【2020中考数学专项复习】圆中常见的计算题型
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【中考专项复习】圆中常见的计算题型
【回归概念】
题型研究：①有关角度的计算 ；②半径、弦长的计算 ；③面积的计算，其中包括利用“作差法”求面积、利用“等积法”求面积、利用“平移法”求面积；④实际应用的计算，这方面主要包括：利用垂径定理解决台风问题、利用圆周角知识解决足球射门问题(转化思想)、利用直线与圆的位置关系解决范围问题、利用圆锥侧面展开图解决材料最省问题等问题。
【规律探寻】
与圆有关的计算主要体现在：利用圆周角定理求角度，利用垂径定理构造直角三角形并结合勾股定理，已知弦长、弦心距、半径三个量中的任意两个量时，可求出第三个量，利用弧长、扇形面积公式计算弧长、扇形面积，利用圆的知识解决实际问题等；其中涉面积的计算，常采用作差法、等积法、平移法、割补法等，涉实际应用计算常采用建模思想进行计算．
【典例解析】
例题1：(2019•云南•4分)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
【考点】直角三角形的内切圆．
【分析】由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，由切线长定理，可知直角三角形内切圆的半径等于)(21BCACAB．
【解答】解：∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠A=90°，
∵⊙O为△ABC内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，∴四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，则OE=OF=AE=AF=r，∴BD=BF=AB－r，CD=CE=AC－r，
∴BC=BD+CD= AB－r+ AC－r，∴r=)(21BCACAB=2，
∴S四边形AEOF=r²=4，故选A．
例题2：（2019•黑龙江省齐齐哈尔市•8分）如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OA，则得出∠COA＝2∠B＝2∠D＝60°，可求得∠OAD＝90°，可得出结论；
（2）可利用△OAD的面积﹣扇形AOC的面积求得阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OA，则∠COA＝2∠B，
∵AD＝AB，
∴∠B＝∠D＝30°，
∴∠COA＝60°，
∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴OA⊥AD，
即CD是⊙O的切线；
（2）解：∵BC＝4，
∴OA＝OC＝2，
在Rt△OAD中，OA＝2，∠D＝30°，
∴OD＝2OA＝4，AD＝2，
∴S△OAD＝OA•AD＝×2×2＝2，
∵∠COA＝60°，
∴S扇形COA＝＝π，
∴S阴影＝S△OAD﹣S扇形COA＝2﹣．
例题3：如图，已知A，B两地相距1 km.要在A，B两地之间修建一条笔直的水渠(即图中的线段AB)，经测量在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个以C为圆心，350 m为半径的圆形公园，则修建的这条水渠会不会穿过公园？为什么？
