2017年八年级数学竞赛试题

全国初中数学联赛初二卷及详解————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷第一试一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1.已知实数a,b,c 满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（ ）. A.2 B.1 C.0 D.-1 2.已知实数a,b,c 满足a+b+c=1，1110135a b c ++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（ ）. A.125 B.120 C.100 D.813.若正整数a,b,c 满足a ≤b ≤c 且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（ ）. A.4 B.3 C.2 D.14.已知正整数a,b,c 满足a 2-6b-3c+9=0，-6a+b 2+c=0，则a 2+b 2+c 2的值为（ ）. A.424 B.430 C.441 D.4605.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（ ）. A.1023 B.1033C.32D.33 6.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（ ）.A.56B.58C.60D.62二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.使得等式311a a ++=成立的实数a 的值为________.8.已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________.9.设a,b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.第二试一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.三、（本题满分25分）已知a,b,c是不全相等的正整数，且55a bb c++为有理数，求222a b ca b c++++的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）.A.2B.1C.0D.-1答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程.解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以312b ca b+=+.2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，111135a b c++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.81答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.解析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，111x y z++=，∴xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 =100.3. 若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.1答案：B对应讲次：所属知识点：数论思路：先通过a≤b≤c且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证. 解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c)≤6c，即ab≤6，显然a=1或2.若a=1，则bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组.若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=52，不是整数舍去，共1个好数组.共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).4. 已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.A.424B.430C.441D.460答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：由已知等式消去c整理后，通过a,b是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.解析：联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75，则3(b-1)2≤75，即1≤b≤6.当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a；当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入验证满足原方程.因此，a=9，b=6，c=18，则a2+b2+c2=441.5. 梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.A.1023B.1033C.32D.33答案：A对应讲次：所属知识点：平面几何思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析：作AE∥DC，AH⊥BC，则ADCE是平行四边形，则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB，则△ABE 是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，经计算可得423AH =. 所以梯形ABCD 的面积为()14210214233⨯+⨯=.6. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（ ）.A.56B.58C.60D.62 答案：B 对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt △EAD 中去，利用勾股定理求解.解析：作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，将△CDF 绕点C 逆时针旋转90°至△CGB ，则ABCF 为正方形，可得△ECG ≌△ECD ，∴EG=ED. 设DE=x ，则DF=BG=x-28，AD=98-x.在Rt △EAD 中，有422+(98-x)2=x 2，解得x=58.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.使得等式311a a ++=成立的实数a 的值为________.答案：8 对应讲次： 所属知识点：方程思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.解析：易得()3211aa ++=.令1x a =+，则x ≥0，代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0，解得x 1=0, x 2=3, x 3=-1，舍负，即a=-1或8，验证可得a=8.8. 已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________. 答案：20° 对应讲次： 所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况. 解析：∵θ≤100°-C ，θ≤C-B ，θ≤B-A ∴θ≤16［3（100°-C ）+2(C-B)+(B-A)］=20°又当A=40°,B=60°,C=80°时，θ=20°可以取到. 则θ的最大值为20°.9. 设a,b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.答案：7 对应讲次： 所属知识点：数论思路：因为p 是质数，只能拆成1和p ，另一方面通过a+b 、a 、b 两两互质来拆分38ab a b+的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.解析：因为a,b 互质，所以a+b 、a 、b 两两互质，因为38ab a b +质数，所以318ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=b=1，p=4，不是质数舍；381ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=7，b=1，p=7，符合题意.则p=7.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 答案：34 对应讲次： 所属知识点：数论思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析：设该正整数列为()20,*n a n n N ≤∈，考虑()16,,,14,*k k k i i i k i ka a a k k N ++==≤∈∑∑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分 20 分）设A,B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果A 2-B 2是完全平方数，求A 的值. 答案：65 对应讲次： 所属知识点：数论思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab 设为10a+b ，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果. 解析：设A=10a+b(1≤a,b ≤9,a,b ∈N)，则B=10b+a ，由A,B 不同得a ≠b ，A 2-B 2=（10a+b ）2-(10b+a)2=9×11×（a+b ）(a-b).………5分由A 2-B 2是完全平方数，则a ＞b ，()()11|a b a b +-，可得a+b=11， ………10分 a-b 也是完全平方数，所以a-b=1或4.………15分若a-b=1，则a=6，b=5； 若a-b=4，则没有正整数解. 因此a=6，b=5，A=65.………20分二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，BE ⊥DE ，CF ⊥DF ，P 为AD 与EF 的交点.证明：EF=2PD.对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为EF 、PD 都在△DEF 中，所以想办法推出其性质，比较容易得出∠EDF=90°，此时若能得出EF=PD ，则自然可以得到结论.解析：由DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，可得∠EDF=90°. ………5分 由BE ⊥DE 得BE ∥DF ，则∠EBD=∠FDC.………10分又BD=DC ，∠BED=∠DFC=90°，则△BED ≌△DFC ，BE=DF . ………15分 得四边形BDFE 是平行四边形，∠PED=∠EDB=∠EDP ，EP=PD. ………20分 又△EDF 是直角三角形，∴EF=2PD.………25分三、（本题满分 25 分）已知a,b,c 是不全相等的正整数，且55a bb c ++为有理数，求222a b c a b c ++++的最小值. 答案：3对应讲次：所属知识点：数论思路：通过a,b,c 是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.注意到50b c -≠，可以通过分母有理化来实现分离，再利用a,b,c 互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值. 解析：50b c -≠，由()()()2222255555555a b b c ab bc b ac a b b c b c b c +--+-⋅+==--+是有理数，可得b 2=ac. …10分 ()()22222a c b a b c a c b a b c a c b +-++==+-++++. ………15分 不妨设a ＜c ，若a=1，c=b 2，因为a ≠b ，则a+c-b=1+b(b-1)≥3，取等号当且仅当b=2时. ………20分若a ≥2，因为c ≠b ≠1，则a+c-b=a+b(b-1)≥a+2≥4＞3. 所以222a b c a b c++++的最小值为3，当a=1，b=2，c=4时. ………25分。

