初中几何半角模型

半角模型十五个结论及证明《探索半角模型的十五个结论及证明》嗨，大家好！今天我要和大家一起探索一个超有趣的数学知识——半角模型的十五个结论及证明。

这就像是一场奇妙的数学冒险，跟我来呀！一、什么是半角模型呢？半角模型呀，就像是一个神秘的数学宝藏，藏在各种几何图形里。

想象一下，我们有一个正方形或者等腰直角三角形，然后在这个图形里出现了一个角，这个角是另外一个大角的一半，这就形成了半角模型。

比如说，在正方形里，一个角是45度，它就是直角90度的一半呢。

这时候啊，就会有好多神奇的结论冒出来。

二、结论一：线段相等我给大家举个例子哈。

在正方形ABCD中，∠EAF = 45度（E、F分别在BC、CD 上）。

我们能发现BE + DF = EF。

这是为啥呢？我们可以把△ADF绕着点A顺时针旋转90度，这样AD就和AB重合了。

旋转后的点F变成了F'。

那这个时候呀，我们就会发现△AEF和△AEF'是全等的。

为啥呢？因为AF = AF'，∠EAF = ∠EAF' = 45度，AE是公共边啊。

就像两个一模一样的小积木，那EF就等于EF'了，而EF'就是BE + DF呀。

你们说神奇不神奇？这就好比是把分散的力量集中起来了，原本分开的BE和DF，通过旋转这个魔法，就变成了和EF相等的线段。

三、结论二：三角形面积关系还有一个有趣的结论呢。

三角形AEF的面积等于三角形ABE的面积加上三角形ADF的面积。

这又怎么理解呢？我们刚刚把△ADF旋转到了△ABF'的位置。

那三角形AEF的面积就等于三角形AEF'的面积啦。

而三角形AEF'的面积就是三角形ABE的面积加上三角形ABF'（也就是原来的三角形ADF）的面积。

这就好像是把两个小地块合并起来就等于一个大地块的面积一样。

四、结论三：角平分线如果我们延长CB到G，使得BG = DF，连接AG。

我们会发现AG是∠EAG的角平分线呢。

中考数学必会几何模型：半角模型半角模型是指存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点的模型。

通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系。

常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。

例如，已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N。

要求证：BM+DN=MN，以及作AH⊥XXX于点H，求证：AH=AB。

证明过程如下：1.延长ND到E，使DE=BM。

由四边形ABCD是正方形，得AD=AB。

在△ADE和△ABM中，有AD=AB，∠ADE=∠BAM，DE=BM，因此△ADE≌△ABM。

得AE=AM，∠XXX∠BAM。

由∠MAN=45°，得∠BAM+∠NAD=45°，因此∠MAN=∠EAN=45°。

在△AMN和△AEN中，有MA=EA，∠MAN=∠EAN，AN=AN，因此△AMN≌△AEN。

得MN=EN。

因此BM+DN=DE+DN=EN=MN。

2.由(1)得△AMN≌△XXX。

因此S△AMN=S△AEN，即AH×MN=AD×EN。

又因为MN=EN，得AH=AD。

因此AH=AB。

在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC。

要探究当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系。

1) 当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN。

2) 猜想：当DM≠DN时，仍有BM+NC=MN。

证明如下：延长AC至E，使CE=BM，连接DE。

因为BD=CD，且∠BDC=120°，所以△BDC是等边三角形。

因此BD=DC=CE=BM，得△BDE是等边三角形，∠BED=60°。

因此△DEN和△DME是等腰三角形，得DN=EN，DM=EM。

初中几何｜半角模型
半角模型是初中学习几何最常见的一个模型，这个模型常用的辅助线思维是旋转，而旋转又是学生几何思维中最不习惯的，那么我们如何进行利用呢？今天具体的进行讲解。

一、半角模型特征
1、共端点的等线段；
2、共顶点的倍半角；
二、半角模型辅助线的作法
1、旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角；
2、旋转的条件：具有公共端点的等线段；
3、旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。

