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高考数学《向量》专题复习(专题训练)

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高考《向量》专题复习 1.向量的有关概念： （1）向量的定义：既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0. （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。

任意向量的单位化：与AB共线的单位向量是ABAB.

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。 （5）平行向量又叫共线向量，记作：a∥b.

①向量)0(aa与b共线，则有且仅有唯一一个实数，使ab； ②规定：零向量和任何向量平行； ③两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；

④平行向量无传递性！（因为有0)； ⑤相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； （6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；

2.平面向量的坐标表示及其运算： （1）设),(11yxa，),(22yxb，则),(2121yyxxba；

（2）设),(11yxa，),(22yxb，则),(2121yyxxba； （3）设、两点的坐标分别为11,xy，22,xy，则AB=),(1212yyxx；

（4）设),(11yxa，),(22yxb，向量平行ba//1221yxyx； （5）设两个非零向量),(11yxa，),(22yxb，则2121yyxxba， 所以002121yyxxbaba； （6）若),(yxa，则22yxa； （7）定比分点：设点P是直线21,pp上异于21,pp的任意一点，若存在一个实数，使 21PPPP，则叫做点P分有向线段21PP所成的比，P点叫做有向线段21PP的以定比为

的定比分点；当P分有向线段21PP所成的比为，则点P分有向线段21PP所成的比为1.

注意：①设111(,)Pxy、222(,)Pxy，(,)Pxy分有向线段21PP所成的比为，则121211xxxyyy， 在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)xy，11(,)xy、22(,)xy的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比.当1时，就得到线段12PP的中点公式121222xxxyyy. ②的符号与分点P的位置之间的关系： 当P点在线段21PP上时0； 当P点在线段21PP的延长线上时 1； 当P点在线段21PP的反向延长线上时10；

3.平面向量的数量积： （1）两个向量的夹角：对于非零向量a、b，作aOA，bOB，AOB0

称为向量a、b的夹角。 （2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a、b，它们的夹角为，我们把数量cosba

叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：ba，即cosbaba. 零向量与任一向量的数量积是0，注意：向量的数量积是一个实数，不再是一个向量。 （3）b在a上的投影为cosb，投影是一个实数，不一定大于0.

（4）ba的几何意义：数量积ba等于a与b在a上的投影的乘积。 （5）向量数量积的应用：设两个非零向量a、b，其夹角为，则babacos，

当0baba时，为直角； 当0ba时，为锐角或ba,同向；注意：0ba是为锐角的_____________条件； 当0ba时，为钝角或ba,反向；注意：0ba是为钝角的_____________条件； （6）向量三角不等式：bababa

当ba,同向baba，baba； 当ba,反向baba，baba； 当ba,不共线bababa； 4.平面向量的分解定理 （1）平面向量分解定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内

的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使2211eea成立，我们把不共线的向量1e、2e叫做这一平面内所有向量的一组基底。

（2）O为平面任意一点，A、B、C为平面另外三点，则A、B、C三点共线OCOBOA21λλ

且121λλ.

5.空间向量 空间向量是由平面向量拓展而来的，它是三维空间里具有大小和方向的量，它的坐标表示有x，y，z.空间向量的性质与平面向量的性质相同或相似，故在学习空间向量时，可进行类比学习。

如，若MP→、MA→、MB→三个向量共面，则MByMAxMP.同时，对于空间任意一点O，存在OBOAnOMmMByMAxOMOP，其中nm＝_____________

例1.下列命题： ①若𝑎⃗ 与𝑏⃗ 共线，则存在唯一的实数λ，使𝑏

⃗ =λ𝑎⃗ ；

②若向量𝑎⃗ 、𝑏⃗ 所在的直线为异面直线，则向量𝑎⃗ 、𝑏⃗ 一定不共面； ③向量𝑎⃗ 、𝑏⃗ 、𝑐⃗ 共面，则它们所在直线也共面；

④若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，若𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +13𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点M一定在平面ABC上，且在ABC内部； ⑤若ba//，且cb//，则ca// ；