新安县2017年初中数学竞赛试卷八年级温馨提示：1.本试卷共8页，三大题，满分150分。

考试时间100分钟。

2.答卷前请将密封线内的项目写清楚。

一、选择题（每小题4分，满40分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后的小括号内1.计算（－2）100＋（－2）99所得的结果是（）A.－2B.2C.－299D.2992.若△ABC 的三边a ，b ，c 满足a²＋b²＋c²＋50＝6a ＋8b ＋10c ，则△ABC 是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形3.的解为（） A.0 B.1 C.2 D.34.一个多边形的外角中，钝角的个数不可能是（）A.1个B.2个C.3个D.4个5.2014年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行.童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利到家.其中x 表示童童从家出发后所用的时间，y 表示童童离家的距离.下图能反映y 与x 的函数关系的大致图象是（）6.一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100题号一二三总分数1-1011-202122232425分数得分评卷人+++-x x x x 11212x x +0144=++x x千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，问：江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时，则可列方程（）A. B.C. D.7.如图所示，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ，AE ＝AF ，结论：①EM ＝FN ；②CD ＝DN;③∠FAN ＝∠EAM ；④△ACN ≌△ABM.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个8.在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 边上的高AD ＝12，则△ABC 的周长为（）A.42B.32C.42或32D.37或339.已知关于x 的一次函数y ＝m x ＋2m －7在－1≤x ≤5上的函数值总是正数，则m 的取值范围是（）A.m ＞7B.m ＞1C.1≤m ≤7D.都不对10.若x 取整数，则使分式的值为整数的x 的值有（）A.3个 B.4个 C.6个D.8个二、填空题（每小题4分，满40分）11.如图所示，把△ABC 绕点C 顺时针旋转35°，得到△A 1B 1C，A 1B 1交AC 于点D，若∠A 1DC=90°，则∠A=.得分评卷人1236-+x x xx -=+306030100306030100-=+x x xx +=-306030100306030100+=-x x12.已知直线L 经过点（2,0）和点（0，4），把直线L 向左平移2个单位，得到直线L´，则直线L´的解析式为.13.已知x ²－3x ＋1＝0，则x ²＋的值为.14.等腰三角形底边长为5，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3，则腰长为.15.函数y 1＝x （x ≥0），y 2＝（x ＞0）的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点的坐标为（2,2）②当x＞2时，y ＞y 1；③当x＝1时，BC＝3；④当x 逐渐增大时，y 1随x 的增大而增大，y 2随x 的增大而减小.其中正确结论的序号是.16.（1）1²－2²＋3²－4²＋5²－6²＋7²－8²＋9²－10²的值为（2）已知实数a、b、x、y 满足ax－by=3，ay＋bx＝8，则（a²＋b²）（x²＋y²）的值为.17.如右图所示，D、E 分别是△ABC 边AB，BC 上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADF 的面积为S 1，△CEF 的面积为S 2，若S ABC △＝6，则S 1－S 2＝.18.图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为cm.19.方程2x²＋5xy＋2y²＝2007的所有不同的整数解共有组.20.已知双曲线y=.如图，点P 是x 轴正半轴的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PA 交双曲线于点A，连接OA，当点P 在x 轴的正方向上运动时，Rt△AOP 的面积为.在x 轴上的点P 的右侧有一点D，过点D 作x 轴的垂线交双曲x4x121x2线于点B，连接BO 交AP 于C，设△AOC 的面积是S 1，梯形BCPD 的面积是S 2，则S 1与S 2的数量关系是；设△AOB 的面积是S 3，梯形BAPD 的面积为S 4，则S 3与S 4的数量关系是.三、解答题（共5个小题，满70分）21.（10分）已知实数x²-x-1=0，求（）÷的值得分评卷人121+---x x x x 12222++-x x xx22.（15分）如图所示，长方形ABCD 中，AD＝8cm，CD＝4cm.（1）若点P 是边AD 上的一个动点，当P 在什么位置时PA＝PC？（2）在（1）中，有PA＝PC，Q 是AB 边上的一个动点，若AQ＝时，QP与PC 垂直吗？为什么？41523.（15分）已知整数a,b,c使等式（x＋a）（x＋b）＋c（x－10）＝（x－1）（x ＋1）对于任意x均成立，求c的值.24.（15分）种子商店销售“黄金一号”玉米种子，为惠民促销，推出两种销售方案供采购者选择：方案一：每千克种子价格为4元，无论购买多少均不打折；方案二：购买3千克以内（含3千克）的价格为每千克5元，若一次性购买超过3千克的，则超过3千克的部分的种子价格打7折.（1）请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量x（千克）和付款金额y（元）之间的函数关系式；（2）若你去购买一定量的种子，你会怎样选择方案？说明理由.25.（15分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.（1）求证：CE=CF；（2）将图中的△ADE沿AB向右平移到△A1D1E1的位置，使点E1落在BC边上，其他条件不变.试猜想：BE1与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论.21新安县2017年初中数学竞赛试卷八年级参考答案及评分标准一、选择题（每小题4分，共40分）1-5DBADA6-10ACCAB二、填空题（每小题4分，共40分）11.55°12.y＝－2x 13.714.815.①③④16.-55,7317.118.6323+19.420.S 1＝S 2S 3＝S 4三、解答题（满分70分）21.解：原式=÷.……8分∵x ²－x －1＝0，∴x ＋1＝x ²，∴原式＝1.……10分22.解（1）点P 的位置在AD 上，且在离A 点5cm 处.………7分（2）QP⊥PC.理由：QP²＝AP²＋AQ²＝5²＋（）²=，CQ²＝BQ²＋BC²＝（4－）2＋8²＝，因为QP²＋PC²＝，所以QP ⊥PC.23.解：由于等式变形得x ²＋（a ＋b ＋c ）x ＋ab －10c ＝x ²-1，则{……5分ab＋10（a＋b）＋1＝0，ab＋10（a＋b）＋100＝99，（a＋10）（b＋10）＝99，………10分由于99＝±1×（±99）＝±9×（±11）＝±3×（±33），∴有或或则c ＝－80，120,0，40，－16,56.24.解：（1）方案一：y=4x ，方案二：y=……9分（2）当0＜x ＜9时，选择方案一；当x ＝9时，选择两种方案都可以；当x ＞9时，选择方案二.……15分25.（1）略……8分（2）相等.提示：过点E 作EG ⊥AC 于G ，则ED=EG 。

2017 年全国初中数学联合竞赛（初二决赛）试题参考答案及评分标准明：卷，依据本分准. 和填空只 7 分和 0 分两档；解答，格按照本分准定的分档次分,不要再增加其他中档次. 如果考生的解答方法和本解答不同 , 只要思路合理 , 步正确 ,在卷参照本分准划分的档次, 予相的分数 .一、 (本分 42 分，每小7 分 )1、 C2、D3、 A4、 B5、 C6、 B二、填空（本分28 分，每小7 分）7、 238、 75°9、13或填）10、 1625(0.52三、（本共三小，第11 20分，第12、 13 各 25 分，分 70分）11. 已知关于x的方程x21 a 有且有两个解，求数 a 的取范.解：由已知必有 a0 ，由原方程得：x21a（ 1）；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分若 a1， x 21 a ，此方程（1）有两解，原方程也有两解；⋯⋯10 分若 0a1，此方程（1）的解： x 3 a ， x3a ， x 1 a ， x 1 a ，要使原方程只有两解，四个解中必有两个解相等 . 若x 3 a 3 a ，得 a0 ，此x 1a1 a ，故原方程有两解；若 x3a1a，得 a1（舍去），若 x 3a1a ，得 a1，此方程有三个解，不符合要求；然3a1a， 3 a 1 a 。

故此 a0原方程有两解 .上， a 0 或 a 1原方程有两解.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯20 分12. 如 , 已知等腰直角三角形ABC中， B 90 ,D BC的中点， E 段 AC上一点，且EDC ADB .求BE ED的.BD解：点 C 作 BC 的垂交 DE 的延于点F， AF. 易△ ABD ≌△ FCD.∴AD=FD. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分易四形 ABCF 是正方形，∴ AB=AF.⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分易△ ABE ≌△ AFE ，∴ FE=BE. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分-1-∴ AD=FD=DE+EF= BE +ED.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯20 分∴ BE ED AD 5. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯25 分BD BD13.从的自然数1， 2，⋯， 2017 中可以取出n个不同的数，使所取出的n 个不同的数中任意三个数之和都能被21 整除．求n的最大．解： a 、b、 c 、d是所取出的任意四个数．由意有a b c21m ，a b d21n ，其中，m、n正整数．所以，c d 21( m n) ．上式表明，所取出的数中任意两数之差是21的倍数，即所取的每个数除以21 所得的余数相同．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分个余数 k ，于是，a21a1 k ， b21b1k ， c 21c1 k ，其中， a1、 b1、c1是整数，0k2110 分．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯a b c21(a1b1c1 ) 3k ．因a b c 能被21整除，所以，3k能被 21整除，即 k能被 7 整除．因此，k =0，7或14．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15 分当 k0 ，可取21， 42， 63，⋯， 2016 共 96 个数，符合意；当 k7 ，可取7，28， 49，⋯， 2002 共 96 个数，符合意；当 k14 ，可取14， 35， 56，⋯， 2009 共 96 个数，符合意⋯⋯⋯⋯⋯20 分上所述， n 的最大是96．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯25 分-2-。

