函数的解析式的常用求法

求函数解析式的六种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可.例1 已知f （xx 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 11-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）.评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.二、配凑法例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式.解： f （x +1）= 2)(x +2x +1－1=2)1(+x －1，∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有f （x ）= x 2－1 （x ≥1）.评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.三、待定系数法例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.x ≥0， x ＜0. 四、消去法例4 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求f （x ），必须消去已知中的f （x 1），若用x1去代替已知中x ，便可得到另一个方程，联立方程组求解即可. 解：∵ f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0） ① 由x 1代入得 2f （x ）+f （x 1）=x1（x ≠0） ② 解 ①② 构成的方程组，得 f （x ）=x 32－3x （x ≠0）. 五、特殊值法例5 设是定义在R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意的实数x ，y ， 有f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式.分析：要f （0）=1，x ，y 是任意的实数及f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），得到f （x ）函数解析式，只有令x = y.解： 令x = y ，由f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1） 得f （0）= f （x ）－ x （2x －x+1），整理得 f （x ）= x 2+x+1.六、对称性法即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.例6 已知是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2，求f （x ）函数解析式.解：∵y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴y=f （x ）的图象关于原点对称. 当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），因此当x<0时，y=2)1(+x －1= x 2 +2x.故 f （x ）=⎩⎨⎧+-xx x x 2222 评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.。

函数解析式的求解及常用方法
1.直接法：当函数的表达式比较简单时，可以通过观察函数在一些特定点上的值来找到函数的解析式。

例如，给定函数的函数值和定义域，通过观察函数的值与自变量之间的关系来确定函数的解析式。

2. 反函数法：对于一些特殊函数，可以通过求解函数的反函数来得到函数的解析式。

例如，对于幂函数y=x^n，可以通过求解其反函数
y=\sqrt[n]{x}来得到幂函数的解析式。

3.已知条件法：对于一些已知条件，可以通过利用这些条件来求解函数的解析式。

例如，已知函数的导函数或者积分表达式，可以利用这些条件来求解函数的解析式。

4.递归法：有些函数可以通过递归的方式来定义，即函数的值依赖于前面的函数值。

例如，斐波那契数列就是通过递归来定义的，可以通过递归的方式来求解函数的解析式。

5.求导和积分法：对于一些函数，可以通过求导和积分的方式来求解函数的解析式。

特别是对于一些常见的函数，可以通过求导和积分的规则来求解函数的解析式。

以上是常用的函数解析式求解方法，不同函数的特点和已知条件可能需要采用不同的方法来求解函数的解析式。

在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的方法来求解函数的解析式。

函 数 解 析 式 的 六 种 求 法一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法．它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。

其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．二、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域．例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式．三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。

它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ．四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式．五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式． 例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f ．例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式小结：消元法适用于自变量的对称规律。

互为倒数，如f(x)、1()f x ；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。

思路探寻函数的解析式主要受解析式中系数的影响，因此求函数解析式的关键在于求得函数的系数.我们可以运用换元法、待定系数法和赋值法来求函数解析式中的系数.一、换元法有些函数的解析式较为复杂，由两个或者两个以上的函数复合而成，此时我们可以运用换元法来求解.在解题时，可将意义等价的式子进行等价转换，用一个新元替换，将函数式转化为关于新元的式子，在化简后将其用x 替换，即可求得函数的解析式.例1.若f ()log a x =a a 2-1æèöøx -1x ，a >0、a ≠1，求函数的解析式.解：令t =log a x ，又因为a >0，a ≠1，则x =a t ，可得f ()t =a a 2-1æèçöø÷a t -1a t .因此函数f ()x 的解析式就为f ()x =a a 2-1æèçöø÷a x -1a x .该已知函数式是由f (x )和y =log a x 复合而成的，要求得函数的解析式，我们需将y =log a x 进行转化，于是引入参数t ，将其替换，把函数式转化为关于t 的式子，再用x 替换，即可求得函数的解析式.例2.若f ()2-cos t =5-sin 2t ，求f ()x 的解析式.解：设{x =2-cos t ，y =5-sin 2t ，则{cos t =2-x ，sin 2t =5-y ，消去t 可得y =x 2-4x +8.因为x =2-cos t ，因此函数f ()x 的定义域为[]1,3，所以函数f ()x 的解析式为f ()x =x 2-4x +8，x ∈[]1,3.这里主要运用换元法求得函数的解析式.由于已知函数式中含有不同名的三角函数，因此需分别引入参数x 、y 来替换2-cos t 、5-sin 2t .二、待定系数法当已确定函数的类型时，我们可以利用待定系数法来解题.首先引入待定系数，并设出函数的解析式，再结合题目中所给的条件与所设出的函数解析式，建立与系数相关的方程或关系式，求得系数的值即可求得函数的解析式.例3.已知某二次函数f ()x 的解析式满足以下要求：①f ()-1=0；②对于任意的实数x ，都有x ≤f ()x ≤1+x 22成立，求f ()x 的解析式.解：设f ()x =ax 2+bx +c ，其中a ≠0,根据条件①可知，f ()-1=0，可得a +c =b .令x =1，可得f ()1=a +b +c =1，即a +c =12.又因为对于任意的实数x ，都有x ≤f ()x =ax 2+bx +c 恒成立，等价于ax 2+()b -a x +c ≥0恒成立，则∆=b 2-4ac =()a +c 2-4ac =()a -c 2≤0，并且a >0，那么a =c .解得a =c =14，b =12，则函数的解析式为f ()x =14x 2+12x +14.本题较为复杂，但由题意可以明确地知道函数为二次函数，于是利用待定系数法来求解.引入待定系数，根据已知条件建立方程组，求得系数a 、b 、c 的值，就可以求出f (x )的解析式.三、赋值法对于一些抽象函数，我们一般采用赋值法来求函数的解析式.一般可令x =0、1、2、-1、-2、-x 等，然后根据所得的结果，利用函数的周期性、单调性、对称性、奇偶性等来求得函数的解析式.例4.已知函数f ()x 的定义域是R ，当x =0时，f ()0=1.对于任意的实数x ,y ，均有f ()x -y =f ()x -y ()2x -y +1，求函数f ()x 的解析式.解：令x =y ，可得f ()0=f ()x -x ()2x -x +1，即f ()0=f ()x -x 2-x .又因为f ()0=1，那么函数f ()x 的解析式为f ()x =x 2+x +1.将特殊值代入已知条件中来代替某些变量，可以使抽象函数更加具体，借助函数的性质，便可求得函数的解析式.求函数的解析式是一类基础性的题目，在解题时同学们要学会灵活运用换元法、待定系数法、赋值法等来解题.但此类问题的运算量较大，同学们在解题时要注意谨慎计算.（作者单位：甘肃省宁县第一中学）韩和旭56。