最值问题之瓜豆原理模型【模型展示】瓜豆原理若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
模型总结：条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；主动点、从动点到定点的距离之比是定量．如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？结论：①主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角；②当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；③主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？分析：观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．结论：确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．结论：主动点、从动点到定点的距离之比是定量【模型证明】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？分析：Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．如图，△APQ是直角三角形，∠P AQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？分析考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．模型总结为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠P AQ是定值)；主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值)．结论：(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠P AQ=∠OAM；(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．【题型演练】一、单选题1.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，则A'C的长的最小值是()B.3C.13-1D.10-1A.132【答案】D【详解】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A'在线段CE上时，A'C的长取最小值，如图所示，根据折叠可知：A'E=AE=12AB=1．在Rt△BCE中，BE=12AB=1，BC=3，∠B=90°，∴CE=BE2+BC2=10，∴A'C的最小值=CE-A'E=10-1．故选D．2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，BC=23，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE=CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为()A.1B.3C.32D.2【答案】D【详解】解：连接AD，因为∠ACB=30°，所以∠BCD=60°，因为CB=CD，所以△CBD是等边三角形，所以BD=DC因为DE=CF，∠EDB=∠FCD=60°，所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD=∠FDC，因为∠FDC+∠BDF=60°，所以∠EBD+∠BDF=60°，所以∠BPD=120°，所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，直角△ABC中，∠ACB=30°，BC=23，所以AB=2，AC=4，所以AP=2当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值，CP的最小值是AC-AP=4-2=2故选D．3.如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为()A.24π B.22π C.1 D.2【答案】C【详解】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ACB为等腰直角三角形，∴AC=BC=22AB=2，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中∠A=∠OCQAO=CO∠AOP=∠COQ，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=22AP=22CQ，QF=22BQ，∴PE+QF=22(CQ+BQ)=22BC=22×2=1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH=12(PE+QF)=12，即点M到AB的距离为12，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=12AB=1，故选C．4.