八年级数学竞赛模拟试题一

初二数学竞赛模拟试题（二）满分 120分 班级 姓名一、选择题（共10题，每题4分，共40分）。

1、计算212 × 59的结果是（ ）。

A 、9位数B 、10位数C 、11位数D 、12位数2、某商品的标价比成本价高p ﹪，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d ﹪，则d 可用p 表示为（ ）。

A 、p p +100B 、pC 、p p +100100D 、pp -100100 3、若132=-y x ，则代数式189189---+y x y x 的值为（ ）。

A 、57 B 、75 C 、57或不存在 D 、75或不存在 4、方程1998=+b a 的整数解有（ ）。

A 、无数组B 、4组C 、2组D 、1组5、若012=++a a ，则=+++3200820102012a a a （ ）。

A 、1B 、2C 、3D 、46、如图，一个凸六边形的六个内角都是120°，六条边的长分别为a ，b ，c ，d ，e ，f ，则下列等式中成立的是（ ）。

A 、a ＋b ＋c ＝d ＋e ＋fB 、a ＋c ＋e ＝b ＋d ＋fC 、a ＋b ＝d ＋eD 、a ＋c ＝b ＋d 7、在三边互不相等的三角形中，最长边的长为a ，最长的中线的长为m ，最长的高的长为h ，则下列不等关系中成立的是（ ）。

A 、a ＞m ＞hB 、a ＞h ＞mC 、m ＞a ＞hD 、h ＞m ＞a8、已知a 、b 是正数，且a + b = 2，则4122+++b a 的最小值为（ ）。

A 、13B 、5C 、52+D 、79、已知代数式c bx ax ++2中，a 、b 、c 都是整数，当x ＝3时，该式的值是2008，当x ＝7时，该式的值是2009，这样的代数式有（ ）A 、0个B 、1个C 、10个D 、无穷多个a b c d e f （第6题）10、若0≠xy 且0≠+y x ，y x 11+与y x +成反比，则()2y x +与22y x +（ ）。

初中数学竞赛模拟试卷试题初中数学竞赛模拟试题 (1)一、选择题（每题 6 分，共 30 分）1．方程 (x 2x 1) x 3 1的所有整数解的个数是（）个（ A ）2（B ）3（C ） 4（D ）52．设△ ABC 的面积为 1， D 是边 AB 上一点，且 AD 1．若在边 AC 上取一点 E ，使四边形 DECB 的面积为 3 ，则CE的值为（ AB3）4EA（A ）1（B ）1（C ）1（D ）1DC23453．以下列图，半圆 O 的直径在梯形 ABCD 的底边 AB 上，且与其余三边 BC ，CD ，DA 相切，若 BC ＝2，DA ＝3，则 AB 的长（） A ·B（A ）等于 4 （ B ）等于 5 （ C ）等于 6 （ D ）不能够确定O4．在直角坐标系中， 纵、横坐标都是整数的点， 称为整点。

