平面与平面平行的判定与性质
一、选择题
1．平面α∥平面β，点A 、C ∈α，点B 、D ∈β，则直线AC ∥直线B D 的充要条件是（ ）
A ．A
B ∥CD B ．AD ∥CB
C ．AB 与C
D 相交 D ．A 、B 、C 、D 四点共面
2．“α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要的条件
3．平面α∥平面β，直线a ⊂α，P ∈β，则过点P 的直线中（ ）
A ．不存在与α平行的直线
B ．不一定存在与α平行的直线
C ．有且只有—条直线与a 平行
D ．有无数条与a 平行的直线
4．下列命题中为真命题的是（ ）
A ．平行于同一条直线的两个平面平行
B ．垂直于同一条直线的两个平面平行
C ．若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．
D ．若三直线a 、b 、c 两两平行，则在过直线a 的平面中，有且只有—个平面与b ，c 均平行．
5．已知平面α∥平面β,且α、β间的距离为d ，l ⊂α，l ′⊂β,则l 与l ′之间的距离的取值范围为（ ）
A ．（d ，∞）
B ．（d ，＋∞）
C ．{d}
D ．（0，∞）
6．已知直线a 、b 、c ⊂α，且a ∥β、b ∥β、c ∥β，则“a 、b 、c 到平面β的距离均相等”是“α∥β”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要的条件
7．给出以下命题：
①夹在两个平行平面间的线段，较长的与平面所成的角较小；
②夹在两个平行平面间的线段，如果它们的长度相等，则它们必平行；
③夹在两个平行平面间的线段，如果它的长度相等，则它们与平面所成的角也相等； ④在过定点P 的直线中，被两平行平面所截得的线段长为d 的直线有且只有一条，则两平行平面间的距离也为d
其中假命题共有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．设α∥β，P ∈α，Q ∈β当P 、Q 分别在平面α、β内运动时，线段PQ 的中点X 也随着运动，则所有的动点X （ ）
A ．不共面
B ．当且仅当P 、Q 分别在两条平行直线上移动时才共面
C ．当且仅当P 、Q 分别在两条互相垂直的异面直线上移动时才共面
D ．无论P 、Q 如何运动都共面
二、填空题
9．已知α∥β且α与β间的距离为d ，直线a 与α相交于点A 与β相交于B ，若
d AB 332=
，则直线a 与α所成的角＝___________．
10．过两平行平面α、β外的点P 两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A 、C 两点，交β于B 、D 两点，若P A ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则ＢD 的长为__________．
11．已知点A 、B 到平面α的距离分别为d 与3d ，则A 、B 的中点到平面α的距离为________．
12．已知平面α内存在着n 个点，它们任何三点不共线，若“这n 个点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的充要条件，则n 的最小值为_________．
三、解答题
13．已知平面α∥平面β直线a ∥α，a β，求证：a ∥β．
14．如图，平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，点E 、F 分别在线段A Ｂ、CD 上，且FD CF EB AE ＝，求证：EF ∥平面β．
15．P 是△A ＢC 所在平面外一点，A ′，B ′，C ′分别是△P ＢC 、△PCA 、△P A Ｂ的
重心，
（1）求证：平面A ′Ｂ′C ′∥平面A ＢC ；
（2）求S △A ′Ｂ′C ′∶S △A ＢC ．
16．如图已知平面α∥平面β，线段A Ｂ分别交α、β于M 、N ，线段AD 分别交α、β于C 、D ，线段ＢF 分别交α，β于F 、E ，若AM ＝m ，ＢN ＝n ，MN ＝P ，求△END 与△FMC 的面积之比．
17．如图，已知：平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，AC 与ＢD 为异面直线，
AC ＝6，ＢD ＝8，A Ｂ＝CD ＝10，A Ｂ与CD 成60°的角，求AC 与ＢD 所成的角．
参考答案
一、选择题
1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6．C 7．A 8．D
二、填空题
9．60° 10．12 11．d 或2d 12．5
三、解答题
13．证明：取平面α内一定点A ，则直线a 与点A 确定平面γ，设γ∩α＝b ，γ∩β＝c ， 则由a ∥α得a ∥b ，由α∥β得b ∥c ，于是a ∥c ．
又∵a ⊄β，∴a ∥β．
14．证明：（1）若直线AB 和CD 共面，
∵α∥β，平面ABDC 与α、β分别交于AC 、BC 两直线，
∴AC ∥BD ．又∵EB AE ＝FD CF
，
∴EF ∥AC ∥BD ，∴EF ∥平面β．
（2）若AB 与CD 异面，连接BC 并在BC 上取一点G ，使得EB AE ＝GB CG
，则在△BAC 中，EG ∥AC ，AC ⊂平面α，
∴EG ∥α．又∵α∥β，
∴EG ∥β；同理可得：GF ∥BD ，而BD ⊂β，
又∵GF ∥β．∵EG ∩GF ＝G ，∴平面EGF ∥β，
又∵EF ⊂平面EGF ，∴EF ∥β．
综合（1）（2）得EF ∥β．
15．证明：（1）连接P A ′、PB ′、PC ′，分别交BC 、CA 、AB 于K 、G 、H ，连接GH 、KG 、HK ．
∵B ′、C ′均为相应三角形的重心，
∴G 、H 分别为AC 、AB 的中点，且PG B P '＝PH C P '＝32
，
∴B ′C ′∥GH ，同理A ′B ′∥KG ，A ′B ′∩B ′C ′＝B ′且GH ∩KG ＝G ，
从而平面A ′B ′C ′∥平面ABC ．
（2）由（1）知△A ′B ′C ′∽△KGH ， ∴KGH C B A S S ∆'''∆＝2）（GH C B ''＝94，
又∵S △KGH ＝41S △ABC ，∴S △A ′B ′C ′＝91
S △ABC ，
∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝1∶9．
16．证明：∵α∥β，平面AND 分别交α，β于MC 、ND ，
∴由面面平行的性质定理知，MC ∥ND ，同理MF ∥NE ；又由等角定理：“一个角的两边分
别平行于另一角的两边且方向相同，则两角相等”知：∠END ＝∠FMC ，从而ND MC ＝AN AM ，MF NE ＝BM BN
，
∴ND ＝AM AN ·MC ＝m p m ＋·MC ，NE ＝BM BN
·MF ＝p n n ＋·MF ．
∴S △END ＝21
ND ·NE ·sin ∠END
＝21·m p
m ＋·p n n ＋·MC ·MF ·sin ∠FMC
＝）＋（）
＋（p n m p m n ·S △FMC ．
