9.1 微分方程的基本概念

2

2
把 2 、x的表达式代入方程后成为一个恒等式，

这说明： = 1 + 2 ,是微分方程的解，并且是通解.
课程小结
微分方程的定义
微分方程的阶
（常微分方程，偏
微分方程）
微分方程的解
（通解，特解，
定解条件）
= −0.2 2 + 20.
微分方程的阶，解
例1：验证函数 = 1 +
2
2 ,是微分方程 2

+ 2 = 0的解.
解：求出所给函数的导数

= −1 + 2 ,

2
2
2
=
−


−
2
1
其中 ，−1 ⋯ ，1 ， ()， 是关于的函数.
微分方程的阶，解
微分方程的阶：方程中所含有未知函数导数（或微分）的最高阶数.
一般的，n阶微分方程的形式：
, , ′ ， ⋯ () = 0, 或 () = , , ′ , ⋯ (−1) .
等式，那么函数 = 是微分方程的解.
例：
通解：


2
= −0.4
2
= 3,
=
3 2

2
3
+ ，
3
2
特解： = 2 + 2 .
= −0.2 2 + 1 + 2 ，
= −0.2 2 + 20.
微分方程的阶，解
通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意的常数的个数
等于该方程的阶数.
特解：当通解中各任意常数都取定值时所得的解.

dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
17
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
（3）检验改进模型， 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，
用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究， 改进模型.
27
例 冷却问题 将一个温度为50º的物体，放在20º的恒温 环境中冷却，求物体温度变化的规律.
解 冷却定律：“温度为T的物体，在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解：第一步，设未知函数：
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步，根据条件写出方程 dP P, 为比例系数，
dx
第三步，取比例系数为正：因 dP 0， 故 0，
第九章 常微分方程

解 将 y 1( x2 4) 4
y 1 x 2
代入方程 y' ( x 2 4 ) 2xy
恒等式成立 且满足 y( 0 ) 1 所以 y 1 ( x 2 4 ) 是该初值问题的解
4
微分方程 微分方程的解 微分方程的阶 初始条件 积分曲线
通解 特解
1．试说出下列各微分方程的阶数： （1） x( y ')2 3 yy ' x2 0
（2） xy y xe x 0
（3） y 2xyy x 0 （4） ( x y)dx ( x y)dy 0
2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
（1） y '' y 0
（2） y y2 x2 （3） y' 2 y 0
y 3sin x 4cos x
y 1 x
（1）阻力的大小与下落速度成正比
（2）阻力的大小与下落速度的平方成正比
解 y表示冰雹的速度， y 表示冰雹的下落速度 则
（1）设阻力 f ky(k 0)根据牛顿第二定律建立方程
my mg ky
（2）设阻力 f k( y)2 (k 0) ( y 0)
根据牛顿第二定律建立方程
my mg ky2
而 y ex是特解。
【注】 通解满足两个条件：1) 是解；2) 含有任意常数。
定义9.5 用来确定微分方程通解中任意常数的条件 称为微分方程的初始条件。
一 阶方程的初始条件(或初值条件): y( x0 ) y0 二阶方程的初始条件 y( x0 ) y0 y( x0 ) y0
求微分方程满足某个初始条件的解的问题称为
(2) ( y 3 5xy)dx ( x y)dy 0
(3) xy''' xy'2 y sin x (4) y'''2 y''3 y'4 y e x

y f ( x , y );
( n)
F ( x , y, y, , y ) 0, y f ( x , y, y, , y
( n) ( n 1 )
).
6/12
分类3: 线性与非线性微分方程.
y P ( x ) y Q ( x ),
x ( y) 2 yy x 0;
2 2
ds v 0.4t C , s 0.2t C t C dt
2
1
1
2
3/12
代入条件后知 C 20, C 0.
1 2
ds v 0.4t 20, dt
故 s 0.2t 2 20t ,
20 开始制动到列车完全停住共需 t 50(秒), 0.4 列车在这段时间内行驶了
s 0.2 50 20 50 500(米).
2
4/12
9.1.2
微分方程基本概念
一、微分方程的定义
定义 凡含有未知函数的导数或微分的方程称为 微分方程. 例如
2
y xy, y 2 y 3 y e , z x y. ( t x )dt xdx 0, x
0 0Biblioteka 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
10/12
例 3 验证：函数 x c1 cos kt c2 sin kt 是微分 d2x 方程 2 k 2 x 0 的解.并求满足初始条件 x t 0 A, dt dx 0 的特解. dt t 0 dx 解 kC sin kt kC cos kt , dt
2/12
例 2 列车在平直的线路上以20 米 秒 的速度 行驶，当制动时列车获 得加速度 0.4 米 秒 2 ，问 开始制动后多少时间列 车才能停住？以及列车 在 这段时间内行驶了多少 路程？