图形运动问题中的函数关系——函数问题(六)

在图形运动问题中除了前两次谈的要学会写出相　关的代数式及代数式的写法之外，还要注意运动速度改　变的问题，此类问题难度比较大，研究下面两个运动速　度改变的问题，体会此类问题的解法．　例１如图，菱形ＯＡＢＣ的边长为４厘米，／＿ＡＯＣ＝　６０。，动点Ｐ从０出发，以每秒１厘米的速度沿Ｄ—＋Ａ一　路线运动，点Ｐ出发２秒后，动点Ｑ从０出发，在０，４上　以每秒１厘米的速度，在ＡＢ上以每秒２厘米的速度沿　０＿　Ａ一日路线运动，过Ｐ，Ｑ两点分别作对角线ＡＣ的平　行线．设Ｐ点运动的时间为　秒，这两条平行线在菱形　上截出的图形（图中的阴影部分）的周长为Ｙ厘米．请你　回答下列问题：　（１）当　＝３时，Ｙ的值是多少？　（２）就下列各种情形，求Ｙ与　之间的函数关系式：　①０≤　≤２；（　≤　≤４；　）４≤　≤６；　）６≤　≤８；（３）在直　角坐标系中，用图象表示（２）中的各种情形下Ｙ与　的　关系．　Ｃ　Ｂ　Ｃ　Ｂ　①　②　Ｏ　Ｑ＂Ａ　Ｂ　③　④　分析本题的难点在（２）④６≤　≤８这一步，在解　决前面的问题中可知图④中０，４＋ＡＰ＝　，ＢＰ：８一　，则　ＡＰ＝　一４．　若Ｑ点的速度不改变，ＡＱ＝　一６，但Ｑ点在ＡＢ上　…壹掩…　熹盗　速度变为每秒２厘米，所以在图④中，ＡＱ＝２（　一６），则　ＢＱ＝４—２（　一６）＝１６—２ｘ．　把这个问题解决了，其余问题都迎刃而解．　解（１）当　：３时。Ｙ＝３×３—１：８．　（２）①当０≤　≤２时，Ｙ＝３０Ｐ，即Ｙ＝３ｘ；　（　当２≤　≤４时，　Ｙ＝３０Ｐ—ＯＱ＝３ｘ一（　一２）＝２ｘ＋２，　即Ｙ　２ｘ＋２；　③当４≤　≤６时，　Ｙ：２（ＯＡ＋ＡＰ）一ＯＱ＋ＰＢ　＝２ｘ一（　一２）＋（８一　）＝１０，即Ｙ：１０；　（　当６≤　≤８时，　ａＱ：２［（　一２）一４］：２ｘ一１２，　Ｙ：３（ＡＢ—ａＱ）一ＰＢ　＝３　Ｅ４一（２ｘ一１２）］一（８一　）　＝一５　＋加．　即Ｙ＝一５　＋４ＪＤ．　（３）图象如图．　，　ｌＯ　８　６　４　２　０　例２如图①，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１０ｃｍ，ＢＣ＝　８ｃｍ，点尸从Ａ出发，沿Ａ一８一Ｃ—Ｄ路线运动，到Ｄ停　止；点Ｑ从Ｄ出发，沿Ｄ—ｃ一曰一Ａ路线运动，到　停　止．若点Ｐ、点Ｑ同时出发，点Ｐ的速度为每秒１ｃｍ，点Ｑ　的速度为每秒２ｅｒａ，ｎ秒时点Ｐ、点Ｑ同时改变速度，点　Ｐ的速度变为每秒ｂｃｍ，点Ｑ的速度变为每秒ｄｃｍ．图②　是点Ｐ出发　秒后ＡＡＰＤ的面积Ｓ，ｃｍ　与　秒的函数　～～一　．．。．。．．．。．。．．．；＋。．。．。＋。＋。＋。＋．＋。＋。＋．．。．．．．．．　ｍ　敢学大世界　０ｐ　．３▲　．＋。＋。＋．＋。＋．．。．。