如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=-12x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q ，连接OQ ，则OQ 的最小值为()A.455B.5 C.523D.655【答案】B【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，设Q m，-12m+2，则PM=m-1，QM=-12m+2，∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N，在△PQM和△Q′PN中，∠PMQ=∠PNQ'=90°∠QPM=∠PQ'NPQ=Q'P，∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，∴PN=QM=-12m+2，Q′N=PM=m-1，∴ON=1+PN=3-12m，∴Q′3-12m，1-m，∴OQ′2=3-12m2+(1-m)2=54m2-5m+10=54(m-2)2+5，当m=2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′的最小值为5，故选：B．二、填空题5.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边ΔEFG，连接CG，则CG的最小值为．【答案】5 2【详解】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将ΔEFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到ΔEFB≅ΔEHG，从而可知ΔEBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM=MP+CP=HE+12EC=1+32=52.故答案为5 2．6.如图，等边三角形ABC 中，AB =4，高线AH =23，D 是线段AH 上一动点，以BD 为边向下作等边三角形BDE ，当点D 从点A 运动到点H 的过程中，点E 所经过的路径为线段CM ，则线段CM 的长为，当点D 运动到点H ，此时线段BE 的长为．【答案】 23 2【详解】解：如图，连接EC∵△ABC ，△BDE 都是等边三角形，∴BA =BC ，BD =BE ，∠ABC =∠DBE =60°，∴∠ABD =∠CBE ，在△ABD 和△CBE 中，BA =BC∠ABD =∠CBE BD =BE，∴△ABD ≌△CBE (SAS )，∴AD =EC ，∵点D 从点A 运动到点H ，∴点E 的运动路径的长为CM =AH =23，当D ,H 重合，而△BDE (即△BHE )为等边三角形，∴BE =BH ,∵AB =4,AH =23,AH ⊥BC ,BH =42-23 2=2,∴BE =2,故答案为：23,2．7.如图，在平面内，线段AB =6，P 为线段AB 上的动点，三角形纸片CDE 的边CD 所在的直线与线段AB垂直相交于点P ，且满足PC =P A ．若点P 沿AB 方向从点A 运动到点B ，则点E 运动的路径长为．【答案】62．【详解】解：如图，由题意可知点C 运动的路径为线段AC ′，点E 运动的路径为EE ′，由平移的性质可知AC ′=EE ′，在Rt △ABC ′中，易知AB =BC ′=6，∠ABC ′=90°，∴EE ′=AC ′=62+62=62，故答案为62．8.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，BC =2，线段BC 绕点B 旋转到BD ，连AD ，E 为AD 的中点，连接CE ，则CE 的最大值是．【答案】3【详解】解：∵BC =2，线段BC 绕点B 旋转到BD ，∴BD =2，∴12BD =1．由题意可知，D 在以B 为圆心，BD 长为半径的圆上运动，∵E 为AD 的中点，∴E 在以BA 中点为圆心，12BD 长为半径的圆上运动，CE 的最大值即C 到BA 中点的距离加上12BD 长．∵∠ACB =90°，∠BAC =30°，BC =2，∴C 到BA 中点的距离即12AB =2，又∵12BD =1，∴CE 的最大值即12AB +12BD =2+1=3．故答案为3．9.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB =4，∠DAC =60°，点F 沿线段AO 从点A 至点O 运动，连接DF ，以DF 为边作等边三角形DFE ，点E 和点A 分别位于DF 两侧，连接OE ．现给出以下结论：①∠BDE =∠EFC ；②ED =EC ；③直线OE ⊥CD ；④点E 运动的路程是23．其中正确的结论是．(写出所有正确结论的序号)【答案】①②③【详解】解：①∵∠DAC =60°，OD =OA ，∴△OAD 为等边三角形，∴∠DOA =∠DAO =∠ODA =60°，AD =OD ，∵△DFE 为等边三角形，∴∠EDF =∠EFD =∠DEF =60°，DF =DE ，∵∠BDE +∠FDO =∠ADF +∠FDO =60°，∴∠BDE =∠ADF ，∵∠ADF +∠AFD +∠DAF =180°，∴∠ADF +∠AFD =180°-∠DAF =120°，∵∠EFC +∠AFD +∠DFE =180°，∴∠EFC +∠AFD =180°-∠DFE =120°，∴∠ADF =∠EFC ，∴∠BDE =∠EFC ，故结论①正确；②如图，连接OE ，在△DAF 和△DOE 中，AD =OD∠ADF =∠ODE DF =DF，∴△DAF ≌△DOE (SAS )，∴∠DOE =∠DAF =60°，∵∠COD =180°-∠AOD =120°，∴∠COE =∠COD -∠DOE =120°-60°=60°，∴∠COE =∠DOE ，在△ODE 和△OCE 中，OD =OC∠DOE =∠COE OE =OE，∴△ODE ≌△OCE (SAS )，∴ED =EC ，∠OCE =∠ODE ，故结论②正确；③∵∠ODE =∠ADF ，∴∠ADF =∠OCE ，即∠ADF =∠ECF ，故结论③正确；④如图，延长OE 至E ，使OE =OD ，连接DE ，∵△DAF ≌△DOE ，∠DOE =60°，∴点F 在线段AO 上从点A 至点O 运动时，点E 从点O 沿线段OE 运动到E ，∵OE =OD =AD =AB •tan ∠ABD =4•tan30°=433，∴点E 运动的路程是433，故结论④错误．故答案为①②③．10.如图，已知AC =2AO =8，平面内点P 到点O 的距离为2，连接AP ，若∠APB =60°且BP =12AP ，连接AB ，BC ，则线段BC 的最小值为．【答案】27-3【详解】解：如图所示，延长PB 到D 使得PB =DB ，∵BP =12AP ，∴AP =PD =2PB ，又∵∠APB =60°，∴△APD 是等边三角形，∵B 为PD 的中点，∴AB ⊥DP ，即∠ABP =90°，∴∠BAP =30°，以AO 为斜边在AC 下方作Rt △AMO ，使得∠MAO =30°，连接CM ，过点M 作MH ⊥AC 于H ，∴cos ∠OAM =AM AO=32，同理可得AB AP=32，∵∠OAM =30°=∠P AB ，∴∠BAM =∠P AO ，又∵AM AO =AB AP=32，∴△AMB ∽△AOP ，∴BMOP =ABAP=32，∵点P到点O的距离为2，即OP=2，∴BM=3，∴点B在以M为圆心，以3为半径的圆上，连接CM交圆M(半径为3)于B ，∴当M、B、C三点共线时，即点B在点B 的位置时，BC有最小值，∵AC=2AO=8，∴AO=4，∴AM=AO⋅cos∠OAM=23，∴AH=AM⋅cos∠MAH=3，HM=AM⋅sin∠MAH=3，∴CH=5，∴CM=HM2+CH2=27，∴B C=CM-MB =27-3，∴BC的最小值为27-3，故答案为：27-3．三、解答题11.在平面直角坐标系中，A(a，0)、B(b，0)，且a，b满足a2-6a+9+b+3=0，C、D两点分别是y轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点；(1)如图1，若C(0，4)，求△ABC的面积；(2)如图1，若C(0，4)，BC=5，BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D点的坐标；(3)如图2，若∠CBA=60°，以CD为边，在CD的右侧作等边△CDE，连接OE，当OE最短时，求A，E两点之间的距离．【答案】(1)△ABC的面积为12；(2)D点的坐标为(-2，0)；(3)A，E两点之间的距离为3 2【详解】解：(1)∵a2-6a+9+b+3=0，∴a-32+b+3=0，由非负性可知，a-3=0 b+3=0，解得：a=3b=-3，∴A3,0，B-3,0，AB=3--3=6，∵C0,4，∴OC=4，∴S△ABC=12AB∙OC=12×6×4=12；(2)由(1)知A3,0，B-3,0，∴OA=OB，∵OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=90°，在△AOC和△BOC中，OA=OB∠AOC=∠BOCOC=OC∴△AOC≌△BOC SAS，∴∠CBO=∠CAO，∵∠CDA=∠CDE+∠ADE=∠BCD+∠CBA，∠CBA=∠CDE，∴∠ADE=∠BCD，在△BCD和△ADE中，∠BCD=∠ADE∠CBD=∠DAEBD=AE∴△BCD≌△ADE AAS，∴CB=AD，∵B-3,0，C0,4，∴OB=3，OC=4，∴BC=OB2+OC2=5，∴AD=BC=5，∵A3,0，∴D-2,0；(3)由(2)可知CB=CA，∵∠CBA=60°，∴△ABC为等边三角形，∠BCA=60°，∠DBC=120°，∵△CDE为等边三角形，∴CD=CE，∠DCE=60°，∵∠DCE=∠DCB+∠BCE，∠BCA=∠BCE+∠ECA，∴∠DCB=∠ECA，在△DCB和△ECA中，CD=CE∠DCB=∠ECACB=CA∴△DCB≌△ECA SAS，∴∠DBC=∠EAC=120°，∵∠EAC+∠ACB=120°+60°=180°，∴AE∥BC，即：随着D点的运动，点E在过点A且平行于BC的直线PQ上运动，∵要使得OE最短，∴如图所示，当OE⊥PQ时，满足OE最短，此时∠OEA=90°，∵∠DBC=∠EAC=120°，∠CAB=60°，∴∠OAE=∠EAC-∠CAB=60°，∠AOE=30°，∵A3,0，∴OA=3，∴AE=12OA=32，∴当OE最短时，A，E两点之间的距离为32．12.如图所示，在Rt△ABC中，AB=BC=2，点D是AC上一点，以BD为一边向右下方作等边△BDE，当D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长．【答案】点E运动的路径长为22．【详解】∵点B为定点，∴BE可以看作是BD绕点B顺时针旋转60°而来，∴点E运动的路径长等于点D运动的路径长，即为AC的长，∵AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AC=22．∴点E运动的路径长为22．