9.1 微分方程的一般概念

求函数关系是数学中的重要问题。然而，在实际中有时很难直接找出函数关系，我们所得到的仅是含有未知函数及其导数的关系式，称之为微分方程.我们的任务就是求解微分方程，找出未知函数。本章将介绍一些微分方程的基本概念和几种常用的微分方程的解法.

微分方程的基本概念

下面通过几个例题来说明微分方程的基本概念.

例1 一曲线通过)2,1(点，且在该曲线上任一点),(yx处的切线的斜率为x2，求曲线的方程.

解 由导数的几何意义可得

xdxdy2 ①

此外，未知函数)(xyy还应满足条件

1x时，2y（或写成21xy ） ②

在式①两端积分，得

Cxy2, ③

其中C为任意常数.将条件②代入式③中，得1C，

于是得所求曲线的方程为

④

12xy

我们知道式③表示一族曲线，

曲线族中的每一条曲线的函数

代入式①中都成为恒等式，

而式④仅表示是其中的一条，它是通过点2,1的.

从以上例子中，可归纳出如下一些基本概念.

（一）微分方程：含有自变量、未知函数以及未知函数导数或微分的方程叫微分方程（以下简称方程）。在方程中出现的未知函数导数的最高阶数成为微分方程的阶，n阶微分方程的一般形式为

()(,,,,,)0nFxyyyy ⑤

如式①为一阶微分方程.

（二）解：一个函数代入微分方程后，使其成为恒等式，则该函数称为微分方程的解.

含有任意常数，且独立的任意常数的个数和微分方程的阶数相等的解，称为微分方程的通解或一般解.不含任意常数的解叫特解.

若Ixxy),(为方程⑤的解，则有

()[,(),(),,()]0nFxxxx， Ix.

高等数学学习指导

整理者：李拥军 第七章 微分方程

1.一阶微分方程

（1）微分方程的基本概念：

、微分方程：含有未知函数、未知函数的导数即自变量的等式叫做微分方程。未知函数是一元函数，叫做常微分方程；未知函数是多元函数，叫做偏微分方程。

、微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，叫做微分方程的阶。

、微分方程的解：若某个函数代入微分方程能使该方程成为恒等式，这个函数就叫做该微分方程的解。

④、微分方程的通解：若微分方程的解中所含相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。

⑤、微分方程的初始条件、特解：用来确定微分方程通解中任意常数的条件叫做初始条件。确定了通解中任意常数的解称为微分方程的特解。

（2）可分离变量方程：形如)()(dxdyxgxf的方程称为可分离变量微分方程。设g(y)0,则可将方程化为dx)()(dyxfyg，其特点是方程的一端只含有y的函数dy，另一端只含有x的函数dx，即将两个变量分离在等式两端，其接法是分离变量后两边积分得到通解。

（3）齐次方程：形如)(yxyf＇的方程称为齐次方程。其解法是做变换xyu，则y=ux,dxdudxdyxu,代入方程化为可分离变量的微分方程。

（4）一阶线性微分方程：形如)()(dxdyxQyxP的方程称为一阶线性微分呢方程，其特点是方程中的未知函数及其导数为一次的。如果0)(xQ，则称为一阶线性齐次微分方程；如果Q(x)不恒等于零 ，则称为一阶线性非齐次微分方程，其通解为

CdxexQeydxxPdxxP)()()((。

（5）伯努利方程：形如)1,0()()('nyxQyxPyn的方程称为伯努利方程。次方程的特点是未知函数的导数仍是一次的，但未知函数出现n次方幂。其解法是做变量替换nyz1，则：

微分方程的基本概念

微分方程是数学中一类重要的方程，它揭示了变量之间的关系以及如何随时间、空间或其他变量的变化而变化。通过解微分方程，我们可以了解并预测诸如物理系统、工程问题、经济模型等领域中的现象和行为。

一、微分方程的定义和形式

微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。一般形式为：

dy/dx = f(x)

其中，y是关于自变量x的未知函数，f(x)表示它的导数。微分方程还可以包括更高阶导数和多个变量。

二、微分方程的分类

根据微分方程中出现的未知函数和导数的阶数，可以将微分方程分为常微分方程和偏微分方程。

1. 常微分方程

常微分方程仅包含未知函数的一阶或高阶导数。根据方程中的未知函数和导数的个数，常微分方程又可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。

一阶常微分方程的一般形式为：

dy/dx = f(x, y) 或者

dy/dx = g(x)

高阶常微分方程的一般形式为：

dⁿy/dxⁿ = f(x, y, dy/dx, d²y/dx², ..., dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹)

其中，n为正整数。

2. 偏微分方程

偏微分方程包含多个未知函数和其偏导数。它们通常描述多变量函数的行为，例如描述传热问题、波动现象等。常见的偏微分方程有泊松方程、热传导方程、波动方程等。

三、微分方程的解

解微分方程意味着找到满足方程的函数。根据方程类型和求解方法，解可以分为显式解和隐式解。

1. 显式解

显式解是对于给定的自变量x，能够直接计算得到的解析表达式。例如，一阶常微分方程dy/dx = f(x)的显式解为y = F(x)，其中F(x)是f(x)的一个不定积分。

2. 隐式解

隐式解是对于给定的自变量x，无法直接解析计算的解。通常，隐式解可以通过化简方程或使用特定的数值和计算方法来获得。 四、微分方程的应用

微分方程是数学在自然科学、工程技术和社会科学等领域中广泛应用的工具。以下是微分方程在几个领域的应用示例：

微分方程的基础知识与练习

〔一〕微分方程基本概念：

首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。

〔1〕一条曲线通过点〔1，2〕，且在该曲线上任一点M〔x,y〕处的切线的斜率为2x，求这条曲线的方程。

解 设曲线方程为)(xyy.由导数的几何意义可知函数)(xyy满足

xdxdy2 〔1〕

同时还满足以下条件：

1x时，2y 〔2〕

把〔1〕式两端积分，得

xdxy2 即 Cxy2 〔3〕

其中C是任意常数。

把条件〔2〕代入〔3〕式，得

1C，

由此解出C并代入〔3〕式，得到所求曲线方程：

12xy 〔4〕

〔2〕列车在水平直线路上以20sm/的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0sm.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？

解 设列车开始制动后t秒时行驶了s米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(tss满足：

4.022dtsd 〔5〕

此外，还满足条件：

0t时，20,0dtdsvs 〔6〕

(5)式两端积分一次得：

14.0Ctdtdsv 〔7〕

再积分一次得 2122.0CtCts 〔8〕

其中21,CC都是任意常数。

把条件“0t时20v”和“0t时0s”分别代入〔７〕式和〔８〕式，得

0 ,2021CC

把21,CC的值代入〔7〕及〔8〕式得