三、等腰直角三角形的半角模型(大角夹小角)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D、E在边BC上，且∠EAD=45°.
（1）求证：△BAE∽△ADE∽△CDA
（2）求证：BD2+CE2=DE2
四、等腰直角三角形的半角模型(拓展)
1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在边BC上，点E在BC的延长线上，且∠EAD=45°.求证：BD2+CE2=DE2
五、一般三角形的半角模型
六、正方形中半角模型相关结论（大角夹小角）
七、正方形中半角模型（拓展）。

中考几何模型之半角模型【模型由来】半角模型是指：共顶点的两个一大一小的角，其中小角是大角的一半。

如下图中：若小角∠EAD等于大角∠BAC的一半，我们习惯上称之为“半角模型”。

【模型思想】通过旋转变化后构造全等三角形，实线边的转化。

【基本模型】类型一、90°中夹45°(正方形中的半角模型)条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。

结论①：图1、2中，EF=BE+FD；证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，连接BF’，∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，且AE=AE，AF=AF’，∴△FAE≌△F’AE(SAS)，∴EF=EF’，又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，∴F’、B、E三点共线，∴EF’=BE+BF’=BE+DF。

结论②：图2中MN²=BM²+DN²；证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90°，N点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN，且AM=AM，AN=AN’，∴△MAN’≌△MAN(SAS)，∴MN=MN’，又∠ADN=45°=∠ABN ’，∠ABD=45°，∴∠MBN ’=∠ABD+∠ABN ’=45°+45°=90°，∴在Rt △MBN ’中，MN ’²=BM ²+BN ’²，即MN ²=BM ²+BN ’²。

结论③：图1、2中EA 平分∠BEF ，FA 平分∠DFE 。

归纳一种几何模型：半角模型
特点：
过等腰△ABC(AB=AC)顶角顶点（设顶角为A），引两条射线且它们的夹角为A/2；这两条射线与过底角顶点的相关直线交于两点M、N，则BM,MN,NC之间必存在固定关系。

这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关.
解决方法：
以点A为中心，把△ACN（顺时针或逆时针）旋转角A度，至△ABN'，连接MN'；
结论：
1:△AMN全等于△AMN'，MN=MN';
2:关注BM,MN',N'B(=NC)，
若共线，则存在x+y=z型的关系；
若不共线，则△BMN'中，∠MBN'必与∠A相关，于是由勾股定理（有时需要作垂线）或直接用余弦定理可得
三者关系.
应用环境：（限于初中）
1：顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为30°、45°60°、75°或它们的补角、90°；
2：正方形、菱形等也能产生等腰三角形；
3：过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条平分线、腰上的两高、底角的邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或棱形的另外两边；
4：此等腰三角形的相关弦.
以上条件可以形成数百种题目！而解决方法均可以运用此方法.。

初中几何模型—半角模型分析归纳一种几何模型：半角模型特点：过等腰△ABC(AB=AC)顶角顶点（设顶角为A），引两条射线且它们的夹角为A/2；这两条射线与过底角顶点的相关直线交于两点M、N，则BM,MN,NC之间必存在固定关系。

这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关。

解决方法：以点A为中心，把△ACN（顺时针或逆时针）旋转角A度，至△ABN'，连接MN'；结论：1:△AMN全等于△AMN'，MN=MN'; 2:关注BM,MN',N'B(=NC)，若共线，则存在x+y=z型的关系；若不共线，则△BMN'中，∠MBN'必与∠A相关，于是由勾股定理（有时需要作垂线）或直接用余弦定理可得三者关系.应用环境：（限于初中）1：顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为30°、45°60°、75°或它们的补角、90°；2：正方形、菱形等也能产生等腰三角形；3：过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条平分线、腰上的两高、底角的邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或棱形的另外两边；4：此等腰三角形的相关弦。

以上条件可以形成数百种题目！而解决方法均可以运用此方法.例题分析：已知如图：①∠2=12∠AOB；②OA=OB.OAB EF123连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE，可得△OEF≌△OEF′4321F'FE BAO模型分析∵△OBF≌△OAF′，∴∠3=∠4，OF=OF′.∴∠2=12∠AOB，∴∠1+∠3=∠2∴∠1+∠4=∠2。

