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专题01 概率与统计-2019高考数学(理)热点题型

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概率与统计热点一 常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.【例1】某地乒乓球队备战全运会的热身赛暨选拔赛中，种子选手M 与B 1，B 2，B 3三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M 获胜的概率分别为34，23，12，且各场比赛互不影响．(1)若M 至少获胜两场的概率大于710，则M 入选征战全运会的最终大名单，否则不予入选，问M 是否会入选最终的大名单？(2)求M 获胜场数X 的分布列和数学期望．解：(1)记M 与B 1，B 2，B 3进行对抗赛获胜的事件分别为A ，B ，C ，M 至少获胜两场的事件为D ，则P (A )＝34，P (B )＝23，P (C )＝12，由于事件A ，B ，C 相互独立，所以P (D )＝P (ABC )＋P (ABC —)＋P (AB —C )＋P (A —BC )＝34×23×12＋34×23×⎝⎛⎭⎫1－12＋34×⎝⎛⎭⎫1－23×12＋⎝⎛⎭⎫1－34×23×12＝1724，由于1724>710，所以M 会入选最终的大名单． (2)M 获胜场数X 的可能取值为0，1，2，3，则 P (X ＝0)＝P (A —B —C —)＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－12＝124； P (X ＝1)＝P (AB —C —)＋P (A —B —C )＋P (A —BC —)＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×12＋⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－12＝624＝14； P (X ＝2)＝P (ABC —)＋P (AB —C )＋P (A —BC )＝34×23×⎝⎛⎭⎫1－12＋34×⎝⎛⎭⎫1－23×12＋⎝⎛⎭⎫1－34×23×12＝1124； P (X ＝3)＝P (ABC )＝34×23×12＝624＝14，所以M 获胜场数X 的分布列为：数学期望为E (X )＝0×124＋1×14＋2×1124＋3×14＝2312.【类题通法】(1)求解该类问题在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．(2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较繁(如求用“至少”表达的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．【对点训练】甲、乙两人组成“火星队”参加投篮游戏，每轮游戏中甲、乙各投一次，如果两人都投中，则“火星队”得4分；如果只有一人投中，则“火星队”得2分；如果两人都没投中，则“火星队”得0分．已知甲每次投中的概率为45，乙每次投中的概率为34；每轮游戏中甲、乙投中与否互不影响，假设“火星队”参加两轮游戏，求：(1)“火星队”至少投中3个球的概率；(2)“火星队”两轮游戏得分之和X 的分布列和数学期望E (X )．(2)X 的所有可能的取值为0，2，4，6，8， P (X ＝0)＝14×15×14×15＝1400；P (X ＝2)＝2×⎝⎛⎭⎫34×15×14×15＋14×45×14×15＝14400＝7200； P (X ＝4)＝2×⎝⎛⎭⎫34×45×14×15＋14×45×34×15＋34×15×34×15＋14×45×14×45＝73400； P (X ＝6)＝2×⎝⎛⎫34×45×34×15＋34×45×14×45＝168400＝2150； P (X ＝8)＝34×45×34×45＝144400＝925.所以X 的分布列为E (X )＝0×1400＋2×14400＋4×73400＋6×168400＋8×144400＝315.热点二 离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题.复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练.【例2】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、数学期望E(X)及方差D(X)．(2)X的可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝C03×(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13×0.6×(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33×0.63＝0.216.X的分布列为因为X～B(3，0.6)方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能值；第二步：求每一个可能值所对应的概率；第三步：列出离散型随机变量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．(Ⅰ)安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000. (Ⅱ)安装2台发电机的情形．依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－800＝4 200，因此P(Y＝4 200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下：所以，E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8(Ⅲ)安装3台发电机的情形．依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－1 600＝3 400，因此P(Y＝3 400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2－800＝9 200，因此P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X>120时，三台发电机运行，此时Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.由此得Y的分布列如下：所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．热点三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：(1)写出频率分布直方图(甲)中a的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为S21，S22，试比较S21，S22的大小(只要求写出答案)；(2)估计在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一桶的质量指标大于20的概率；(3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)．其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差S22，设X表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于(14.55，38.45)的桶数，求X的数学期望．注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得S2＝142.75≈11.95；②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.解：(1)a＝0.015，S21>S22.(2)设事件A：在甲种食用油中随机抽取1桶，其质量指标不大于20，事件B ：在乙种食用油中随机抽取1桶，其质量指标不大于20，事件C ：在甲、乙两种食用油中随机抽取1桶，恰有一桶的质量指标不大于20，且另一桶大于20， 则P (A )＝0.20＋0.10＝0.3，P (B )＝0.10＋0.20＝0.3， 所以P (C )＝P (A —)P (B )＋P (A )P (B —)＝0.42，【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中Z 服从正态分布.【对点训练】某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； (2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．解：(1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为550＝0.1，850＝0.16.故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大． 热点四 统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查. 【例4】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注： 参考数据：71ii y=∑=9.32，71i ii t y=∑＝40.170.55，7≈2.646. 参考公式：相关系数r()()niit t y y --∑，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()ˆˆˆ.()niii ni i t t y y bay bt t t ==--==--∑∑，因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝121()()()nii i nii tt y y tt ==---∑∑＝2.8928≈0.103， a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t.将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82， 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r 来确定，r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱. (2)求线性回归方程的关键是正确运用b ^，a ^的公式进行准确的计算.【对点训练】近年来，我国电子商务蓬勃发展，管理部门推出了针对某网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？求X 的分布列和数学期望E (X )．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），n ＝a＋b ＋c ＋d .K 2＝150×50×120×80≈11.111，因为11.111>6.635，所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”． (2) 每次购物时，对商品和服务都满意的概率为25，且X 的取值可以是0，1，2，3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫353＝27125； P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫25×⎝⎛⎭⎫352＝54125；P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫252×⎝⎛⎭⎫351＝36125； P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫253×⎝⎛⎭⎫350＝8125. X 的分布列为：所以E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65.或者由于X ～B ⎝⎛⎭⎫3，25，得E (X )＝3×25＝65.。

