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函数解析式的七种求法

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第 1 页 共 7 页 函 数 解 析 式 的 七 种 求 法

一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(xf是一次函数，且34)]([xxff，求)(xf

解：设baxxf)( )0(a，则

babxabbaxabxafxff2)()()]([

342baba 3212baba　或　　

32)(12)(xxfxxf　　或　　

二、 配凑法：已知复合函数[()]fgx的表达式，求()fx的解析式，[()]fgx的表达式容易配成()gx的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()fx的定义域不是原复合函数的定义域，而是()gx的值域。

例2 已知221)1(xxxxf )0(x ，求 ()fx的解析式

解：2)1()1(2xxxxf， 21xx

2)(2xxf )2(x

三、换元法：已知复合函数[()]fgx的表达式时，还可以用换元法求()fx的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知xxxf2)1(，求)1(xf

解：令1xt，则1t，2)1(tx

Qxxxf2)1(

,1)1(2)1()(22ttttf

1)(2xxf )1(x 第 2 页 共 7 页 xxxxf21)1()1(22 )0(x

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数)(2xgyxxy与的图象关于点)3,2(对称，求)(xg的解析式

解：设),(yxM为)(xgy上任一点，且),(yxM为),(yxM关于点)3,2(的对称点

则3222yyxx，解得：yyxx64 ，

点),(yxM在)(xgy上

xxy2

把yyxx64代入得：

)4()4(62xxy

整理得672xxy

67)(2xxxg

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例5 设,)1(2)()(xxfxfxf满足求)(xf

解 xxfxf)1(2)( ①

显然,0x将x换成x1，得：

xxfxf1)(2)1( ②

解① ②联立的方程组，得：

xxxf323)(

例6 设)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，又,11)()(xxgxf试求)()(xgxf和的解析式 第 3 页 共 7 页 解 )(xf为偶函数，)(xg为奇函数，

)()(),()(xgxgxfxf

又11)()(xxgxf ① ，

用x替换x得：11)()(xxgxf

即11)()(xxgxf②

解① ②联立的方程组，得

11)(2xxf， xxxg21)(

六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7 已知：1)0(f，对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，求)(xf

解Q对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，

不妨令0x，则有1)1(1)1()0()(2yyyyyyfyf

再令 xy 得函数解析式为：1)(2xxxf

七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。

例8 设)(xf是定义在N上的函数，满足1)1(f，对任意的自然数ba, 都有abbafbfaf)()()(，求)(xf

解 Nbaabbafbfaf,)()()(，，

不妨令1,bxa，得：xxffxf)1()1()(，

又1)()1(,1)1(xxfxff故 ①

分别令①式中的1,21xnL 得： 第 4 页 共 7 页 (2)(1)2,(3)(2)3,()(1),fffffnfnnLL

将上述各式相加得：nfnf32)1()(，

2)1(321)(nnnnf

Nxxxxf,2121)(2

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一次函数解析式快速求法(一秒出答案)

一次函数解析式快速求法(一秒出答案)

一次函数解析式快速求法（一秒出答案）

直线斜率：k=tanα

首先需要向大家解释清楚的是这个α指的是直线与X轴正方向的夹角，如下图

这里会存在一个问题，就是同学们初中学的叫“锐角三角函数”，所以对于图2这样的钝角三角函数，大部分同学应该还不太会，那么这个问题我们可以简化一下，具体操作如下：

对于图1，同学们很容易可以看出tanα=1，所以这一类比较简单，直接得出k=1

对于图2，先求出α的邻补角，即那个与X轴的负方向的夹角的正切值为1/2，然后因为直线是往下走的，所以K为负值，因此只需要将刚才那个正切值前面加上“－”号就可以了，即K=tanα=－1/2。它在求一次函数的解析式的时候能减少计算量，节省考试时间。

举例说明：已知直线过A(-1，5)， B(1，-1)两点，求直线的解析式。

常规方法是将这两点代入y=kx+b，然后解二元一次方程组，那么同学们可以这样操作：

首先可以简单画个草图，然后像我这样构造一个直角三角形，tan∠ABC=3,又因为直线往下走，所以k=-3，于是直线解析式为y=－3x+b,再将(1，-1)代入，可口算出b=2，所以直线解析式为y=－3x+2。

肯定有同学认为这样做学校老师不会给分的，那么我教大家一个可以拿分的办法：

考试的时候试卷上这样写：“将A,B两点坐标代入y=kx+b，解得k=-3,b=2。”

所有老师都希望学生通过解二元一次方程组来求这个直线解析式，但事实上我们可以偷偷使用我教的这个方法，但是卷面上可以假装解了一个二元一次方程组，老师不会看具体计算过程，因此这样写老师是会给分的。

一次函数解析式练习题

一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。

例1. 已知函数ymxm()3328是一次函数，求其解析式。

例2. 已知一次函数ykx3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。

2018年高考数学复合函数定义

2018年高考数学复合函数定义

2018年高考数学复合函数定义域及常见函数解析式的求法总结

（1）定义域一定是x的范围,注意力应放在x上,不管已知定义域,还是求定义域,都是指x范围.

如f(3x+1)的定义域为[1,2]是指括号内3x+1中的x的范围是[1,2]

（2）求定义域的方法是：凡是f后面括号内的范围是相同的,不管括号内是什么,通过这个求

x范围

如f(3x+1)的定义域为[1,2]求f(x)定义域

由条件可得整个括号内的范围为[4,7]

而f(x)中,括号内只有x,故定义域即为[4,7]

再如f(3x+1)的定义域为[1,2]求f(1-2x)定义域

由上可知括号内范围[4,7]

故1-2x的范围也是[4,7]

解不等式4≤1-2x≤7得出的x范围即为所求的定义域

函数解析式的七种求法

一）求函数的解析式

1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座

桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；

2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，

可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；

3、求函数解析式的一般方法有：

（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，

解出y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；

（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），

以换元法解之；

（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x

代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f

（x）的表达式；

（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的

等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，

几何图形中函数解析式的求法(学法指导)

几何图形中函数解析式的求法(学法指导)

几何图形中函数解析式的求法(学法指导)

几何图形中函数解析式的求法

函数是初中数学的重要内容，也是初中数学和高中数学有相关联系的细节，在历年的中考试题中都占有重要的份量，而求函数的解析式则成为中考的热点。求函数的解析式的方法是多种多样的，但是学生往往把思维固定在用“待定系数法”去求函数的解析式。而使用待定系数法去求函数的解析式的大前提是必须根据题目的条件，选用恰当函数（如正、反比例函数，一次、二次函数）的表达式。如果题目中能根据直接条件或间接条件给出函数的类型，当然是选用待定系数法求函数的解析式。

但我们发现，在几何图形中求函数解析式却成为初中数学考试的常见题、压轴题。同时我们也发现，在几何图形中求函数解析式往往是无法确定所求函数的类型，因此用待定系数法进行解题是行不通的。我们知道，函数的解析式也是等式，要建立函数解析式，关键是运用已知条件在几何图形中找出等量关系，列出以变量有关的等式。下面以几个例子来探求在几何图形中建立函数解析式的常见类型和解题途径。

一、 用图形的面积公式确立等量关系

例1、如图1，正方形ABCD的边长为2，有一点P在BC上运动，设PB=x，梯形APCD的面积为y

（1）求y与x的函数关系式；

（2）如果S△ABP =S体型APCD请确定P的位置。

分析：本题所给的变量y是梯形的面积，因此可根据梯形面积公式B C

A D

P

图1

即222)2(yyx

整理得1412xy

在RtΔABC中，∠B=90°，∠BAC=30°，AB=2 ，

∴BC=332 ，∴0

于是1412xy (0

二、 用平行线截线段成比例，利用比例式确立等量关系

例4、如图4，在ΔABC中，AB=8，AC=6，⊙O是ΔABC的外接圆，且BC是直径，⊙O与⊙O’内切于点A，与边AB、AC分别交于点D、E。设BD=x，DE=y。

（1）求y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值

二次函数解析式的8种求法

二次函数解析式的8种求法

二次函数解析式的求法

一、定义型：

此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x的最高次数为2次．

例1、若 y =( m2+ m )xm2 – 2m －1是二次函数，则m = ．

二、开放型

例2、(1)经过点A（0，3）的抛物线的解析式是

．

三、平移型：

将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x – h)2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x – h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．

例3、二次函数 253212y 的图像是由221y的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的．

四、一般式

当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式cbay2，转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；

五、顶点式

若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式khxay2．这顶点坐标为（ h，k ），对称轴方程x = h，极值为当x = h时，y极值=k来求出相应的系数；

六、两根式

已知图像与 x轴交于不同的两点1200xx，，，，设二次函数的解析式为21xxxxay，根据题目条件求出a的值．

例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式：

1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5）

2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）

3．图像与x轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－29）

七、翻折型（对称性）：

已知一个二次函数cba2，要求其图象关于x轴对称（也可以说沿x轴翻折）；y轴对称及经过其顶点且平行于x轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y = a( x – h)2 + k的形式． （1）关于x轴对称的两个图象的顶点关于x轴对称，两个图象的开口方向相反，即a互为相反数．