半角模型已知如图：①∠2=12∠AOB；②OA=OB.OABEF123连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE，可得△OEF≌△OEF′4321F'FE BAO模型分析∵△OBF≌△OAF′，∴∠3=∠4，OF=OF′.∴∠2=12∠AOB，∴∠1+∠3=∠2∴∠1+∠4=∠2又∵OE是公共边，∴△OEF≌△OEF′.（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°.模型实例例1 已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N．（1）求证：BM+DN=MN．（2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB．证明：（1）延长ND 到E ，使DE=BM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ． 在△ADE 和△ABM 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BM DE B ADE AB AD∴△ADE ≌△ABM ．∴AE=AM ，∠DAE=∠BAM ∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°． ∴ ∠MAN=∠EAN=45°． 在△AMN 和△AEN 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AN AN EAN M AN EA M A∴△AMN ≌△AEN ． ∴MN=EN ．∴BM+DN=DE+DN=EN=MN ．（2）由（1）知，△AMN ≌△AEN ． ∴S △AMN =S △AEN ．即EN AD 21MN AH 21⋅=⋅．又∵MN=EN ， ∴AH=AD ． 即AH=AB ．例2 在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．（1）如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_______________；（2）如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．图①图②解答（1）BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN．（2）猜想：BM+NC=MN．证明：如图③，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．∵BD=CD，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°．又∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∴∠MBD=∠NCD=90°．在△MBD与△ECD中，∵DB=DC，∠DBM=∠DCE=90°，BM=CE，∴△MBD≌△ECD（SAS）．∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．在△MDN和△EDN中，∵MD=ED，∠MDN=∠EDN=60°，DN=DN，∴△MDN≌△EDN（SAS）．∴MN=NE=NC+CE=NC+BM．图③例3 如图，在四边形ABCD 中，∠B+∠ADC=180°，AB=AD ，E 、F 分别是BC 、CD 延 长线上的点，且∠EAF=21∠BAD ．求证：EF=BE-FD ．证明：在BE 上截取BG ，使BG=DF ，连接AG ． ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADF ．在△ABG 和△ADF 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF BG ADF B AD AB∴△ABG ≌△ADF （SAS ）． ∴∠BAG=∠DAF ，AG=AF ． ∴∠GAF=∠BAD ．∴∠EAF=21∠BAD=21∠GAF ． ∴∠GAE=∠EAF ． 在△AEG 和△AEF 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE FAE GAE AF AG∴△AEG ≌△AEF （SAS ）． ∴EG=EF ．∴EF=BE-FD ．跟踪练习：1．已知，正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，∠MAN=45°． 求证：MN=DN-BM ．【答案】证明：如图，在DN 上截取DE=MB ，连接AE ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠D=∠ABC=90°． 在△ABM 和△ADE 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DE BM ABM D AB AD∴△ABM ≌△ADE ．∴AM=AE ， ∠MAB=∠EAD ． ∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN ， ∴∠DAE+∠BAN=45°． ∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN ． 在△AMN 和△AEN 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AN AN EAN M AN AE AM∴△ABM ≌△ADE ．∵DN-DE=EN．∴DN-BM=MN．2．已知，如图①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°，探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决以下问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB延长线上时，如图②，其他条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．