一、填空题1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为______．2．已知双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆()22x c y a -+=的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是________．3．已知圆的方程为224x y +=，若抛物线过点()1,0A -，()1,0B ，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________. 4．已知动圆Q 与圆()221:49C x y ++=外切，与圆()222:49C x y +-=内切，则动圆圆心Q 的轨迹方程为__________．5．已知点P 为抛物线C ：24y x =上的动点，抛物线C 的焦点为F ，且点()3,1A ，则PA PF +的最小值为_______．6．在直角坐标平面内的△ABC 中，(2,0)A -、(2,0)C ，若sin sin 2sin A C B +=，则△ABC 面积的最大值为____________.7．已知1F ，2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，且离心率23e =，点P是椭圆上位于第二象限内的一点，若12PF F △是腰长为4的等腰三角形，则12PF F △的面积为_______.8．已知点F 为椭圆22:143x y Γ+=的左焦点，点P 为椭圆Γ上任意一点，点O 为坐标原点，则OP FP ⋅的最大值为________9．已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，已知12F PF ∠=120°，且12||3||PF PF =，则椭圆的离心率为___________.10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与方向向量为(6,6)k =的直线交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(4,1)，则该双曲线的渐近线方程是_______.11．已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，F 为右焦点，点A 的坐标为，则AFP周长的最大值为_______.12．如图所示，已知A ､B ､C 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>上的三点，BC 过椭圆的中心O ，且,2AC BC BC AC⊥=.则椭圆的离心率为_______.13．已知椭圆的对称轴为坐标轴，两个焦点坐标分别为()()0,2,0,2-，且过点35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆的标准方程为____________. 二、解答题14．已知()()()22:3400,q :112x y p m a m a a m m--<>+=--．（1）若q 表示双曲线，求实数m 的取值范围；（2）若q 表示焦点在y 轴上的椭圆，且q ⌝是p ⌝中的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，且上顶点M 到直线340x y ++=距离为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 过点()4,2-且与椭圆C 相交于,A B 两点，l 不经过点M .证明：直线MA 的斜率与直线MB 的斜率之和为定值.16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）O 是坐标原点，过椭圆的右焦点F 直线1l 交椭圆于P ，Q 两点，求OPQ △的最大值．17．已知()11,0F -，()21,0F，动点P 满足124PF PF +=，动点P 的轨迹为曲线Γ. （1）求点P 的轨迹方程；（2）直线l 与曲线Γ交于A 、B 两点，且线段AB 的中点为()1,1M ，求直线l 的方程.18．已知椭圆()222210y x a b a b +=>>的离心率22e =，且过点(0,2．（1）求椭圆方程；（2）已知1F 、2F 为椭圆的上、下两个焦点，AB 是过焦点1F 的一条动弦，求2ABF 面积的最大值．19．如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为12,F F ，过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点.（1）若01260AF F ∠=，且 120AF AF ⋅=求椭圆的离心率. （2）若2,1a b ==，求22F A F B ⋅的最大值和最小值.20．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为32，点3,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上． （1）求椭圆的方程；（2）设1F ，2F 分别是椭圆C 的上、下焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，求1F AB 的内切圆的半径的最大值．21．已知点P 是双曲线22148x y -=上的一点，点1F 和2F 为左、右焦点，若1260F PF ∠=．（1）求12F PF △的面积； （2）求点P 的坐标．22．已知抛物线C 的准线方程为14x =-.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若过点(,0)P t 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过原点O ，求证：t 为常数，并求出此常数.23．