07第七章椭球面上的测量计算

“测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 1 第七章第七章、、椭球面上的测量计算椭球面上的测量计算 §7.1地球椭球的基本几何参数及相互关系地球椭球的基本几何参数及相互关系 7.1.1地球椭球的基本几何参数地球椭球的基本几何参数 地球椭球地球椭球 参考椭球参考椭球 具有一定的几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地

球椭球叫做参考椭球。地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行计算，它是大地测量计算的基准面大地测量计算的基准面大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。 有关元素有关元素 O为椭球中心； NS为旋转轴； a为长半轴； b为短半轴； 子午圈（或径圈或子午椭圆）； 平行圈（或纬圈）； 赤道。 旋转椭球的形状和大小是由子午椭圆的五子午椭圆的五个基本几何个基本几何参数参数参数（元素）来决定的，即： 椭圆的长半轴： a 椭圆的短半轴： b

椭圆的扁率： α=−aba (7-1)

椭圆的第一偏心率： abae22−= (7-2) 椭圆的第二偏心率： bbae22 −=′ (7-3) 其中：a、b称为长度元素； 扁率α反映了椭球体的扁平程度，如α=0时，椭球变为球体；α=1时，则为平面。 e和e/是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映了椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁。 五个参数中，若知道其中的两个参数就可决定椭球的形状和大小，但其中至少应已知一个长度元素（如a或b），人们习惯于用a和α表示椭球的形状和大小，便于级“测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 2 数展开。引入下列符号：

bac2=

tgBt= Be222cos ′=η (7-4)

式中B为大地纬度，c为极曲率半径（极点处的子午线曲率半径）， 两个常用的辅助函数，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数，

BeVBeW2222cos1sin1′+=−= (7-5)

传统大地测量利用天文大地测量和重力测量资料推求地球椭球的几何参数，自1738年（法国）布格推算出第一个椭球参数以来，200多年间各国大地测量工作者根据某一国或某一地区的资料，求出了数目繁多，数值各异的椭球参数。由于卫星大地测量的发展，使推求总地球椭球体参数成为可能，自1970年以后的椭球参数都采用了卫星大地测量资料。长半经变化于长半经变化于63781356378135mm～63781456378145mm之间之间，，扁率分母变化于298.25298.25～～298298..26之间之间，，可见精度已很高。比较著名的有30个椭球参数，其中涉及我国的有：

我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是WGS-84系椭球参数。

7.1.2地球椭球参数间的相互关系地球椭球参数间的相互关系 由(7-2)和(7-3)式得：

2222abae−= 2222

b

bae−=′

2221abe=− 2221bae=′+

并得：

椭球参数 年代 长半径m 扁率分母 采用国家、地区 海福特 1906 6378283 297.8 美、阿根廷、比利时、大洋洲 克拉索夫斯基 1940 6378245 298.3 苏、东欧、中、朝鲜等

1975年大地坐标系 1975 6378140 298.257 1975年国际第三个推荐值 WGS-84 1984 6378137 298.25722 GPS定位系统 “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/

3 1)1)(1(22=′+−ee (7-6) 推得： 2221eee′+′= 2221eee−=′ (7-7) 同理可得： 221 1eabeba−=+=LLL

2211ecaeac−=′+=LLL

221 1 eeeeee−′=′+=′LLL

2211eVWeWV−=′+=LLL (7-8)

e2222=−≈ααα 还有(7-9)式。 “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/

4 §7.2椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系 通常采用以下四种坐标系：大地坐标系、空间直角坐标系（大地测量中两种基本坐标系）、子午平面直角坐标系及大地极坐标系。 7.2.1各种坐标系的建立各种坐标系的建立 1大地坐标系P点的子午面NPS与起始子午面NGS所构成的二面角叫做P点大地经度，P点的法线Pn与赤道面的夹角B叫P点的大地纬度，P点的位置用L、B表示。 若点不在椭球面上，还要附加另一参数大地高H，它与正常高及正高的关系为：

