随机抽样及方法

随机抽样及方法一、考点解读:（1）理解随机抽样的必要性和重要性；（2）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。

二、知识清单：四、真题剖析：【例1】（2010湖北,6题,5分）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数一次为（）A．26, 16, 8, B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9【答案】B【解析】依题意可知,在随机抽样中,首次抽到003号,以后每隔12个号抽到一个人,则分别是003、015、027、039……构成以3为首项,12为公差的等差数列,故可分别求出在001到300中有25人,在301至495号中共有17人,则496到600中有8人,所以B正确【丢分陷阱】：本题主要考查系统抽样方法．并能转化等差数列的思想【例2】（2010安徽，14题，5分）某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收人家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是________ .【答案】5.7%【解析】该地拥有3套或3套以上住房的家庭可以估计有：户，所以所占比例的合理估计是÷=.5700100000 5.7%【丢分陷阱】：利用题目给出的比例采用分层抽样模型，【方法总结】：本题分层抽样问题,首先根据拥有3套或3套以上住房的家庭所占的比例，得出100 000户，居民中拥有3套或3套以上住房的户数，它除以100 000得到的值，为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计. 【例3】（2010北京,题11,5分）（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。

由图中数据可知a＝_______ 。

若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为 ________ 。

【答案】0.030 3【解析】解：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1，解得a=0.03．由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）=60人． 其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为36118=⨯人 【丢分陷阱】：本题考查1、同时也考查了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等；2、同时考查了频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1【例4】（2009天津，11题，4分）某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。

已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取________ 名学生。

答案 40【解析】 C 专业的学生有4004203801200=--，由分层抽样原理， 应抽取401200400120=⨯名. 【丢分陷阱】：本题考查分层抽样，分层抽样过程中，每个个体被抽到的概率相等，在总体个数，样本容量和每个个体被抽到的概率这三个量中，可以知二求一．【例5】(2009湖南,13题,5分)）一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为281，则总体中的个体数是________ 答案为：40【解析】：设B 层中有n 个个体，∵B 层中甲、乙都被抽到的概率为281 28112=nC ∴0562=--n n ，∴7-=n （舍去），8=n∵总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1∴共有个体（4+1）×8=40【丢分陷阱】：本题是分层抽样的相关知识．容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过．【例6】（2009•广东12题,5分）某单位200名职工的年龄分布情况如下图，现要从中抽取40名职工作样本、用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号， 并按编号顺序平均分为40组（1～5号，6～10号，…，196～200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人． 答案为：37；20【解析】：∵将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组， 由分组可知，抽号的间隔为5，∵第5组抽出的号码为22，∴第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37． 40岁以下的年龄段的职工数为200×0.5=100， 则应抽取的人数为202140=⨯ 【丢分陷阱】：本题考查系统抽样，在系统抽样过程中得到的样本号码是最规则的一组编号，注意要能从一系列样本中选择出来．本题还考查分层抽样，是一个抽样的综合题目五、命题趋势：1．随机抽样问题和实际生活紧密相连，是高考考查的热点之一；多以选择题、填空题的形式出现，属容易题。

２．解决有关随机抽样问题首先要深该理解各种抽样方法的特点和适用范围，如分层抽样，适用于数目较多且各部分之间具有明显差异的总体；3．系统抽样中编号的确定和分层抽样中各层人数的确定是高考重点考查的内容。

六、针对训练:1．（浙江省桐乡一中2011届高三理）从2009名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2009人中剔除9人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2009人中，每人入选的概率( )（A ）不全相等 （B ）均不相等 （C ）都相等，且为200950（D ）都相等，且为401 2．（四川省泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试）从10名男生与5名女生中选出6名学生恰好符合按性别进行分层抽样的概率为（ ） A ．61525410C C C B ．61535310C C C C ．615615A C D ．61525410C A A 3.（2011年临川一中期末卷） 用系统抽样法（按等距离的规则）要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是（ ）A 、7B 、5C 、4D 、324（2004•福建）一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 小组中抽取的号码个位数字与m+k 的个位数字相同．若m=6，则在第7组中抽取的号码是________5．（2008•湖北）一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是________．6（浙江省杭州宏升高复学校2011届高三上学期第三次月考）从某市参加高中数学建模竞赛的1008份试卷中随机抽取一个容量为54的样本，考查竞赛的成绩分布，将样本分成6组，绘成频率分布直方图如图所示，从左到右各小组的小矩形的高的比为1：1：4：6：4：2. 据此估计该市在这次竞赛中，成绩高于85分的学生总人数为 ________ 人.7.（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理）(本题满分13分)某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女同学；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动。

（1）求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；（2）求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率针对训练答案1、【答案】 C.【解析】：∵在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，∴每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是选中，这两个过程是相互独立的，∴每人入选的概率20095020005020092000=⨯=P ，故选C ． 2、【答案】 选A ．【解析】：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从15人中抽取6人，共有615C 种结果，∵从10名男生生与5名女生中选出6名学生组成课外活动小组，∴从男生中抽取4人，从女生中抽取2人，共有25410C C 种结果， ∴符合按性别比例分层抽样的概率41525410C C C p =3、【答案】 B【解析】：由系统抽样知按等距离的规则可看成公差为8，第16项为125的等差数列，求首项8)116(116-+=a a 第一组确定的号码是5．4、【答案】63【解析】：：∵m=6，k=7，m+k=13，∴在第7小组中抽取的号码是63．故答案为：63．5、【答案】10【解析】：由分层抽样方法可知从该部门抽取的工人数满足10100020050=⨯6、【答案】224【解析】：从左到右各小组的小矩形的高的比为1：1：4：6：4：2故[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]各组的频率为181，181，184，186，184，182 则成绩高于85分的学生频率约为1841821842=+⨯ 故成绩高于85分的学生总人数为约2241841008=⨯ 故答案为：2247【解析】：（1）抽取数学小组的人数为2人；英语小组的人数为1人；（2）2101416C C C p ==158；。