设 k 为整数， 当直线 y x 2与直线 ykx 4 的交点为整点时，k 的值能够取（）个（A ）8 个 （B ）9 个（C ）7 个（D ）6 个5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4 个队进行单循环竞赛，每场竞赛胜队得 3 分，败队得 0 分，平局时两队各得 1 分．小组赛完后， 总积分最高的 2 个队出线进入下轮竞赛． 如果总积分相同， 还有按净胜球数排序． 一个队要保证出线， 这个队最少要积 （ ）分．（ A ）5（B ）6（C ）7（D ）8二、填空题（每题 6 分，共 30 分）6．当 x 分别等于1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1， 1 ，2000 ，2001，2002 ，2005 2004 2003 2002 2001 20002003 ， 2004 ， 2005 时，计算代数式x 2 的值，将所得的结果相加，其和等1 x2于．7．关于 x 的不等式 ( 2a b) x ＞ a 2b 的解是 x ＜ 5，则关于 x 的不等式 ax b ＜ 0 的解为．28．方程 x 2px q 0 的两根都是非零整数，且Ap q 198 ，则 p ＝．F 9．以下列图， 四边形 ADEF 为正方形， ABCD 为等腰直角三角形， D 在 BC 边上，△ ABC 的面积等于98，BD ∶ DCBDC＝ 2∶ 5．则正方形 ADEF 的面积等于．E10．有n 个数x1， x2，⋯，x n，它每个数的只能取0， 1，－ 2 三个数中的一个，且 x1 x2 ⋯x n 5 ， x12 x22 ⋯x n2 19 ，x15 x52 ⋯x5n的是．三、解答（每小15 分，共60 分）11．如，凸五形ABCDE 中，已知S△ABC＝ 1，且EC∥ AB ，AD ∥ BC，BE ∥CD，CA ∥ DE ， DB ∥ EA．求五形ABCDE 的面．DE CFA B12．在正数范内，只存在一个数是关于x 2 kx 3x 的方程3x k 的解，求数kx 1的取范．13．如，一次函数的象点P（ 2，3），交 x 的正半与 A ，交 y 的正半与B，求△ AOB 面的最小．yBPO A x14．预计用 1500 元购买甲商品x 个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价 1.5 元，乙商品每个涨价 1 元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10 个，总金额仍多用29 元．又若甲商品每个只涨价 1 元，并且购买甲商品的数量只比预定数少 5 个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5 元．（ 1）求x、y的关系式；（ 2）若预计购买甲商品的个数的 2 倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y的值．参照答案一、选择题1．C 2．B3． B 4．A 5．C二、填空题6． 6 7． x 8 8．－ 202 9． 116 10．－ 125 三、解答题11．∵ BE ∥ CD ， CA ∥ DE ， DB ∥ EA ， EC ∥AB ， AD ∥ BC ，∴ S △BCD ＝ S △CDE ＝ S △DEA ＝ S △EAB ＝ S △ACB ＝ S △ACF ＝ 1．设 S △ AEF ＝ x ，则 S △DEF ＝ 1 x ，又△ AEF 的边 AF 与△ DEF 的边 DF 上的高相等， 因此，DE 1 x，而△ DEF ∽△ ACF ，则有AFxS DEF2(1 x) 2DF1 x ．S ACFAFx 25 1整理解得 x．2故 S△ △55 ．ABCDE ＝ 3S ABC ＋ S AEF ＝212．原方程可化为 2x 23x (k 3) 0，①（ 1）当△＝ 0 时， k33 x 23 满足条件；， x 14812（ 2）若 x 1是方程①的根，得 2 3 1 (k3) 0 ， k4 ．此时方程①的另一个根为1，故原方程也只有一根 x1 ；22 k 3（ 3）当方程①有异号实根时，x 1 x 20 ，得 k3 ，此时原方程也只有2一个正实数根；（ 4）当方程①有一个根为 0 时， k3 ，另一个根为 x3，此时原方程也只有一2个正实根。