图①图②【答案】解答：（1）猜想：DE2=BD2+EC2．证明：将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，如图①∴△ACE≌△ABE′．∴BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB．在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°．∴E′B2+BD2=E′D2．又∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∴∠E′AB+∠BAD=45°，即∠E′AD=45°．∴△AE′D≌△AED．∴DE=D E′．∴DE2=BD2+EC2．图①（2）结论：关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．证明：作∠FAD=∠BAD，且截取AF=AB，连接DF，连接FE，如图②∴△AFD≌△ABD．∴FD=DB，∠AFD=∠ABD．又∵AB=AC，∴AF=AC．∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB ）=90°-（45°-∠DAB）=45°+∠DAB，∴∠FAE=∠CAE．又∵AE=AE，∴△AFE≌△ACE．∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°．∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°．∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2．即DE2=BD2+EC2．图②3．已知，在等边△ABC中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线AC、BC上，且∠MON=60°．（1）如图①，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；（2）如图②，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图③，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．图①图②图③【答案】结论：（1）AM=CN+MN；如图①图①（2）成立；证明：如图②，在AC上截取AE=CN，连接OE、OA、OC．∵O是边AC、BC垂直平分线的交点，且△ABC为等边三角形，∴OA=OC，∠OAE=∠OCN=30°，∠AOC=120°．又∵AE=CN，∴△OAE≌△OCN．∴OE=ON，∠AOE=∠CON．∴∠EON=∠AOC=120°．∵∠MON=60°，∴∠MOE=∠MON=60°．∴△MOE≌△MON．∴ME=MN．∴AM=AE+ME=CN+MN．图②（3）如图③，AM=MN-CN．图③4．如图，在四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，AB=AD ，E 、F 分别是线段BC 、CD 上的 点，且BE+FD=EF ．求证：∠EAF=21∠BAD ．【答案】证明：如图，把△ADF 绕点A 顺时针旋转∠DAB 的度数得到△ABG ，AD 旋转到AB ，AF 旋转到AG ，∴AG=AF ，BG=DF ，∠ABG=∠D ，∠BAG=∠DAF ． ∵∠ABC+∠D=180°， ∴∠ABC+∠ABG=180°． ∴点G 、B 、C 共线． ∵BE+FD=EF ， ∴BE+BG=GE=EF ． 在△AEG 和△AEF 中， ⎪⎩⎪⎨⎧===EF EG AE AE AF AG ∴△AEG ≌△AEF ． ∴∠EAG=∠EAF ．∴∠EAB+∠BAG=∠EAF ． 又∵∠BAG=∠DAF ，∴∠EAB+∠DAF=∠EAF ． ∴∠EAF=21∠BAD ．5．如图①，已知四边形ABCD ，∠EAF 的两边分别与DC 的延长线交于点F ，与CB 的延长线交于点E ，连接EF ． （1）若四边形ABCD 为正方形，当∠EAF ＝45°时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？（只需直接写出结论）（2）如图②，如果四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ABC 与∠ADC 互补，当∠EAF ＝12∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明．（3）在（2）中，若BC ＝4，DC ＝7，CF ＝2，求△CEF 的周长（直接写出结论）解答：（1）EF=DF-BE （2）EF=DF-BE证明：如图，在DF 上截取DM=BE ，连接AM ， ∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180° ∵D=ABE ∵AD=AB在△ADM 和△ABE 中，DM BE D ABE AD AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADM ≌△ABE∴AM=AE ，∠DAM=∠BAE ∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=12∠BAD ，11∴∠DAM+∠BAF=12∠BAD ∴∠MAF=12∠BAD ∴∠EAF=∠MAF在△EAF 和△MAF 中AE AM EAF MAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAF ≌△MAF∴EF=MF∵MF=DF-DM=DF-BE ，∴EF=DF-BE（3）∵EF=DF-BE∴△CEF 的周长=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF =BC+CD+2CF=15。