1班级：_______________ 姓名：_______________2017年春学期八年级数学竞赛试题1一．选择题（每小题5分，共25分）21．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BD 是角平分线，若CD=m ，AB=2n ，则△3ABD 的面积是 （ ）4 A ．mn B ．5mn C ．7mn D ．6mn56 7 8 9102．若满足不等式205﹣2（2+2x ）＜50的最大整数解为a ，最小整数解为b ，11则a+b 之值为何？ （ ）12 A ．﹣15 B ．﹣16 C ．﹣17 D ．﹣18133．如图，△ABC 中，D 、E 两点分别在AC 、BC 上，DE 为BC 的中垂线，BD 为14∠ADE 的角平分线．若∠A=58°，则∠ABD 的度数为何？ （ ）15 A ．58 B ．59 C ．61 D ．62164．若不等式组的解集为x ＜2m ﹣2，则m 的取值范围是（ ）17A ．m ≤2B ．m ≥2C ．m ＞2D ．m ＜2185．如图，直线y=﹣x+m 与y=nx+4n （n ≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x19的不等式﹣x+m ＞nx+4n ＞0的整数解为 （ ）20 A ．﹣1 B ．﹣5 C ．﹣4 D ．﹣32122 23 二．填空题（每小题5分，共25分） 246．已知不等式组，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如25图所示，则b ﹣a的值为 ．2627 7．如图，△ABC 中，∠A=80°，∠B=40°，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，28连结DC ，如果AD=3，BD=8，那么△ADC 的周长为 ． 29 303132 第1题233348．如图，△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，AB=3，BC=5，P 是折线BAC35上动点（不与B ，C 重合），过P 作BC 的垂线l 交BC 于D ，连接AD ．当△ACD 是36 等腰三角形时，BP 的长是 ．37 9．如图，AB=12，CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，且AC=4m ，P 点从B 向A 运动，38每分钟走1m ，Q 点从B 向D 运动，每分钟走2m ，P 、Q 两点同时出发，运动 分39 钟后△CAP 与△PQB 全等．40 10．若（m+1）x |m|+2＞0是关于x 的一元一次不等式， 41则m= ．42 43 44 三．解答题（每题10分，共50分）4511．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠46A=22.5°，斜边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，点47 F在AC 上，点E 在BC 的延长线上，CE=CF ，连接BF ，48 DE ．线段DE 和BF 在数量和位置上有什么关系？并说明理49 由．5051 52 53 54 55 12．如图，四边形ABCD 中，∠B=90°，AB ∥CD ，M 为BC 边上的一点，且AM56平分∠BAD ，DM 平分∠ADC ．求证：57 （1）AM ⊥DM ；（2）M 为BC 的中点．58 5960 61 62 6364 65 15．某校高一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还66有21人无房住；若每间住7人，则有一间不空也不满，已知住宿生少于55人，67 求住宿生人数． 68697071727313．如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分74线EN交BC于E，DM与EN相交于点F75（1）若△CMN的周长为20cm，求AB的长；76（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．7778798081828314．为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A、84B两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A型污水处理85设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2 86台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B 87型污水处理设备每周可以处理污水1080吨．88 （1）求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？89（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水90的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？91最少是多少？9293943952017年04月11日noname的初中数学组卷96参考答案与试题解析9798一．选择题（共5小题）991．（2017春•兰陵县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平100分线，若CD=m，AB=2n，则△ABD的面积是（）101102A．mn B．5mn C．7mn D．6mn103【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可104得DE=CD，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．105【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，106∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，107∴DE=CD=m，108 ∴△ABD的面积=×2n×m=mn，109故选：A．1101111122．（2016•台湾）如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，DE为BC的113中垂线，BD为∠ADE的角平分线．若∠A=58°，则∠ABD的度数为何？（）114115A．58 B．59 C．61 D．62116【分析】根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义得到∠1=∠2=∠3，求117出∠4和∠C，根据三角形内角和定理计算即可．118【解答】解：∵BD是∠ADE的角平分线，119∴∠1=∠2，1204∵DE是BC的中垂线，121∴∠2=∠3，122∴∠1=∠2=∠3，又∠1+∠2+∠3=180°，123∴∠1=∠2=∠3=60°，124∴∠4=∠C=90°﹣60°=30°，125∴∠ABD=180°﹣∠A﹣∠4﹣∠C=180°﹣58°﹣30°﹣30°=62°．126故选：D．1271281293．（2016•台湾）若满足不等式20＜5﹣2（2+2x）＜50的最大整数解为a，130最小整数解为b，则a+b之值为何？（）131A．﹣15 B．﹣16 C．﹣17 D．﹣18132【分析】根据不等式20＜5﹣2（2+2x）＜50可以求得x的取值范围，从而可133以得到a、b的值，进而求得a+b的值．134 【解答】解：∵20＜5﹣2（2+2x）＜50，135解得，，136∵不等式20＜5﹣2（2+2x）＜50的最大整数解为a，最小整数解为b，137∴a=﹣5，b=﹣12，138∴a+b=（﹣5）+（﹣12）=﹣17，139故选C．1401414．（2016•大庆校级自主招生）若不等式组的解集为x＜2m﹣2，则142m的取值范围是（）143A．m≤2 B．m≥2 C．m＞2 D．m＜2144【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据不等式和不等式组解集145得出m≥2m﹣2，求出即可．146【解答】解：，147由①得：x＜2m﹣2，1485由②得：x＜m，149∵不等式组的解集为x＜2m﹣2，150∴m≥2m﹣2，151∴m≤2．152故选A．1531545．（2014•孝感）如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为155﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为（）156157A．﹣1 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3158【分析】满足不等式﹣x+m＞nx+4n＞0就是直线y=﹣x+m位于直线y=nx+4n 159的上方且位于x轴的上方的图象，据此求得自变量的取值范围即可．160【解答】解：∵直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，161∴关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n的解集为x＜﹣2，162 ∵y=nx+4n=0时，x=﹣4，163∴nx+4n＞0的解集是x＞﹣4，164∴﹣x+m＞nx+4n＞0的解集是﹣4＜x＜﹣2，165∴关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为﹣3，166故选：D．167168二．填空题（共5小题）1696．（2016•句容市一模）如图，△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，BC的垂直平170分线交AB于点D，连结DC，如果AD=3，BD=8，那么△ADC 的周长为19 ．171172【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据三角形内角和定理和173等腰三角形的性质证明CA=CD=DB=8，根据三角形周长公式计算即可．174【解答】解：∵BC的垂直平分线交AB于点D，175∴DB=DC，1766∴∠DCB=∠B=40°，177∵∠A=80°，∠B=40°，178∴∠ACB=60°，179∴∠ACD=20°，180∴∠ADC=80°，181∴CA=CD=DB=8，182∴△ADC的周长=AD+AC+CD=19，183故答案为：19．1841857．（2016•驻马店模拟）如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，AB=3，186BC=5，P是折线BAC上动点（不与B，C重合），过P作BC的垂线l交BC于D，连187接AD．当△ACD是等腰三角形时，BP 的长是或．188189【分析】作AE⊥BC于E，由等腰三角形的性质得出BE=CE=BC=，分两种190 情况：①当DC=AC=3时，BD=BC﹣DC=2，证出PD∥AE，得出△PBD∽BE，得出对应191边成比例，即可得出结果；192②当DA=DC时，由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=∠DAC，证出△DAC∽△ABC，193得出比例式求出DC，得出BD，再证明△PBD∽△ABE，得出对应边成比例，即可得194出结果．195【解答】解：作AE⊥BC 于E，如图所示：196∵AB=AC，197∴BE=CE=BC=，198分两种情况：199①当DC=AC=3时，BD=BC﹣DC=5﹣3=2，200∵PD⊥BC，201∴PD ∥AE，202∴△PBD∽△ABE，203∴，即，204解得：BP=；2057②当DA=DC时，∠C=∠DAC，206∵AB=AC，207∴∠B=∠C，208∴∠B=∠C=∠DAC，209∴△DAC∽△ABC，210∴，即，211解得：DC=，212∴BD=BC﹣DC=5﹣=，213∵PD⊥BC，214∴PD∥AE，215∴△PCD∽△ACE，216∴，即，217解得：PD=，218∴PB==；219故答案为：或．2202212228．（2016秋•玉田县期末）如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，223P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同224时出发，运动 4 分钟后△CAP与△PQB全等．225226【分析】设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12 227﹣x）m，分两种情况：①若BP=AC，则x=4，此时AP=BQ，△CAP≌△PBQ；②若BP=AP，228则12﹣x=x，得出x=6，BQ=12≠AC，即可得出结果．229【解答】解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，23089∴∠A=∠B=90°，231设运动x 分钟后△CAP 与△PQB 全等； 232则BP=xm ，BQ=2xm ，则AP=（12﹣x ）m ， 233分两种情况： 234①若BP=AC ，则x=4， 235AP=12﹣4=8，BQ=8，AP=BQ ， 236∴△CAP ≌△PBQ ； 237②若BP=AP ，则12﹣x=x ， 238解得：x=6，BQ=12≠AC ， 239此时△CAP 与△PQB 不全等；240综上所述：运动4分钟后△CAP 与△PQB 全等；241故答案为：4．242243 9．（2016•烟台）已知不等式组，在同一条数轴上表示不等式①，244②的解集如图所示，则b ﹣a的值为．245246 【分析】根据不等式组，和数轴可以得到a 、b 的值，从而可以247得到b ﹣a的值．248 【解答】解：，249由①得，x ≥﹣a ﹣1， 250由②得，x ≤b ，251由数轴可得，原不等式的解集是：﹣2≤x ≤3， 252∴，253解得，，254∴，255故答案为：．256257 10．（2016春•榆林校级月考）若（m+1）x |m|+2＞0是关于x 的一元一次不等258式，则m= 1 ．259【分析】根据一元一次不等式的定义可知m+1≠0，|m|=1，从而可求得m的260值．261【解答】解：∵（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，262∴m+1≠0，|m|=1．263解得：m=1．264故答案为：1．265266三．解答题（共5小题）26711．（2017春•崇仁县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，268斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CF，269连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．270271【分析】连接BD，延长BF交DE于点G，根据线段的垂直平分线的性质得到272AD=BD，求出∠CBD=45°，证明△ECD≌△FCB，根据全等三角形的性质解答即可．273 【解答】解：DE=BF，DE⊥BF．理由如下：274连接BD，延长BF交DE于点G．275∵点D在线段AB的垂直平分线上，276∴AD=BD，277∴∠ABD=∠A=22.5°．278在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=22.5°，279∴∠ABC=67.5°，280∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=45°，281∴△BCD为等腰直角三角形，282∴BC=DC．283在△ECD和△FCB中，284，285∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），286∴DE=BF，∠CED=∠CFB．28710∵∠CFB+∠CBF=90°，288∴∠CED+∠CBF=90°，289∴∠EGB=90°，即DE⊥BF．29029129212．（2016秋•宁江区期末）如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M 293为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：294（1）AM⊥DM；295（2）M为BC的中点．296297【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定298义得到∠MAD+∠ADM=90°，根据垂直的定义得到答案；299 （2）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM=MN，MN=CM，等量代换得到答300案．301【解答】解：（1）∵AB∥CD，302∴∠BAD+∠ADC=180°，303∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，304∴2∠MAD+2∠ADM=180°，305∴∠MAD+∠ADM=90°，306∴∠AMD=90°，307即AM⊥DM；308（2）作NM⊥AD交AD于N，309∵∠B=90°，AB∥CD，310∴BM⊥AB，CM⊥CD，311∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，312∴BM=MN，MN=CM，313∴BM=CM，31411即M为BC的中点．31531631713．（2016秋•宝应县期中）如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC 318于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F319（1）若△CMN的周长为20cm，求AB的长；320（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．321322【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到MA=MC，NB=NC，根据三角形323的周长公式计算即可；324（2）根据四边形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠A+∠B=70°，由∠325MCA=∠A，∠NCB=∠B，计算即可．326 【解答】解：（1）∵DM是AC边的垂直平分线，327∴MA=MC，328∵EN是BC边的垂直平分线，329∴NB=NC，330AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周长=20cm；331（2）∵MD⊥AC，NE⊥BC，332∴∠ACB=180°﹣∠MFN=110°，333∴∠A+∠B=70°，334∵MA=MC，NB=NC，335∴∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，336∴∠MCN=40°．33733814．（2016•凉山州）为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理339厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，340每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型341污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水34212处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨．343（1）求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？344（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水345的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？346最少是多少？347【分析】（1）根据1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以348处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理349污水1080吨，可以列出相应的二元一次方程组，从而解答本题；350（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到购买方案，从而可以351算出每种方案购买资金，从而可以解答本题．352【解答】解：（1）设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，B型污353水处理设备每周每台可以处理污水y吨，354355解得，356即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周357每台可以处理污水200吨；358（2）设购买A型污水处理设备x台，则购买B型污水处理设备（20﹣x）台，359 则360解得，12.5≤x≤15，361第一种方案：当x=13时，20﹣x=7，花费的费用为：13×12+7×10=226万元；362第二种方案：当x=14时，20﹣x=6，花费的费用为：14×12+6×10=228万元；363第三种方案；当x=15时，20﹣x=5，花费的费用为：15×12+5×10=230万元；364即购买A型污水处理设备13台，则购买B型污水处理设备7台时，所需购买365资金最少，最少是226万元．36636715．（2016春•衡阳县期中）某校高一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，368若每间住4人，则还有21人无房住；若每间住7人，则有一间不空也不满，已知369住宿生少于55人，求住宿生人数．370【分析】假设宿舍共有x间，则住宿生人数是4x+21人，若每间住7人，则371有一间不空也不满，说明住宿生若住满（x﹣1）间，还剩的人数大于或等于1人372且小于7人，所以可列式1≤4x+21﹣7（x﹣1）＜7，解出x的范围分别讨论．373【解答】解：设有宿舍x间．住宿生人数 4x+21人．374由题意得 4x+21＜55，37513∴x＜8.53761≤4x+21﹣7（x﹣1）＜7377解得 7＜x≤9．378∴7＜x＜8.5．379因为宿舍间数只能是整数，所以宿舍是8间．380当宿舍8间时，住宿生53人，381答：住宿生53人．38238314。

