x g x =+,),1,0(⋅⋅⋅=k ，进行如下修改：),(k k x g y = ),(k k y g z =[]kk k k k k k k k k k k k x x g x g g x g x g g x g g x y z y z z x +---=+---=+)(2))(()())(())((2)(221 (3.3)其中⋅⋅⋅=,1,0k .3.1.4 松弛法将)(x g x =化成等价形式)()1(x wg x w x +-= , 称w 为松弛因子, 从而构造迭代格式),()1(1k k k x wg x w x +-=+ (3.4)其迭代函数为)()1()(x wg x w x g +-= . 记)(min minx g g bx a '='≤≤，)(max max x g g bx a '='≤≤，得到如下结论:（1）当1)(>≥'L x g 时，w 取01)(2max <<-'-w x g 时，)()1(1k k k x wg x w x +-=+迭代收敛；（2）当1)(-<-≤'L x g 时，w 取)(120minx g w '-<< 时，)()1(1k k k x wg x w x +-=+迭代收敛；（3）当1)(<≤'L x g 时，w 取)(1)(11minminx g x g w '-'+<< 时，迭代格式)()1(1k k k x wg x w x +-=+比迭代格式)(1k k x g x =+收敛快． 推导如下：（1）当1)(>≥'L x g 时，由01)(2max<<-'-w x g 得到2)(max->-'w x g w ，其迭代函数为)()1()(x wg x w x f +-=． 因为()()()()()()()max1111111f x w wg x w wg x f x w wg x w g x '''=-+≥-+>-'''=-+=+-<所以有1)(<'x g ，从而)()1(1k k k x wg x w x +-=+迭代收敛.（2）当1)(-<-≤'L x g 时, 由)(120min x g w '-<<得到2)(min->'+-x g w w . 因为()()()()()()()min111,1111f x w wg x w wg x f x w wg x w g x '''=-+≥-+>-'''=-+=+-<所以有1)(<'x f , 从而)()1(1k k k x wg x w x +-=+迭代收敛.（3）当1)(<≤'L x g 时, w 取)(1)(11min minx g x g w '-'+<<，由1>w 得到[]0)(1)1(<'--x g w ,()()()()()1(1)1f x w wg x w g x g x g x '''''=-+=--+<⎡⎤⎣⎦ 由)(1)(1minminx g x g w '-'+<得到0)()(1min min>'+-'+x g w w x g .()()min()11f x w wg x w wg x '''=-+≥-+()()()()minmin 1w wg x g x g x g x ''''≥-++->-所以有)()(x g x f '<', 从而迭代格式)()1(1k k k x wg x w x +-=+ 比迭代格式)(1k k x g x =+收敛快.3.2 数值实例通过以上四种方法都可以解决非收敛不动点迭代格式的问题，现对上述四种给出几个不满足不动点迭代收敛定理的实例，并对结果进行分析和比较. 例3.1 求方程033=--x x 在区间[]2,1内的根，要求精度为510-．解 对于方程033=--x x ，将它化为33-=x x ，所以3)(3-=x x g ，则当[]2,1∈x 时，13)(2>='x x g ，不满足定理2.1的条件(2),因此不能由(2.2)的迭代格式计算.下面分别用反函数方法、牛顿（Newton ）迭代法、Steffensen 迭代法、松弛法对迭代函数进行修改，得到相应新的迭代函数，并用C 语言编程上机计算. (1)反函数法：迭代格式为),(11k k x g x -+= 即.)3(311+=+k k x x 取初值5.10=x ，运用程序见附录1．(2)牛顿（Newton ）迭代法：迭代格式为,)(1)()()(1)(1k k k k k k k k x g x g x x g x g x g x x x '-'-='---=+即.133231)3(23231-+=----=+k k k k k k k x x x x x x x 取初值5.10=x ，运用计算程序见附录二； (3) Steffensen 迭代法：迭代格式为),(k k x g y = ),(k k y g z = [][].)(2))(()())(())((2221kk k k k k kk k k k k k x x g x g g x g x g g x g g x y z y z z x +---=+---=+即,33-=k k x y,3)3(33--=k k x z[].)3(23)3()3(3)3(3)3(3332333331kk k k kk k x x x x xx x +-----------=+ 取初值5.10=x ，运用如下程序可以得到结果： (4)松弛法：迭代格式为),()1(1k k k x wg x w x +-=+ 即),3()1(31-+-=+k k k x w x w x当[]2,1∈x 时，13)(2>='x x g ，且3)(min='x g ，12)(max ='x g ，所以w 的取值范围为01122>>--w ，现取5.10=x ，15.0-=w ，运用C 语言编程可得到起结果． 以上这四种方法的计算结果见表(3.1)，本例中以上四种方法都是收敛的，因此这四种方法均可以解决不满足收敛条件的不动点迭代收敛问题，同时本例中变换后的Newton 迭代法收敛的最快.例 3.2 求方程0124=--x x 在区间[]2,1内的根，要求精度为510-.