初中数学经典几何模型专题07 半角模型在三角形中应用【专题说明】半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用，掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用尤为重要。

【知识总结】过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

解题技巧：在图1中，△AEB由△AND旋转所得，可得△AEM≌△AMN，∴BM+DN=MN，∠AMB=∠AMN，AB=AH△CMN的周长等于正方形周长的一半在图2中将△ABC旋转至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到边角之间的关系；总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则BE＋DF＝EF.2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则AE平分∠BEF，AF平分∠DF E.3.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则.点H，则AH＝AB.5.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º.点M、N，则7.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则△BME△DFN△AMN△BAN△DMA△A FE.8.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N点M、N，则.10.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.11.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则点M、N，则当BE＝DF时，EF.【基础训练】1、正方形ABCD中，E是CD边上一点.将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示，观察可知：与DE相等的线段是______,∠AFB=_______.如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠P AQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ.2、如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC D′，当∠DAE=45°时，求证：DE=D′E；在（1）的条件下，猜想：BD2，DE2，CE2有怎样的数量关系？请写出，并说明理由.3、如图，E、F是正方形ABCD的边AD、CD上的点，连BE、EF、BF，BF平分∠EBC求证：BE=AE+CF4、正方形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，求证：EF=BE+DF.5、在等边△ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB,AC上移动时，BM, NC,MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系，如图1，△ABC是周长为9的等边三角形，则△AMN的周长Q=_______=_______如图2，当点M,N边AB,AC上，且DM=DN时，BM,NC,MN之间的数量关系是______;QL点M,N在边AB,AC上，且当DM≠DN时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明.【巩固提升】1、已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，若AB＝8，CD＝2，求OH的长；（2）将△COD绕点O旋转一定的角度到图2所示位置时，线段OH与AD有怎样的数量和位置关系，并证明你的结论．2、（1）问题发现如图1，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝50°，D是OB上一点，将点D绕点O顺时针旋转50°得到点C，则AC与BD的数量关系是．（2）类比探究如图2，将∠COD绕点O在平面内旋转，（1）中的结论是否成立，并就图2的情形说明理由．（3）拓展延伸∠COD绕点O在平面内旋转，当旋转到OD∥AB时，请直接写出∠BOD度数．3、如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转a角（0°＜a＜180°），得到△AB′C′（如图2），连接DB'，EC'．（1）探究DB'与EC'的数量关系，并结合图2给予证明；（2）填空：①当旋转角α的度数为时，则DB'∥AE；②在旋转过程中，当点B'，D，E在一条直线上，且AD＝时，此时EC′的长为．4、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，连接AE．（1）如图①，当CD＝AC时，线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式是AB+AE＝AD．（2）如图②，当CD≠AC时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．（3）当点D在射线CA上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式．5、如图（1），将正方形ABCD与正方形GECF的顶点C重合，当正方形GECF的顶点G在正方形ABCD的对角线AC上时，的值为．如图（2），将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（0°＜a＜45°），猜测AG与BE之间的数量关系，并说明理由．如图（3），将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（45°＜a＜90°）使得B、E、G三点在一条直线上，此时tan∠GAC＝，AG＝6，求△BCE的面积．6、已知，在R t△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上一点（不与点A．B重合），连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE．（1）如图1，求证：∠EBD＝90°（2）如图2，连接DE与BC相交于点F，G在AC上，连接DG．若AG：CG＝7：5．BD＝2AD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有正切值为的角．7、已知：在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD⊥BC，点D为BC的中点．（1）如图1，求∠B的度数；（2）如图2，点E为AC上一点，连接DE并延长至点F，连接CF，过点C作CH⊥DF，垂足为点H，若DH＝CF+HF，探究∠F与∠FDC之间的数量关系，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，在AD上取点P，连接BP，使得∠BPD＝∠F，将线段EF沿着EC折叠并延长交BC于点G，当BP：PD＝12：5，GC﹣PD＝3时，求GC的长．专题07 半角模型在三角形中应用答案【专题说明】半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用，掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用尤为重要。

