数学知识集锦

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识集锦单选题1、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（ ）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3} 答案：A分析：由题知{ba =−1ca=−2，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可. 解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①． 又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−ba (−1)×2=c a ，即{ba =−1ca=−2②． 将①两边同除以a 得：x 2+(b a −2)x +(1+ca −ba )<0③．将②代入③得：x 2−3x <0，解得0<x <3． 故选：A2、不等式1+5x −6x 2>0的解集为（ ） A ．{x |x 〉1或x <−16}B ．{x |−16<x <1} C ．{x |x 〉1或x <−3}D ．{x |−3<x <2} 答案：B分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘−1，再利用十字相乘法，可得答案， 法一：原不等式即为6x 2−5x −1<0，即(6x +1)(x −1)<0，解得−16<x <1，故原不等式的解集为{x |−16<x <1}．法二：当x =2时，不等式不成立，排除A ，C ；当x =1时，不等式不成立，排除D ． 故选：B ．3、若不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则a +b =（ ） A ．−2B ．0C ．1D ．2 答案：D分析：根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案． 不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则方程ax 2+bx −2=0根为−2、1， 则{−ba =−2+1−2a =−2×1，解得a =1,b =1，∴a +b =2， 故选：D4、若关于x 的不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2,5)内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−2,+∞)B ．(3,+∞)C ．(6,+∞)D ．(2,+∞) 答案：D分析：设f(x)=x 2−6x +11，由题意可得a >f(x)min ，从而可求出实数a 的取值范围 设f(x)=x 2−6x +11，开口向上，对称轴为直线x =3，所以要使不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2，5)内有解，只要a >f(x)min 即可， 即a >f(3)=2，得a >2， 所以实数a 的取值范围为(2,+∞)， 故选：D5、若非零实数a ，b 满足a <b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．ab<1B ．ba+ab>2C ．1ab2<1a 2bD ．a 2+a <b 2+b答案：C分析：举出符合条件的特例即可判断选项A ，B ，D ，对于C ，作出不等式两边的差即可判断作答. 取a =−2,b =−1，满足a <b ，而ab =2>1，A 不成立；取a =−2,b =1，满足a <b ，而ba +ab =−12+(−2)=−52<2，B 不成立； 因1ab 2−1a 2b =a−ba 2b 2<0，即有1ab 2<1a 2b ，C 成立；取a =−2,b =−1，满足a <b ，而a 2+a =2,b 2+b =0，即a 2+a >b 2+b ，D 不成立． 故选：C6、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（ ） A ．4×x 0.5≥100B ．4×x 0.5≤100C ．4×x0.5>100D ．4×x0.5<100 答案：C分析：为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间. 导火索燃烧的时间x0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x 0.5m ．由题意可得4×x0.5>100． 故选：C. 7、不等式x−1x+2<0的解集为（ ）A ．{x|x >1}B ．{x|x <−2}C ．{x|−2<x <1}D ．{x|x >1或x <−2} 答案：C解析：由x−1x+2<0等价于(x −1)(x +2)<0，进而可求出不等式的解集. 由题意，x−1x+2<0等价于(x −1)(x +2)<0，解得−2<x <1， 所以不等式x−1x+2<0的解集为{x|−2<x <1}.故选：C.小提示：本题考查分式不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题. 8、下列说法正确的为（ ） A ．x +1x ≥2 B ．函数y =2√x 2+3的最小值为4C ．若x >0,则x(2−x)最大值为1D．已知时，a+4a−3≥2√a⋅4a−3，当且仅当a=4a−3即a=4时，a+4a−3取得最小值8答案：C分析：利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.对于选项A,只有当x>0时，才满足基本不等式的使用条件，则A不正确；对于选项B,y=2√x2+3=2√x2+3=2√x2+3√x2+3√x2+3=t(t≥√3)，即y=2t+2t (t≥√3)在[√3,+∞)上单调递增，则最小值为y min=2√3+√3=8√33,则B不正确；对于选项C,x(2−x)=−(x2−2x+1)+1=−(x−1)2+1≤1，则C正确；对于选项D,当时，a+4a−3=a−3+4a−3+3≥2√(a−3)⋅4a−3+3=7，当且仅当a−3=4a−3时，即a=5，等号成立，则D不正确.故选：C.多选题9、若a,b均为正数，且a+2b=1，则下列结论正确的是（）A．ab的最大值为18B．1a +2b的最小值为9C．a2−b2的最小值为−13D．a2+b2的最小值为15答案：ABD分析：对于A，B，利用均值不等式或“1”的妙用计算判断；对于C，D化成关于b的二次函数即可判断作答. 因a,b均为正数，且a+2b=1，则有ab=12⋅a⋅2b≤12⋅(a+2b2)2=18，当且仅当a=2b=12时取“=”，即ab的最大值为18，A正确；1 a +2b=(a+2b)(1a+2b)=5+(2ba+2ab)≥5+2√2ba⋅2ab=9，当且仅当a=b=13时取“=”，即1a+2b的最小值为9，B正确；3a>3a>显然0<b <12，a 2−b 2=(1−2b)2−b 2=3b 2−4b +1在b ∈(0,12)上单调递减，无最小值，C 不正确；a 2+b 2=(1−2b)2+b 2=5b 2−4b +1=5(b −25)2+15≥15，当且仅当b =25时取“=”，即a 2+b 2的最小值为15，D 正确. 