2017年八年级上学期数学练习一、选择题（本大题共10小题，共30分）1.已知1x −1y=5，则分式2x+3xy−2yx−2xy−y的值为( )A. 1B. 5C. 137D. 1332.如果满足条件“∠ABC=30∘，AC=1，BC=k(k>0)”的△ABC是唯一的，那么k的取值时( )A. 0<k≤1或k=2B. k=2C. 1<k<2D. 0<k≤13.下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的是( )A. 15x B. 1x+1C. 1x+1D. x+2x4.若(9+x2)(x+3)( )=81−x4，则括号内应填入的代数式为( )A. x−3B. 3−xC. 3+xD. x−95.若要使分式2x+2(x+1)2的值为整数，则整数x可取的个数为( )A. 5个B. 2个C. 3个D. 4个6.正三角形ABC中，BD=CE，AD与BE交于点P，∠APE的度数为( )A. 45∘B. 55∘C. 60∘D. 75∘7.3(22+1)(24+1)(28+1)…(232+1)+1的个位数是( )A. 4B. 5C. 6D. 88.如图，△ABC中，∠ABC=45∘，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD=CD；②AD+CF=BD；③CE=12BF；④AE=BG.其中正确的是( )A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④9.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：(1)PM=PN恒成立；(2)OM+ON的值不变；(3)四边形PMON的面积不变；(4)MN的长不变，其中正确的个数为( )A.4B. 3C. 2D. 110.如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ//AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60∘.其中正确的结论的个数是( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题（本大题共6小题，共18分）11.若分式方程xx−1+m1−x=2无解，则m=______．12.若实数x满足x2−2x−1=0，则2x3−7x2+4x−2017=______13.现有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，再用水补满，这时，桶中纯农药与水的体积之比为3：5，则桶的容积为______ 升.14.如图，△ABC和△FPQ均是等边三角形，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，点P在AB边上，连接EF、QE.若AB=6，PB=1，则QE= ______ ．15.若二次三项式x2−px+6在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值是______ ．16.如图，分别以五边形的各个顶点为圆心，1cm长为半径作圆，则图中阴影部分的面积为______ cm2．三、解答题（17-18每题8分，19-21每题10分，22每题12分，23每题14分共72分）17先化简，再求值：(x2−2x+1x−x +x2−4x+2x)÷1x，且x为满足−3<x<2的整数。