13.如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．(1)若点D在AB边上(不与A，B重合)请依题意补全图并证明AD=BE；(2)连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．【答案】(1)见解析；(2)27【详解】解：(1)补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE．(2)如图2，过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠A=60°，∴点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，∵∠ACB=∠CBE=60°，∴AC∥EF，∵AF⊥BE，∴AF⊥AC，在Rt△ACF中，∴CF=AC2+AF2=42+232=27，∴CD=CF=27.14.如图①，在ΔABC中，AB=AC=3，∠BAC=100°，D是BC的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB，将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到ΔBPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：(1)当点E在直线AD上时，如图②所示．①∠BEP=；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是．(2)请在图③中画出ΔBPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE，试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．(3)当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．【答案】(1)①50°；②EC∥AB；(2)AB∥EC；(3)AE的最小值3．【详解】(1)①如图②中，∵∠BPE=80°，PB=PE，∴∠PEB=∠PBE=50°，②结论：AB∥EC．理由：∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC，∴∠BDE=90°，∴∠EBD=90°-50°=40°，∵AE垂直平分线段BC，∴EB=EC，∴∠ECB=∠EBC=40°，∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∴∠ABC=∠ECB，∴AB∥EC．故答案为50，AB∥EC．(2)如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．∵AD垂直平分线段BC，∴PB=PC，∴∠BCE=12∠BPE=40°，∵∠ABC=40°，∴AB∥EC．(3)如图④中，作AH⊥CE于H，∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值=AB=3．15.如图，过抛物线y=14x2-2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为-2．(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标；(2)在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．【答案】(1)x=4；B(10，5)．(2)①55-5．②y=-43x+253．【详解】试题分析：(1)确定点A的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点B坐标；(2)①由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，推出当O、D、B共线时，BD的最小值=OB-OD；②当点D在对称轴上时，在Rt△OD=OC=5，OE=4，可得DE=OD2-OE2=52-42=3，求出P、D 的坐标即可解决问题.试题解析：(1)由题意A(-2，5)，对称轴x=--22×14=4，∵A、B关于对称轴对称，∴B(10，5)．(2)①如图1中，由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，∴当O、D、B共线时，BD的最小值=OB-OD=52+102-5=55-5．②如图2中，图2当点D在对称轴上时，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4，∴DE=OD2-OE2=52-42=3，∴点D的坐标为(4，3)．设PC=PD=x，在Rt△PDK中，x2=(4-x)2+22，∴x=52，∴P(52，5)，∴直线PD的解析式为y=-43x+253．考点：抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．16.如图所示，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，求点M运动的路径长．【答案】点M运动的路径长为π．【详解】解：如图所示，取AB的中点O，AC的中点E，BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=22，∴AB=2BC=4．