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，点33,2P ⎭在C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设1F ，2F 分别是椭圆C 的左，右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求1F AB 面积的最大值.24．已知命题p ：()()22210t a t a a t --+-<∈R ，命题q ：方程()22113x y t t t+=∈+-R 表示焦点在x 轴上的椭圆.（1）若10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，命题p 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.25．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上横坐标为2的一点P 到焦点的距离为3. （1）求抛物线C 的方程；（2）设动直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点， 直线OA ，OB 的斜率分别为12,k k ，且122k k ⋅=-，证明：直线l 经过定点，求出定点的坐标.26．已知椭圆M 的焦点与双曲线N ：22197x y -=的顶点重合，且椭圆M 短轴的端点到双曲线N 渐近线的距离为3． （1）求椭圆M 的方程；（2）已知直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，若弦AB 中点为()2,1，求直线l 的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】作出图形设过椭圆右焦点且垂直于长轴的弦为计算出再利用椭圆的定义可得出关于的等式进而可求得椭圆的离心率的值【详解】如下图所示设椭圆的左右焦点分别为设过椭圆右焦点且垂直于长轴的弦为则由勾股定理可【分析】作出图形，设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB ，计算出1AF ，再利用椭圆的定义可得出关于a 、c 的等式，进而可求得椭圆的离心率的值. 【详解】如下图所示，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB ，则2AB c =，212AF AB c ==，由勾股定理可得1AF ==，由椭圆的定义可得122AF AF a +=52c c a +=，所以，该椭圆的离心率为()()251512515151c e a ====++-. 51-. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.2．【分析】要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直必有而焦点到双曲线渐近线的距离为故利用双曲线的离心率的计算公式解答【详解】解：∵所以离心率圆是以为圆心半径的圆要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直必有 解析：(3【分析】要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直，必有2TF a =，而焦点(),0F c 到双曲线渐近线的距离为b ，故2TF a b =≥，利用双曲线的离心率的计算公式解答．【详解】解：∵0b >，0a >，所以离心率211c b e a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，圆()22x c y a -+=是以(),0F c 为圆心，半径r a =的圆，要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直， 必有2TF a =，而焦点(),0F c 到双曲线渐近线的距离为b ，所以TF b =≥，即b a c e a ==，所以双曲线M 的离心率的取值范围是(．故答案为：(． 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的灵活运用．3．【分析】根据题意可知：焦点到和的距离之和等于和分别到准线的距离和；而距离之和为和的中点到准线的距离的二倍即所以焦点的轨迹方程是以和为焦点的椭圆由此能求出该抛物线的焦点的轨迹方程【详解】解：设抛物线焦解析：22143x y +=(0)y ≠【分析】根据题意可知：焦点到A 和B 的距离之和等于A 和B 分别到准线的距离和；而距离之和为A 和B 的中点O 到准线的距离的二倍，即24r =，所以焦点的轨迹方程C 是以A 和B 为焦点的椭圆，由此能求出该抛物线的焦点F 的轨迹方程. 【详解】解：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线1AA ，1BB ，1OO ， 则|有11124AA BB OO +==； 由抛物线定义得11AA BB FA FB +=+，4FA FB ∴+=，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，∴ 抛物线的焦点轨迹方程22143x y +=(0)y ≠.故答案为：22143x y +=(0)y ≠.【点睛】关键点点睛：抛物线方程中，抛物线上的点到焦点F 的距离等于到准线的距离，牢记它对解题非常有益．4．【分析】根据题意和双曲线的定义得到动圆圆心Q 的轨迹是以为焦点的双曲线的上支求得的值即可求得轨迹方程【详解】设动圆Q 的半径为因为动圆Q 与圆外切与圆内切可得所以由双曲线的定义可得动圆圆心Q 的轨迹是以为焦解析：221(0)97y x y -=>【分析】根据题意和双曲线的定义，得到动圆圆心Q 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的上支，求得,,a b c 的值，即可求得轨迹方程. 