最新初中数学：半角模型复习课程

半角模型
共顶点的直角与其内含的45度角；共顶点的60度角与其内含
模型特点 的30度角；共顶点的120度角与其内含的60度角等，共顶点
的角与其半角组成的图形
模型展示
满分技巧 通常将半角两边的三角形绕顶点旋转合并成一个三角形
例 (2024·宜宾)如图，正方形 ABCD 的边长为1， M ， N 是边 BC ，
BE ＝ DF ′，∠ BAE ＝∠ DAF ′.
由题意，得 EF ＋ EC ＋ FC ＝ DC ＋ BC ＝
DF ＋ FC ＋ EC ＋ BE .
∴ EF ＝ DF ＋ BE ＝ DF ＋ DF ′＝ F ′ F .
在△ AEF 和△ AF ′ F 中，
AE ＝ AF ′， EF ＝ F ′ F ， AF ＝ AF ，

题3



DF ＝ HD ＋ FH ＝ x ＋ y ， FE ′＝ HG ′＝ HB － BG ′＝4－ x －



−





＝1－ x ＋ y .


在Rt△ E ′ FD 中， FE ′2＋ DF2＝ DE ′2.
∴ −



+



＋


+




−
2
＝(5－ x － y ) .∴ y ＝
题3
由旋转的特征，得 BE ＝ BE ′，∠ CBE ＝∠ C ′ BE ′，
EG ＝ E ′ G ′， BG ＝ BG ′.∵∠ ABC ＝90°，∠ DBE ＝45°，
∴∠ CBE ＋∠ DBA ＝45°．
∴∠ C ′ BE ′＋∠ DBA ＝45°，即∠ DBE ′＝45°.

∴△AMN≌△AEN(SAS)，∴∠AED＝∠AMN， ∴∠AMB＝∠AMN，∴MA平分∠BMH. ∵AB⊥BM，AH⊥MN，∴AB＝AH. ∵AM＝AM， ∴Rt△ABM≌Rt△AHM(HL)，∴BM＝MH＝2， 同理可得NH＝ND＝3， 设BC＝AB＝x，则CM＝x－2，CN＝x－3， 在Rt△MCN中，由勾股定理得，(x－2)2＋(x－3)2＝52， 解得x1＝6，x2＝－1(舍去)，∴AH＝AB＝6.
E
第1题图
2. 如图，在等边△ABC中，点P，Q分别在边AB，AC上，D为△ABC外
一点，且∠PDQ＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC.
(1)如图①，若DP＝DQ，请直接写出BP，QC，PQ之间的数量关系；
【解法提示】∵DP＝DQ，∠PDQ＝60°，∴△PDQ是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＋∠CAE＝30°，∴∠CAF＋∠CAE＝30°，
第3题解图
即∠EAF＝30°，∴∠EAF＝∠EAD.
在△DAE和△FAE中，
AD AF EAD EAF , AE AE
∴△DAE≌△FAE(SAS)，∴ED＝EF.
第3题解图
∵∠ACB＝∠ACF＝60°，∴∠FCG＝180°－∠ACB－∠ACF＝60°.
则∠ABG＝∠D＝90°，
∠GAB＝∠FAD，AG＝AF，BG＝DF.
G
∵∠ABE＝90°，AB＝AD，
∴∠ABE＋∠ABG＝180°，∴E，B，G三点共线．
第3题图①
∵∠BAD＝60°，∠EAF＝30°，
∴∠GAB＋∠BAE＝∠GAE＝30°，
∴∠GAE＝∠FAE.
在△EAG和△EAF中，

＝,
∠＝∠, ∴Rt△AEB≌Rt△AND(SAS),
＝,
∴AE＝AN,∠EAB＝∠NAD,∴∠EAM＝∠NAM＝45°.
＝,
在△AEM和△ANM中, ∠＝∠, ∴△AEM≌△ANM(SAS),
＝,
∴S△AEM＝S△ANM,EM＝MN,
∵AB,AH是△AEM和△ANM对应边上的高,∴AB＝AH.
∴DG＝


CD＝ ×2＝



,CG＝ CD＝1,

∴FG＝CF－CG＝9－x.
∵∠DGF＝90°,∴FG2＋DG2＝DF2,
∴(9－x)2＋( )2＝x2,


∴x＝ ,∴DE＝ .


图2
微专题6 半角模型
•人教版
3.已知,在正方形ABCD中,∠MAN＝45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的
图1
图2
•人教版
解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝AD,∠B＝∠D＝90°.
＝,
在△ABM与△ADN中, ∠＝∠, ∴△ABM≌△ADN,
＝,
∴∠BAM＝∠DAN,AM＝AN.

∵AH⊥MN,∴∠MAH＝ ∠MAN＝22.5°.

∵∠BAM＋∠DAN＝45°,∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°.
发现,如图2,在AB的延长线上截取BG＝DF,连接CG.通过两次证明,证明三角形
全等,可以解决问题.
图1
请你直接写出(1)中的结论.
图2
图3
•人教版
解:结论:BE＋DF＝EF,理由如下:
∵∠ABC＝∠ADC＝90°,∴∠GBC＝∠FDC＝90°.
∵BG＝DF,BC＝DC,
∴△GBC≌△FDC(SAS),

∴EF2＝BF2＋BE'2，即EF2＝BF2＋AE2.
第2题图
（3）你还能用其他的方法证明（2）吗？
证明：（3）如图.
∵∠ECF＝45°，
∴∠ACE＋∠BCF＝∠ECF＝45°.
又∵AC＝BC，
∴可将△ACE沿CE折叠，同理将△BCF沿CF折叠，
则折叠后的CA与CB重合于CA'，
可证∠EA'F＝90°，∴EF2＝A'E2＋A'F2，
△ADE≌△ADF，BD2＋CE2＝DE2.
2.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点E，F是边AB上的两点，且∠ECF＝
45°.
（1）若CE'⊥CE，CE'＝CE.求证：△CAE≌△CBE'.
证明：（1）∵CE'⊥CE，∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCE'.
又∵CA＝CB，CE＝CE'，
∵∠ABC＝90°，∴∠GBF＝90°.
∵EF＝AF＋CE，AF＝CG，∴EF＝CG＋CE＝EG.
∵BE＝BE，BF＝BG，∴△BEF≌△BEG（SSS），

∴∠EBF＝∠EBG，∴∠EBF＝ ∠GBF＝45°.

（2）将△EDF沿EF翻折，若点D的对应点恰好落在BF上，求EF的长.
解：（2）如图，由折叠的性质，可知∠DFE＝∠BFE.
由（2），可知∠AFB＝∠CGB＝∠BFE，
∴∠AFB＝∠BFE＝∠DFE＝60°，∴∠FED＝30°.
设DF＝x，则EF＝2x，ED＝ x.
∵AD＝1，∴AF＝1－x.
∵AF＋CE＝EF，∴CE＝3x－1，
∴DE＝CD－CE＝1－ − ＝2－3x，
∴2－3x＝