解 对于方程0124=--x x ，将它化为21214-=x x ，所以2121)(4-=x x g ，则当[]2,1∈x 时，14)(3>='x x g ，因此不满足不动点迭代收敛条件，为求此次方程的解，下面同样分别用本章介绍的四种方法求解此方程. (1)反函数法：迭代格式为),(11k k x g x -+= 将方程变为迭代格式为().12411+=+k k x x取初值5.10=x ，运行附录5的相应程序即可得计算结果. (2)牛顿（Newton ）迭代法:迭代格式为,)(1)()()(1)(1k k k k k k k k x g x g x x g x g x g x x x '-'-='---=+代人例题中的数据.12212321212134341-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+k k k k k k k x x x x x x x 取初值5.10=x ，运行附录6的程序即可的计算结果. (3)Steffensen 迭代法：迭代格式为),(k k x g y =),(k k y g z = [][].)(2))(()())(())((2221kk k k k k kk k k k k k x x g x g g x g x g g x g g x y z y z z x +---=+---=+代入例题中的数据有,21214-=k k x y ,2121212144-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k x z.2121221212121212121212121212121214442444441k k k k k k k x x x x x x x +⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+ 取初值5.10=x ，运行附录7即可算得计算结果. (4)松弛法：迭代格式为),()1(1k k k x wg x w x +-=+ 代入例题中的数据有.2121)1(41⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+x w x w x k k当[]2,1∈x 时，14)(3>='x x g ，13224)(3max>=⨯='x g ，所以w 取值在01322<<--w ，现取05.0-=w ，初值5.10=x ，运行附录8的程序即可得到计算结果.以上这四种方法的计算结果见表(3.2)，本例中以上四种方法都是收敛的，因此这四种方法均可以解决不满足收敛条件的不动点迭代收敛问题，同时本例中变换后的Newton 迭代法收敛的最快．例3.3 求方程032=-+x e x 在区间[]1,0内的根，要求精度为510-.解 将方程化为等价形式x e x 23-=，那么此时x e x g 23)(-=.当[]1,0∈x 时，12)(>-='x e x g ，因此不满足不动点迭代收敛条件.按下面这四种方法处理可以得到近似解.(1)反函数法：首先由反函数处理方法可得到迭代格式,223ln 1⎪⎭⎫⎝⎛-=+k k x x取初值5.00=x ，运用程序见附录9.(2)牛顿（Newton ）迭代法：由牛顿迭代法得到迭代格式,21321kk x x k k k e e x x x +-+-=+ 取初值5.00=x ，运用程序见附录10.(3)Steffensen 迭代法：由Steffensen 迭代法得到迭代格式,23k x k e y -= ,2322⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k x e k e z()()[](),)23(223232323223231kx e e e k x e e e e x kkx kx kx +------=---+ 取初值5.00=x ，运用程序见附录11. (4)松弛法：由松弛法得到迭代格式为(),23)1(1x k k e w x w x -+-=+当[]1,0∈x 时，122)(-<-≤-='x e x g ，e x g 2)(min-='，所以w 取ew 2120+<<之间的值，现取2.0=w ，初值5.00=x ，运用程序见附录12.以上这四种方法的计算结果见表(3.2)，本例中以上四种方法都是收敛的，因此这四种方法均可以解决不满足收敛条件定理的不动点迭代收敛问题，同时本例中变换后的Newton 迭代法收敛的最快．结 论非线性代数问题的解法是现代计算数学的一个重要研究课题，而不动点迭代算法是求解非线性方程近似根的一个重要方法.本文通过搜集大量资料了解了非线性方程求解的不动点迭代算法的的研究背景，以及研究价值，然后通过介绍不动点迭代法的基本思想，对不动点迭代法的收敛性、收敛速度以及加速不动点迭代算法的收敛性进行了研究，并结合实例经行了比较分析，对于不满足收敛条件的情况，本文通过翻阅大量资料和文献，归纳总结出了四种处理方法，分别为反函数法、牛顿（Newton)迭代法、Steffensen 迭代法、松弛法，使得不满足收敛不动点迭代格式的非线性方程的求解得到了解决，同样也给出了相关实例进行了比较和验证.具体来说，对于一般的非线性方程，只要满足第2章定理2.1中的条件(1)和条件(2)，那么对于任意的初始值[]b a x ,0∈，则由不动点迭代⋅⋅⋅==-,2,1),(1k x g x k k 产生的迭代序列都收敛于g 在[]b a ,的唯一不动点p ，那么要考虑的是光是收敛还不能很好的解决一个迭代效率问题，于是本文还致力研究了不动点迭代法的收敛速度，以及加速不动点迭代法.而对于一般不满足第2章定理2.1中的条件（1）或者条件（2）的情况，那么有不动点迭代算法产生的迭代序列不是收敛的，就不能求出函数的近似解，那么本文通过阅读大量的资料以及文献，总结出了四种比较好用的处理方法，并且通过3个实例，可以发现这几种方法不仅能得到收敛的迭代序列，而且收敛的速度也比较快，通过分析比较这四种方法，牛顿迭代法的迭代效果最好.