半角模型专题知识解读【专题说明】角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。

它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。

解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。

【方法技巧】类型一：等腰直角三角形角含半角模型（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD+CE=DE.旋转法翻折法作法1：将△ABD旋转90°作法2：分别翻折△ABD,△ACE（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则：BD+CE=DE.（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理..任意等腰三角形类型二：等边三角形中120°含60°的半角模型作辅助线：延长FC到G，使得CG=BE，连接DG结论：▲DEF≌▲DGF；EF=BE+CF类型三：正方形中角含半角模型（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.图示（1）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE.图示（2）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF.图示（3）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小【典例分析】【类型一：等腰直角三角形角含半角模型】【典例1】如图，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，若将△ABC绕着点C 逆时针旋转90°得△EDC．（1）求证：∠ADC+∠CDE＝180°；（2）若AB＝3cm，AC＝，求AD的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的周长和面积．【解答】（1）证明：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，则∠B+∠ADC＝180°．∵将△ABC绕着点C逆时针旋转90°得△EDC，∴△ABC≌△EDC，∴∠CDE＝∠CBA，∴∠ADC+∠CDE＝180°；（2）解：∵将△ABC绕着点C逆时针旋转90°得△EDC，∴AC＝EC＝，AB＝ED＝3cm，∠ACE＝90°，∴AE＝AC＝8cm，∴AD＝AE﹣EC＝AE﹣AB＝5cm；（3）解：如图，连接BD．由（2）知，AD＝5cm．则在直角△ABD中，由勾股定理得到：BD＝＝．又∵BC＝CD，∠BCD＝90°，∴BC＝CD＝＝，∴四边形ABCD的周长为：AB+AD+2BC＝3+5+2＝8+2；∵△ABC≌△EDC，∴四边形ABCD的面积＝△ACE的面积＝AC•CE＝×4×4＝16（cm2）．综上所述，四边形ABCD的周长为（8+2）cm，面积为16cm2．【变式1-1】如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E为BC边上两点，∠DAE ＝45°，过A点作AF⊥AE，且AF＝AE，连接DF、BF．下列结论：①△ABF≌△ACE，②AD平分∠EDF；③若BD＝4，CE＝3，则AB＝6；④若AB＝BE，S△ABD＝，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵AF⊥AE，∴∠F AE＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠F AE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠F AB＝∠EAC，∵AB＝AC，AF＝AE，∴△ABF≌△ACE（SAS），故①正确；∵∠DAE＝45°，∠F AE＝90°，∴∠F AD＝∠F AE﹣∠DAE＝45°，∴∠F AD＝∠DAE，∵AD＝AD，AF＝AE，∴△F AD≌△EAD（SAS），∴∠FDA＝∠EDA，∴AD平分∠EDF，故②正确；在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AB，∵△ABF≌△ACE，∴∠ABF＝∠C＝45°，BF＝CE＝3，∴∠FBD＝∠ABF+∠ABD＝90°，∴DF＝＝＝5，∵△F AD≌△EAD，∴FD＝ED＝5，∴BC＝BD+DE+CE＝4+5+3＝12，∴AB＝6，故③正确；∵AB＝BE，∠ABE＝45°，∴∠BAE＝∠BEA＝67.5°，∵∠DAE＝45°，∴∠ADE＝180°﹣∠DAE﹣∠AED＝67.5°，∴∠ADB＝∠AEC，∵AB＝AC，∠ABE＝∠C＝45°，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD＝CE，∵BF＝CE，∴BD＝BF，∵∠FBD＝90°，∴DF＝BD，∴DE＝BD，∴S△ADE＝S△ABD，故④错误；综上所述，正确的个数有3个，故选：C【变式1-2】如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC 上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，则MN的长为．【解答】解：将△AMB逆时针旋转90°到△ACF，连接NF，∴CF＝BM，AF＝AM，∠B＝∠ACF．∠2＝∠3，∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠MAN＝45°，∴∠NAF＝∠1+∠3＝∠1+∠2＝90°﹣45°＝45°＝∠NAF，在△MAN和△F AN中∴△MAN≌△F AN，∴MN＝NF，∵∠ACF＝∠B＝45°，∠ACB＝45°，∴∠FCN＝90°，∵CF＝BM＝1，CN＝3，∴在Rt△CFN中，由勾股定理得：MN＝NF＝＝，故答案为：．【类型二：等边三角形中120°含60°的半角模型】【典例4】已知在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD'，连接D'E．（Ⅰ）如图1，当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝D'E；（Ⅱ）如图2，当DE＝D'E时，请写出∠DAE与∠BAC的数量关系，并说明理由．（Ⅲ）当∠BAC＝90°，DE＝D'E，EC＝CD'时，请直接写出BD与DE的数量关系（不必说明理由）．