)()(大地水准面差距高程异常正正常NHHHH+=+=ζ

(7-10) 若点在椭球面上，H=0。 大地坐标系是大地测量的基本坐标系，其优点为： ⑴它是整个椭球体上统一的坐标系，是全世界公用的最方便的坐标系统。⑵它与同一点的天文坐标（天文经纬度）比较，可以确定该点的垂线偏差的大小。 2 空间直角坐标系空间直角坐标系以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与X轴正交的方向为Y轴，椭球体的旋转轴为Z轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点的位置用X、Y、Z表示。 3子午面直角坐标系子午面直角坐标系 设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立x，y平面直角坐标系。在该坐标系中，P点的位置用L，x，y表示。 4大地极坐标系大地极坐标系 M为椭圆体面上任意一点，MN为过M点的子午线，S为连结MP的大地线长，A为大地线在M点的大地方位角。以M为极点、MN为极轴、S为极径、A为极角，就构成了大地极坐标系。P点位置用S、A表示。 椭球面上的极坐标（S、A）与大地坐标（L、B）可以互相换算，这种换算叫大地主题解算。

7.2.2各种坐标系间的关系各种坐标系间的关系 1子午面直角坐标系同大地坐标系的关系 这两个坐标系中，L相同，因此，只需推求x，y同B的关系。 过P点作法线Pn，与x轴之夹角为B，过P点作子午圈的切线TP，与x轴的夹角为（900+B）。该夹角的正切值为曲线在P点处之斜率，它等于曲线在该点的一阶导数。

ctgBBtgdxdy−=+=)90(o (7-11)

P点在以O为中心的子午椭圆上，必须满足： “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 5 12222=+bya

x (7-12)

对x求导，得： dydxbaxy=−⋅2

2 (7-13)

同(7-11)式比较可得： ctgBbaxyexy=⋅=−2221()

因此：tgBexy)1(2−= (7-14) 上式代入(7-12)，且用aB22cos乘上式两边，得： {}xBeBaB2222221cos()sincos+−=

或 BaBex22222cos)sin1(=− 由此可得：

xaBeBaBW=−=cossincos122 (7-16) 上式代入(7-14)式得： yaeBeBaWeBbBV=−−=−=()sinsin()sinsin1112222 (7-17)

(7-16)(7-17)两式即为子午面直角坐标x、y同大地纬度B的关系式。 若设Pn=N（卯酉圈曲率半径），由图可以看出： xNB=cos (7-18)

与(7-16)式比较，可知：NaW= (7-19)

于是有：yNeB=−()sin12 (7-20) 又由图看出：yPQB=sin (7-21) (7-20)(7-21)式比较得：PQNe=−()12 (7-22) 显然：QnNe=2 (7-23) 以上两式指明了法线Pn在赤道两侧的长度。 2空间直角坐标系与子午面直角坐标系的关系

注意到图7-3与图7-4，空间直角坐标系中的PP2相当于子午平面直角坐标系中“测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 6 的y，OP2相当于x，且两者之经度相同，于是可得：

yZLxYLxX===sincos (7-24) 3空间直角坐标系与大地坐标系的关系 将(7-18)(7-20)两式代入(7-24)式可得：

(7-25)

若将(7-16)(7-17)两式代入上式，则 （7-26）

若P点不在椭球面上，如图所示。设大地高为H，P点在椭球面上的投影为P0,则矢量为 ρρ=+0Hn (7-27)

因为：

ρ0

21==−XYZNBLBLeBcoscoscossin()sin

(7-28) 且外法线单位矢量

nBLBLB=coscoscossinsin

(7-29) 因此有：

[]

+−++=







=BHeNLBHNLBHNZYXsin)1(sincos)(coscos)(

2ρ (7-30)

BeNZLBNYLBNXsin)1(sincoscoscos2−===VBbZLWBaYLWBaXsinsincoscoscos===