高二数学期末专题复习

学习好资料 欢迎下载

高二数学期末专题复习（一）

一、立体几何部分

题型一、空间几何体

1、 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是(A)

A．283 B．83 C．82 D．23

2、某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）

A. 28+65 B. 30+65 C. 56+ 125 D. 60+125

解：从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字

所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的

计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系

和三角形面积公式，可得：10底S，10后S，10右S，56左S，因此

该几何体表面积5630左右后底SSSSS，故选B。

3、如图，正方体ABCD-1111ABCD的棱长为2，动点E、F在棱11AB上，动点

P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，1AE=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积（ D ）

Ａ、与ｘ，ｙ，ｚ都有关 Ｂ、与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关

Ｃ、与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 Ｄ、与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关

5、已知球面的三个大圆所在平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积之比是( C )

A．2∶π B．1∶2π C．1∶π D．4∶3π

6、一个四面体的所有棱长都是2，四个顶点在同一个球面上，则此球的

表面积为 3 ．

7、三棱锥PABC中，ABC是底面，,PAPB,PAPC,PBPC且这四个顶点都在半径为2的球面上，2,PAPB则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为（ B ）

A. 16 B. 4705 C. 1705 D.32

学习好资料 欢迎下载

题型二、平面基本性质

1、若,mn表示不重合的两直线，表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为（C ）

①//mnnm；②//mmnn；③//mmnn；④//mnmn

2、下列命题正确的是（ C ）

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

3、设nm,是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题

①//////；②mm//；③//mm；④////mnnm；

其中正确的命题是（ ）

Ａ．①④； Ｂ．②③； Ｃ．①③； Ｄ．②④；

答案：C

4、给定下列四个命题：

设和为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；

（2）若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；

（3）设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；

（4）直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直。

上面命题中，真命题．．．的序号 (1)(2) （写出所有真命题的序号）.

题型三、空间角与距离

1、如图，在正方体1111ABCDABCD中，M、N分别是CD、1CC的中点，

则异面直线1AM与DN所成角的大小是______2______。

2、如图，二面角--la的大小是60°，线段lBAB,，AB与l所成角

为30°，则AB与平面所成的角的正弦值是____43____________。

3、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，沿对角线BD将△ABD折起，使A

点在平面BCD内的射影落在BC边上，若二面角C—AB—D的平面有大小为θ，

则sinθ的值等（ A ） NMB1A1C1D1BDCA学习好资料 欢迎下载

A．43 B．47 C．773 D．54

4、若正四棱柱1111ABCDABCD的底面边长为1，1AB与底面ABCD成60°角，则11AC到底面ABCD的距离为 （ D ）

A．33 B．1 C．2 D．3

5、将B=600,边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成二面角,若[60°,120°], 则

折后两条对角线之间的距离的最值为( B )

A．最小值为43, 最大值为23 B．最小值为43, 最大值为43

C．最小值为41, 最大值为43 D．最小值为43, 最大值为23

6、如图，在直三棱柱111ABCABC中， 2ABBC，12BB，90ABC，,EF分别为111,AACB的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 ．

解析：分别将111ABC△沿11AB折到平面11ABBA上；将111ABC△

沿11AC折到平面11ACCA上；将11BCCB沿1BB折到平面11ABBA

上；将11BCCB沿1CC折到平面11ACCA上，比较其中EF长即可． 322．

题型四、综合运用

1、如图，已知矩形ABCD，AB=2AD=2a,E是CD边的中点，以AE为棱，将△DAE向上折起，将D变到D′的位置，使面D′AE与面ABCE成直二面角（图7-32）。

