3. 设轮船横向摇摆的随机振幅X的概率密度为
f(x)=b。迅 χ>6 (0, X ≤ 0.
求 E(X).
+ oo X2
解:E(X) =匸]xf(x)dx =齐J)OoX∙ e ≡^dx = 1
4. 设X1, X2,…Xn独立同分布,均值为U,且设Y = Xi,求E(Y).
解:E(Y) = EGJXIXi) = ^E(∑jl1Xj) = nμ = μ
5. 设(X,Y)的概率密度为
(e^y, 0 ≤x ≤ l,y > 0,
f(X^y) = I 0,其他
求 E(X+Y).
解:E(X + Y)=亡 U(X + y)f(x, y)dxdy = Jm(X + y)Qdxdy =VOoJ, θ^y + Y * θ^ydY = \习题4・1
1.设随机变量X的概率密度为
(2×, O ≤ X ≤ 1, I .
(l)f(x) = I O 其他 (2)f(x) =-e lx,, -oo<%< +
求 E(X)
X3 1
- 0 解:(I)E(X) = J二 xf(x)dx X ∙ 2xdx = 2 ・却
⑵ E(X) = J二 Xf(X)dx = D ∙∣e^lxl = 0
2.设连续型随机变量X的分布函数为
( O1 X < -1,
F(X) = ]a + b ∙ arcsinxl -1 ≤ x < 1,
( 1, X > 1.
试确定常数a,b,并求E(X).
解： :arcsinx的导数为「
;
: √ΓΣXΣ ；
； 1 !
:arctanx的导数为 T ;
• √1 +x2 : (1) f(×) = F'(x)= 7⅛,-ι≤xvi
0,其他
+8 Γ1 b
f(x)dx = r dx = b ∙ arcsinx g λ1√1^2 1 =bπ= 1,即 b = ^ —1 π
又因当一 ISXV 1时
F(X) = ∫ f(x)dx =
⑵ E(X) = J二 Xf(X)dx = £ J ・ √⅛ = 0 Γx 1 1 1 ----- dx = 一 ∙ arcsinx
-ι∏ √1 -x2 H XI =ZarCSinX + M 即 a=；
—1 R 2 2 6.设随机变量Xb X2相互独立,且XIZ X2的概率密度分别为
且E(X)=O.75,求常数C和α.
解:E(X)=仁7 Xf(X)血= JOI X ∙ CXadX = 0.75 fι W = { 2e"2x, X > 0,
0, X ≤ 0,
f2(χ) = { 3e"3x,
0, X > 0,
X ≤ O1 ;该题服从描数分布"
I I
求：(1)E(2X1 + 3X2); (2)E(2X1 - 3X22); (3)E(X1X2). 解：
(1) E(2X1 + 3X2) = 2E(X1) + 3E(X2) = 2*i÷3*i=2 2 3
(2) E(2X1 - 3X22)=
=2E(XI)-3E(X22)
r +8
I X2 3e^3xdx
0 r+x
I X2 d(e~3x)]
JO = 1-3*
=1 - 3 * [-
=1 - 3 * [-X2 ∙ e"3x
=1 - 3 * [0 + r+o° 'e-3x
0 + oo
0
+ 8
e-3x ∙ 2x dx] rO
=1 — 3 * [∣ J e-3x ∙ 3x dx]
2 1 =1 — 3 * — * — 3 3
(3) E(X1X2) = E(X1)E(X2) = ∣*i = ⅛
X
O 1 2
1 0.1 0.2 0.1
2 0.3 0.1 0.2
解:E(X) = ∑i ∑j XiPij = 0 * 0.1 ÷ 0 * 0.3 ÷ 1 * 0.2 + 1 * 0.1 + *0.1÷2* 0.2 = 0.9
8.设随机变量X的概率密度为 7.己知二维随机变量(X,Y)的分布律为
求
E(X).