【解答】（I）证明：∵将△ABD绕点A旋转，得到△ACD'，∴AD＝AD'，∠CAD'＝BAD，∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠D'AE＝∠CAD'+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°，∴∠DAE＝∠D'AE，在△ADE与△AD'E中，，∴△ADE≌△AD'E（SAS），∴DE＝D'E；（Ⅱ）解：∠DAE＝，理由如下：在△ADE与△AD'E中，，∴△ADE≌△AD'E（SSS），∴∠DAE＝∠D'AE，∴∠BAD+∠CAE＝∠CAD'+∠CAE＝∠D'AE＝∠DAE，∴∠DAE＝；（Ⅲ）解：DE＝BD，理由如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACD＝45°，∴∠ECD＝90°，∵EC＝CD'，∴△ECD'是等腰直角三角形，∴D'E＝CD'＝BD，∵DE＝D'E，∴DE＝BD．【变式4-1】（2017秋•锦江区期末）在△ABC中，AB＝AC，点E，F是边BC所在直线上与点B，C不重合的两点．（1）如图1，当∠BAC＝90°，∠EAF＝45°时，直接写出线段BE，CF，EF的数量关系；（不必证明）（2）如图2，当∠BAC＝60°，∠EAF＝30°时，已知BE＝3，CF＝5，求线段EF的长度；（3）如图3，当∠BAC＝90°，∠EAF＝135°时，请探究线段CE，BF，EF的数量关系，并证明．【解答】解：（1）结论：EF2＝BE2+CF2．理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴将△ABE绕点A逆时针旋转90°得△ACG，连接FG，如图1中，∴AG＝AE，CG＝BE，∠ACG＝∠B，∠EAG＝90°，∴∠FCG＝∠ACB+∠ACG＝∠ACB+∠B＝90°，∴FG2＝FC2+CG2＝BE2+FC2；又∵∠EAF＝45°，而∠EAG＝90°，∴∠GAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAF＝∠GAF，∵AF＝AF，AE＝AG，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∴EF2＝BE2+CF2．（2）如图2中，∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴将△ABE绕点A逆时针旋转60°得△ACG，连接FG，作GH⊥BC交BC的延长线于H．∵∠BAC＝60°，∠EAF＝30°，∴∠BAE+∠CAF＝∠CAG+∠CAF＝∠F AG＝30°，∴∠EAF＝∠F AG，∵AF＝AF，AE＝AG，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，在Rt△CGH中，∵CG＝BE＝3，∠GCH＝60°，∴∠CGH＝30°，∴CH＝CG＝，GH＝CH＝，在Rt△FGH中，FG＝＝＝7，∴EF＝FG＝7．（3）结论：EF2＝EC2+BF2理由：如图3中，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连接FG．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵△ACE≌△ABG，∴∠CAE＝∠BAG，EC＝BG，∠ACE＝∠ABG＝45°，∴∠CAB＝∠EAG＝90°，∠GBF＝90°，∴∠F AG＝360°﹣∠EAF﹣∠EAG＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠F AE＝∠F AG，∵F A＝F A，AG＝AE，∴△F AE≌△F AG（SAS），∴EF＝FG，在Rt△FBG中，∵∠FBG＝90°，∴FG2＝BG2+BF2，∵FG＝EF，BG＝EC，∴EF2＝EC2+BF2．【变式4-2】等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝DC，∠MDN＝60°，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N，①当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系．②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明．③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系．【解答】解①BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC＝MN．②猜想：结论仍然成立．证明：在CN的反向延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，③证明：在CN上截取CM1＝BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，可证∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N，∴NC﹣BM＝MN．【类型三：正方形中角含半角模型】【典例2】（2022春•西山区校级月考）如图，已知正方形ABCD，点E、F分别是AB、BC 边上，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：△EDF≌△MDF；（2）若正方形ABCD的边长为5，AE＝2时，求EF的长？【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠DCF＝90°，AD＝AB＝BC＝5，由旋转得：∠A＝∠DCM＝90°，DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠DCF+∠DCM＝180°，∴F、C、M三点在同一条直线上，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDM﹣∠EDC＝45°，∴∠EDF＝FDM，∵DF＝DF，∴△EDF≌△MDF（SAS）；（2）设CF＝x，∴BF＝BC﹣CF＝5﹣x，由旋转得：AE＝CM＝2，∴BE＝AB﹣AE＝3，FM＝CF+CM＝2+x，∵△EDF≌△MDF，∴EF＝FM＝2+x，在Rt△EBF中，BE2+BF2＝EF2，∴9+（5﹣x）2＝（2+x）2，∴x＝，∴EF＝2+x＝，∴EF的长为．【变式2-1】（2022春•路北区期末）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．（1）求证：GE＝FE；（2）若DF＝3，求BE的长为．