这也是本文的亮点所在.由于诸多条件限制，本文也有很多不足之处，比如说没有足够多的实例来充分的证明第2章的定理2.2与定理2.3，并且对于第3章给出的3个实例中的精度要求较低，有待于继续研究，若有条件，可以更深层次的研究非线性方程组的不动点算法及其应用.参考文献[1] 李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].北京：清华大学出版社，2008,32(2)：3-8[2] 林成森.数值分析[M].北京：科学出版社，2007,18(1):133-135,255-265[3] 王则柯．单纯不动点算法[J]．广州：中山大学数学系，1988,12(12)：113-127[4] 许炎．Banach空间中的不动点迭代逼近[J]．苏州：苏州科技学院数理学院，2010，13(2)：1-44[5] 李素红．非线性算子的不动点迭代逼近[J]．天津工业大学学报，2006，16(1)：51-58[6] 孙俊萍，徐裕生．非线性算子的不动点定理[J]．长春大学学报，2000，10(5)：30-31[7] 宋娜娜．几类非线性算子的不动点定理[J]．长春工程学院学报（自然科学版），2003,4(3)：1-4[8] 段华贵．几类非线性算子的不动点定理及应用[J]．哈尔滨师范大学自然科学学报，2004，20(4)：31-33[9] 秦小龙．非线性算子方程的迭代算法[J]．科学技术与工程研究简报，2010，10(13)：3169-3170[10] 王公俊．非线性方程的迭代法研究[J]．河北大学学报（自然科学版），2000，20(3)：228-231[11] 张卷美．一类不动点迭代法的求解[J]．燕山大学学报，1998，22(2)：140-142[12] 高尚.不动点迭代法的一点注记[J]．大学数学．2003,19(4):30-37[13] 代璐璐．非线性方程组的迭代解法[J]．合肥工业大学学报，2012，5(4):1-57[14] Halikias, Galanis, Karcanias, Milonidis.Nearest common root of polynomials,approximate greatest common divisor and the structured singular value[J].IMA Journal of Mathematical Control & Information,2013，30(4)：423-442附录附录1（反函数处理法）：%main()为主函数%用途：用反函数法求解非线性方程在非收敛不动点迭代格式情况下的解%格式：solut (double x,int k),solut为被调用函数，x为返回输出的值，即为迭代函数产生的迭代序列，k为在一定精度下的迭代次数#include <stdio.h>#include <math.h>double solut (double x,int k){double f;int i;for(i=0;i<k;i++){f=pow(x+3,1.0/3.0);x=f;}return(x);}main( ){double x0=1.5;int i,k;printf("\n input k(k>0):");scanf("%d",&k);for(i=1;i<=k;i++){printf("\n x=%6.5lf\n",solut(x0,i));}}附录2（牛顿(Newton)迭代法）：%main()为主函数%用途：用牛顿(Newton)迭代法求解非线性方程在非收敛不动点迭代格式情况下的解%格式：solut (double x,int k),solut为被调用函数，x为返回输出的值，即为迭代函数产生的迭代序列k为在一定精度下的迭代次数#include <stdio.h>#include <math.h>double solut(double x,int k){double f;int i;for(i=0;i<k;i++){f=x-(pow(x,3)-x-3)/(3*pow(x,2)-1);x=f;}return(x);}main( ){double x0=1.5;int i,k;printf("\n input k(k>0):");scanf("%d",&k);for(i=1;i<=k;i++){printf("\n x=%6.5lf\n",solut(x0,i));}}附录3（Steffensen迭代法）：%main()为主函数%用途：用Steffensen迭代法求解非线性方程在非收敛不动点迭代格式情况下的解%格式：solut (double x,int k),solut为被调用函数，x为返回输出的值，即为迭代函数产生的迭代序列，k为在一定精度下的迭代次数#include <stdio.h>#include <math.h>double solut(double x ,int k){double f,f1,f2;Int i;for(i=0;i<k;i++){f1=pow(x,3)-3;f2=pow(f1,3)-3;f=f2-(pow(f2-f1,2)/(f2-2*f1+x);x=f;}return(x);}main( ){double x0=1.5;int i,k;printf(“\n input k(k>0):”);scanf(“%d”,&k);for(i=1;i<=k;i++){printf(“\n x=%6.5lf\n”,solut(x0,i);}｝附录4（松弛法）：%main()为主函数%用途：用松弛法求解非线性方程在非收敛不动点迭代格式情况下的解%格式：solut (double x,int k),solut为被调用函数，x为返回输出的值，即为迭代函数产生的迭代序列，k为在一定精度下的迭代次数#include <stdio.h>。

