湖北省荆州市沙市中学2018届高三下学期第三次半月考数学试卷文科 含解析

2018-2018学年湖北省荆州市沙市中学高三（下）第三次半月考数学试卷（文科）

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合，则A∩（∁RB）等于（ ）

A． B． C． D．（0，2）

2．新定义运算： =ad﹣bc，则满足=2的复数z是（ ）

A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i

3．已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（ ）

A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）

4．下列判断错误的是（ ）

A．若p∧q为假命题，则p，q至少之一为假命题

B．命题“∀x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2﹣1＞0”

C．若∥且∥，则∥是真命题

D．若am2＜bm2，则a＜b否命题是假命题

5．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如

图所示，那么该几何体的体积是（ ）

A． B．4 C． D．3

6．函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（ ）

A．（3，﹣3） B．（﹣4，11） C．（3，﹣3）或（﹣4，11） D．不存在

7．已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为（ ）

A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．0

8．在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．

9．已知函数f（x）=cos（2x+φ）（0＜φ＜π），若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，则f（x）的单调递减区间是（ ）

A．[kπ，kπ+]（k∈Z） B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）

C．[kπ+，kπ+]（k∈Z） D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）

10．已知三棱锥P﹣ABC，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，PA⊥面ABC，PA=2，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A．π B．4π C．π D．16π

11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．

12．定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+4）=16，当x∈（0，4]时，f（x）=x2﹣2x，则函数f（x）在[﹣4，2018]上的零点个数是（ ）

A．518 B．518 C．1018 D．1018

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13．若数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为

．

14．若非零向量，，满足+2+3=，且•=•=•，则与的夹角为 ．

15．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线的焦点，顶点C在该曲线上．一同学已正确地推得：当m＞n＞0时，有e•（sinA+sinB）=sinC．类似地，当m＞0、n＜0时，有e•（ ）=sinC．

16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且3bcosC﹣3ccosB=a，则tan（B﹣C）的最大值为 ．

三、解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知等比数列{an}的各项均为正数，a1=1，公比为q；等差数列{bn}中，b1=3，且{bn}的前n项和为Sn，a3+S3=27，q=．

（Ⅰ）求{an}与{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{cn}满足cn=，求{cn}的前n项和Tn．

18．某班甲、乙两名同学参加l00米达标训练，在相同条件下两人l0次训练的成绩（单位：秒）如下：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

甲 11.6 12.2 13.2 13.9 14.0 11.5 13.1 14.5 11.7 14.3

乙 12.3 13.3 14.3 11.7 12.0 12.8 13.2 13.8 14.1 12.5

（Ⅰ）请作出样本数据的茎叶图；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）．

（Ⅱ）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率．

（Ⅲ）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5，14.5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．

19．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD．

（Ⅰ）证明：AC⊥平面EFBD；

（Ⅱ）若BF=，求多面体ABCDEF的体积．

20．已知抛物线x2=2py上点P处的切线方程为x﹣y﹣1=0．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）设A（x1，y1）和B（x2，y2）为抛物线上的两个动点，其中y1≠y2且y1+y2=4，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C，求△ABC面积的最大值．

21．设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，

（1）求b；

（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．

[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，直线PA为圆O的切线，切点为A，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D．

（1）证明：PA=PD；

（2）求证：PA•AC=AD•OC．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2cosθ，θ∈[0，]．

（1）在直角坐标系下求曲线C的方程；

（2）设点D在曲线C上，曲线C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的曲线C的方程，在直角坐标系下求D的坐标．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R

（1）求m，n的值；

（2）若a，b，c∈R+，且a+b+c=m﹣n，求证： ++．

2018-2018学年湖北省荆州市沙市中学高三（下）第三次半月考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合，则A∩（∁RB）等于（ ）

A． B． C． D．（0，2）

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】由题意，可先解分式不等式和指数不等式，化简集合A，B，再求出B的补集，再由交集的运算规则解出A∩（∁RB）即可得出正确选项．

【解答】解：由＞1即为﹣1＞0，即＞0，即为x（x﹣2）＜0，解得0＜x＜2，

∴A=（0，2），

由0＜2x﹣1＜3，即B=（0，），

∴∁RB=（﹣∞，0]∪[，+∞）

∴A∩（∁RB）=[，2）

故选：B．

2．新定义运算： =ad﹣bc，则满足=2的复数z是（ ）

A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】直接利用新定义，化简求解即可．

【解答】解：由=ad﹣bc，则满足=2，

可得：iz+z=2，

所以z===1﹣i．

故选：A．

3．已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（ ）

A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）

【考点】等比数列的前n项和．

【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求

【解答】解：∵3an+1+an=0

∴

∴数列{an}是以﹣为公比的等比数列

∵

∴a1=4

由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）

故选C

4．下列判断错误的是（ ）

A．若p∧q为假命题，则p，q至少之一为假命题

B．命题“∀x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2﹣1＞0”

C．若∥且∥，则∥是真命题

D．若am2＜bm2，则a＜b否命题是假命题

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】A．利用复合命题的真假判定方法即可得出；

B．利用命题的否定定义即可判断出；

C．不一定正确，例如当时；

D．其否命题为：若am2≥bm2，则a≥b，是假命题，m=0时，a，b大小关系是任意的．

【解答】解：A．若p∧q为假命题，则p，q至少之一为假命题，正确；

B．“∀x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2﹣1＞0”，正确；

C．∥且∥，则∥是真命题不一定正确，例如当时；

D．若am2＜bm2，则a＜b否命题为：若am2≥bm2，则a≥b，是假命题，m=0时，a，b大小关系是任意的．

故选：C．

5．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如

图所示，那么该几何体的体积是（ ）