　●　●　●　●　●　●　●　●　◆　●　●　关系图象；图③是点Ｑ出发　秒后ＡＡＱＤ的面积Ｓ２ｃｍ　与　秒的函数关系图象．　（１）参照图②，求ｎ，ｂ及图②中ｃ的值．　（２）求ｄ的值．　（３）设点Ｐ离开点Ａ的路程为Ｙ，ｃｍ，点Ｑ到点Ａ还　需走的路程为ｙ２ｃｍ，请分别写出动点Ｐ，Ｑ改变速度后　ｙ。，ｙ２与出发后的运动时间　秒的函数关系式，并求出　Ｐ，Ｑ相遇时　的值．　（４）当点Ｑ出发——秒时，点Ｐ、点Ｑ在运动　线上相距的路程为２５ｃｍ．　①　②　③　解（１）观察图②得　ｓ　＝÷・ＰＡ・ＡＤ＝÷×ｌ×。×８：２４，　．‘．ａ＝６（秒）．　６＝　＝２（厘米／秒），　。：８＋　：１７（秒）．　（２）根据题意，得（２２—６）ｄ＝２８—１２，　解得ｄ＝１（厘米／秒）．　（３）Ｙｌ＝６＋２（　一６）＝２ｘ一６．　Ｙ２＝２８一［１２＋１×（　一６）］＝２２一　．　根据题意，得２　一６：２２一　，．．　：孕（秒）．　（４）１，１９．（提示：当点Ｑ出发１７秒时，点Ｐ到达点　Ｄ停止运动，点Ｑ还需运动２秒．即共运动ｌ９秒时，可　使Ｐ，Ｑ这两点在运动路线上相距的路程为２５ｃｍ．）　练习题　１．如图，已知抛物线Ｃ　与坐标轴的交点依次是Ａ　（一４，０），　（一２，０），Ｅ（０，８）．　‘　（１）求抛物线Ｃ　关于原点对称的抛物线ｃ２的解析　式．　（２）设抛物线Ｃ　的顶点为Ｍ，抛物线ｃ２与　轴分　别交于ｃ，Ｄ商点（点Ｃ在点Ｄ的左侧），顶点为Ⅳ，四边　形ＭＤＮＡ的面积为Ｓ．若点Ａ、点Ｄ同时以每秒１个单位　的速度沿水平方向分别向右、向左运动；此时，点　、点　Ⅳ同时以每秒２个单位的速度沿竖直方向分别向下、向　上运动，直到点Ａ与点Ｄ重合为止．求出四边形ＭＤＮＡ　的面积Ｓ与运动时间ｔ之间的关系式，并写出自变量ｔ　的取值范围．　（３）当ｔ为何值时，四边形ＭＤＮＡ的面积Ｓ有最大　值，并求出此最大值．　（４）在运动过程中，四边形ＭＤＮＡ能否形成矩形？　若能，求出此时ｔ的值；若不能，请说明理由．　＼　Ｅ　８　．　６　４　・３　Ｎ　０　协Ｄ．．　一５—　‘　２　４　５　Ｍ　・－３　＿４　－一５　—６　・－８　（第ｌ题）　２．如图①，正方形ＡＢＣＤ的顶点Ａ，Ｂ的坐标分别为　（０，１０），（８，４），顶点Ｃ，Ｄ在第一象限．点Ｐ从点Ａ出　发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Ｑ从点Ｅ　（４，０）出发，沿　轴正方向以相同速度运动．当点Ｐ到达　点Ｃ时，Ｐ，Ｑ两点同时停止运动，设运动的时间为ｔ秒．　