0 ≤ X ≤ 1,
其他. 习题4・2
1.设离散型随机变最X的分布律为
X -1 0 0.5 1 2
P 0.1 0.5 0.1 0.1 0.2
求 E(X), E(X2)1 D(X)・
解：E(X) = (-1) *0.1 + 0* 0.5 ÷ 0.5 *0.1+ 1*0.1+2 * 0.2 = 0.45
E(X2) = (-1)2 *0.1 + 0* 0.5 + (0.5)2 * 0.1 + I2 * 0.1 + 22 * 0.2 = 1.025
D(X) = (一1 一 0.45)2 * 0.1 + (0 - 0.45)2 * 0.5 + (0.5 一 0.45)2 * 0.1 + (1 - 0.45)2 * 0.1 + (2 - 0.45)2 *
0.2 = 0.8225
2. 盒中有5个球,其中有3个白球,2个黑球,从中任取两个球,求白球数X的期望和方差. 解:X的可能取值为0,1,2
注总此处不可以用二项分布式： I
P{X =k} = C⅛kqn^k ；
E(X) = 0 * 0.1 + 1 * 0.6 + 2 * 0.3 = 1.2
D(X) = (O- 1.2)2 * 0.1 + (1 - 1.2)2 * 0.6 + (2 — 1.2)2 * 0.3 = 0.144 + 0.024 + 0.192 = 0.36
3. 设随机变量X,Y相互独立,他们的概率密度分别为
求 D(X+Y).
1 (-—0)2 49
解:D(X + Y) = D(X) + D(Y)=亦 + 旨=涪
4. 设随机变量X的概率密度为
且 E(X)=O.5FD(X)=0.15.求常数 afb,c. 解：P{x = o} = I = 0.1
2e"2xf X > 0,
O1 X ≤ O1 fγ(y) = P 0 0,其他， fχ(x) = ie^∣x∣,-∞ < X < +∞, 求 D(X) 解:E(X) = -IXIdX = 0 ；此为奇函数,故=O E(X2)= ^e-WdX = 2 Γ ^e-X -8 2 Loo 2 打二夕小正负无: +∞ 2 —X I ■ x e =:穷带入结果都一样,故： •8 I D(X)=E(X2)- [E(X)]2 = 2 设随机变量X与Y相互独立,且D(X)JD(Yr2,求D(X-Y). 解：D(X -Y) = D(X) + D(Y) =1 + 2 = 3 6.若连续型随机变量X的概率密度为 ax2 + bx + cl 0 < X < 1, 0, 其他， 5. f(x)= I =2∫+°∙^e-× J —OO 2 P{X=2} = ∣∣ = 1 E(XY) = J [J *(x + y)dy]dx = J 4 7 7 1 Cov(X, Y) = E(XY) 一 E(X)E(Y) = — 3.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 Cf 、 fye^(X+y), x>0,y>0, 3珂0,其他 求X与Y的相关系数pxy∙ 解： r+o° r+o° =I ( I χyθ^(χ+y)dy)dx = Jo丿O E(Y) y2e^(χ+Y) dx)dy E(X) f1 7 a =I x(ax ÷ bx ÷ c) dx = - ÷ 丿0 b C 尹厂0・5 1 a b C E(X2) = I x2(ax2 + bx + c)dx = -÷-÷- = 0.15 + (0.5)2 = 0.4 丿 O S 4β d r+∞ r i a b I f(x)cix = I (ax2 ÷ bx ÷ c)dx = ^∙÷^∙÷ c = 1 J-∞ JO 3 / 解得 a=12,b=-12,c=3. 习题4・3 1. 设两个随机变最XZY相互独立,方差分别为4和2,则随机变量3X-2Y的方差是 _ A. 8 B. 16 C. 28 D. 44 2. 设二维随机变S(XzY)的概率密度为 1 §(X + y), 0 ≤ X ≤ 2,0 ≤ y 0,其他 求 COV(X,Y). 解： + 8 (a + b + cx)dx -8 E(X) = JQq ∣(χ + y)dy]dx = r2 X2 __ '0⅛∙y + 8, E(Y) = [Q》x + y)dx|dy =右 E(X) =(a∙x + b∙x+c∙ e_y ∙ y dy = 2 r+ o° r + o° E(XY) = I (I xy2e_(x+y)dy)dx = 2 JO丿O COV(XlY) = E(XY) 一 E(X)E(Y) = 2-2*1 =0 4. 设二维随机变M(XzY)HK从二维正态分布卫 E(X)=Oj E(Y)=O, D(X)=I6, D(Y)=25, COV(XZY)=12,求(X”)的联合概 率密度函数f(x,y). 解： --------- 1 e~Ξ(I⅛{⅛^ 2πσιθ2√ 1—p2 ∙∙∙ E(X) = Ol E(Y) = 0 ∙*∙ AI = 0,旳=θ* ・・・ D(X) = 16, D(Y) = 25 ・•・ σ1 = 4, σ2 = 5 ・・・ COV(Xl Y) = 12 Cov(X, Y) 12 3 ：■ P = --------------------- = ----------- =— √D(X)√D(Y) 4*5 5 1 _25比_3Xy 丄 y2、 :∙ f(x,y) = R—e 宓 16一 50 十刃 J 32π 5. 证明 D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(XzY). y2e"xe"ycix)dy y2 d(e"y) 运用分部积分法. : ^o°e-×∙ydy服从入“的指数分布: 所以 PXy = Cov(XlY) √D(χ)√oσ) 2 (X-^I)(y-^2⅜ I (y~μz)21 H σi∏2 O22' f(χ,y)=