初中数学竞赛模拟试题文／安振平苟春鹏第一试（共70分）一、选择题（每小题7分，共42分）1.ａ、ｂ、ｃ、ｄ都是实数．若｜ａ＋ｂ｜＝4，｜ｃ＋ｄ｜＝2，且｜（ａ－ｃ）＋（ｂ－ｄ）｜＝（ｃ－ａ）＋（ｄ－ｂ），则ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ的最大值是（）．Ａ．6 Ｂ．2 Ｃ．－2 Ｄ．－62．若实数ｘ、ｙ满足ｘ２＋ｙ２－ｘｙ－ｙ＋ｘ＜0，则有（）．Ａ．ｘ２＋ｙ２＜1 Ｂ．ｘ２＋ｙ２＝1Ｃ．ｘ２＋ｙ２＞1 Ｄ．ｘ２＋ｙ２≥13．如图1，ＡＢＣＤＥ是正五边形，ＡＰ、ＡＱ和ＡＲ是由Ａ向ＣＤ、ＣＢ和ＤＥ（或延长线）所引的垂线．设Ｏ是正五边形的中心，ＯＰ＝1，则ＡＯ＋ＡＱ＋ＡＲ等于（）．图1Ａ．3 Ｂ．1＋Ｃ．4 Ｄ．2＋4．已知△ＡＢＣ的两边长分别为2和4，且有一个内角等于30°，则这个三角形是（）．Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．直角三角形或钝角三角形5.正三角形ＡＢＣ的高等于⊙Ｏ的半径，⊙Ｏ在ＡＢ上滚动，切点为Ｔ，⊙Ｏ交ＡＣ、ＢＣ于Ｍ、Ｎ则（）．图1Ａ．在0°～30°变化Ｂ．在30°～60°变化Ｃ．在60°～90°变化Ｄ．保持60°不变6．已知实数ａ、ｂ、ｃ满足ａ２＋ａｂ＋ａｃ＜0，则关于ｘ的方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝0（）． Ａ．有两个不同的实根Ｂ．有两个相等的实根Ｃ．无实数根Ｄ．以上都不对二、填空题（每小题7分，共28分）1．设ｘ、ｙ、ｚ为3个非零实数，则（ｘ／｜ｘ｜）＋（｜ｙ｜／ｙ）＋（ｚ／｜ｚ｜）＋（ｘｙ／｜ｘｙ｜）＋（｜ｙｚ｜／ｙｚ）＋（ｚｘ／｜ｚｘ｜）＋（｜ｘｙｚ｜／ｘｙｚ）＝_______．2．折叠矩形纸片ＡＢＣＤ，先折出折痕（对角线）ＢＤ，再折叠使ＡＤ边与对角线ＢＤ重合，得折痕ＤＧ（图3）．若ＡＢ＝2，ＢＣ＝1，则ＡＧ＝_________．图33．某种商品，当出售价格是15元时卖出500个，价格每上涨1元，卖出的个数就要减少20个，要使售货金额取得最大值，价格应定为__________元．4．在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝75°，Ｐ点是ＢＣ边上的一点，且ＰＣ＝2ＢＰ，∠ＡＰＣ＝60°，则∠ＡＢＣ＝_________．第二试（共70分）一、（本题满分20分）如，ＯＭ是⊙Ｏ的半径，ＡＢ切⊙Ｏ于Ｍ，连结ＯＡ、ＯＢ交⊙Ｏ于Ｃ、Ｄ两点，且ＡＣ＝ＢＤ，求证：ＡＭ＝ＢＭ．图4二、（本题满分25分）解方程组＝10，①＝10．② 三、（本题满分25分）设ｘ、ｙ、ｚ为任意实数，求证：≥．参考答案第一试一、选择题1．选Ｃ．由｜ａ＋ｂ｜＝4，得ａ＋ｂ＝±4，由｜ｃ＋ｄ｜＝2，得ｃ＋ｄ＝±2．∴｜（ａ－ｃ）＋（ｂ－ｄ）｜＝（ｃ－ａ）＋（ｄ－ｂ），即｜（ａ＋ｂ）－（ｃ＋ｄ）｜＝（ｃ＋ｄ）－（ａ＋ｂ），∴ｃ＋ｄ＞ａ＋ｂ，则ｃ＋ｄ必等于±2，ａ＋ｂ必等于－4，∴ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ等于－2或－6．故ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ的最大值为－2．2．选Ａ．对已知不等式两边乘以2，得0＞2ｘ２＋2ｙ２－2ｘｙ－2ｙ＋2ｘ＝（ｘ２＋ｙ２－1）＋［ｘ２＋ｙ２＋1２－2ｘｙ－2ｙ＋2ｘ］＝（ｘ２＋ｙ２－1）＋（ｘ－ｙ＋1）２，即ｘ２＋ｙ２－1＜－（ｘ－ｙ＋1）２≤0．∴ｘ２＋ｙ２＜1．3．选Ｃ．∵Ｓ△ＡＣＤ＋Ｓ△ＡＢＣ＋Ｓ△ＡＤＥ＝Ｓ正五边形ＡＢＣＤＥ＝5Ｓ△ＣＯＤ，即（1／2）ＣＤ²ＡＰ＋（1／2）ＢＣ²ＡＱ＋（1／2）ＥＤ²ＡＲ＝5²（1／2）ＣＤ²ＯＰ．由ＣＤ＝ＢＣ＝ＤＥ，有ＡＰ＋ＡＱ＋ＡＲ＝5ＯＰ．又ＯＰ＝1，ＡＰ＝ＡＯ＋ＯＰ，∴ＡＯ＋1＋ＡＲ＋ＡＱ＝5，即ＡＯ＋ＡＱ＋ＡＲ＝4．4．选Ｄ．不妨设ＡＣ＝2，ＢＣ＝4，此题没有明确哪一个内角等于30°，因此三个内角都有可能等于30°，所以分以下三种情况：（第4题）①如图（1），当∠Ａ＝30°时，由ＢＣ＞ＡＣ得∠Ｂ＜∠Ａ，∴∠Ｂ＜30°，而且∠Ｃ＞120°，即△ＡＢＣ是钝角三角形；②如图（2），当∠Ｂ＝30°时，过点Ｃ作ＣＡ⊥ＡＢ，垂足为Ａ′，在Ｒｔ△Ａ′ＢＣ中，∵∠Ｂ＝30°，∴ＢＣ＝2Ａ′Ｃ，∵ＢＣ＝4，ＡＣ＝2，即ＢＣ＝2ＡＣ，∴ＡＣ＝Ａ′Ｃ，即Ａ′与Ａ重合．