（１）求正方形ＡＢＣＤ的边长．　．（２）当点Ｐ在ＡＢ边上运动时，ＡｏＰｑ的面积Ｓ（平　方单位）与时间ｔ秒之间的函数图象为抛物线的一部分　（如图②所示＞，求Ｐ，Ｑ两点的运动速度．　（３）求（２）中面积ｓ（平方单位）与时间ｔ秒的函数　关系式及面积．ｓ取最大值时点Ｐ的坐标．　（４）若点Ｐ，Ｑ保持（２）中的速度不变，则点Ｐ沿着　ＡＢ边运动时，　ＯＰＱ的大小随着时间ｔ的增太而增大；　沿着ＢＣ边运动时，ＬＯＰＱ的大小随着时间ｔ的增大而　减小．当点Ｐ沿着这两边运动时，使　ＯＰＱ＝９０。的点Ｐ　●　有　个．　．　＋．．；。＋。＋。＋。＋。＋。＋。．．．．▲ｖ致学大世界　。　．３。▲ｖ；。＋。．．．。．。　①　②　３．如图①，在长为６厘米，宽为３厘米的矩形　ＰＱＭＮ中，有两张边长分别为２厘米和１厘米的正方形　纸片ＡＢＣＤ和ＥＦＧＨ，且ＢＣ在ＰＱ上，　在ＰⅣ上，阳＝　１　１厘米，ＰＦ＝÷厘米．从初始时刻开始，纸片ＡＢＣＤ沿　二　ＰＱ以２厘米／秒的速度向右平移，同时纸片ＥＦＧＨ沿　ＰＮ以ｌ厘米／秒的速度向上平移，当点Ｃ与点Ｑ重合　时，两张纸片同时停止移动．设平移时间为ｔ秒时（如图　②），纸片ＡＢＣＤ扫过的面积为　．，纸片ＥＦＧＨ扫过的面　积为Ｓ：，ＡＰ，ＰＧ，ＧＡ所围成图形的面积为Ｓ（这里规定线　段的面积为０，扫过的面积含纸片面积）．解答下列问　题：　②　１　（１）当　＝÷时，ＰＧ＝——，　＝——，此　厶　时ＰＡ——ＰＧ＋　（填“＝”或“≠”）．　（２）求．ｓ与ｔ之间的函数关系式．　１　（３）请探雳德否存在ｔ值（￡＞÷），使．ｓ　＋Ｓ：＝４Ｓ＋　厶　５．若存在，求出ｔ值；若不存在，说明理由．　４．如图所示，菱形ＡＢＣＤ的边长为６厘米，　＝　６Ｏ。．从初始时刻开始，点Ｐ，Ｑ同时从Ａ点出发，点Ｐ以　ｌ厘米／秒的速度沿Ａ—Ｃ一　的方向运动，点Ｑ以２厘　米／秒的速度沿　—Ｂ—Ｃ—Ｄ的方向运动，当点Ｑ运动　到Ｄ点时，Ｐ，Ｑ两点同时停止运动，设Ｐ，Ｑ运动的时间　为　秒时，ＡＡＰＱ与ＡＡＢＣ重叠部分的面积为Ｙ平方厘　米（这里规定：点和线段是面积为０的三角形），解答下　列问题：　Ｄ　Ａ　Ｑ　’－　Ｂ　（１）点Ｐ，Ｑ从出发到相遇所用时间是　秒．　（２）点Ｐ，Ｑ从开始运动到停止的过程中，当ＡＡＰＱ　是等边三角形时　的值是——秒．　（３）求Ｙ与　之间的函数关系式．　练习题答案　１．（１）点　（一４，０），点　Ｂ（一２，０），是Ｅ（０，８）关于　原点的对称点分别为Ｄ（４，　０），Ｃ（２，Ｏ），Ｆ（０，一８），设抛　物线　的解析式是Ｙ＝一　＋ｂｘ＋ｃ（口≠Ｏ），贝０　ｒ１６ａ＋４ｂ＋ｃ＝０，　…０．　ｒ口＝一ｌ，　解得？６＝６，　【ｃ＝一８．　、’，　・８　－７　・６　—５　－４　－３　～　＿５－４　４　５一　Ｍ　－一２　・一３　・．＿ｄ　・一５　・＿６　・　，　・－８　所以所求抛物线的解析式是Ｙ＝一　＋６ｘ一８．　（２）由（１）可计算得点Ｍ（一３，一１），Ｎ（３，１）．　过点Ⅳ作ＮＨ＿ＬＡＤ，垂足为Ｈ　当运动到时刻ｔ时．ＡＤ＝２０Ｄ＝８—２ｔ，ＮＨ＝１＋２ｆ．　根据中心对称的性质ＯＡ＝ＯＤ，ＯＭ＝ＯＮ，所以四边　形ＭＤＮＡ是平行四边形．　所以Ｓ四边形　＾　＝２Ｓ△Ａ　．　所以，四边形ＭＤＮＡ的面积Ｓ＝（８—２ｔ）（１＋２ｆ）＝　一４　＋１４ｔ＋８．　因为运动至点Ａ与点Ｄ重合为止，据题意可知０≤ｔ　＜４．　所以，所求关系式是Ｓ＝一４ｔ　＋１４ｔ＋８，ｔ的取值范　围是０≤ｔ＜４．　（３　一４（ｔ－÷）＋　’（０　４）．　所以ｔ：÷时，ｓ有最大值　．　（４）在运动过程中四边形ＭＤＮＡ能形成矩形．　－●－●－●’◆’◆。◆。◆。◆‘　＋。＋。．．．．－　致学大世界　。　．３．鑫　；；．。＋。＋。＋。＋。＋。＋。＋①　？　●　；　●　ｔ　●　ｆ　ｌ　由（２）知四边形ＭＤＮＡ是平行四边形，对角线是　ＡＤ，ＭＮ，所以当ＡＤ＝ＭＮ时，四边形ＭＤＮＡ是矩形．　所以ＯＤ＝ＯＮ．所以ＯＤ　＝Ｄ，ｖ２＝０　＋脚．　所以ｔ　＋４ｔ一２＝０．　解得ｔ１＝　一２，ｔ２：一　一２（舍）．　所以在运动过程中四边形ＭＤＮＡ可以形成矩形，此　时ｔ：√６—２。　２．（１）作ＢＦＪ＿ｙ轴于　‘．‘Ａ（０，１０），Ｂ（８，４），　．‘．佃＝８．ＦＡ＝６．　．‘．　｝＝１０．　（２）由图②可知，点Ｐ从点Ａ运动到点凹用了１Ｏ　秒．　又’．。ＡＢ＝１０．１０÷１０＝１．　．’．Ｐ，Ｑ两点的运动速度均为每秒１个单位．　（３）解法１：　作ＰＣ，上，，轴于Ｇ，则ＰＧ／／ＢＦ．　．　一　Ｒｎ　一　‘‘ＦＡ—ＡＢ’“　６—１０‘　．．．ＧＡ：　３　．ＯＧ：１０一　．　’．’ＯＱ＝４＋ｔ．　．・．ｓ＝　１×ｏＱ×ＯＧ＝÷（ｆ＋４）（１Ｏ一÷）．　＝一啬“　¨２０．　＝　，且０≤孚　，　．・．当￡＝　时，ｓ有最大值．　此时Ｇ尸＝了４　＝西７６，ＯＧ＝１０一丁３￡＝　，　．・．点Ｐ的坐标为（　７６，　）．　解法２：　当ｔ＝５耐，ＯＧ＝７，ＯＱ＝９，　．ｓ＝０Ｇ，ＯＱ＝　６３．　设所求函数关系式为Ｓ＝ａｔ　＋ｂｔ＋２０．　・．・抛物线过点（１Ｏ，２８），（５，了６３），　－－－０　－◆。◆。◆０◆－◆。◆０　．【２１５００。ａ＋＋５６１０＋ｂ２＋。２：０亍＝２．８，　．・．ｓ＝一斋“孚＋２０．　旦　ｂ　５　‘・‘　一　＝丁１９，且０≤孚　，　．・．当￡＝１－９３￣，ｓ有最大值，此时ＧＰ＝等，ＯＧ＝　，　．・．