非线性分析非线性分析是数学中重要的一个领域，它研究的是非线性方程和不等式的性质及其解的行为。

在非线性分析中，我们关注的是线性方程无法描述的复杂的现象和问题，这些问题可能涉及到多个变量之间的相互作用和非线性变化的规律。

非线性分析的研究对象包括：非线性微分方程、非线性泛函分析、非线性变分理论、复杂动力系统、最优控制等。

非线性分析的起源可以追溯到19世纪末和20世纪初，当时的数学家们开始意识到线性模型无法完全描述现实世界的复杂性。

通过对非线性方程进行研究，数学家们逐渐发现了许多重要的非线性效应，如混沌现象、孤立子等。

这些发现不仅深刻地改变了数学的发展，也对物理学、工程学等其他学科产生了重大影响。

在非线性分析中，一个关键的概念是非线性映射。

简单来说，一个映射是指将一个集合的每个元素映射到另一个集合的规则。

而非线性映射则是指不满足线性性质的映射。

非线性映射的特点是它们的输出与输入之间的关系不是简单的比例关系。

相反，它们可能显示出强烈的非线性行为，如周期性、奇点、分叉等。

非线性分析的一个重要问题是研究非线性方程的解的存在性和唯一性。

对于一般的非线性方程，很难直接找到解析解，因此数学家们开发了各种方法来求解这些方程。

其中最著名的方法之一是古典非线性分析中的不动点定理和奇点理论。

这些理论提供了一种从不动点（或奇点）出发逐步逼近解的方法，通过迭代和逼近的方式来求解非线性方程。

除了解的存在性和唯一性，非线性分析还研究了解的稳定性和性质。

对于非线性方程的解来说，存在许多不同的稳定性概念，如局部稳定、全局稳定和渐近稳定。

这些概念用于描述解在微小扰动下的行为以及长时间演化的趋势。

稳定性理论对于理解和预测自然界中的复杂现象具有重要意义。

非线性分析的研究方法不仅限于数学理论，还涉及到了计算机模拟和实验观测。

计算机模拟通过数值方法来求解非线性方程，并研究其解的行为和性质。

实验观测则通过实验手段来验证非线性方程的解是否与真实情况相符。

压缩映射原理的性质和应用摘要本文较有系统的研究了压缩映射原理及其一些应用，由于压缩映射原理是属于不动点理论中的一类原理，所以有许多不同的形式，本文主要利用在常规度量空间中讨论压缩映射原理的方法，在概率度量空间中讨论压缩映射原理。