【详解】设动圆Q 的半径为R ， 因为动圆Q 与圆()221:49C x y ++=外切，与圆()222:49C x y +-=内切，可得123,3QC R QC R =+=-，所以121268QC QC C C -=<=， 由双曲线的定义，可得动圆圆心Q 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的上支， 其中26,28a c ==，解得3,4a c ==， 又由2221697b c a =-=-=，所以动圆圆心Q 的轨迹方程为221(0)97y x y -=>.故答案为：221(0)97y x y -=>.【点睛】求曲线的轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系式或0(),F x y =，直接化简求解； 待定系数法：已知所求曲线的类型，先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定稀释；定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方法；代入转移法：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，将00,x y 代入已知曲线求解.5．4【分析】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求取得最小进而可推断出当三点共线时最小答案可得【详解】抛物线的准线为设点在准线上的射影为如图则根据抛物线的定义可知要求取得最小值即解析：4 【分析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知||||PF PD =进而把问题转化为求||||PA PD +取得最小，进而可推断出当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，答案可得． 【详解】抛物线2:4C y x =的准线为1x =-．设点P 在准线上的射影为D ，如图，则根据抛物线的定义可知||||PF PD =，要求||||PA PF +取得最小值，即求||||PA PD +取得最小． 当D ，P ，A 三点共线时，||||PA PD +最小，为3(1)4--=． 故答案为：4． 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，是解题的关键．6．【分析】由正弦定理可得结合椭圆的定义可得点的轨迹方程即可得解【详解】因为所以所以点的轨迹是以为左右焦点长轴长的椭圆（不在x 轴上）该椭圆焦距所以所以点的轨迹方程为当时所以面积的最大值故答案为：【点睛】 解析：3【分析】由正弦定理可得2BC AB AC +=，结合椭圆的定义可得点B 的轨迹方程，即可得解. 【详解】因为sin sin 2sin A C B +=，4AC =，所以28BC AB AC AC +==>， 所以点B 的轨迹是以A 、C 为左右焦点，长轴长28a =的椭圆（不在x 轴上）， 该椭圆焦距24c =，所以22212b a c =-=，所以点B 的轨迹方程为()22101612x y y +=≠， 当0x =时，3y =±， 所以ABC 面积的最大值max 1423432S =⨯⨯= 故答案为：3 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦定理转化条件为2BC AB AC +=，再结合椭圆的定义即可得解.7．【分析】由题意可计算出由是腰长为4的等腰三角形且点在第二象限可得的值过作于点可得的值可得的面积【详解】解：由题意知则又∴由椭圆的定义得又是腰长为4的等腰三角形且点在第二象限∴过作于点则∴的面积为故答【分析】由题意可计算出2c =，3c =，由12PF F △是腰长为4的等腰三角形，且点P 在第二象限，可得2PF 、1PF 的值，过2F 作21F D PF ⊥于点D ，可得PD ，2DF 的值，可得12PF F △的面积.【详解】解：由题意知24c =，则2c =， 又23c e a ==，∴3a =，由椭圆的定义得1226PF PF a +==， 又12PF F △是腰长为4的等腰三角形，且点P 在第二象限，∴24PF =，12=PF ，过2F 作21F D PF ⊥于点D ，则1PD =，2DF =∴12PF F △的面积为122⨯=【点睛】本题主要考查椭圆的定义及简单的几何性质、三角形面积的计算，考查学生的逻辑推理能力、数学计算能力，属于中档题.8．【分析】设点的坐标为则可得出利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最大值【详解】设点的坐标为则则可得椭圆的左焦点为则二次函数在区间上单调递增所以因此的最大值为故答案为：【点睛】本 解析：6【分析】设点P 的坐标为(),x y ，则22x -≤≤，可得出22334y x =-，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得OP FP ⋅的最大值. 【详解】设点P 的坐标为(),x y ，则22x -≤≤，则22143x y +=，可得22334y x =-，椭圆Γ的左焦点为()1,0F -，(),OP x y =，()1,FP x y =+， 则()()2222231113322444OP FP x x y x x x x x x ⋅=++=++-=++=++， 二次函数()()21224f x x =++在区间[]22-,上单调递增， 所以，()()2max 124264f x f ==⨯+=.因此，OP FP ⋅的最大值为6. 故答案为：6. 【点睛】本题考查椭圆中向量数量积最值的求解，考查了椭圆有界性以及二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.9．【解析】设由余弦定理知所以故填【解析】设21,3,24PF x PF x a x ===，由余弦定理知22(2)13c x =，所以4c a =，故填4. 10．【分析】设代入到双曲线的方程中运用点差法可求得可得答案【详解】设则且因为线段的中点为所以由题意可得直线的斜率为1所以即故双曲线的渐近线方程为故答案为：【点睛】本题考查点差法的运用之得双曲线的渐近线方解析：12y x =±【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入到双曲线的方程中，运用点差法可求得12b a =，可得答案. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2211221x y a b -=且2222221x y a b-=，因为线段AB 的中点为(4,1)，所以()()2221212221214b x x y y b x x a y y a+-==-+， 由题意可得直线AB 的斜率为1，所以2241b a=，即12b a =，故双曲线的渐近线方程为12y x =±. 故答案为：12y x =±. 【点睛】本题考查点差法的运用之得双曲线的渐近线方程，属于中档题.11．10【分析】如图所示设椭圆的左焦点为利用利用即可得到结果【详解】解：如图所示设椭圆的左焦点为由题意可知则因为的坐标为所以由椭圆的定义可得因为所以周长为当且仅当三点共线时取等号所以周长的最大值为10故解析：10 【分析】如图所示，设椭圆的左焦点为'F ，利用'AF AF =，'24PF PF a +==，利用''PA PF AF -≤，即可得到结果【详解】解：如图所示，设椭圆的左焦点为'F ， 由题意可知2,1,3a b c ===，则(3,0)F ，因为A 的坐标为(0,6)，所以'3AF AF ==， 由椭圆的定义可得'24PF PF a +==， 因为''PA PF AF -≤，所以AFP 周长为'434310AF PA PF AF PA PF ++=++-≤++=， 当且仅当',,A P F 三点共线时取等号， 所以AFP 周长的最大值为10， 故答案为：10【点睛】此题考查了椭圆的定义及其性质，三角形的三边大小关系，考查数形结合的思想，考查计算能力，属于中档题12．【分析】由BC 关于原点的对称性所以|BC|＝2|AC|可得|OC|＝|AC|由此可得C 点的横坐标由AC ⊥BC 可求出C 点的纵坐标再由点C 在椭圆上可求得abc 的一个关系式结合椭圆中a2＝b2+c2即可求 解析：63【分析】由B 、C 关于原点的对称性，所以|BC |＝2|AC |可得|OC |＝|AC |，由此可得C 点的横坐标，由AC ⊥BC 可求出C 点的纵坐标，再由点C 在椭圆上可求得a 、b 、c 的一个关系式，结合椭圆中a 2＝b 2+c 2，即可求出离心率． 【详解】由|BC |＝2|AC |可得|OC |＝|AC |，所以C 点的横坐标为2a ，设C （2a，y ），由AC ⊥BC ，则224a y =，又因为点C 在椭圆上，代入椭圆方程得：223a b=，所以22222213c b e a a ==-=，所以e =． 【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解，求得点C 坐标是关键，考查逻辑推理能力和运算能力．13．【分析】由题意可设椭圆方程为且利用椭圆定义及两点间的距离公式求得结合隐含条件求得则可求出椭圆方程【详解】解：由题意可设椭圆方程为且由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点距离之和等于得则则椭圆方程为：故答案为解析：221106y x +=【分析】由题意可设椭圆方程为22221,(0)x y a b b a+=>>，且2c =，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得a ，结合隐含条件求得b ，则可求出椭圆方程． 【详解】解：由题意可设椭圆方程为22221,(0)x y a b b a+=>>，且2c =，由椭圆的定义，椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于2a ．2a ∴==得a =b ==则椭圆方程为：221106y x +=．故答案为：221106y x +=.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了利用椭圆定义求椭圆的标准方程，属于基础题．二、解答题14．（1）()()–,12,∞+∞；（2）13,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据曲线方程，列式()()120m m --<，求m 的取值范围；（2）分别求两个命题为真命题时，m 的取值范围，根据命题的等价性转化为p 是q 的充分不必要条件，转化为真子集关系，求实数a 的取值范围. 【详解】（1）由()()120m m --<，得1m <或2m >，即()()–,12,m ∈∞⋃+∞（2）命题p ∶由()()()3400m a m a a --<>，得34a m a <<．命题q ∶22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆， 则102021m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得312m <<，因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件，则31342a a ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得1338a ≤≤， 故实数a 的取值范围为：13,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．15．（1）221164x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题可得，列出不等式组，求解4,2a b ==，即可求解椭圆的标准方程； （2）设直线l 方程：()24y k x +=-，直线的方程和椭圆的方程联立，利用根与系数的关系得到1212,x x x x +，在利用斜率公式和韦达定理化简，即可得到定值. 【详解】（1）解：由题可得，2222432c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得4a =，2b =，故椭圆C 的方程为221164x y +=.