故选：ABD10、已知a >0，b >0，则下列命题成立的有（ ） A ．若ab =1，则a 2+b 2≥2B ．若ab =1，则1a +1b ≥2 C ．若a +b =1，则a 2+b 2≤12D ．若a +b =1，则1a +1b ≥4 答案：ABD分析：利用基本不等式逐项判断.A.若ab =1，则a 2+b 2≥2ab =2，当且仅当a =b =1时，等号成立，故正确；B.若ab =1，则1a+1b ≥2√1ab=2当且仅当a =b =1时，等号成立，故正确；C.若a +b =1，则a 2+b 2≥12(a +b )2=12，当且仅当a =b =1时，等号成立，故错误； D.若a +b =1，则1a +1b =a+b ab=1ab ≥1(a+b 2)2=4，当且仅当a =b =1时，等号成立，故正确；故选：ABD11、（多选）已知a 、b 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ） A ．a +b √ab ≥3B ．(a +b )(1a +1b)≥4 C ．22√ab≥a +b D ．√a+b≥√ab答案：AD分析：A 选项，利用基本不等式a +b ≥2√ab 和2√ab +√ab≥2√2√ab √ab可得出该不等式的正误；B 选项，将不等式左边展开，然后利用基本不等式可验证该选项中的不等式是否成立；C 选项，利用基本不等式a 2+b 2≥(a+b )22以及√ab ≤a+b 2可验证该选项中的不等式是否成立；D 选项，取特殊值验证该选项中的不等式是否成立.对于A ，a +b √ab≥2√ab +√ab≥2√2<3，当且仅当a =b =√22时等号同时成立；对于B ，(a +b )(1a +1b)=2+a b +b a ≥2+2√a b ⋅ba =4，当且仅当a =b 时取等号； 对于C ，22√ab≥22√ab≥(a+b )2a+b=a +b ，当且仅当a =b 时取等号； 对于D ，当a =12，b =13时，√a+b=13√6=√215，√ab =√16，√16>√215，所以√a+b<√ab .故选AD.小提示：本题考查利用基本不等式验证不等式是否成立，再利用基本不等式时要注意条件“一正、二定、三相等”的成立，考查推理能力，属于中等题. 12、下列命题不正确的（ ）A ．1a <1b <0⇒|a|>|b|B ．ac >bc ⇒a >bC ．a 3>b 3ab >0}⇒1a <1bD ．a 2>b 2ab >0}⇒1a <1b 答案：ABD分析：利用不等式的性质，结合特殊值法、比较法逐一判断即可.A ：∵1a <1b <0∴ab >0且−1a >−1b >0，因此−1a ⋅ab >−1b ⋅ab >0⋅ab ， 即−b >−a >0⇒|−b |>|−a |>0⇒|b |>|a |，故本命题不正确； B ：因为4−2>8−2，显然4>8不成立，所以本命题不正确；C ：由a 3>b 3⇒a 3−b 3=(a −b)(a 2+ab +b 2)>0，而ab >0， 所以有a >b ，而1a −1b =b−a ab<0⇒1a <1b ，故本命题正确；D ：若a =−2,b =−1，显然{a 2>b 2ab >0成立，但是1−2<1−1不成立，故本命题不正确，故选：ABD小提示：方法点睛：关于不等式是否成立问题，一般有直接运用不等式性质法、特殊值法、比较法. 13、已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a >b ，c >d ，则a -d >b -c B ．若a >b ，c >d 则ac >bd C ．若ab >0，bc -ad >0，则ca >db D ．若a >b ，c >d >0，则ad >bc答案：AC分析：根据不等式的性质和特殊值法逐项分析可求得答案. 解：由不等式性质逐项分析：A 选项：由c >d ，故−c <−d ，根据不等式同向相加的原则a −d >b −c ，故A 正确B 选项：若a >0>b ，0>c >d 则ac <bd ，故B 错误；C 选项：ab >0，bc −ad >0，则bc−ad ab>0，化简得c a−db>0，故C 正确；D 选项：a =−1，b =−2，c =2，d =1则ad =bc =−1，故D 错误. 故选：AC 填空题 14、函数f(x)=√ax 2+3ax+1的定义域是R ，则实数a 的取值范围为________．答案：[0,49)分析：由题知不等式ax 2+3ax +1>0恒成立，进而分a =0和a ≠0两种情况讨论求解即可. 解：因为函数f (x )的定义域是R . 所以不等式ax 2+3ax +1>0恒成立．所以，当a =0时，不等式等价于1>0，显然恒成立；当a ≠0时，则有{a >0Δ<0，即{a >09a 2−4a <0，解得0<a <49.综上，实数a 的取值范围为[0,49).故答案为: [0,49)15、方程x 2−(2−a )x +5−a =0的两根都大于2，则实数 a 的取值范围是_____． 答案：−5<a ≤−4分析：根据一元二次方程根的分布即可求解.解：由题意，方程x 2－(2－a)x +5－a =0的两根都大于 2， 令f (x )=x 2－(2－a)x +5－a ，可得{△≥0f(2)>02−a 2>2，即{a2≥16a+5>02−a>4，解得－5<a≤－4．所以答案是：−5<a≤−4.16、为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为___________.答案：10≤V≤40分析：根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.第一次操作后，利下的纯药液为V−10，第二次操作后，利下的纯药液为V−10−V−10V×8，由题意可知：V−10−V−10V×8≤V⋅60%⇒V2−45V+200≤0⇒5≤V≤40，因为V≥10，所以10≤V≤40，所以答案是：10≤V≤40解答题17、解关于x的不等式：x2−(3a−1)x+2a2−2a>0．答案：见解析分析：根据条件得[x−(a−1)](x−2a)>0，讨论a−1与2a的大小,求解即可.原不等式可化为[x−(a−1)](x−2a)>0，讨论a−1与2a的大小．（1）当a−1>2a，即a<−1时，不等式的解为{x|x〉a−1或x<2a}；（2）当a−1=2a，即a=−1时，不等式的解为{x∈R|x≠−2}；（3）当a−1<2a，即a>−1时，不等式的解为{x|x〉2a或x<a−1}.综上：当a<−1时，不等式的解为{x|x〉a−1或x<2a}；当a=−1时，不等式的解为{x∈R|x≠−2}；当a>−1时，不等式的解为{x|x〉2a或x<a−1}.18、已知关于x的不等式mx2+5x+m<0，m∈R．（1）若m =2，则求上述不等式的解集；（2）若上述不等式对一切x ∈R 恒成立，则求m 的取值范围． 答案：（1）(−2,−12)；（2）m <−52．分析：（1）代入参数，解一元二次不等式求解集即可；（2）由不等式在x ∈R 上恒成立，讨论m =0、m ≠0，结合二次函数的性质求m 的范围． （1）将m =2代入不等式，得：2x 2+5x +2<0，即(2x +1)(x +2)<0，得−2<x <−12， ∴不等式的解集为(−2,−12)；（2）∀x ∈R,mx 2+5x +m <0恒成立，1）当m =0时，有5x <0，显然不恒成立，舍去；2）当m ≠0时，由二次函数的性质得：{m <0Δ=25−4m 2<0，解得m <−52； ∴综上，有m <−52.。