故∠Ａ＝90°，∴△ＡＢＣ是直角三角形．③如图（3），当∠Ｃ＝30°时，∵ＡＢ＞ＢＣ－ＡＣ，ＢＣ－ＡＣ＝2＝ＡＣ，∴ＡＢ＞ＡＣ，∴∠Ｂ＜∠Ｃ，于是有∠Ｂ＜30°，∴∠Ａ＞120°，即△ＡＢＣ是钝角三角形． 综合①、②、③得这个三角形是直角三角形或钝角三角形．5．选Ｄ．延长ＢＣ交⊙Ｏ于Ｇ，过Ｃ、Ｏ作⊙Ｏ的直径ＥＦ交⊙Ｏ于Ｅ、Ｆ，设ＣＡ交⊙Ｏ于M，连ＭＧ交ＥＦ于Ｐ（参看右图）．（第5题）由已知得ＥＦ∥ＡＢ，∠ＥＣＭ＝∠Ａ＝60°，∠ＥＣＧ＝∠Ｂ＝60°，∴∠ＥＣＭ＝∠ＥＣＧ＝60°．由于ＥＦ是⊙Ｏ的直径，由轴对称性质得ＥＧ＝ＥＭ，ＧＭ⊥ＣＥ．从而∠ＢＧＭ＝30°，∴＝60°．6．选Ａ．Δ＝ｂ２－4ａｃ，当ｃ＝0时，Δ＞0显然成立．下设ｃ≠0，将已知变形为ａ（ａ＋ｂ＋ｃ）＜0，即说明ａ与ａ＋ｂ＋ｃ异号．构造函数ｆ（ｘ）＝ｃｘ２＋ｂｘ＋ａ．∵ｆ（0）＝ａ，ｆ（1）＝ａ＋ｂ＋ｃ，∴ｆ（ｘ）的图象（抛物线）与ｘ轴有两个交点，故判别式Δ＝ｂ２－4ａｃ＞0．综上知，ｂ２＞4ａｃ．二、填空题1．填－1或7．设所求代数式的值为Ｓ，则Ｓ＝（ｘ／｜ｘ｜）＋（｜ｙ｜／ｙ）＋（ｚ／｜ｚ｜）＋（ｘ／｜ｘ｜）²（ｙ／｜ｙ｜）＋（｜ｙ｜／ｙ）²（｜ｚ｜／ｚ）＋（ｚ／｜ｚ｜）²（ｘ／｜ｘ｜）＋（｜ｘ｜／ｘ）²（｜ｙ｜／ｙ）²（｜ｚ｜／ｚ）＝（ｘ／｜ｘ｜）＋（ｙ／｜ｙ｜）＋（ｚ／｜ｚ｜）＋（ｘ／｜ｘ｜）²（ｙ／｜ｙ｜）＋（ｙ／｜ｙ｜）²（ｚ／｜ｚ｜）＋（ｚ／｜ｚ｜）²（ｘ／｜ｘ｜）＋（ｘ／｜ｘ｜）²（ｙ／｜ｙ｜）²（ｚ／｜ｚ｜）＝（（ｘ／｜ｘ｜）＋1）（（ｙ／｜ｙ｜）＋1）（（ｚ／｜ｚ｜）＋1）－1 （∵（ａ／｜ａ｜）＝｜ａ｜／ａ）．因为对任意实数ａ≠0，有ａ／｜ａ｜1 （ａ＞0），－1 （ａ＜0），所以当ｘ、ｙ、ｚ中至少有一个为负数时，Ｓ的值是－1；当ｘ、ｙ、ｚ均为正数时，Ｓ的值是7． 2．填（＋1）／2．（第2题）如图，设折叠后点Ａ落在ＢＤ上Ａ′点的位置，并设ＡＧ＝ｘ，则Ａ′Ｇ＝ｘ，ＤＡ′＝ＤＡ＝ＢＣ＝1，ＧＢ＝2－ｘ，且ＧＡ′⊥ＢＤ．∵ＢＤ＝＝，∴Ａ′Ｂ＝－1．在Ｒｔ△ＢＧＡ′中，Ａ′Ｇ２＋Ａ′Ｂ２＝ＧＢ２．解得ＡＧ＝ｘ＝（＋1）／2．3．填8000．设每个提价ｘ元，总金额为ｙ，则有ｙ＝500（15＋ｘ）－20ｘ（15＋ｘ）＝－20ｘ２＋200ｘ＋7500＝－20（ｘ－5）２＋8000．显然当ｘ＝5时，ｙ有最大值8000．因此要使销售金额最大，售出价格应定为15＋5＝20元，此时最大金额为8000元．4．填45°．（第4题）如图，过点Ｃ作ＣＱ⊥ＡＰ，连结ＢＱ．由∠ＡＰＣ＝60°，∠ＡＣＢ＝75°，得∠ＣＡＱ＝45°．∵ＡＱ＝ＣＱ，又∠ＰＣＱ＝30°，∴ＰＱ＝（1／2）ＰＣ＝ＢＰ．则∠ＱＢＰ＝∠ＰＱＢ＝∠ＰＣＱ＝30°．∴ＢＱ＝ＡＱ＝ＣＱ，∠ＡＢＱ＝∠ＢＡＱ＝15°，则∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＱ＋∠ＱＢＰ＝15°＋30°＝45°．第二试一、如图，设ＡＭ＝ｘ，ＢＭ＝ｙ，ＯＭ＝ｒ，延长ＡＯ交⊙Ｏ于Ｅ，延长ＢＯ交⊙Ｏ于Ｆ．由切割线定理，得ＡＭ２＝ＡＣ²ＡＥ，ＢＭ２＝ＢＤ²ＢＦ，即（第一题）ｘ２＝ＡＣ（ＡＯ＋ＯＥ）＝ＡＣ（＋ＯＥ）＝ＡＣ（＋ｒ），①ｙ２＝ＢＤ（ＢＯ＋ＯＦ）＝ＢＤ（＋ＯＦ２）＝ＢＤ（＋ｒ）．② ∵ＡＣ＝ＢＤ，∴由①÷②，得ｘ２／ｙ２＝（＋ｒ）／（＋ｒ），即ｘ２－ｙ２＝（ｙ２－ｘ２）ｒ．两边平方，整理得ｘ２＋2ｒ２＋ｙ２＝2．将上式两边平方，整理得（ｘ２－ｙ２）２＝0．∴ｘ２－ｙ２＝0，ｘ＝ｙ，故ＡＭ＝ＢＭ．二、由①得－5＝－＋5，分子有理化，得16（ｘ－1）／（＋5）＝－9（ｙ－1）／（＋5）．③对①－②的变形式－＝－，作分子有理化，得（ｘ－1）／（＋）＝（ｙ－1）／（＋）．④ 由③³④，得16（ｘ－1）２／（＋5）（＋）＝－9（ｙ－1）２／（＋5）（＋）．⑤注意到⑤的左端非负，而右端非正，故有ｘ－1＝0，且ｙ－1＝0，∴ｘ＝ｙ＝1．三、在平面上建立坐标系ｘＯｙ，并取三个点Ａ（ｘ，0），Ｂ（－ｙ／2，－（／2）ｙ），Ｃ（－ｚ／2，（／2）ｚ），则｜ＡＢ｜＝＝，｜ＡＣ｜＝＝，｜ＢＣ｜＝＝．∵｜ＡＢ｜＋｜ＡＣ｜≥｜ＢＣ｜，∴≥．。