（1）求直线D′B与平面ABCE所成的角的正切值；

（2）求证：AD′⊥BE；

（3）求四棱锥D′—ABCE的体积；

（4）求异面直线AD′与BC所成的角。 A

B C 1B F

1A 1C

E 学习好资料 欢迎下载

解 （1）∵D′—AE—B是直二面角，

∴平面D′AE⊥平面ABCE。

作D′O⊥AE于O，连 OB，则D′O⊥平面ABCE。

∴∠D′BO是直线D′B与平面ABCE所成的角。

∵D′A=D′E=a，且D′O⊥AE于O，∠AD′E=90°

∴O是AE的中点，

AO=OE=D′O=22a, ∠D′AE=∠BAO=45°。

∴在△OAB中，OB=ABcos45222OAABOA

=222a))(22(2)·2()22(22aaa=210a。

∴在直角△D′OB中，tan∠D′BO=OBOD'=55。

（2）如图，连结BE，

∵∠AED=∠BEC=45°，∴∠BEA=90°，即BE⊥AE于E。

∵D′O⊥平面ABCE，∴D′O⊥BE，∴BE⊥平面AD′E，∴BE⊥AD′。

（3）四边形ABCE是直角梯形，

∴SABCE=21（a+2a）·a=23a2。

∵D′O是四棱锥的高且D′O=22a,

∴VD′—ABCE=31（22a）·（23a2）=42a3。

（4）作AK∥BC交CE的延长线于K，∴∠D′AK是异面直线AD′与BC所成的角，

∵四边形ABCK是矩形，∴AK=BC=EK=a。连结OK，D′K,

∴OK=D′O=22a, ∠D′OK=90°, ∴D′K=a, AK=AD′=D′K=a。

∴△D′AK是正三角形，∴∠D′AK=60°，即异面直线AD′与BC成60°

学习好资料 欢迎下载

3、直三棱柱A1B1C1—ABC的三视图如图所示，D、E分别为棱CC1和B1C1的中点。

（1）求点B到平面A1C1CA的距离；

（2）求二面角B—A1D—A的大小；

（3）在AC上是否存在一点F，使EF⊥平面A1BD，若存在确定其位置，若不存在，说明理由.

解：（1）由已知得：CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°

∴BC⊥AC

∴BC⊥平面A1C1CA

∴点B到平面A1C1CA的距离为2

（2）如图建立空间直角坐标系则B（0，2，0）D（0，0，1）A1（2，0，2）

)2,2,2()1,0,2(11DADA

设平面A1DB的法向量为),,1(1yxn则12022202xyyxy

)2,1,1(1n而平面ACC1A1的法向量为)0,1,0(2n

61cos21nn∴二面角B—A1D—A的大小为66arccos

（3）存在F为AC的中点，使EF⊥平面A1BD设F（x，0，0），由E（0，1，2）得)2,1,(xEF

若EF⊥平面A1BD，则1//nEF由)2,1,1(1n得x=1

∴F为AC的中点∴存在F为AC的中点，使EF⊥平面A1BD

3、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，AB=2AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且).0(FABFEDPE

（I）判断EF与平面PBC的关系，并证明；

（II）当λ=1时，证明DF⊥平面PAC；

（III）是否存在实数λ，使异面直线EF与CD所成角为60°？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由.

解：（I）EF∥平面PBC. 证明如下

作FG∥BC交CD于G，连结EG，则

FABFEDPEGDCGFABF 学习好资料 欢迎下载

∴GDCGEDPE∴PC∥EG 又FG∥BC，BC∩PC=C，FG∩GE=G.

∴平面PBC∥平面EFG.又EF平面EFG∴EF∥平面PBC

（II）λ=1，则F为AB的中点又AB=2AD AF=21AB

∴在Rt△FAD与Rt△ACD中222tanADADAFADAFD

22tanADADADCDCAD

∴∠AFD=∠CAD ∴AC⊥DF 又∵PA⊥平面ABCD，DF平面ABCD ∴PA⊥DF.

∴DF⊥平面PAC

（III）建立如图所示空间填角坐标系，设PA=AD=1，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，1，0），C（2，1，0），P（0，0，1）又)0(FABFEDPE

)0,0,12(F……………………8分

设),,0(00zyE则

111),1,0()1,,0()0(),1,0(),1,,0(0000000000zyzyzyEDPEEDPEzyEDzyPE即又即)11,1,0(E

)11,1,12(EF

)0,0,2(CD 假设存在实数λ，使异面直线EF与CD所成的角为60°，则

2132213|12|||||||60cos22CDEFCDEF