⑥若0ba，则它们的夹角为锐角；

其中正确的命题有__________________（填序号） 例2.已知向量𝑎⃗ ，𝑏⃗ 夹角为𝜋3，|𝑏⃗ |=2，对任意x∈R，有|𝑏⃗ +x𝑎⃗ |≥|𝑎⃗ -𝑏⃗ |，则|t𝑏⃗ -𝑎⃗ |+|t𝑏⃗ -𝑎⃗ 2|（t∈R）的最小值是______________ 例3.如图，在等腰三角形ABC中，已知|AB|=|AC|=1，∠A=120°，E、F分别是AB、AC上的点，且𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜇𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，且λ，μ∈（0，1），且λ+4μ=1，若线段EF、BC的中点分别为M、N，则𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为_____________

例4.已知平面向量𝑎⃗ ，𝑏⃗ ，𝑐⃗ 满足|𝑎⃗ |=√2，|𝑏⃗ |=1，𝑎⃗ •𝑏⃗ =-1，且𝑎⃗ -𝑐⃗ 与𝑏⃗ -𝑐⃗ 的夹角为𝜋4，则|𝑐⃗ |的最大值为______________

变式训练： 1.已知向量𝑎⃗ =（-1，-2），𝑏⃗ =（1，λ），若𝑎⃗ ，𝑏⃗ 的夹角为钝角，则λ的取值范围是_____________ 2.在△ABC中，|AB|=5，|AC|=6，若B=2C，则向量𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 在𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影是_________

3.如图，在ABC中，已知∠BAC=𝜋3，|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，点D为边BC上一点，满足𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =3𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，

点E是AD上一点，满足𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|𝐵𝐸

⃗⃗⃗⃗⃗ |=______________

4.在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB=1，𝐸𝐹=√2，CD=√3

．若

𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =15，则𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为_____________

5.向量𝑎⃗ ，𝑏⃗ 的夹角为120°，|𝑎⃗ |=|𝑏⃗ |=2，|𝑐⃗ |=4，则|𝑎⃗ +𝑏

⃗ -𝑐⃗ |的最大值为__________ 6.已知O是面α上一定点，A，B，C是平面α上ABC的三个顶点，∠B、∠C分别是边AC、AB的对角。以下命题正确的是________________（填序号）

①动点P满足𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，则ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；

②动点P满足𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +λ（𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐵|+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐶|）（λ＞0），则ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；

③动点P满足𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +λ（𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐵|𝑠𝑖𝑛𝐵+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐶|𝑠𝑖𝑛𝐶）（λ＞0），则ABC的重心一定在满足条件的P点集合中； ④动点P满足𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +λ（𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐵|𝑐𝑜𝑠𝐵+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐶|𝑐𝑜𝑠𝐶）（λ＞0），则ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中； ⑤动点P满足𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+λ（𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐵|𝑐𝑜𝑠𝐵+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐶|𝑐𝑜𝑠𝐶）（λ＞0），则ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；

7.已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心，且∠A=6，若𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑐𝑜𝑠𝐶𝑠𝑖𝑛𝐵𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝑚𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则m=_____________

8.（2017全国）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ •（𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ）的最小值是_______ 9.在OMN中，点A在OM上，点B在ON上，且AB//MN，2OA=OM，若𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =x𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +y𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则

终点P落在四边形ABNM内（含边界）时，𝑦+𝑥+2𝑥+1的取值范围为____________

10.如图，在直角坐标系中，△ABC是以（2，1）为圆心，1为半径的圆的内接正三角形， △ABC可绕圆心旋转， M、N分别是边AC、AB的中点，ONOM的取值范围是_____________

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高三数学向量专题复习(高考题型汇总及讲解)(1)

高三数学向量专题复习(高考题型汇总及讲解)(1)

向量专题复习向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。

一、平面向量加、减、实数与向量积 （一）基本知识点提示1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。