数学小知识集锦1、算盘是我国劳动人民很早创造的一种计算工具。

但我国最早的计算工具并非算盘,而是“算筹”。

算筹是用、竹或木制成的小棒,用它的多少与纵横排列可以记数,按一定的方法可用它进行多种运算。

早在两千多年前的春秋战国时期,人们就普遍使用它作加、减、乘、除、开方、解方程等运算,这称之为“筹算”.。

用算筹进行这样复杂的运算,在世界数学史上也是最早的。

直到明代,它才被珠算所代替。

我国最早的绘圈工具在小学数学七、九册初步几何知识中,常提到直尺、角尺、三角板、圆规等多种现代绘图工具。

可我国古代最早使用的绘图工具是什么? 我国古代最早使用的绘图工具是“规”和“矩”，“规”就是圆规。

甲骨文中的“规”字,形状象一个人在执规画圆,可见其起源很早。

“矩”由长短两尺合成,相交成直角,有的还连上一杆,使其坚固它是画方形的工具。

2、时间的单位是小时，角度的单位是度，从表面上看，它们完全没有关系。

可是，为什么它们都分成分、秒等名称相同的小单位呢？为什么又都用六十进位制呢？我们仔细研究一下，就知道这两种量是紧密联系着的。

原来，古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了。

譬如研究昼夜的变化，就要观察地球的自转，这里自转的角度和时间是紧密地联系在一起的。

因为历法需要的精确度较高，时间的单位"小时"、角度的单位"度"都嫌太大，必须进一步研究它们的小数。

时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成为它的整数倍。

以1/60作为单位，就正好具有这个性质。

譬如：1/2等于30个1/60，1/3等于20个1/60，1/4等于15个1/60……数学上习惯把这个1/60的单位叫做"分"，用符号"′"来表示；把1分的1/60的单位叫做"秒"，用符号"″"来表示。