点Ｐ的坐标为（篝，　）．‘　（４）２．　Ｑ　３．（１）　２　＝　（２）①当ｏ≤ｆ≤寺时，连接∞，　ＳａＡＰｃ：ｓ　ｂＡｐ８一ｓ　ＰｃＢ～Ｓ　＝　１×２（２ｆ＋１）一号（２ｆ＋１）（ｆ＋÷）一÷×２×　＝＿ｔ２一￡　３．　②当　＜ｔ≤寻时，　Ａｌ￣ｌＺＡＫ上ＰⅣ于Ｋ，连接触　ｓ厶＾ＰＧ：ｓ　＾ＰＫ—ｓ＆Ａ　；～ｓ　Ｐｃ　＝２Ｉ＿Ｌ×２（２ｆ＋１）一吉（２ｚ＋１）（吾一　）一　１　ｘ１×２　＝ｆ２＋　一　３．．．　．・．当０≤ｔ≤÷日寸＇　一ｍ　一　ｌｌ　＝　．！　一　．　◆Ｉ▲ｔＩ＾，●．＿ｔ●．＿－ｔ●．－ｔ●．．．，Ｉ◆●．－●－●．ｔＩ　▲　数学大世界　。　＿．３▲　＝＿ｔ２一ｔ　３，　当÷＜　≤扣，　ｓ：“卜｝．　（３）存在．　Ｓｌ＝２（２ｔ＋２）＝４ｔ＋４，Ｓ２＝ｔ＋１．　若ＳＩ＋Ｓ２＝４Ｓ＋５，贝Ⅱ　４￡＋４＋￡＋１＝４（￡　＋卜了３）＋５，即４￡２一ｔ一：：０　．・．￡ｌ＝一　３（舍），ｔ２＝１．　‘　即当ｔ＝１时，Ｓ１＋Ｓ２＝４Ｓ＋５．　４．（１）６．　（２）８．　（３）①当０≤　＜３时，　Ｙ　Ｓ△　Ｉ口Ｉ　＝　ＡＰ　・ＡＱｌ・ｓｉＩｌ印。．　＝÷…２　・　＝　．　Ｄ　＼　Ａ　Ｂ　②当３≤　＜６时，　，，：．ｓ　Ｑ：＝　Ｐ２．Ｐ２Ｑ　：—　Ｐ２．ＣＱ：．ｓｉｎ６０。　：ｉ２　ｘ・（１２　）・字　：一　ｚ＋３　．　③当６≤　≤９时，设Ｐ３Ｑ，与　ｃ交于点　解法１：　过Ｑ，作Ｑ，Ｅ∥ＢＣ，则ＡＣＱ３Ｅ为等边三角形，　．’．Ｑ３Ｅ＝ＣＥ＝ＣＱ３＝２ｘ一１２．　・．‘Ｑ３Ｅ／／ＢＣ，　．’．ＡＣＯＰ　一ＡＥＯＱ　．　２　０Ｃ　Ｌｒ３　一６　１　‘。ＯＥ—ＥＯ　一２ｘ一１２—２‘　．・．ＯＣ＝÷叩＝÷（２　—ｌ２）．　Ｙ　．ｓ△＾０Ｐ３　ＳＡＡｃ，３一ＳＡｃｏｐ３・　＝＋ＣＰ３・ＡＣ・ｓｉｎ６０。～－－￣－ＯＣ・　・ｓｉｎ６０。　＝÷（　一６）・６×芋一　１×￣－（２ｘ－１２）（　一６）×　＝每　＋　解法２：　如图，过点０作ＯＦ上ｃ　于点Ｆ，ＯＧ上Ｃ　于点　Ｇ，过点Ｐ３作Ｐ３Ｈ．ＬＤＣ交ＤＣ延长线于点Ｈ　ＪＤ　’．’Ｚ．ＡＣＢ＝／ＡＣＤ，　．‘．ＤＦ＝０＆　又ＣｌＰ３＝　一６，ＣＱ３＝２ｘ一１２＝２（　一６），　．・．ｓ　Ｐ３：÷．ｓ　ｃｏｐ，　．－．ｓ圳Ｐ３＝÷．ｓ　ｃＰ３钓　＝÷×　１－ＣＱ，・Ｐ３日　＝÷×÷（２　一ｌ２）（　一６）・鱼２　＝　（　Ｘ　ｓ△＾ｃＰ３＝÷ｃ　・ＡＣ．ｓｉｎ６０。　＝÷（　）×６×　，／Ｙ＝筝　）．　．　．Ｙ　Ｓ△Ａ０Ｐ３　ＳＡＡＣＰ３一Ｓ￣ｃｏ，３　＝学　６）一　６）　：一　＋筝　＋．＋；。．．＋。，。＋。＋。．．＋；．　《《｝ｖ鼓学大世界　。　．３　．＋。。。＋，