2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。

3、向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4、向量形式的三角形不等式：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜(试问：取等号的条件是什么?)；向量形式的平行四边形定理：2（｜a ｜2+｜b ｜2）=｜a －b ｜2+｜a +b ｜25、实数与向量的乘法（即数乘的意义）实数λ与向量的积是一个向量，记λ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λa ｜=｜λ｜²｜a ｜;(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.6、共线向量定理的应用：若≠，则∥⇔存在唯一实数对λ使得=λ⇔x 1y 2-x 2y 1=0(其中=（x 1，y 1），=（x 2，y 2）) （二）典型例题例1、O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足).,0[||||+∞∈++=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心+是在∠BAC 的平分线上，∴选B例2、对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜(3)两个非零向量a 与b 共线时，①a 与b 同向，则a +b 的方向与a 、b 相同且｜a +b ｜=｜a ｜＋｜b ｜.②a 与b 异向时，则a +b 的方向与模较大的向量方向相同，设|a |＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。

2023届高考数学复习：历年经典好题专项(平面向量的概念及线性运算)练习(附答案)

2023届高考数学复习：历年经典好题专项(平面向量的概念及线性运算)练习(附答案)

⃗ =0,|⃗|=|⃗|=|⃗ |=2,则△ABC 的面积等于(
A.√3
B.2√3
C.3√3
D.4√3
)
)
10.(多选)设 M 是△ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的是(
A.若⃗
1 ⃗

2
1 ⃗
,则
2
⃗
M 是边 BC 的中点
B.若⃗=2⃗
⃗ ,则点 M 在边 BC 的延长线上
C.若⃗=-⃗
⃗,则 M 是△ABC 的重心
1
1
D.若⃗=x⃗+y⃗ ,且 x+y= ,则△MBC 的面积是△ABC 面积的
2
2
1
4
11.(历年山东德州高三模拟)设向量 a,b 不平行,向量 a+ λb 与-a+b 平行.则实数 λ=
.
12.(历年浙江杭州二中高二期中)在等腰梯形 ABCD 中,设⃗=a,⃗=b,⃗ =2⃗,M 为 BC 的中点,则
2
3
1
3
A. a+ b
2
3
1
3
C. a- b
2
3
)
(
)
1
3
B.- a+ b
2
3
1
3
D.- a- b
5.(历年四川宜宾叙州区第一中学月考)在▱ABCD 中,若|⃗
A.▱ABCD 为菱形
(
⃗|=|⃗
⃗|,则必有(
)
B.▱ABCD 为矩形
C.▱ABCD 为正方形 D.▱ABCD 为梯形
6.设 a,b 是非零向量,则“a=2b”是“|a+b|≥|a|+|b|”的
A.充分不必要条件
高考数学《平面向量的基本定理及坐标表示》一轮复习练习题(含答案)

高考数学《平面向量的基本定理及坐标表示》一轮复习练习题(含答案)