2017年四川赛区全国初中数学联赛(初二组)决赛试卷及逐题详解2017年四川赛区全国初中数学联赛（初二组）决赛试卷及逐题详解考试时间：2017年3月26日上午8:45—11:15）姓名成绩复核人一二三四五合计一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、六位朋友一起去吃饭，实行AA制，即大家均摊费用。

因为小王忘了带钱，所以其他人每人多付了5元钱，这顿饭共花费钱为（）A、90元B、120元C、150元D、180元2、若关于x的不等式组x m92x 1的整数解共有5个，则实数m的取值范围是（）A、8≤x＜9B、8＜x≤9C、9≤x＜10D、9＜x≤103、如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E是AB边的中点，F是BC上的动点，将△EFB沿着EF所在直线折叠得到△EFB'，连接DB'，则DB'的最小值是（）A、10-1B、3C、13-1D、24、已知三角形的边长分别为a,b,13，且a,b为整数，a<b<13，则(a,b)的组数共有是（）A、26组B、30组C、36组D、49组5、已知△ABC中，AB=210，BC=6，AC=2，点M是BC 的中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则BD=（）A、1B、1361C、3132D、136、已知非零实数满足x+y+z=2，x2+y2+z2=2，则2107年全国初中数学联赛（初二决赛）试题第1页共1页111x2+y2+z222=y+2017z+2017x+2017xy+yz+zx的值为（）A、1或3B、1或-3C、-1或3D、1或3二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）7、已知a=1122，则2a-5ab+2b的值为，b=2+32-38、如图，梯形ABCD中，AD//BC，AC,BD相交于点M，且AB=AC，AB⊥AC，BC=BD，则∠AMB的度数为9、从0,1,2,3,4,5这六个数中任选两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数为偶数的概率为10、如图，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=BC=10，点D,E在线段BC上，且CD=2，BE=5，点P,Q分别在线段AC,AB上的动点，则四边形PQED周长的最小值为三、解答题（本大题共三个小题，第11题20分，第12，13题各25分，满分70分）11、已知关于x的方程x-2-1=a有仅有两个解，求实数a的取值范围。

2017年全国初中数学联合竞赛试题（初二）第一试一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1.已知实数,,a b c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则32b ca b++的值为（ ） A .2 B . 1 C . 0 D .1- 2.已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1110135a b c ++=+++，则()()()222135a b c +++++的值为（ ）A . 125B . 120C . 100D . 813.若正整数,,a b c 满足a b c ≤≤且()2abc a b c =++，则称(),,a b c 为好数组.那么好数组的个数为（ ）A . 4B . 3C . 2D . 14.已知正整数,,a b c 满足26390a b c --+=，260a b c -++=，则222a b c ++的值为（ ） A .424 B . 430 C . 441 D . 4605.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AB =，4BC =，2CD =，1AD =，则梯形的面积为（ ） ABC. D.6.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，点E 在AB 上，若42AE =，28BE =，70BC =，45DCE ∠=︒，则DE 的值为（ ）A . 56B . 58C . 60D . 62二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.=a 的值为________.8.已知ABC 的三个内角满足100A B C <<<︒.用θ表示100,,C C B B A ︒---中的最小者，则θ的最大值为________.9.设,a b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.第二试一、（本题满分 20 分）设,A B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果22A B -是完全平方数，求A 的值.二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分ADB ∠，DF 平分ADC ∠，BE DE ⊥，CF DF ⊥，P 为AD 与EF 的交点.证明：2EF PD =.三、（本题满分 25 分）已知,,a b c 是不全相等的正整数，求222a b c a b c ++++的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷参考答案第一试一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1.已知实数,,a b c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则32b ca b++的值为（ ） A .2 B . 1 C . 0 D .1- 【答案】B【思路】因为所求分式的特点可以想到把2a b +，3b c +看成一个整体变量求解方程. 【解析】已知等式可变形为()()223390a b b c +++=，()()32372a b b c +++=，解得218a b +=，318b c +=，所以312b ca b+=+. 2.已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1110135a b c ++=+++，则()()()222135a b c +++++的值为（ ）A . 125B . 120C . 100D . 81 【答案】C 【思路】换元法【解析】设1x a =+，3y b =+，5z c =+，则10x y z ++=，1110x y z++=， 0xy xz yz ∴++=，由()()22222100x y z x y z xy xz yz ++=++-++=.则()()()222135100a b c +++++=.3.若正整数,,a b c 满足a b c ≤≤且()2abc a b c =++，则称(),,a b c 为好数组.那么好数组的个数为（ ）A . 4B . 3C . 2D . 1 【答案】B【思路】先通过a b c ≤≤且()2abc a b c =++的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证.【解析】若(),,a b c 为好数组，则()26abc a b c c =++≤，即6ab ≤，显然1a =或2. 若1a =，则()21bc b c =++，即()()226b c --=，可得()(),,1,3,8a b c =或()1,4,5，共2个好数组.若2a =，则2b =或3，可得2,4b c ==；53,2b c ==，不是整数舍去，共1个好数组. 共3个好数组()()()(),,1,3,8,1,4,5,2,2,4a b c =.4.已知正整数,,a b c 满足26390a b c --+=，260a b c -++=，则222a b c ++的值为（ ） A .424 B . 430 C . 441 D . 460 【答案】C【思路】由已知等式消去c 整理后，通过,a b 是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.【解析】联立方程可得()()2293175a b -+-=，则()23175b -≤，即16b ≤≤. 当1,2,3,4,5b =时，均无与之对应的正整数a ；当6b =时，9a =，符合要求，此时18c =，代入验证满足原方程. 因此，9a =，6b =，18c =，则222441a b c ++=.5.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AB =，4BC =，2CD =，1AD =，则梯形的面积为（ ） ABC. D.【答案】A【思路】通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.【解析】作AE ∥DC ，AH ⊥BC ，则ADCE 是平行四边形，则3BE BC CE BC AD AB =-=-==， 则ABE 是等腰三角形，3BE AB ==，2AE =，经计算可得AH =. 所以梯形ABCD 的面积为()1142⨯+. 6.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，点E 在AB 上，若42AE =，28BE =，70BC =，45DCE ∠=︒，则DE 的值为（ ）A . 56B . 58C . 60D . 62【答案】B【思路】补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt △EAD 中去，利用勾股定理求解.【解析】作CF △AD ，交AD 的延长线于点F ，将CDF 绕点C 逆时针旋转90︒至CGB ，则ABCF 为正方形，可得ECG △ECD ，EG ED ∴=. 设DE x =，则28DF BG x ==-，98AD x =-. 在RtEAD 中，有()2224298x x +-=，解得58x =.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分） 7.=a 的值为________. 【答案】8【思路】通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.【解析】易得(321a =.令x ，则0x ≥，代入整理可得()()2310x x x -+=，解得1230,3,1x x x ===-，舍负，即1a =-或8，验证可得8a =.8.已知△ABC 的三个内角满足100A B C <<<︒.用θ表示100,,C C B B A ︒---中的最小者，则θ的最大值为________. 【答案】20︒【思路】一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况.【解析】100C θ≤︒-，C B θ≤-，B A θ≤-()()()131002206C C B B A θ∴≤︒-+-+-=︒⎡⎤⎣⎦ 又当40,60,80A B C =︒=︒=︒时，20θ=︒可以取到. 则θ的最大值为20︒.9.设,a b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.【答案】7【思路】因为p 是质数，只能拆成1和p ，另一方面通过a b +、a 、b 两两互质来拆分38ab a b+的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.【解析】因为,a b 互质，所以a b +、a 、b 两两互质，因为38ab a b +质数，所以318ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得1a b ==，4p =，不是质数舍； 381ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得7a =，1b =，7p =，符合题意. 则7p =.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 【答案】34【思路】考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.【解析】设该正整数列为()20,*n a n n N ≤∈，考虑()16,,,14,*k k k i i i k i ka a a k k N ++==≤∈∑∑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34. 由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分 20 分）设,A B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果22A B -是完全平方数，求A 的值.【思路】对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab 设为10a b +，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果.【解析】设()101,9,,A a b a b a b N =+≤≤∈，则10B b a =+，由,A B 不同得a b ≠，()()()()22221010911A B a b b a a b a b -=+-+=⨯⨯+-.由22A B -是完全平方数，则a b >，()()11|a b a b +-，可得11a b +=，a b -也是完全平方数，所以1a b -=或4.若1a b -=，则6a =，5b =； 若4a b -=，则没有正整数解. 因此6a =，5b =，65A =.二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分ADB ∠，DF 平分ADC ∠，BE DE ⊥，CF DF ⊥，P 为AD 与EF 的交点.证明：2EF PD =.【思路】因为EF 、PD 都在DEF 中，所以想办法推出其性质，比较容易得出90EDF ∠=︒，此时若能得出EP PD =，则自然可以得到结论.【解析】由DE 平分ADB ∠，DF 平分ADC ∠，可得90EDF ∠=︒. 由BE DE ⊥得BE △DF ，则EBD FDC ∠=∠.又BD DC =，90BED DFC ∠=∠=︒，则BED △DFC ，BE DF =. 得四边形BDFE 是平行四边形，PED EDB EDP ∠=∠=∠，EP PD =. 又△EDF 是直角三角形，2EF PD ∴=.三、（本题满分 25 分）已知,,a b c 是不全相等的正整数，求222a b c a b c ++++的最小值.【思路】通过,,a b c 是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.0c -≠，可以通过分母有理化来实现分离，再利用,,a b c 互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.0c -≠)()22222555bcab bc bac b c b c +--+-==--可得2b ac =.()()22222a c ba b c a c b a b c a c b+-++==+-++++.不妨设a c <，若1a =，2c b =，因为a b ≠，则()113a c b b b +-=+-≥，取等号当且仅当2b =时.若2a ≥，因为1c b ≠≠，则()1243a c b a b b a +-=+-≥+≥>.所以222a b c a b c++++的最小值为3，当1a =，2b =，4c =时.。

