【例1】(★★)
计数方法之枚举法
两个海盗分20枚金币。请问：
大海传功
(1)如果每个海盗最少分到5枚金币，一共有多少种不同的分法？
(2)如果每个海盗最多分到16枚金币，一共有多少种不同的分法？
枚举法
(1)分类枚举：有序枚举，不重不漏
(2)树形图
(3)标数法
【例2】(★★★) 【例2】(★★★)
(1)刚开学时，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的座位表如图所示。
一段时间后，他们觉得每天做同样的位置太无聊，每人都要换
到与原来座位不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？ (2)甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学的座位如图所示，如果每人
都要换座位，而且每人都要换到与原来座位不相邻的位置上，
那么有多少种换座位的方法？
1【例3】(★★★) 【例4】(★★★)
一个三位数，若它的中间数字恰好是首尾数字的平均值，则称
它是“好数”，则好数总共有多少个？ 称n个相同的数a相乘叫做a的n次方，记作an，并规定a0＝1。如果
某个自然数可以写成2的两个不同次方(包括零次方)的和，我们就
称这样的数为“双子数”，如9＝2 ＋2 ，它们都是双子数。那么小
于1040的双子数有_____个。
【例5】(★★★★) 【例6】(★★★★★)
某工厂生产一批玩具，玩具为一条圆环上均匀安装着13个小球，
其中3个是红球，10个是白球.如果2个圆环通过翻转，旋转后可以
叠放在一起，使得红球对红球、白球对白球，这样的两个圆环就
认为是相同的。那么一共可以生产多少种不同的圆环？ 从1至9这9个数字中选出6个不同的数填在图中的6个圆圈内，使
得任意相邻两个圆圈内的数字之和都是质数。请问：共能找出多
少种不同的选法？(所填的6个数字相同，只是排列次序不同，都
算同一种选法。) 【例7】(★★★)
小新和关关两人进行围棋赛，谁先胜三局谁就会取得比赛的胜利。
如果最后小新获胜了，那么比赛的进程有多少种可能？ 大海点睛
第十五讲 数论综合提高一
本讲知识点汇总：
一． 整除
1． 整除的定义
如果整数a除以整数b ，所得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作．
如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b不整除a．
2． 整除判定
（1） 尾数判断法
能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除；
能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除；
能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除．
（2） 截断求和法
能被9、99、999及其约数整除的数的特征．
（3） 截断求差法
能被11、101、1001及其约数整除的数的特征．
（4） 分解判定：一些复杂整数的整除性，例如63、72等，可以把它们分拆成互质的整数，分别验证整除性．
3． 常用整除性质
（1） 已知、，则以及．（b＞c）
（2） 已知，则．
（3） 已知且，则．
（4） 已知且，则．
4． 整除的一些基本方法：
（1） 分解法：
①分解得到的数有整除特性；
②两两互质.
（2） 数字谜法：
①被除数的末位已知；
②除数变为乘法数字谜的第一个乘数.
（3） 试除法： ,abc |bc |ac |ac ,1ab |abc |bc |abac |abc |abc |ac |ab |ba 0b ①除数比较大；
②被除数的首位已知.
（4） 同除法：
①被除数与除数同时除以相同的数；
②简化后的除数有整除特性.
二、质数与合数
1． 质数与合数的定义
质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数．
2． 分解质因数
分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式．如：，．
典型题型
一．整除
1． 基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是9和11这种常见数字；
（1） 9的考点：乱切法；
（2） 11的考点：① 奇位和减偶位和；② 两位截断求和；③ 三位截断，奇段和减偶段和．
1
每一份私下的努力，都会有倍增的回报。 数论综合（三）约数倍数
姓名： 日期： 成绩：
1．从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？只有3个约数的数有几个？
2．360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？
3．把自然数A的所有约数两两求和，又得到若干个自然数，在这些数中，最小的是3，最大的是240。A等于多少？
4．所有8个不同约数的自然数中，最小的一个是多少？
5．100以内只有10个不同约数的自然数有哪些？
6．有一个自然数，它有4个不同的质因数，且有32个约数，其中一个质因数是两位数，当这个质因数尽可能大时，这个自然数最小是多少？
2
每一份私下的努力，都会有倍增的回报。 7．a、b两均只含有因数3和5，且a有12个约数，b有10个约数，（a、b）=75，那a、b两数之差是多少？
8．自然数N，它们被5和49整除，并且共有10个约数，求N。
9．有50盏灯排成一排，按顺序分别编上号码1、2、3、4……49、50，每盏灯开始都是亮着的；有50个人，第一个人走过来，凡是1的倍数的灯按一下，接着第2个人把凡是号码为2的倍数按钮按一下，……，一直到第50个人把号码为50的倍数的按钮按一下，最后不亮的灯分别是哪几盏？
10．有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，以此下去至15号说：“这个数能被15整除”，1号作了一一验证，只有编号连续的两位同学说得不对，其余都对，问：①说得不对的两位同学，它们的编号是哪两个连续的数？②如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出此五位数。③如果告诉你，1号写的数是六位数，请求出最小的六位数。
11．筐里共有96个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，有多少种不同的拿法？
学科培优 数学
“数论综合二”
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
在整个数学领域,数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。翻开任何一本数学辅导书,数论的题型都占据了显著的位置。在小学各类数学竞赛和小升初考试中,我们系统研究发现,直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右,而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中,这一分值比例还将更高。
知识梳理
涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题,以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．
例题精讲
【试题来源】
【题目】一台计算器大部分按键失灵,只有数字“7”和“0”以及加法键“+”尚能使用,因此可以输入77,707这样只含数字7和0的数,并且进行加法运算．为了显示出222222,
最少要按“7”键多少次?
【试题来源】
【题目】有一批图书总数在1000本以内,若按24本书包成一捆,则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆,最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆,则最后一捆是30本．那么这
批图书共有 本．
【试题来源】
【题目】一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍,则这个五位数是 .
【试题来源】
【题目】在纸上写着一列自然数1,2,…,98,99.一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去,然后把这三个数的和写在数列的最后面.例如一次操作后得到4,5,…,98,99,6；而两次操作后得到7,8,…,98,99,6,15.这样不断进行下去,最后将只剩下一个数,则最后剩下的数是 .
【试题来源】
【题目】有两种规格的9箱钢珠,每箱300个,甲种钢珠每个10克,乙种钢珠每个11克,将这9箱钢珠编为1~9号,然后依次从1~9号箱中取出20,21,22,23,24,25,26,27,28,个钢珠,这些钢珠共重5555克。问：哪几箱是甲种钢珠？
【试题来源】