（2）证明：易知直线l 斜率小于0，设直线l 方程为()24y k x +=-，0k <且1k ≠-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222(4)1164y k x x y +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()221416(21)64(1)0kxk k x k k +-+++=，则12216(21)14k k x x k ++=+，12264(1)14k k x x k+=+， 因为()()1221121212444422MA MB kx k x kx k x y y k k x x x x --+----+=+=， 所以121216(21)2(44)24(1)2(21)164(1)MA MB x x k k k k k k k k k k x x k k +++=-+=-+=-+=-+（为定值）. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系的综合应用求解定值问题，解答中把直线与圆锥曲线的位置关系的应用转化为一元二次方程的根和系数的关系是解答此类问题的关键.16．（1）22143x y +=；（2）32．【分析】（1）将点代入椭圆方程，并根据离心率得到,a c 关系，代入求椭圆方程；（2）首先设直线1:1l x my =+与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并表示OPQ △的面积1212S OF y y =⨯-，代入根与系数的关系，表示面积，最后利用换元求面积最大值. 【详解】 解：（1）由12c e a ==得2a c =，所以223b c = 由点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得22914143c c+=解得1c =，b == 所求椭圆方程为22143x y +=．（2）()0,1F ，设直线1:1l x my =+， 代入方程化简得()2234690m y my ++-=， 由韦达定理得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， OPQ △的面积为12||||2OF y y ⋅-，所以求ABC 的最大值即求21y y -的最大值．()()()()222121212223644434m y y y y y y m+-=+-=+．令211m t +=≥，上式可表示成21441441(31)96t t t t=+++， 196y t t=++在[)1,+∞单调递增，所以当1t =时取得最大值9，此时32OPQS=． 【点睛】思路点睛：本题考查椭圆中三角形面积的最值问题，因为面积是用纵坐标表示，所以设直线x my t =+，表示直线过x 轴一点(),0t ，其中包含斜率不存在的直线，但不包含过定点，斜率为0的直线，这样联立方程后用根与系数的关系表示面积时，比较简单.17．（1）22143x y +=；（2）3470x y +-=.【分析】（1）根据椭圆的定义判定轨迹方程并求出；（2）点差法求出直线的斜率，点斜式即可写出直线方程. 【详解】（1）由椭圆的定义可知点P 的轨迹是以()11,0F -，()21,0F 为焦点，长轴长为4的椭圆. Γ∴的方程为22143x y +=. （2）（点差法）设()11,A x y ，()22,B x y ，A 、B 是Γ上的点，由2211222234123412x y x y ⎧+=⎨+=⎩作差得，()()()()12121212340x x x x y y y y -++-+=， 又线段AB 的中点为()1,1M ，12122x x y y ∴+=+=，从而直线AB 斜率212134AB y y k x x -==--.直线l 的方程为31(1)4y x -=--， 即3470x y +-=. 【点睛】关键点点睛：直线与圆锥曲线相交时，若涉及弦的中点问题，弦所在直线的斜率问题， 可以利用“点差法”，可简化运算，求出直线斜率或中点，属于中档题.18．（1）2212y x +=；（2【分析】（1）根据离心率的值，可列出a c ，的关系式，再根据经过()0,-2点，可得出a 的值和c 的值，最后再结合222a b c =+，可算出b 的值，直接写出椭圆方程即可.（2）根据题意设出直线的方程和椭圆方程联立方程组，由根和系数的关系，再结合三角形面积公式，可把三角形面积表示成含有参数的关系式，最后根据不等式，可求得面积的最大值. 【详解】 （1）由题意，a =2c e a ==得1c =，所以1b =，所以椭圆方程是2212y x +=．（2）由于直线AB 经过上焦点()0,1，设直线AB 方程为1y kx =+，联立方程组22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩将1y kx =+代入椭圆方程2212y x +=，得()222210k x kx ++-=，则222A B k x x k +=-+，212A Bx x k ⋅=-+， ∴A Bx x -==21212ABF A B S F F x x =⋅-△，可知122F F =则21112ABF S ===≤△．=，即0k =时，2ABF S．【点睛】椭圆与直线相交时，三角形面积问题的关键点为：设直线方程、联立方程组、韦达定理、列出三角形面积的关系式，最后根据函数或不等式，可求出三角形面积的范围. 19．（11；（2）最大值72；最小值1-. 【分析】（1）因为在焦点三角形12AF F 中，120AF AF ⋅=，则12AF AF ⊥，又因为01260AF F ∠=，所以12,AF c AF ==，所以1212212F F c c e a a AF AF =====+， （2）若1a b ==，则1c =，12(1,0),(1,0)F F -，当AB 垂直于x 轴时，可求出,A B两点的坐标，从而可得22F A F B ⋅的值，当AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为(1)y k x =+，与椭圆方程联立成方程组，消去y 后，整理再利用韦达定理得2122412k x x k+=-+, 21222(1)12k x x k -⋅=+，从而可得22F A F B⋅=22271791222(12)k k k -=-++，进而可求出其取值范围 【详解】 （1）120AF AF ⋅=，12AF AF ∴⊥因为1260AF F ∠=。
