抛物线与特殊三角形专题精编

抛物线与特殊三角形专题精编

【例1】 如图，已知抛物线

c bx ax y ++=2经过A （-1,0）、B （3,0）、C （0，3）三点，直

线l 是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P 为直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；

（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

点拨： 对于（3），恰当设出点M 的坐标，并建立相应方程．因△MAC 的腰底不明确，故应分类讨论．

归纳： 点的坐标是综合题的立足点（求解析式），又是综合题的制高点（求满足条件的点的坐标或存在性探求），求点的坐标一般历经下面两个关键步骤： （1）定位； （2）计算．

【例2】 已知抛物线k kx kx

y 3-22

+=交x 轴于A 、B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于C

点，且y 有最大值4．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P ，使△PBC 是直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．

点拨：对于（2），设P 点坐标为(),a b ，寻找相似三角形，建立a 、b 的另一关系式，解联立而得的方程组可求出a 、b 的值．

方法规律总结： 求出相应的点的坐标是解综合题的基础与关键，基本方法有： （1）计算线段长；

（2）解由解析式形成的方程组； （3）运用解析式．

对于例2，充分运用图形特征（如特殊三角形和特殊四边形性质、寻找全等三角形和相似三角形等）是解决问题的关键．

【例3】 若1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()2

00ax

bx c a ++=≠的两个根，则方程的

两个根1x 、2x 和系数a b c 、、有如下关系：1x +2x =b a -，12c

x x a

⋅=．把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．

如果设二次函数

()200y ax bx c a =++=≠的图象与

x 轴的两个交点为()1,0A x 、

()2,0B x ．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为：AB a

∆

=

． 参考以上定理和结论，解答下列问题： 设二次函数)0(2

>++=a c bx ax

y 的图象与x 轴的两个交点为)0,(1x A 、)0,(2x B ，抛物

线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．

（1）当△ABC 为等腰直角三角形时，求ac b 4-2的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求ac b 4-2的值．

分析与解 作出特殊三角形的辅助线，由线段关系建立a b c 、、的等式，化简等式并求值．

（1）当△ABC 为等腰直角三角形时，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则AB =2CD ．

∵抛物线与x 轴有两个交点，∴2

40b ac ∆=->．

∵0a >，∴2244b ac b ac

AB a a

--==． 又∵224444ac b b ac

CD a a

--==

， ∴224424b ac b ac a a

--=⨯

．∴22

442b ac b ac --=， ∴()2

2

2

444

b

ac b ac --=

． ∵240b ac ->，∴2

44b ac -=．

（2）请读者完成．

针对训练：

1、如图，已知二次函数21:43L y x x =-+与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C .

（1）写出A 、B 两点的坐标；

（2）二次函数()2

2:430L y kx kx k k =-+≠，顶点为P .

①直接写出二次函数2

1:43L y x x =-+与二次函数()

2

2:430L y kx kx k k =-+≠有关图象的两条相同的性质；

②是否存在实数k ，使△ABP 为等边三角形？如果存在，请求出k 的值；如不存在，请说明理由；

③若直线y =8k 与抛物线L 2交于E 、F 两点，问线段EF 的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．

2、如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

3、如图，顶点为P（4，-4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON，

（1）求该二次函数的关系式；

（2）若点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：

①证明：∠ANM=∠ONM；

②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．

4、抛物线2y x bx c =-++经过点A 、B 、C ，已知A （-1，0），C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴平行线，交抛物线于点D ，当△BDC 的面积最大时，求点P 的坐标；

（3）如图2，抛物线顶点为E ，EF ⊥x 轴于F 点，M （m ，0）是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若∠MNC =90°，请指出实数m 的变化范围，并说明理由．

本节总结： 抛物线与三角形的结合是抛物线与平面几何结合生成综合性问题的一种重要形式，这类问题以抛物线为背景，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常见的形式：

（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形； （2）抛物线上的点能否构成直角三角形．

这类问题把抛物线性质和平面图形性质有机结合，需综合运用待定系数法、数形结合、分类讨论等思想方法．