2017-2018学年新时代学校八年级（上）竞赛数学试卷一、选择题（每小题7分，共56分）．1．a、b、c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc=7，则a﹣c等于（）A．﹣1 B．﹣1或﹣7 C．1 D．1或72．用数码2、4、5、7组成的四位数中，每个数码只出现一次．将所有这些四位数从小到大排列，则排在第13个的四位数是（）A．4527 B．5247 C．5742 D．72453．1989年，我国的GDP（国民生产总值）只相当于英国的53.3%，目前已相当于英国的81%，如果英国目前的GDP是1989年的m倍，那么我国目前的GDP约为1989年的（）A．1.5倍B．1.5m倍C．27.5倍D．m倍6．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个7．边长分别是3、5、8的三个正方体被粘合在一起，在这些用各种方式粘合在一起的立体中，表面积最小的那个立体的表面积是（）A．570 B．502 C．530 D．5388．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论中正确的是（）A．AB﹣AD＞CB﹣CDB．AB﹣AD=CB﹣CDC．AB﹣AD＜CB﹣CDD．AB﹣AD与CB﹣CD的大小关系不确定二、填空题（每小题7分，共84分）9．多项式x2+y2﹣6x+8y+7的最小值为．11．如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是mm，则该主板的周长为mm．12．某学校建了一个无盖的长方体水箱，现在用一个半径为r的圆形砂轮打磨内壁和箱底，则砂轮磨不到的部分的面积为为．13．α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算（α+β+γ）的值时，有三位同学分别算出了23°、24°、25°这三个不同的结果，其中只有一个是正确的答案，则α+β+γ=°．14．设a为常数，多项式x3+ax2+1除以x2﹣1所得的余式为x+3，则a=．15．在△ABC中，高BD和CE所在直线相交于O点，若△ABC不是直角三角形，且∠A=60°，则∠BOC=．17．已知a+b+c=0，a＞b＞c，则的取值范围是．19．有A、B、C三种不同型号的电池，它们的价格各不相同．有一笔钱可买A型4只，B型18只，C 型16只；或A型2只，B型15只，C型24只；或A型6只，B型12只，C型20只．如果将这笔钱全部用来购买C型号的电池，则能买只．20．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2，则五边形ABCDE的面积为．2017-2018学年新时代学校八年级（上）竞赛数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题7分，共56分）以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内．1．a、b、c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc=7，则a﹣c等于（）A．﹣1 B．﹣1或﹣7 C．1 D．1或7【考点】因式分解的应用；因式分解﹣分组分解法．【分析】此题先把a2﹣ab﹣ac+bc因式分解，再结合a、b、c是正整数和a＞b探究它们的可能值，从而求解．【解答】解：根据已知a2﹣ab﹣ac+bc=7，即a（a﹣b）﹣c（a﹣b）=7，（a﹣b）（a﹣c）=7，∵a＞b，∴a﹣b＞0，∴a﹣c＞0，∵a、b、c是正整数，∴a﹣c=1或a﹣c=7故选D．2．用数码2、4、5、7组成的四位数中，每个数码只出现一次．将所有这些四位数从小到大排列，则排在第13个的四位数是（）A．4527 B．5247 C．5742 D．7245【考点】排列与组合问题．【分析】首先找到以2开头的四位数的个数，然后再找到以4开头的四位数的个数，这些数共有12个，则第13个数从5开头，找出这个最小的四位数即可．【解答】解：千位上是2的四位数的个数有3×2×1=6个，千位上是4的四位数的个数有3×2×1=6个，即可知排在第13个四位数是千位上是5，又知这些从小到大排列，第13个数为5247，故选B．3．1989年，我国的GDP（国民生产总值）只相当于英国的53.3%，目前已相当于英国的81%，如果英国目前的GDP是1989年的m倍，那么我国目前的GDP约为1989年的（）A．1.5倍B．1.5m倍C．27.5倍D．m倍【考点】列代数式．【分析】可以把英国1989年的GDP看作单位1，然后分别表示我国目前的GDP和1989年的GDP，求比即可．【解答】解：根据题意得：我国目前的GDP约为1989年的m≈1.5m倍．故选B．4．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】本题是开放性试题，根据题意，画出图形结合求解．【解答】解：第1个点在AC上，作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，则有PA=PB；第2个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP=AB，交AC延长线上于点P；第3个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP=AB，在上边于CA延长线上交于点P；第4个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP=BA，与AC的延长线交于点P；第5个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP=BA，与BC在左边交于点P；第6个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP=AB，与BC在右边交于点P；∴符合条件的点P有6个点．故选C．5．边长分别是3、5、8的三个正方体被粘合在一起，在这些用各种方式粘合在一起的立体中，表面积最小的那个立体的表面积是（）A．570 B．502 C．530 D．538【考点】几何体的表面积．【分析】先求出边长分别是3、5、8的三个正方体的表面积的和，再减去边长是3的两个正方形的面积和的4倍、边长是5的两个正方形的面积和的2倍，即为所求．【解答】解：（3×3+5×5+8×8）×6﹣（3×3）×4﹣（5×5）×2=98×6﹣9×4﹣25×2=588﹣36﹣50=502．故选B．6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论中正确的是（）A．AB﹣AD＞CB﹣CDB．AB﹣AD=CB﹣CDC．AB﹣AD＜CB﹣CDD．AB﹣AD与CB﹣CD的大小关系不确定【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．【分析】在AB上截取AE=AD，则易得△AEC≌△ADC，则AE=AD，CE=CD，则AB﹣AD=BE，放在△BCE 中，根据三边之间的关系解答即可．【解答】解：如图，在AB上截取AE=AD，连接CE．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，又AC是公共边，∴△AEC≌△ADC（SAS），∴AE=AD，CE=CD，∴AB﹣AD=AB﹣AE=BE，BC﹣CD=BC﹣CE，∵在△BCE中，BE＞BC﹣CE，∴AB﹣AD＞CB﹣CD．故选A．二、填空题（每小题7分，共84分）7．多项式x2+y2﹣6x+8y+7的最小值为﹣18．【考点】完全平方式；非负数的性质：偶次方．【分析】将原式配成（x﹣3）2+（y+4）2﹣18的形式，然后根据完全平方的非负性即可解答．【解答】解：原式=（x﹣3）2+（y+4）2﹣18，当两完全平方式都取0时原式取得最小值=﹣18．故答案为：﹣18．8．如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是mm，则该主板的周长为96mm．【考点】矩形的性质．【分析】题目中是一个多边形，求周长应把图中的多边形分成各个矩形求解或把多边形变为整体一个矩形求解即可．【解答】解：如图：矩形的长为24mm，AB+CD+GH+EF+4=24．∵GD=HE=4．∴矩形的周长为24+GD+HE+20+24+16+4=96mm．故答案为：96．9．某学校建了一个无盖的长方体水箱，现在用一个半径为r的圆形砂轮打磨内壁和箱底，则砂轮磨不到的部分的面积为为12r2﹣3πr2．．【考点】面积及等积变换．【分析】首先理解题意，求出（1）的面积，根据砂轮磨不到的部分的面积为12个图（1）的面积，计算即可得出答案．【解答】解：如图，连接OA、OC，则OA⊥AB、OC⊥BC，OA=OC，∵∠ABC=90°，∴四边形OABC是正方形，且OA=r，∴图形（1）的面积是r•r﹣πr2，∴砂轮磨不到的部分的面积为12（r•r﹣πr2）=12r2﹣3πr2．故答案为：12r2﹣3πr2．10．α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算（α+β+γ）的值时，有三位同学分别算出了23°、24°、25°这三个不同的结果，其中只有一个是正确的答案，则α+β+γ=345°．【考点】角的计算．【分析】分别计算15×23°=345°，15×24°=360°，15×25°=375°，则345°、360°、375°三个数值其中一个是α、β、γ三个角的和，由于三角中，有两个锐角，一个钝角，根据锐角和钝角的定义知，α+β+γ＜360°，所以345°是正确的．【解答】解：∵α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，∴0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，90°＜γ＜180°，∴α+β+γ＜360°，∵15×23°=345°，15×24°=360°，15×25°=375°，∴α+β+γ=345°．故答案是345°11．设a为常数，多项式x3+ax2+1除以x2﹣1所得的余式为x+3，则a=2．【考点】余式定理．【分析】首先由多项式x3+ax2+1除以x2﹣1所得的余式为x+3，根据余式定理可设x3+ax2+1﹣（x+3）=（x2﹣1）（x+b），然后分别整理等式的左右两边，再根据多项式相等时对应系数相等，即可得方程，则可求得a的值．【解答】解：∵多项式x3+ax2+1除以x2﹣1所得的余式为x+3，∴可设x3+ax2+1﹣（x+3）=（x2﹣1）（x+b），整理可得：x3+ax2﹣x﹣2=x3+bx2﹣x﹣b，∴，∴a=2．故答案为：2．12．在△ABC中，高BD和CE所在直线相交于O点，若△ABC不是直角三角形，且∠A=60°，则∠BOC= 120°或60°．【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【分析】根据三角形外角的性质及三角形的内角和定理．分∠BOC在△ABC内，及∠BOC在△ABC外两种情况讨论．【解答】解：若∠BOC在△ABC内，如下图：∵BD、CE是△ABC的高，∴∠BOC=360°﹣∠A﹣∠ADO﹣∠AEO=120°；若∠BOC在△ABC外，如下图：∵BD、CE是△ABC的高，∴∠BOC=90°﹣∠DCO=90°﹣∠ACE=∠A=60°．故答案为：120°或60°．13．已知a+b+c=0，a＞b＞c，则的取值范围是﹣2＜＜﹣．【考点】一元一次不等式的应用．【分析】首先将a+b+c=0变形为b=﹣a﹣c．再将b=﹣a﹣c代入不等式a＞b，b＞c，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立求得的取值范围．【解答】解：∵a+b+c=0，∴a＞0，c＜0 ①∴b=﹣a﹣c，且a＞0，c＜0∵a＞b＞c∴﹣a﹣c＜a，即2a＞﹣c ②解得＞﹣2，将b=﹣a﹣c代入b＞c，得﹣a﹣c＞c，即a＜﹣2c ③解得＜﹣，∴﹣2＜＜﹣．故答案为：﹣2＜＜﹣．14．有A、B、C三种不同型号的电池，它们的价格各不相同．有一笔钱可买A型4只，B型18只，C 型16只；或A型2只，B型15只，C型24只；或A型6只，B型12只，C型20只．如果将这笔钱全部用来购买C型号的电池，则能买48只．【考点】三元一次方程组的应用．【分析】先设买一只A型的价格是x元，买一只B型的价格是y元，买一只C型的价格是z元，能买C型W只根据题意列出方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：设买一只A型的价格是x元，买一只B型的价格是y元，买一只C型的价格是z元，能买C型W只，根据题意得：，解得：代入4x+18y+16z=Wz得：W=48．故答案为：48．15．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2，则五边形ABCDE的面积为4．【考点】全等三角形的判定与性质．第11页（共11页） 【分析】可延长DE 至F ，使EF=BC ，可得△ABC ≌△AEF ，连AC ，AD ，AF ，可将五边形ABCDE 的面积转化为两个△ADF 的面积，进而求出结论．【解答】解：延长DE 至F ，使EF=BC ，连AC ，AD ，AF ，∵AB=CD=AE=BC +DE ，∠ABC=∠AED=90°，由题中条件可得Rt △ABC ≌Rt △AEF ，△ACD ≌△AFD ，∴S ABCDE =2S △ADF =2וDF•AE=2××2×2=4．故答案为：4．。