∴OC=OP=12AB=2．∵M为PC的中点，∴OM⊥PC．∴∠CMO=90°．∴点M在以OC为直径的圆上，当点P与点A重合时，点M与点E重合：当点P与点B重合时，点M与点F重合，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=2，∴点M运动的路径为以EF为直径的半圆．∴点M运动的路径长为12⋅2π⋅1=π．17.如图所示，点P3,4，⊙P的半径为2，A2.8,0，B5.6,0，点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，求AC的最小值．【答案】AC的最小值为3 2．【详解】解：如图所示，连接OP交⊙P于点M ，连接OM，BM ，∵P3,4，∴由勾股定理得：OP=32+42=5，∵OA=AB，CM=CB，∴AC=12OM．∴当OM最小时，AC最小∴当M运动到M 时，OM最小．此时AC的最小值为12OM =12OP-PM=12×5-2=32．18.如图所示，△ABO为等腰直角三角形，A-4,0，直角顶点B在第二象限，点C在y轴上移动，以BC 为斜边向上作等腰直角△BCD，我们发现直角顶点D点随着C点的移动也在一条直线上移动，求这条直线的函数解析式．【答案】直线的函数解析式为y =-x +2．【详解】如图所示．当BC 与x 轴平行时，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，交BC 于点G ，∵△ABO 是等腰直角三角形，点A 的坐标是-4,0 ，∴AO =4，∴BC =BE =AE =EO =GF =12OA =2，又∵△BDC 是等腰直角三角形，∴OF =DG =BG =CG =12BC =1，DF =DG +GF =3，∴点D 的坐标为-1,3 ．当C 与原点O 重合时，D 在y 轴上，此时OD =BE =2，即D 0,2 ，设所求直线解析式为：y =kx +b k ≠0 ，将-1,3 、0,2 代入得-k +b =3,b =2, 解k =-1,b =2,∴直线的函数解析式为y=-x+2．19.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=23，以点B为圆心，3为半径作圆．点P为⊙B上的动点，连接PC，作P C⊥PC，使点P 落在直线BC的上方，且满足P C:PC=1:3，连接BP，AP ．(1)求∠BAC的度数，并证明△AP C∽△BPC；(2)如图2，若点P在AB上时，连接BP ，求BP 的长；(3)点P在运动过程中，BP 是否有最大值或最小值？若有，请求出当BP 取得最大值或最小值时，∠PBC的度数；若没有，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)BP =17；(3)有．①当BP 取得最大值时，∠PBC=120°；②当BP 取得最小值时，∠PBC=60°．【详解】(1)在Rt△ABC中，AC=2，BC=23，∴tan∠BAC=BCAC=3，∴∠BAC=60°，∵AC BC =223=33，P CPC=13=33，∴AC BC =P CPC，∵P C⊥PC，∴∠P CP=∠ACB=90°，∴∠P CA=∠PCB，∴△AP C∽△BPC；(2)由(1)知，∠BAC=60°，∴∠ABC=90°-∠BAC=30°，∴AB=2AC=4，∴△AP C∽△BPC，∴∠P AC=∠PBC=30°，APPB =P CPC=33，∵BP=3，∴AP =1，∵∠P AB=∠CAP +∠BAC=30°+60°=90°，∴在Rt△P AB中，AP =1，AB=4，由勾股定理得BP =AP 2+AB2=17；(3)有．由(1)知，△AP C∽△BPC，∴APBP =P CPC=33，∴AP 3=33，∴AP =1是定值，∴点P 是在以点A 为圆心，半径为AP =1的圆上，①如图所示，当点P 在BA 的延长线上时，BP 取得最大值，∴∠P AC =180°-∠BAC =120°．∵△AP C ∽△BPC ，∴∠P AC =∠PBC =120°．∴当BP 取得最大值时，∠PBC =120°；②如图所示，当点P 在线段AB 上时，BP 取得最小值，∵△AP C ∽△BPC ，∴∠PBC =∠BAC =60°，∴当BP 取得最小值时，∠PBC =60°．20.如图所示，在扇形AOB 中，OA =3，∠AOB =120°，点C 是AB 上的动点，以BC 为边作正方形BCDE ，当点C 从点A 移动至点B 时，求点D 经过的路径长．【答案】点D 经过的路径长为22π．【详解】解：如图，由此BO 交⊙O 于F ，取BF的中点H ，连接FH 、HB 、BD ．易知△FHB 是等腰直角三角形，HF =HB ，∠FHB =90°，∵∠FDB =45°=12∠FHB ，∴点D 在⊙H 上运动，轨迹是GB (图中红线)，易知∠HFG =∠HGF =15°，∴∠FHG =150°，∴∠GHB =120°，易知HB =32，∴点D 的运动轨迹的长为120⋅π⋅32180=22π．21.如图所示，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =2，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 的中点，连接PB ，求PB 的最小值．【答案】PB 的最小值为22．【详解】解：如图：当点F 与点C 重合时，点P 在P 1处，CP 1=DP 1，当点F 与点E 重合时，点P 在P 2处，EP 2=DP 2，∴P 1P 2∥CE 且P 1P 2=12CE ．