主要内容如下：第一章，是绪论部分，首先讲了我之所以写这篇文章的原因，然后是本文所研究问题的历史背景和发展情况。

第二章，介绍压缩映射原理的最基本的形式，即Banach压缩映射原理，通过对其定理内容和证明方法的分析，深刻认识了Picard迭代方法在证明中起到的重要作用，总结出了一套通用的方法证明这类定理，还找了一个例子，用总结出的方法进行了证明。

第三章，用第一章总结出的方法研究了压缩映射原理更复杂的形式，随着研究问题的复杂，也使第一章总结出的方法变得更加完善。

第四章，把前几章得到的结论和方法应用到了微分方程和微分方程组的解的存在唯一性上。

虽然只有两个例子，但是获得方法和思想可以用到许多其他的例子上。

第五章，引入概率度量空间的概念，和其中一系列与压缩映射原理有关的概念，结合概率度量空间的一些特殊性质，用前几章的讨论方法，在概率度量空间上讨论压缩映射原理，依次讨论了含随机数的压缩映射原理，在概率度量空间上添加一些条件后的基本压缩映射原理，非线性的压缩映射原理及应用等。

关键词：压缩映射；不动点；概率度量空间；非线性微分方程ABSTRACTIn this paper, a systematic study of the compression mapping principle and some applications, because of the contraction mapping theory is one of the principle in belong to the theory of fixed point, so there are many different forms, this paper mainly discussed used in conventional metric space compression mapping principle, the method of contractive mapping principle in probabilistic metric space. The main contents are as follows:The first chapter is the introduction part, first of all tell the reason why I write this article, and then this paper studies the historical background and development of the problem.The second chapter, this paper introduces the basic form of compression mapping principle, namely the contraction mapping theory, through the analysis of its proof content and methods, understanding the iteration method plays an important role in proof, summarizes a set of generic methods to prove this theorem, still looking for an example, summarizes the way has carried on the proof.The third chapter, in the first chapter summarizes the method of compression mapping principle is studied in the form of more complex, as the research problem of complex, also made the first chapter summarizes the methods become more perfect.The fourth chapter, in the previous chapter conclusion and method is applied to the existence and uniqueness of solution of differential equation and differential equations. Although only two examples, methods and thoughts can be used on many other examples.The fifth chapter, the introduction of the concept of probabilistic metric Spaces, and a series of concepts related to the contraction mapping theory, combined with some special properties of the probabilistic metric Spaces, the use of the previous chapters discuss method, compression mappings in probabilistic metric space principle, in order to discuss the compression mapping principle, containing the random number after adding some conditions in probabilistic metric space basic compression mapping principle, the principle and application of the compression of nonlinear mapping, etc.Key words: compression mapping; The fixed point. Probabilistic metric space; The nonlinear differential equation目录摘要 (I)ABSTRACT.................................................................................................................. I I第一章绪论 (1)1.1写作动机 (1)1.2不动点理论背景知识，历史渊源 (2)1.3压缩映射原理的简介 (3)第二章Banach压缩映射定理的证明思路探究 (6)2.1定理内容和证明 (6)2.2一个例子 (6)2.3本章总结 (8)第三章Banach压缩映射原理的推广 (10)3.1推广的背景： (10)3.2压缩映射原理的一种推广形式及其证明 (10)3.3本章总结 (12)第四章压缩映射原理的应用举例 (13)4.1一类简单积分方程的解的存在与唯一性的证明 (13)4.2积分方程组的解的存在与唯一性证明 (14)4.3本章总结 (16)第五章概率度量空间中的压缩映射原理 (17)5.1基本概念的构造 (17)5.2随机压缩映射原理的构造 (17)5.3概率度量空间的背景知识 (19)5.4概率度量空间中的基本概念 (19)5.5：t 范数的概念及其性质 (21)5.6概率度量空间上的压缩映射原理 (21)5.7概率度量空间上非线性的压缩映射原理 (24)5.8概率度量空间上的压缩映射原理的应用 (26)5.9本章总结 (26)结论 (28)参考文献 (29)第一章绪论1.1写作动机我第一次接触压缩映射原理是在张庆恭和林渠源老师所编写的泛函分析的书上，当时书中应用压缩映射原理瞬间证明出了常微分方程中当时分五步证明的解的存在唯一性定理和数学分析中的隐函数存在定理，这使当时的我感到非常吃惊，在常微分方程和数学分析书中对这两个定理的证明中似乎看不到这两个定理有什么联系，但是一旦应用上了压缩映射原理，就找到了它们的共同点。