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概率与统计热点一 常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.【例1】某地乒乓球队备战全运会的热身赛暨选拔赛中，种子选手M 与B 1，B 2，B 3三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M 获胜的概率分别为34，23，12，且各场比赛互不影响．(1)若M 至少获胜两场的概率大于710，则M 入选征战全运会的最终大名单，否则不予入选，问M 是否会入选最终的大名单？(2)求M 获胜场数X 的分布列和数学期望．解：(1)记M 与B 1，B 2，B 3进行对抗赛获胜的事件分别为A ，B ，C ，M 至少获胜两场的事件为D ，则P (A )＝34，P (B )＝23，P (C )＝12，由于事件A ，B ，C 相互独立，所以P (D )＝P (ABC )＋P (ABC —)＋P (AB —C )＋P (A —BC )＝34×23×12＋34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1724，由于1724>710，所以M 会入选最终的大名单． (2)M 获胜场数X 的可能取值为0，1，2，3，则P (X ＝0)＝P (A —B —C —)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝124；P (X ＝1)＝P (AB —C —)＋P (A —B —C )＋P (A —BC —)＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝624＝14； P (X ＝2)＝P (ABC —)＋P (AB —C )＋P (A —BC )＝34×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124；P (X ＝3)＝P (ABC )＝34×23×12＝624＝14，所以M 获胜场数X 的分布列为：数学期望为E (X )＝0×124＋1×4＋2×24＋3×4＝12.【类题通法】(1)求解该类问题在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．(2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较繁(如求用“至少”表达的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．【对点训练】甲、乙两人组成“火星队”参加投篮游戏，每轮游戏中甲、乙各投一次，如果两人都投中，则“火星队”得4分；如果只有一人投中，则“火星队”得2分；如果两人都没投中，则“火星队”得0分．已知甲每次投中的概率为45，乙每次投中的概率为34；每轮游戏中甲、乙投中与否互不影响，假设“火星队”参加两轮游戏，求：(1)“火星队”至少投中3个球的概率；(2)“火星队”两轮游戏得分之和X 的分布列和数学期望E (X )．(2)X 的所有可能的取值为0，2，4，6，8，P (X ＝0)＝14×15×14×15＝1400；P (X ＝2)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×15×14×15＋14×45×14×15＝14400＝7200；P (X ＝4)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×45×14×15＋14×45×34×15＋34×15×34×15＋14×45×14×45＝73400；P (X ＝6)＝2×⎝⎛⎭⎪⎫34×45×34×15＋34×45×14×45＝168400＝2150； P (X ＝8)＝34×45×34×45＝144400＝925.所以X 的分布列为E (X )＝0×400＋2×400＋4×400＋6×400＋8×400＝5. 热点二 离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题.复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练.【例2】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、数学期望E(X)及方差D(X)．(2)X的可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝C03×(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13×0.6×(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33×0.63＝0.216.X的分布列为因为X～B(3，0.6)方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能值；第二步：求每一个可能值所对应的概率；第三步：列出离散型随机变量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．(Ⅰ)安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.(Ⅱ)安装2台发电机的情形．依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－800＝4 200，因此P(Y＝4 200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )(Ⅲ)安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行， 此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2； 当80≤X ≤120时，两台发电机运行， 此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7； 当X >120时，三台发电机运行， 此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1. 由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台． 热点三 概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算. 【例3】质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：(1)写出频率分布直方图(甲)中a 的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为S 21，S 22，试比较S21，S22的大小(只要求写出答案)；(2)估计在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一桶的质量指标大于20的概率；(3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)．其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差S22，设X表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于(14.55，38.45)的桶数，求X的数学期望．注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得S2＝142.75≈11.95；②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.解：(1)a＝0.015，S21>S22.(2)设事件A：在甲种食用油中随机抽取1桶，其质量指标不大于20，事件B：在乙种食用油中随机抽取1桶，其质量指标不大于20，事件C：在甲、乙两种食用油中随机抽取1桶，恰有一桶的质量指标不大于20，且另一桶大于20，则P(A)＝0.20＋0.10＝0.3，P(B)＝0.10＋0.20＝0.3，所以P(C)＝P(A—)P(B)＋P(A)P(B—)＝0.42，【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中Z服从正态分布.【对点训练】某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．解：(1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为550＝0.1，850＝0.16.故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大． 热点四 统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查. 【例4】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注： 参考数据：71ii y=∑=9.32，71i ii t y=∑＝40.17＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r()()niit t y y --∑，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()ˆˆˆ.()nii i nii tt y y bay bt tt ==--==--∑∑，因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝121()()()nii i nii tt y y tt ==---∑∑＝2.8928≈0.103， a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t.将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82， 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r 来确定，r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱. (2)求线性回归方程的关键是正确运用b ^，a ^的公式进行准确的计算.【对点训练】近年来，我国电子商务蓬勃发展，管理部门推出了针对某网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？X ，求X 的分布列和数学期望E (X )．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），n ＝a ＋b ＋c ＋d .K 2＝150×50×120×80≈11.111，因为11.111>6.635，所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”． (2) 每次购物时，对商品和服务都满意的概率为25，且X 的取值可以是0，1，2，3.P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125； P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫25×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝54125；P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎫351＝36125；P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫253×⎝ ⎛⎭⎪⎫350＝8125.X 的分布列为：所以E (X )＝0×27125＋1×125＋2×125＋3×125＝5.或者由于X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，得E (X )＝3×25＝65.。