【解答】（1）证明：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴△ADF≌△ABG，∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠EAB＝45°，∴∠BAG+∠EAB＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝FE，（2）解：设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，∴EF＝3+x，∵CD＝6，DF＝3，∴CF＝3，∵∠C＝90°，∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，解得，x＝2，即BE＝2，【变式2-2】（2021秋•山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，以A为顶点的∠EAF＝60°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF＝BE+DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【解答】解：成立．证明：将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABM，∴△ABM≌△ADF，∠ABM＝∠D＝90°，∠MAB＝∠F AD，AM＝AF，MB＝DF，∴∠MBE＝∠ABM+∠ABE＝180°，∴M、B、E三点共线，∴∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠F AD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF＝60°，∴∠MAE＝∠F AE，∵AE＝AE，AM＝AF，∴△MAE≌△F AE（SAS），∴ME＝EF，∴EF＝ME＝MB+BE＝DF+BE．【典例3】已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，AH＝6，求NH的长．（可利用（2）得到的结论）【解答】解：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，在Rt△ABM和Rt△ADN中，，∴Rt△ABM≌Rt△ADN（SAS），∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝45°，∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°，∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°，∴∠BAM＝∠MAH，在Rt△ABM和Rt△AHM中，，∴Rt△ABM≌Rt△AHM（AAS），∴AB＝AH，故答案为：AB＝AH；（2）AB＝AH成立，理由如下：延长CB至E，使BE＝DN，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠EAB+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，又AM＝AM，∴△AEM≌△ANM（SAS），∵AB，AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB＝AH．（3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，如图：∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴AB＝AH＝AD＝6，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D，∴四边形ABCD是正方形，∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD＝6．由（2）可知，设NH＝x，则MC＝BC﹣BM＝BC﹣HM＝4，NC＝CD﹣DN＝CD﹣NH＝6﹣x，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2，∴（2+x）2＝42+（6﹣x）2，解得x＝3，∴NH＝3【变式3-1】探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明．【解答】解：（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF′＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AEF′中，，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴EF＝EF′，又EF′＝BE+BF′＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+DF仍然成立．理由如下：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，则△ADF≌△ABF′，∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，∠ABF′＝∠D，又∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠DAF+∠BAE＝∠BAE+∠BAF′，∴∠EAF＝∠EAF′，又∵∠ABC+∠D＝180°，∴∠ABF′+∠ABE＝180°，∴F′、B、E三点共线，在△AEF与△AEF′中，，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴EF＝EF′，又∵EF′＝BE+BF′，∴EF＝BE+DF；（3）发生变化．EF、BE、DF之间的关系是EF＝BE﹣DF．理由如下：如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点F落在BC上点F′处，得到△ABF′，∴△ADF≌△ABF′，∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，又∵∠EAF＝∠BAD，且∠BAF′＝∠DAF，∴∠F′AE＝∠BAD﹣（∠BAF′+∠EAD）＝∠BAD﹣（∠DAF+∠EAD）＝∠BAD﹣∠F AE＝∠F AE，即∠F′AE＝∠F AE，在△F′AE与△F AE中，，∴△F′AE≌△F AE（SAS），∴EF＝EF′，又∵BE＝BF′+EF′，∴EF′＝BE﹣BF′，即EF＝BE﹣DF．【变式3-2】已知：如图边长为2的正方形ABCD中，∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠MAN＝45°①求证：MN＝BM+DN；②若AM、AN交对角线BD于E、F两点．设BF＝y，DE＝x，求y与x的函数关系式．【解答】（1）证明：将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，∴∠M′AN＝∠DAN+∠MAB＝45°，AM′＝AM，BM＝DM′，∵M′AN＝∠MAN＝45°，AN＝AN，∴△AMN≌△AM′N′，∴MN＝NM′，∴M′N＝M′D+DN＝BM+DN，∴MN＝BM+DN．（2）解：∵∠AED＝45°+∠BAE，∠F AB＝45°+∠BAE，∴∠AED＝∠F AB，∵∠ABF＝∠ADE，∴△BF A∽△DAE，∴＝，∴＝，∴y＝．。