八年级学科能力大赛数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分。

每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．（3分）如果“爱”、“我”、“中”、“华”这四个汉字分别代表一个非零个位数，对于运算符号“★”有：爱我中华★1＝我爱中华：爱我中华★2＝中华我爱，那么1234★1★2＝（）A．4312B．3412C．4321D．34212．（3分）已知，则a的取值范围是（）A．a≤0B．a＜0C．0＜a≤1D．a＞03．（3分）已知x是实数，则的值是（）A．B．C．D．无法确定的4．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，有两块全等的含30°角的三角板拼成形状不同的平行四边形，最多可以拼成（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（3分）如果不等式组的解集是x＜2，那么m的取值范围是（）A．m＝2B．m＞2C．m＜2D．m≥27．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC 的面积为（）A．12B．10C．8D．68．（3分）如图所示，表示一次函数y＝ax+b与正比例函数y＝abx（a，b是常数，且ab≠0）的图象是（）A．B．C．D．9．（3分）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x＝64时，输出的y等于（）A．2B．8C．D．10．（3分）如果a+b＜0，且b＞0，那么a2与b2的关系是（）A．a2≥b2B．a2＞b2C．a2≤b2D．a2＜b211．（3分）若x，y为实数，且，则的值为（）A．1B．2011C．﹣1D．﹣201112．（3分）如图所示，函数y1＝|x|和y2＝x+的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜2C．x＞2D．x＜﹣1或x＞2二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）如图是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC方向平移BE距离就得到此图，已知AB＝8cm，BE＝4cm，DH＝3cm．则图中阴影部分的面积是．14．（3分）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝，如3※2＝．那么12※4＝．15．（3分）如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6cm，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分面积等于cm2．16．（3分）把（1﹣a）根号外的因式移入根号内，化简后的结果是．17．（3分）假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座，租金400元；乙种客车每辆车有50个座，租金480元．则租用该公司客车最少需用租金元．18．（3分）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠F AC＝60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE＝60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是．三、解答题（共5小题，满分46分.解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤。