2015年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析

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2015年天津市高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）（2015•天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁UB=（ ）

A． {3} B． {2，5} C． {1，4，6} D． {2，3，5}

考点： 交、并、补集的混合运算．

专题： 集合．

分析： 求出集合B的补集，然后求解交集即可．

解答： 解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合B={1，3，4，6}，∁UB={2，5}，又集合A={2，3，5}，

则集合A∩∁UB={2，5}．

故选：B．

点评： 本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．

2．（5分）（2015•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为（ ）

A． 7 B． 8 C． 9 D． 14

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

由z=3x+y得y=﹣3x+z，

平移直线y=﹣3x+z，

由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，

此时z最大． 由，解得，即A（2，3），

代入目标函数z=3x+y得z=3×2+3=9．

即目标函数z=3x+y的最大值为9．

故选：C． 2

点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

3．（5分）（2015•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（ ）

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

考点： 循环结构．

专题： 图表型；算法和程序框图．

分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．

解答： 解：模拟执行程序框图，可得

S=10，i=0

i=1，S=9

不满足条件S≤1，i=2，S=7

不满足条件S≤1，i=3，S=4

不满足条件S≤1，i=4，S=0

满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．

故选：C． 3 点评： 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．

4．（5分）（2015•天津）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（ ）

A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件

C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 充要条件．

专题： 简易逻辑．

分析： 求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．

解答： 解：∵|x﹣2|＜1，

∴1＜x＜3，

∵“1＜x＜2”

∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要条件．

故选：A

点评： 本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．

5．（5分）（2015•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（ ）

A． ﹣=1 B． ﹣=1 C． ﹣y2=1 D．

x2﹣=1

考点： 双曲线的简单性质．

专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出a，b的关系，结合焦点为F（2，0），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程．

解答： 解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，

∵双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切， ∴，

∴b=a，

∵焦点为F（2，0），

∴a2+b2=4，

∴a=1，b=， 4 ∴双曲线的方程为x2﹣=1．

故选：D．

点评： 本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a，b的值，是解题的关键．

6．（5分）（2015•天津）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（ ）

A． B． 3 C． D．

考点： 与圆有关的比例线段．

专题： 选作题；推理和证明．

分析： 由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．

解答： 解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，

∴2×4=AM•2AM，

∴AM=2，

∴MN=NB=2，

又CN•NE=AN•NB，

∴3×NE=4×2，

∴NE=．

故选：A．

点评： 本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．

7．（5分）（2015•天津）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（ ）

A． a＜b＜c B． c＜a＜b C． a＜c＜b D． c＜b＜a

考点： 对数函数图象与性质的综合应用；奇偶性与单调性的综合．

专题： 函数的性质及应用．

分析：

根据函数的奇偶性得出f（x）=2|x|﹣1=，利用单调性求解即可．

解答： 解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，

∴f（﹣x）=f（x），

m=0， 5 ∵f（x）=2|x|﹣1=，

∴f（x）在（0，+∞）单调递增，

∵a=f（log0.53）=f（log23），b=f（log25），c=f（2m）=f（0）=0，

0＜log23＜log25，

∴c＜a＜b，

故选：B

点评： 本题考查了对数函数的性质，函数的奇偶性，单调性，计算能力，属于中档题．

8．（5分）（2015•天津）已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（ ）

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

考点： 根的存在性及根的个数判断．

专题： 开放型；函数的性质及应用．

分析： 求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．

解答： 解：∵g（x）=3﹣f（2﹣x），

∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣3+f（2﹣x），

由f（x）﹣3+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=3，

设h（x）=f（x）+f（2﹣x），

若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，

若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，

若0≤x≤2，则﹣2≤x≤0，0≤2﹣x≤2，

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，

若x＞2，﹣x＜0，2﹣x＜0，

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．

即h（x）=，

作出函数h（x）的图象如图：

当y=3时，两个函数有2个交点，

故函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为2个，

故选：A． 6

点评： 本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）（2015•天津）i是虚数单位，计算的结果为

﹣i ．

考点： 复数代数形式的乘除运算．

专题： 数系的扩充和复数．

分析： 直接利用复数的除法运算法则化简求解即可．

解答： 解：i是虚数单位，

===﹣i．

故答案为：﹣i．

点评： 本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查．

10．（5分）（2015•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为

m3．

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 计算题；空间位置关系与距离． 7 分析： 根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．

解答： 解：根据几何体的三视图，得；

该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，

且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；

∴该几何体的体积为

V几何体=2×π•12×1+π•12•2 =π． 故答案为：π．

点评： 本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．

11．（5分）（2015•天津）已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为 3 ．

考点： 导数的乘法与除法法则．

专题： 导数的综合应用．

分析： 由题意求出f'（x），利用f′（1）=3，求a．

解答： 解：因为f（x）=axlnx，所以f′（x）=f（x）=lna•axlnx+ax，又f′（1）=3，所以a=3；

故答案为：3．

点评： 本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键．

12．（5分）（2015•天津）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为 4 时，log2a•log2（2b）取得最大值．

考点： 复合函数的单调性．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，从而得出结论．

解答： 解：由题意可得当log2a•log2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，

故有a＞1．

再利用基本不等式可得log2a•log2（2b）≤===4，

当且仅当a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，

故答案为：4．

点评： 本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．