当点F 在EC 上除点C 、E 的位置处时，有DP =FP ．由中位线定理可知：P 1P ∥CE 且P 1P =12CF ．∴点P 的运动轨迹是线段P 1P 2，∴当BP ⊥P 1P 2时，PB 取得最小值．∵矩形ABCD 中，AB =4，AD =2，E 为AB 的中点，∴△CBE 、△ADE 、△BCP 1为等腰直角三角形，CP 1=2．∴∠ADE =∠CDE =∠CP 1B =45°，∠DEC =90°．∴∠DP 2P 1=90°．∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角BCP1中，CP1=BC=2，∴BP1=22∴PB的最小值是22．故答案是：22．22.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，连接BD，将△ABD绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形为△A B D，旋转角为a(0°<a<360，且a≠180°)．(1)在旋转过程中，当A 落在线段BC上时，求A B的长；(2)连接A A、A B，当∠BAB =90°时，求tan∠A AD；(3)在旋转过程中，若△DAA 的重心为G，则CG的最小值=．【答案】(1)4-7(2)3(3)97-43【详解】(1)解：当A 落在线段BC上时，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=3,BC=AD=4,∠BCD=90°，由旋转的性质可得：A D=AD=4，在Rt△A CD中，由勾股定理得：A C=A D2-CD2=42-32=7，∴A B=BC-A C=4-7.(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴当∠BAB =90°时，点B，A ，D三点共线，如图，过点A 作A E⊥AD，在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD=AB2+AD2=32+42=5，∵∠BAD=∠A ED=90°,∠BDA=∠A DE，∴△ABD∽△EA D，∴AB EA =BDA D，即：3EA =54，解得：EA =12 5，∴ED=A D2+A E2=165，∴AE=AD-ED=4-165=45，∴tan∠A AD=tan∠A AE=A EAE=3；(3)解：如图，分别取AA ,AD的中点H，N，分别连接HD，HN，CG，过点G作GM⎳HN，∴DN=12AD=2，HN是△AA D的中位线，∴HN=12A D=2，∵点G是△DAA 的重心，∴DGGH=2，∵GM⎳HN，∴△DGM ∽△DHN ，∴GM HN =DG DH =DM DN =23，∴GM =23HN =43，DM =23DN =43，∴点G 的运动轨迹是以M 为圆心，以43为半径的圆，当点C 、G 、M 三点共线时，CG 的值最小，在Rt △CDM 中，由勾股定理得：CM =CD 2+MD 2=32+43 2=973，∴CG 的最小值为CM -GM =973-43=97-43.23.在菱形ABCD 中，∠BAD =120°，E 是对角线BD 上的一点，连接AE ．(1)当E 在AB 的中垂线上时，把射线EA 绕点E 顺时针旋转90°后交CD 于F ，连接BF ．如图①，若AB =4，求EF 的长．(2)在(1)的条件下，连接BF ，把△BEF 绕点B 顺时针旋转得到△BHK 如图②，连接CH ，点N 为CH 的中点，连接AN ，求AN 的最大值．【答案】(1)EF =83(2)833【详解】(1)解：过点F 作FM ⊥BD 于点M ，如下图：∵四边形ABCD 是菱形,且∠BAD =120°∴AD =AB =4,∠ABC =∠ADC =60°∵BD 为菱形对角线∴∠ABE =∠ADE =∠FDE =30°,又∵E 在AB 的中垂线上∴AE =BE∴∠BAE =∠ABE =30°∴∠AED =60°,∠EAD =∠BAD -∠BAE =120°-30°=90°在Rt △DAE 中，∠ADE =30°∴DE =2AE设：AE =x ，则DE =2x∵AE 2+AD 2=DE 2即：x 2+42=(2x )2解得：x =433∴DE =833∵∠AEF =90°，∠AED =60°∴∠FED =30°∴∠FED =∠FDE∴EF =DF又∵FM ⊥BD∴EM =DM∴DE =2EM =2×32EF =3EF ∴833=3EF ∴EF =83(2)连接AC ,延长AE 交BC 于点M ，则有AM ⊥BC ,点H 的运动轨迹是以点B 为圆心，BH 为半径的圆，因为点C 为固定点，点N 为CH 的中点，所以点N 的运动轨迹是以点M 为圆心，NM 为半径的圆，如下图：此时：在△AMN 在，AM +MN ≥AN ,当A 、M 、N 三点共线时，AN 最大则：在Rt △AMC 中，CM =12AC =2∵AM 2=AC 2-CM 2∴AM 2=12∴AM =23又∵M 点是BC 的中点，N 是CH 的中点∴MN =12BH =12BE =233∴AN =23+233=83324.如图1，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形点A ,C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，连结AC ，OA =3，tan ∠OAC =33，D 是BC 的中点.