高考数学《平面向量的基本定理及坐标表示》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．已知在平行四边形ABCD 中，()2,6AD =，()4,4AB =-，对角线AC 与BD 相交于点M ，AM =（ ）A ．()2,5--B ．()1,5--C ．2,5D ．()1,5-3．已知ABC 中，G 是BC 的中点，若2AB =，10AC =，则AG BC ⋅的值为（ ） A ．2B ．3C ．2-D ．3-4．在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +5．已知a ，b 是不共线的向量，且2AB a b =+，2AC a b =+，33CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，C ，D 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，B ，D 三点共线 6．若M 为△ABC 的边AB 上一点，且52AB AM =，则CB =（ ） A ．3522CA CM --B ．3522CA CM -C ．3522CA CM +D ．3522CA CM -+7．如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，AB a =，AD b =，1AA c =，则1MC =（ ）A ．1122a b c ++B ．1122---a b cC ．1122-++a b cD ．1122a b c --+8．如图，在ABC 中，4BD DC =，则AD =（ ）A ．3144ABAC B ．1455AB AC +C ．4155AB AC +D ．1344ABAC 9．已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．2-D ．1-10．在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点M 满足2AM MD =，则CM =（ ）A ．1233AB AC -+B ．2133AB AC -+ C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -11．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB ，BC 分别为a ，b ，则AH =（ ）A ．2455a b -B ．2455a b +C ．2455a b -+D ．25a b --12．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且2CD BD =，E 是AD 的中点，则BE =（ ） A ．2136AB AC -B ．2136AB AC +C ．2136AB AC -- D ．2136AB AC -+二、填空题13．已知平面向量()2,1a =-，(),2b k =-，若ab ，则+=a b ________．14．锐角ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3tan tan aB C =+，若3c =，D 为AB 的中点，则中线CD 的范围为______________.15．已知向量()22OC =，,()2cos CA αα= ，则向量OA 的模的最大值是________.16．在ABC 中，M 为AB 的中点，N 为线段CM 上一点（异于端点），AN xAB yAC =+，则11x y+的最小值为______．三、解答题17．已知向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c = (1)若a b +与c 垂直， 求实数m 的值; (2)若a b -与c 共线， 求实数m 的值.18．设向量()1,2a =-，()1,1b =-，()4,5c =-. (1)求2a b +；(2)若c a b λμ=+，,λμ∈R ，求λμ+的值；(3)若AB a b =+，2BC a b =-，42CD a b =-，求证：A ，C ，D 三点共线.19．已知()1,2,2a m m =-，()3,21,1b n =-． (1)若a b ∥，求m 与n 的值； (2)若()3,,3c m =-且a c ⊥，求a ．20．已知O 是平面直角坐标系的原点，()1,2A -，()1,1B ，记OA a =，OB b =. (1)求a 在b 上的投影数量；(2)若四边形OABC 为平行四边形，求点C 的坐标；21．已知向量(1,2),(,1),()//(2)a b x a b a b ==+-． (1)求x 的值；(2)若ka b +与ka b -相互垂直，求k 的值．22．在△ABC 中，P 为AB 的中点，O 在边AC 上，BO 交CP 于R ，且|AO |＝2|OC |，设AB a =，AC b =．(1)试用a ，b 表示AR ；(2)若H 在BC 上，且RH ⊥BC ，设|a |＝2，|b |＝1，a θ∈<,b >，若θ＝[3π,23π]，求CH CB 的取值范围．23．在①2cos cos cos a A b C c B =+；②tan tan 33tan B C B C +=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______． (1)求角A 的大小；(2)若ABC 3G 为ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分。