数学小知识集锦数学是一门基础学科，涉及到我们生活中的方方面面。

在学习数学的过程中，我们不仅需要掌握各种公式和计算方法，还需要了解一些数学小知识。

这些小知识或许不起眼，但却能够帮助我们更好地理解数学的本质。

本文将为大家介绍一些有趣的数学小知识。

1. 阿基米德的饭盒定理阿基米德的饭盒定理是古希腊数学家阿基米德在研究几何学时提出的。

该定理指出，对于一个凸多面体而言，它的体积等于顶点在这个凸多面体中心做的投影面积的总和。

这个定理可以帮助我们计算一些复杂图形的体积，例如正二十面体、正八面体等。

2. 黄金分割黄金分割是指将一条线段分成两部分，使得整条线段的长度与较大部分的长度之比等于较大部分与较小部分之比。

这个比值约等于 1.618，用希腊字母φ表示。

黄金分割在艺术、建筑和设计中被广泛应用，被认为能够带来美学上的和谐感。

3. 卡塔兰数列在组合数学中，卡塔兰数列是一个非常有趣的数列。

它在计数问题中起着重要的作用，例如排列问题、括号匹配问题等。

卡塔兰数列的递推公式为C(0) = 1，C(n) = (4n-2)/(n+1) * C(n-1)，其中C(n)表示第n个卡塔兰数。

4. 无理数的存在性无理数是指不能用两个整数的比来表示的实数。

例如，根号2、圆周率π都是无理数。

无理数的存在性最早是由古希腊数学家毕达哥拉斯证明的。

他通过反证法来证明根号2是一个无理数，从而推广了我们对实数的认识。

5. 费马大定理费马大定理是代数数论中的一个重要命题，它的内容是在整数域上不存在大于2次方程的n次幂的非平凡整数解。

换句话说，对于大于2的自然数n，方程a^n + b^n = c^n在整数域上没有非零整数解。

这个定理是由法国数学家费马于17世纪提出的，直到1994年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。

6. 平面镶嵌问题平面镶嵌问题是指如何用一些凸多边形将平面填满而不重叠。

这个问题可以追溯到古希腊时期，一直到现代都没有完全解决。

【初中数学】初中数学基础知识集锦大全一、数的基本概念1. 数的分类：自然数、整数、有理数、实数2. 数的比较：大于、小于、等于3. 数的绝对值：正数、0、负数的绝对值4. 数的相反数：相加为0的两个数5. 数轴和数线二、整数运算1. 整数加法和减法2. 整数乘法和除法3. 整数运算规则4. 整数的混合运算5. 整数绝对值运算三、分数与小数1. 分数的定义和表示方法2. 分数的加减法和乘除法3. 分数与整数的转化4. 分数的化简和扩展5. 小数的定义和表示6. 小数的加减法和乘除法四、代数式与多项式1. 代数式的定义和表示方法2. 代数式的运算法则3. 一元多项式的定义和表示4. 多项式的加减法和乘法5. 多项式的因式分解和其应用五、方程与不等式1. 一元一次方程的定义和解法2. 一元一次不等式的定义和解法3. 一元二次方程的定义和解法4. 一元二次不等式的定义和解法5. 多个方程、不等式的联立解法六、几何基础知识1. 点、线、面的基本概念2. 水平、垂直、平行、垂直平分线等的关系3. 角的定义和分类4. 三角形、四边形、多边形的特性5. 圆的定义和基本性质七、计数与概率1. 全排列和组合2. 图形的正方形、矩形、三角形等的组合3. 概率的定义和计算4. 简单事件、复合事件和互斥事件的概率计算5. 概率与统计的应用八、数据分析1. 数据的收集和整理2. 数据的频数、频率和统计量3. 直方图、折线图、饼图的绘制和分析4. 数据的均值、中位数和众数的计算5. 数据的比较和推理以上是初中数学基础知识的集锦，希望能帮助同学们巩固基础知识，为高中数学研究打下坚实的基础。

注意事项：1. 阅读文档时，建议按照顺序进行研究，逐个章节地掌握基础知识。

2. 难点内容可以结合教材内容进行深入研究和练。

3. 研究数学需要进行大量的练，多做题目才能真正掌握知识和技巧。

4. 如有问题或需要更多帮助，请咨询数学老师或向同学进行讨论。