- 1 - 习题一：
1.1 写出下列随机试验的样本空间：
(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;
解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故,7,6,51；
(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;
解：12,11,4,3,22；
(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;
解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以,2,1,03；
(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品;
解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：
;51,4jiji
(5) 检查两件产品是否合格;
解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则1,1,0,1,1,0,0,05；
(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2);
解：用x表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：
216,TyxTyx；
(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;
解：207xx；
(8) 在长为l的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.
解：lyxyxyx,0,0,8；
1.2
(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; CAB；
(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(CBA；
(3) A,B,C 中至少有一个发生; CBA； - 2 - (4) A,B,C 中恰有一个发生;CBACBACBA；
(5) A,B,C 中至少有两个发生; BCACAB；
(6) A,B,C 中至多有一个发生;CBCABA；
(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC
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高等数理统计 习题答案
高等数理统计习题答案
在学习高等数理统计的过程中，解题是非常重要的一部分。通过解题，我们可以巩固和应用所学的知识，提高自己的理解能力和解决问题的能力。下面，我将为大家提供一些高等数理统计习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 问题：某班级的学生身高数据如下：165、167、170、172、173、175、176、178、180、182。求这组数据的均值、中位数和众数。
答案：首先，计算这组数据的均值。将所有的数据相加，然后除以数据的个数。165+167+170+172+173+175+176+178+180+182=1738，共有10个数据，所以均值为1738/10=173.8。
接下来，计算这组数据的中位数。首先将这组数据从小到大排序：165、167、170、172、173、175、176、178、180、182。由于数据的个数为偶数，所以中位数是第5个数据和第6个数据的平均值，即(173+175)/2=174。
最后，计算这组数据的众数。众数是指出现次数最多的数据。在这组数据中，173出现了2次，其余的数据只出现了1次，所以众数为173。
2. 问题：某公司的员工工资数据如下：3000、3500、4000、4500、5000、5500、6000、6500、7000、7500。求这组数据的方差和标准差。
答案：首先，计算这组数据的均值。将所有的数据相加，然后除以数据的个数。3000+3500+4000+4500+5000+5500+6000+6500+7000+7500=55500，共有10个数据，所以均值为55500/10=5550。
接下来，计算这组数据的方差。方差是每个数据与均值的差的平方的平均值。首先计算每个数据与均值的差：3000-5550=-2550，3500-5550=-2050，依此类推。然后计算每个差的平方：(-2550)^2=6502500，(-2050)^2=4202500，依此类推。将所有的差的平方相加，然后除以数据的个数，即(6502500+4202500+…)/10=1250000，所以方差为1250000。