高考数学一轮总复习 专题5.1 平面向量的概念及线性运算练习(含解析)理

高考数学一轮总复习 专题5.1 平面向量的概念及线性运算练习(含解析)理

专题5.1 平面向量的概念及线性运算真题回放1.【2017年高考新课标Ⅱ卷文4题】设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 ( ) A.a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a 【答案】A2.【2016年高考山东理8题】已知非零向量m ，n 满足4|m |=3|n |，cos ,m n =13.若n ⊥(t m +n )，则实数t 的值为 （A ）4 （B ）–4（C ）94（D ）–94【答案】B【考点】平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从n ⊥(t m +n )出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好地考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.3.【2016年高考北京理4题】设,a b 是向量，则“||||=a b ”是“||||+=-a b a b ”的 （A ） 充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ） 充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】D【考点】充要条件,向量运算【名师点睛】由向量数量积的定义||||cos θ⋅=⋅⋅a b a b (θ为a ，b 的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法. 考点分析融会贯通题型一 平面向量的概念典例1 (2016-2017年河北武邑中学高二文周考)点C 在线段AB上，且，则ACuuu r 等于（ ）【答案】D【解析】因为点C 在线段AB 上，所以AC uuu r 等于 D.考点：向量的相等. 解题技巧与方法总结平面向量的概念问题需要牢牢抓住平行向量（共线向量）、相等向量、相反向量的概念及特征，需要注意平行向量可以包含两个向量重合的情况，这点需要与直线平行加以区别【变式训练1】(2016-2017学年河北武邑中学高一上学期月考)下列说法正确的是（ ） A ．零向量没有方向 B ．单位向量都相等 C ．任何向量的模都是正实数 D ．共线向量又叫平行向量 【答案】D考点：向量的概念．【变式训练2】设a r是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )A ．a r 与λa r的方向相反 B ．a r 与2λa r 的方向相同 C ．|-λa r |≥| a r|D ．|-λa r |≥| λ|·a r【答案】B【解析】对于A ，当λ＞0时，a r 与λa r 的方向相同，当λ＜0时，a r 与λa r的方向相反，B 正确；对于C ，|-λa r |＝|-λ|| a r |，由于|-λ|的大小不确定，故|-λa r |与| a r|的大小关系不确定；对于D ，|λ| a r 是向量，而|-λa r|表示长度，两者不能比较大小．【变式训练3】(2015-2016学年江西上饶铅山县一中高一下学期期中)下列关系式正确的是 ( )A. 0AB BA +=uu u r uu r rB. a b ⋅r r是一个向量 C. AB AC BC -=uu u r uuu r uu u r D. 00AB ⋅=uu u r r【答案】D 【解析】试题分析：A 相反向量的和为零向量，所以A 不正确；B 两向量的数量积是一个实数，所以B 不正确；C 根据向量的减法的三角形法则，得CB AC =-AB ，故C 不正确；D 零与任何向量的数量积等等于零向量，故D 正确.考点：平面向量的线性运算；向量的数量积的定义及其性质.1.向量：既有大小又有方向的量叫作向量.向量的大小叫向量的长度(或模).2.几个特殊的向量(1)零向量：长度为零的向量，记作0，其方向是任意的. (2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.(3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线.(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.典例2 (青海省平安县第一高级中学2015~2016课后练习)设向量,a b rr 不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r平行，则实数λ=___________【答案】12考点：向量平行的条件 解题技巧与方法总结(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量,a b r r共线是指存在不全为零的实数12,λλ，使120a b λλ+=r r r 成立；若120a b λλ+=r r r ，当且仅当12λλ==0时成立，则向量,a b r r不共线．【变式训练1】(青海省平安县第一高级中学2015~2016课后练习)已知向量i r 与j r不共线，且,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠u u u r r r u u u r r r，若,,A B D 三点共线，则实数,m n 满足的条件是（ ）A. 1m n +=B. 1m n +=-C. 1mn =D. 1mn =-【解析】法一：Q ,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠u u u r r r u u u r r r，若,,A B D 三点共线且,,A B D 三点共线所以存在非零实数λ，使AB AD λ=uu u r uuu r即()i m j ni j λ+=+r r r rQ i r 与j r不共线所以1n m λλ=⎧⎨=⎩1n m λλ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩∴1mn =法二：由题可得， AB CD uu u r uu u rP∴AB AD λ=uu u r uuu r∴11m n = ∴1mn =考点：向量共线定理【变式训练2】已知(1,0),(2,1)a b ==r r（1） 当k 为何值时，ka b -r r 与2a b +r r共线？