(1)求OC 的长和点D 的坐标；(2)如图2，M 是线段OC 上的点，OM =23OC ，点P 是线段OM 上的一个动点，经过P ,D ,B 三点的抛物线交x 轴的正半轴于点E ，连结DE 交AB 于点F①将ΔDBF 沿DE 所在的直线翻折，若点B 恰好落在AC 上，求此时BF 的长和点E 的坐标；②以线段DF 为边，在DF 所在直线的右上方作等边ΔDFG ，当动点P 从点O 运动到点M 时，点G 也随之运动，请直接写出点G 运动路径的长.【答案】(1)OC =3，点D 的坐标为32,3 ；(2)①点E 的坐标为92,0 ，②36.【详解】(1)∵AO =3,tan ∠OAC =OC OA =33，∴OC = 3.∵四边形OABC 是矩形，∴BC =AO =3.∵D 是BC 的中点，∴CD =12BC =32，∴点D 的坐标为32,3 .(2)①∵tan OAC =33，∴∠OAC =30°，∴∠ACB =∠OAC =30°.设将ΔDBF 翻折后，点B 落在AC 上的B '处，则DB '=DB =DC ,∠BDF =∠BD 'F ，∴∠DB 'C =∠ACB =30°，∴∠BDB =60°，∴∠BDF =∠B 'DF =30°.∵∠B =90°，∴BF =BD ⋅tan30°=32.∵AB =3，∴AF =BF =32，∵∠BFD =∠AFE ,∠B =∠FAE =90°，∴ΔBFD ≌ΔAFE .∴AE =BD =32.∴OE =OA +AE =92，∴点E 的坐标为92,0 .②动点P 在点O 时，∵抛物线过点P (0，0)、D 32,3 ,B (3,3)求得此时抛物线解析式为y =-29x 2+3x ∴E 92，0 ，∴直线DE ：y =-33x +32，∴F 13，123 ；当动点P 从点O 运动到点M 时，∵抛物线过点P 0,233 ,D 32,3 ,B (3,3)求得此时抛物线解析式为y =-2273x 2+33x +233，∴E (6，0)，∴直线DE ：y =-y =-239x +433∴F 23，233∴点F 运动路径的长为F 1F 2=233-32=36，∵△DFG 为等边三角形，∴G 运动路径的长为36。
数学建模的基本原理和实践指南数学建模是指使用数学方法和技术来解决实际问题的过程。
它是现代科学领域中不可或缺的一部分，与自然科学、工程技术以及社会科学等领域密切相关。
数学建模的基本原理和实践指南对研究者来说是必备的，以下将从数学建模的概念、基本流程、实践指南等方面进行阐述。
一、数学建模的概念数学建模是指将实际问题抽象成数学模型，然后用数学方法研究模型，得出对实际问题的结论或预测。
数学建模是一种综合性、创造性、实用性强的学术活动。
它要求研究者既具备扎实的数学基础，又要对实际问题有一定的了解和实践经验。
数学建模可以帮助人们更好地理解和掌握自然界和社会现象的规律性，从而促进人类社会的进步和发展。
二、数学建模的基本流程数学建模的基本流程包括问题提出、建模、求解、验证、分析和应用等步骤。
具体内容如下：1、问题提出数学建模的第一步是确定问题，包括了解问题的背景、目的和要求，明确解决问题的方法和步骤。
在这个阶段，还需要对相关数据和信息进行收集和整理，以帮助后续的建模和求解工作。
2、建模根据问题的要求和收集到的数据，确定数学模型。
模型应该能够准确地反映问题的关键信息和规律，同时也应该尽可能简化计算过程，提高求解的效率。
建模的过程是创造性和探索性的，需要研究者具备一定的想象力和创造力。
3、求解在模型确定之后，需要通过数学方法进行求解。
这一步包括了数学推导、计算和编程等方面，它是数学建模的核心环节。
在求解过程中，需要注意算法的正确性、精度和有效性等问题。
4、验证对求解结果进行验证和检验。
这一步可以通过多组数据进行比较、对比，判断模型的可靠性和实用性。
同时也可以通过实验和仿真等方式进行检验，从而使模型更加精确和完善。
5、分析对模型和求解结果进行分析和解释。
分析的过程包括了将数学结论转化为实际问题的解释和适用性分析。
分析的结果也需要与实际问题联合考虑，以评估研究成果的价值和局限性。
6、应用将研究成果应用于实际问题中。
这一步需要将建立的模型和解决方案应用于实际问题，产生实际效果。
数学建模的原理
数学建模是一种以数学方法和工具为基础，对现实问题进行抽象和表达的过程。
其原理可以简单概括为以下几个步骤。
1. 问题抽象：将现实问题转化为数学模型。
在这一步骤中，需要明确问题的目标、限制条件和相关因素，并对它们进行数学化的描述。
2. 假设建立：基于对问题的理解和分析，提出相关的假设并建立相应的数学关系。
这些数学关系可以是方程、函数、概率模型等，用来表达问题中的变量间的关系。
3. 模型求解：利用数学方法，对所建立的数学模型进行求解。
这包括求解方程组、优化问题、概率分布等。
通常需要运用数学分析、优化方法、概率统计等工具以及计算机编程进行模型求解。
4. 模型评价：对得到的解进行评价，检验模型的有效性和可行性。
这可以通过与现实数据对比、敏感性分析、误差分析等方式来进行。
5. 结果分析：根据模型的求解结果，对问题的解释和分析。
分析模型的局限性、推断模型的适用范围，探究问题的深层次原因等。
6. 结论表达：将建模过程和结果进行总结和表达。
可以通过报告、论文、演示等形式对建模过程和结果进行系统化的呈现。
在数学建模过程中，需要深入理解问题本质和实际应用背景，结合数学理论和方法，进行抽象和简化，以符合现实问题的特点和需求。
同时，建模者需要具备良好的数学基础、逻辑思维能力、计算机编程技能等，并注重模型的可靠性、有效性和实用性。