2019年高考必备必考-统计与概率大题汇总_(理科解答含答案)

2019年高考必备必考-统计与概率大题汇总_(理科解答含答案)

一对一个性化辅导教学设计任课老师：关sir统计与概率解答题好比数学题中阅读理解，文字多，需要有一定的文字理解能力和结合实际进行数据分析的能力。

文档题目分三档，A 组是必须要掌握题目，因为这道题目在高考大题中是处于基础性的地位，所以要多做，争取拿满分。

A组1、（本小题满分12分）（F37，2017全国2卷理科）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如下：（3）根据箱产量的频率分布直方图，对求新养殖法产量的中位数的估计值（精确到0.01）. 附：（1）0.4092；（2）有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）52.352、（本小题满分12分）（B06理）传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征. 教育部考试中心确定了2017年普通高考部分更注重传统文化考核. 某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为E D C B A ,,,,五个等级进行数据统计如下：根据以上抽样调查数据，视频率为概率.（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B 的人数； （2）若等级E D C B A ,,,,分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为B A ,的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取3名，求抽到成绩为A 的人数X 的分布列与数学期望.（1）150（2）59，未达标（3）9/7随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；4、（本小题满分12分）（F32，2015全国2卷理科）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，根据用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）（1）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立。

2019.12.29高考中的概率与统计

2019.12.29高考中的概率与统计

指标值分组 90,94 94,98 98,102 102,106 106,110
频数
8
20
42
22
8
B 配方的频数分布表
指标值分组 90,94 94,98 98,102 102,106 106,110
频数
4
12
42
32
10
(Ⅰ) 分别估计用 A 配方、 B 配方生产的产品的优质品率；
高考中的概率与统计
简单概括(3分钟）
例1(12分钟）
例2(12分钟）
例3(10分钟）
补充练习及作业
补充练习答案
作业:高考大题专项六：第 1、3、5 题
高考中的概率与统计
概率与统计是历年高考的必考点，以中档难度题为主.
解答题考查题型主要是三个方面： 一是统计与统计案例，如回归分析与独立性检验； 二是统计与概率分布，如频率分布直方图与分布列； 三是均值与方差的综合应用.
< 16) ≥ 16)
(n