（2） 若23AB a b =+uu u r r r ，BC a mb =+uu u r r r，且,,A B C 三点共线，求m 的值【答案】1-232（2）Q ,,A B C 三点共线AB BC ∴u u u r u u u rP故存在实数λ，使得AB BC λ=uu u r uu u r()23a b a mb λ+=+r r r r∴2λ=，32m =考点：向量的运算法则、共线定理 知识链接：平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线. 两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =λa . 题型二 向量的线性运算 命题点1 简单的向量线性运算典例 (吉林省吉林大学附属中学2017届高三第五次摸底考试数学（理）)在梯形ABCD 中，3AB DC =uu u r uuu r ，则BC uu u r等于( )【答案】D解题技巧与方法总结(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系；④化简结果．【变式训练1】(河南省商丘市九校2016-2017学年高一下学期期中)如图12,e e u r u r为互相垂直的单位向量，向量a b c ++r r r可表示为（ ）A. 1223e e +u r u rB. 1232e e +u r u rC. 1232e e -u r u rD. 1233e e --u r u r【答案】B【解析】 1212122,2,2a e e b e e c e e =+=-=+u r u r u r u r u r u r r r r ，故 1232a b c e e ++=+u r u rr r r .知识链接：平面向量的基本定理如果12,e e u r u r是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数21,λλ使：1122a e e λλ=+r u r u r 其中不共线的向量12,e e u r u r叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【变式训练2】(北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学理)设,a b rr 是非零向量，则“,a b rr 共线”是“ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B命题点2 向量线性运算运用典例 (山东省淄博市临淄中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学（理）试题)如图在空间四边形 OABC 中，点M 在OA 上，且 2OM MA = ， N 为BC 中点，则MN uuu r等于( )A.121232OA OB OC -+uu ruu u r uuu r B.211322OA OB OC -++uu r uuu r uuu r C.111222OA OB OC +-uu ruu u r uuu r D.221332OA OB OC+-uu ruu u r uuu r【答案】B【名师点睛】进行向量的运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一点出发的基本量或首尾相接的向量，运用向量的加减运算及数乘来求解，充分利用相等的向量，相反的向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来解决 【变式训练1】如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12b B.12a －bC ．a ＋12b D.12a ＋b【答案】D【解析】连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .【变式训练2】如图所示,设P 、Q 为△ABC 内的两点,且=+,=+,则△ABP与△ABQ 的面积之比为 .【答案】知识链接：1.向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法，例AB BC AC +=uu u r uu u r uuu r（1）0+0a a a =+=r r r r r；（2）向量加法满足交换律与结合律；2.向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则. 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”． 3.向量的减法 ：向量a r 加上b r 的相反向量叫做a r 与b r的差，记作：()a b a b -=+-r r r r 求两个向量差的运算，叫做向量的减法4.作图法：a b -r r 可以表示为从b r 的终点指向a r 的终点的向量（a r 、b r有共同起点）命题点3 向量线性运算求参数值或取值范围典例 1(黑龙江省齐齐哈尔市第一中学校2016-2017学年高一3月月考数学（理）试题)已知在ABC ∆中，点在边上，且2,CD DB CD r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则的值为（ ） A. 0 B. D. 3- 【答案】A【解析】分析试题由已知可得：()22223333CD CB AB AC AB AC ==-=-uu u r uu r uu u r uuu r uuu r uuu r ,所以=点睛：向量的线性运算，注意理解加法的三角形法则和平行四边形法则以及减法法则的运用. 【变式训练1】(2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】12【变式训练2】在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为 ( )A. 12B. 13C. 14D ．1【答案】A【解析】∵M 为BC 上任意一点，∴可设AM →＝x AB →＋y AC →(x ＋y ＝1)．∵N 为AM 的中点，∴AN →＝12AM →＝12x AB →＋12y AC →＝λ AB →＋μ AC →，∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.知识链接：三点共线的性质定理：(1)若平面上三点A 、B 、C 共线，则AB →＝λBC →.(2)若平面上三点A 、B 、C 共线，O 为不同于A 、B 、C 的任意一点，则OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.