2017雪山中学八年级数学(上)（90分钟 满分120分））1．下列各式中，运算正确的是（ ） A ． B ． C ． D 2．点关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ． B ． C ． D ．3.某自然数的算术平方根是a 则相邻下一个自然数的算术平方根是（ ） A 、1a + B 、、 21a + D 4．要从4424333x y x y y x +===的图象得到直线，就要将直线（ ） A 、向上平移23个单位 B 、向下平移23个单位C 、向上平移2个单位D 、向下平移2个单位5. 某一次函数的图象经过点（1，2），且y 随x 的增大而减小，则这个函数的表达式可能是（ ）A ．42+=x yB ．13-=x yC ． 13+-=x yD ．42+-=x y 6.下列四组数据中，不能．．作为直角三角形的三边长是（ ） （A ）3，4，6 （B ）7，24，25 （C ）6，8，10 （D ）9，12，15 7.等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为 （ ）A 、、、3632a a a ÷=325()a a ==(35)p ，-(3,5)--(5,3)(3,5)-(3,5)县：威宁县 学校：雪山中学 姓名：班级：考号：密 封 线 内 不 要 答 题密 封 线8．一次函数y kx b=+，当k<0，b＞0时的图象大致位置是（）A．B．C．D．9、设a b c、、是三角形的三边长，且222a b c ab bc ca++=++，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形②是等边三角形③是锐角三角形④是直角三角形其中正确的说法的个数是（）A、4个B、3个C、2个D、1个10、设3(23)1a b a b x x⊕=-⊕⊕=，且，则等于（）A、3B、8C、43D、16二、认真填一填，试试自己的身手！（每小题5分，共25分）11、使等式x x x=-成立的的值是。

