2021-2022年高三下学期开学考试数学含答案

2021年高三下学期开学考试数学含答案

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）

1.复数（是虚数单位）的虚部是__________．

2.从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方

法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该

样

本中产品的最小编号为 ．

3.若圆锥的底面周长为，侧面积也为，则该圆锥的体积为

______________．

4.右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是________.

5.已知一个三角形的三边长分别是5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是 ．

6.设函数⎪⎩

⎪⎨⎧<<≤<-+=10,2tan 01|,)1(log |)(3x x x x x f π，则= ． 7.已知：关于的不等式有解，：或 , 则是的

条件．（空格处请填写“充分不必要条件” 、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）

8.已知，则25

sin sin 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

= ． 9.已知是椭圆的左、右焦点，弦过，若的周长为8，则椭圆的离心率为 ．

10.设，实数满足23603260

x m x y x y -+--⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≤，若，则实数的取值范围是 ．

11.在矩形中，为矩形内一点，且，，则的最大值为 ．

12.数列中，，为数列的前n 项和，且对，都有．

则的通项公式= ．

13.不等式有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出和的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：

设，若对任意，都有，则__________．

14.对于函数，若存在定义域内某个区间，使得在上的值域也是，则称函数在定义域上封闭．如果函数（）在上封闭，那么实数的取值范围是______________．

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分14分）已知()33cos 22sin()sin(),x 2

f x x x x R ππ=++-∈. （1）求函数的单调增区间；

（2）已知锐角的内角的对边分别为,且,,求边上的高的最大值.

16．（本小题满分14分）正方形所在的平面与三角形所在的平面交于，且平面．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面．

17．（本小题满分15分）某企业接到生产3000台某产品

的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）. 已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为k （k 为正整数）.

（1）设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间；

（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.

18．（本小题满分15分）已知椭圆的下顶点为，到焦点的距离为.

（1）设Q是椭圆上的动点，求的最大值；

（2）若直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点A、B．当，且满足时，求面积的取值范围．

19.（本小题满分16分）函数，其中为实常数.

（1）讨论的单调性；

（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）若，设33331433221)(,131211)(n

n n h n n g -++++=++++= ( ).是否存在实常数，既使又使对一切恒成立？若存在，试找出的一个值，并证明；若不存在，说明理由. ()

20．（本小题满分16分）已知数列满足：*11*3(3,),4(3,)

n n n n n a a n N a a a a a n N +⎧->∈==⎨-≤∈⎩. （1）若，求数列的前项和的值；

（2）求证：对任意的实数，总存在正整数，使得当（）时，成立.

数学Ⅱ（附加题）

21．（本小题满分10分）已知，求矩阵．

22．（本小题满分10分）在极坐标系中，圆是以点为圆心，为半径的圆．（1）求圆的极坐标方程；

（2）求圆被直线所截得的弦长．

23．（本小题满分10分）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万

元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16、12、13

；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p (0

(1)求ξ1、ξ2的概率分布和数学期望E (ξ1)、E (ξ2)；

(2)当E (ξ1)

24．（本小题满分10分）

已知数列满足：，，且．

记集合．

（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；

（Ⅱ）求集合的元素个数的最大值．

参考答案

1. 2. 10 3. 4.3 5. 6. 1 7. 必要不充分条件

8. 9. 10. -3≤m ≤6

11. 12. 13. 14.

15. (1)整理得， ……3分 增区间为)](1211

,125[Z k k k ∈++ππππ ……6分