典例2【2014届广东省东莞市高三第二次模拟考试】如图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC =uuu r xOA yOB +uu r uu u r，则 （ ）A.01x y <+<B.1x y +>C.1x y +<-D.10x y -<+<【答案】C【变式训练】（2014北京东城高三期末）在直角梯形ABCD 中，90,30,2,A B A BB C ∠=︒∠=︒==，点E 在线段CD 上，若AE AD AB μ=+uu u r uuu r uu u r，则实数μ的取值范围是 .【答案】102⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【解析】由题意可求得1,AD CD ==2AB DC =uu u r uuu r.因为点E 在线段CD 上，所以DE DC λ=uuu r uuu r(01λ≤≤).因为AE AD DE =+uu u r uuu r uuu r ，又AE AD AB μ=+uu u r uuu r uu u r =2AD DC μ+u u u r u u u r =2AD DE μλ+uuur uuu r ，所以2μλ=1，即μ=2λ.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12.知识交汇例1 如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．【答案】3【交汇技巧】本题将向量的共线定理与三角形重心的性质进行结合，三角形重心是三条边中线的交点，另外本题还结合了方程思想，通过消去λ得到m ，n 之间的关系例2 已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】A【解析】 由0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r 得OA OB OC +=uu r uu u r uuu r，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故A ＝30°.【交汇技巧】三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，结合0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r可得四边形OACB 为平行四边形的条件，得出四边形OACB 为菱形，从而求出角A 的大小 练习检测1.【山东省淄博实验中学2015届高三第一学期第一次诊断考试试题，文10】在ABC ∆中，点,M N 分别是,AB AC 上，且32,5AM MB AN AC ==uuu r uuu r uuu r uuu r，线段CM 与BM 相交于点P ，且,AB a AC b ==u u u r r u u u r r，则AP uu u r 用a r 和b r 表示为( )A ．4193AP a b =+uu u r r rB ．4293AP a b =+uu u r r rC ． 2493AP a b =+uu u r r rD ．4377AP a b =+uu u r r r【答案】A2.(江西省南昌市重点学校2016-2017学年高一4月检测)已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足3BD DC =uu u r uuu r ，则AD uuu r可表示为（ ）A. 23AD AB AC =-+uuu r uu u r uuu rB.【答案】C【解析】如图所示，3.(2015届北京市156中学高三上学期期中考试理科)如图，向量b a -等于（ ）（A ）2124e e -- （B ）2142e e --（C ）213e e - （D ）213e e - 【答案】C点评：12,e e u r u r 是两个单位向量，从图上将,a b r r用单位向量表示出来4.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则 ( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上 【答案】B【解析】因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B. 5.(2016-2017学年天津市静海县第一中学高二上学期期末五校联考理)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若1,,AB a BC b AA c ===uu u r r uu u r r uuu r r，则BM uuu r 可表示为（ ）A. 1122a b c -++r r rB. 1122a b c ++r r rC. 1122a b c --+r r rD. 1122a b c -+r r r【答案】A【解析】()111222BN BA BC a b =+=-+uuu r uu r uu u r r r Q1122BM BN NM a b c ∴=+=-++uuu r uuu r uuur r r r,故本题正确答案为A6.(江西省赣州市十四县（市）2017届高三下学期期中联考（理）)如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O ，点E ， F 分别在边AB ， AD 上，直线EF 交AC 于点K ， AK AO λ=uuu r，则λ等于（ ）【答案】C7.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.8.设点O 在ABC V 内部,且有40OA OB OC ++=uu r uu u r uuu r r,求△ABC 的面积与△OBC 的面积之比.【答案】S △ABC ∶S △OBC =3∶2.【解析】取BC 的中点D,连接OD,则+=2,4++=0,∴4=-(+)=-2,∴=-.∴O 、A 、D 三点共线,且||=2||,∴O 是中线AD 上靠近A 点的一个三等分点, ∴S △ABC ∶S △OBC =3∶2.9.在任意四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BC 中点，求证：()1=+2EF AB DC uu u r uu u r uuu r法二：连接EB EC uu r uu u r ， 则=+EC ED DC uu u r uu u r uuu r()()11==+++=22EF EC EB ED DC EA AB +uu u r uu u r uu r uu u r uuu r uu r uu u r ()1+2AB DC uuu r uuu r。