12. 已知a的平方根是8±，则它的立方根是.13.如图，已知直线y=ax+b和直线y=kx交于点P（-4，-2），则关于x，y的二元一次方程组,.y ax by kx=+⎧⎨=⎩的解是________．14的平方根，8的倒数是15、若关于x，y的二元一次方程组3,x y kx y k+=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程28x y+=的解，则k的值为．三、用心做一做，显显你的能力！（共65分）16、化解（8分）17.解下列方程组（8分）()21631526-⨯-⎩⎨⎧+=-+=-)5(3)1(55)1(3xyyx(第13题)18．（8分）已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°。

2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）.A.2B.1C.0D.-12.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，111135a b c++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.813.若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.14.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.A.424B.430C.441D.4605.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.C. D.6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE的值为（）.A.56B.58C.60D.62二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7.=a的值为________.8.已知△ABC的三个内角满足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，则θ的最大值为________.9.设a,b是两个互质的正整数，且38abpa b=+为质数.则p的值为________.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.第二试一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.三、（本题满分25分）已知a,b,c为有理数，求222a b ca b c++++的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）.A.2B.1C.0D.-1答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程.解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以312b ca b+=+.2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，111135a b c++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.81答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.解析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，111x y z++=，∴xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 =100.3. 若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.1答案：B对应讲次：所属知识点：数论思路：先通过a ≤b ≤c 且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证. 解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c)≤6c ，即ab ≤6，显然a=1或2.若a=1，则bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组. 若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=52，不是整数舍去，共1个好数组. 共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).4. 已知正整数a,b,c 满足a 2-6b-3c+9=0，-6a+b 2+c=0，则a 2+b 2+c 2的值为（ ）. A.424 B.430 C.441 D.460 答案：C 对应讲次： 所属知识点：方程思路：由已知等式消去c 整理后，通过a,b 是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.解析：联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75，则3(b-1)2≤75，即1≤b ≤6. 当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a ；当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入验证满足原方程. 因此，a=9，b=6，c=18，则a 2+b 2+c 2=441.5. 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（ ）.C. D.答案：A 对应讲次：所属知识点：平面几何思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析：作AE ∥DC ，AH ⊥BC ，则ADCE 是平行四边形，则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB ，则△ABE 是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，经计算可得AH =所以梯形ABCD 的面积为()114233⨯+⨯=.6. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（ ）.A.56B.58C.60D.62 答案：B 对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt △EAD 中去，利用勾股定理求解.解析：作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，将△CDF 绕点C 逆时针旋转90°至△CGB ，则ABCF 为正方形，可得△ECG ≌△ECD ，∴EG=ED. 设DE=x ，则DF=BG=x-28，AD=98-x.在Rt △EAD 中，有422+(98-x)2=x 2，解得x=58. 二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.=a 的值为________.答案：8 对应讲次： 所属知识点：方程思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.解析：易得(321a =.令x ，则x ≥0，代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0，解得x 1=0, x 2=3, x 3=-1，舍负，即a=-1或8，验证可得a=8.8. 已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________. 答案：20° 对应讲次： 所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况. 解析：∵θ≤100°-C ，θ≤C-B ，θ≤B-A ∴θ≤16［3（100°-C ）+2(C-B)+(B-A)］=20°又当A=40°,B=60°,C=80°时，θ=20°可以取到. 则θ的最大值为20°.9. 设a,b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.答案：7 对应讲次： 所属知识点：数论思路：因为p 是质数，只能拆成1和p ，另一方面通过a+b 、a 、b 两两互质来拆分38ab a b+的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.解析：因为a,b 互质，所以a+b 、a 、b 两两互质，因为38ab a b +质数，所以318ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=b=1，p=4，不是质数舍；381ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=7，b=1，p=7，符合题意.则p=7.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 答案：34 对应讲次： 所属知识点：数论思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析：设该正整数列为()20,*n a n n N ≤∈，考虑()16,,,14,*k k k i i i k i ka a a k k N ++==≤∈∑∑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分 20 分）设A,B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果A 2-B 2是完全平方数，求A 的值. 答案：65对应讲次： 所属知识点：数论思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab 设为10a+b ，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果. 解析：设A=10a+b(1≤a,b ≤9,a,b ∈N)，则B=10b+a ，由A,B 不同得a ≠b ，A 2-B 2=（10a+b ）2-(10b+a)2=9×11×（a+b ）(a-b).………5分由A 2-B 2是完全平方数，则a ＞b ，()()11|a b a b +-，可得a+b=11， ………10分 a-b 也是完全平方数，所以a-b=1或4.………15分若a-b=1，则a=6，b=5； 若a-b=4，则没有正整数解. 因此a=6，b=5，A=65.………20分二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，BE ⊥DE ，CF ⊥DF ，P 为AD 与EF 的交点.证明：EF=2PD. 对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为EF 、PD 都在△DEF 中，所以想办法推出其性质，比较容易得出∠EDF=90°，此时若能得出EF=PD ，则自然可以得到结论.解析：由DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，可得∠EDF=90°. ………5分 由BE ⊥DE 得BE ∥DF ，则∠EBD=∠FDC.………10分又BD=DC ，∠BED=∠DFC=90°，则△BED ≌△DFC ，BE=DF . ………15分 得四边形BDFE 是平行四边形，∠PED=∠EDB=∠EDP ，EP=PD. ………20分 又△EDF 是直角三角形，∴EF=2PD.………25分三、（本题满分 25 分）已知a,b,c 为有理数，求222a b c a b c ++++的最小值.答案：3 对应讲次： 所属知识点：数论思路：通过a,b,c 是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.0c -≠，可以通过分母有理化来实现分离，再利用a,b,c 互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.0c -≠)()22222555bcab bc bac b c b c +--+-==--b 2=ac. …10分()()22222a c ba b c a c b a b c a c b+-++==+-++++.………15分不妨设a ＜c ，若a=1，c=b 2，因为a ≠b ，则a+c-b=1+b(b-1)≥3，取等号当且仅当b=2时. ………20分 若a ≥2，因为c ≠b ≠1，则a+c-b=a+b(b-1)≥a+2≥4＞3.所以222a b c a b c++++的最小值为3，当a=1，b=2，c=4时.………25分。