N
).
(2)①X 可能的取值为 60,70,80，并且 P(X＝60)＝0.1,P(X＝70)＝0.2,P(X＝80)＝0.7.
X 的分布列为: E( X ) ＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76. X 60 70 80 D( X ) ＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝4P4. 0.1 0.2 0.7
自学P210例1、P211例2，P213对3，P217例8.
例 1( P217 例 8(2014 全国Ⅰ理 18))从某企业生产的某种产品中抽取
500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率
分布直方图: (1) 求这 500 件产品质量指 标值的样本平均数 x 和样本方差 s2 (同
2019年高考数学全国统一考试概率统计分类详细解析及简易逻辑

2019年高考数学全国统一考试概率统计分类详细解析及简易逻辑

数学分类解析一概率统计各地高考题.选择题：1.（安徽理）（10）.设两个正态分布N （#i ，。

；）（0>0）和b ；）（%>0）的密度函数图像如图所示。

则有（A ）A. 旧 v %b\ <a 2B. 丹 <穴2，0 >。

2C. "\>D. "\> 瞄％>2.（福建理）（5）某一批花生种子,2粒发芽的概率是 （B ）16 96 192 256A.--- B. --- C. --- D.---625 625 625 62543.（福建文）（5）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为石，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是(C)16 48k --- C.---125 1254.（广东理）（3）.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1.已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（C ）A. 24B. 18C. 16D. 12一年级二年级三年级女生373Xy男生377370Z5.（湖南理）4.设随机变量：服从正态分布N （2,9），若P （<>c+l ）=P （〈<c —1）,则c=（B ）A.lB.2C.3D.46.（江西文）（11）.电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59,每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 （C）A.11801B .----2881C.---3601D ，4807. (辽宁理文)(7) . 4张卡片上分别写有数字1, 2, 3, 4,从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(C )112 3A. — B. — C. — D.—3 2 3 48. (山东理)(7)在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1, 2, 3, 18的18名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为(B .)(A) — (B ) — (C)---51 68 3069. (山东理)(8)右图是根据《山东统计年整2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶 图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为(B)(A) 304.6(B) 303.6 (C)302.610.(山东文)9.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为(B )(D)14082 9115 83 02 63 10 2 4 7(D)301.6分数54321人数2010303010A.n 2面D .----------5C. 38D.-510. (陕西文)(3).某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵.为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为(C )A. 30B. 25C. 20D. 1511. (重庆理)(5)已知随机变量〈服从正态分布M3, a ),则P(〈＜3)= (D)2(A)-(B) -(C) -(D)-5 4 3 212. (重庆文)(5)某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是(D)(A)简单随机抽样法(C)随机数表法(B)抽签法(D)分层抽样法13.（重庆文）（9）从编号为1,2,・“,10的10个大小相同的球中任取4个,则所取4个球的最大号码是6的概率为（B）2 3(C)y(D)y二.填空题：1.（广东文）（11）.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为［45,55）,[55,65),[65,75),[75,85),［85,95）由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在［55,75）的人数是13.2.（海南宁夏理文）（16）.从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm）,结果如下：甲品种:271273280285285287292294295301303303307 308310314319323325325328331334337352乙品种:284292295304306307312313315315316318318 320322322324327329331333336337343356由以上数据设计了如下茎叶图甲乙31277550284542292587331304679403123556888553320224797413313673432356根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论:①;②•以下任填两个：（1）.乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）.（2）.甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散•（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）.甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）.（3）.甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm,乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm.（4）.乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）.甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）夕卜，也大致对称，其分布较均匀.3.（湖北文）11.一个公司共有1000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是10.4.（湖北文）14.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一准时响的概率是0.98.5.（湖南理）15.对有n（nN4）个元素的总体｛1,2,3,…刀｝进行抽样，先将总体分成两个子总体｛1,2,…,m｝和（m+l>m+2,…,n｝（m是给定的正整数,且2WmWn-2）,再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用坊表示元素i和f同时出现在样本中的4概率，则P|,,=--------；所有PiQWiVjW77）的和等于鱼.m（n—ni）6.（湖南文）（12）从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：序号⑺分组睡眠时间组中值（G,）频数（人数）频率(Fj)1[4,5) 4.560.122[5,6) 5.5100.203[6,7) 6.5200.404[7,8)7.5100.205[8,9]8.540.08在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为6.42.9.（上海理文）（7）.在平面直角坐标系中，从六个点:A（0,0）、B（2,0）、C（l,l）、D（0,2）、3E（2,2）、F（3,3）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是j（结果用分数表示）10.（上海理文）（9）.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5,若要使该总体的方差最小，则a、》的取值分别是10.5和10.511.（上海文）8.在平面直角坐标系中，从五个点：A（O,O）,3（2,0）,C（L1）,D（0,2）,4£（2,2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是；（结果用分数表示）.12.（天津文）（11）.一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工10人.13.三.解答题：1.（安徽理）（19）.（本小题满分12分）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。