第九章 常微分方程

dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
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2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
（3）检验改进模型， 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，
用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究， 改进模型.
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例 冷却问题 将一个温度为50º的物体，放在20º的恒温 环境中冷却，求物体温度变化的规律.
解 冷却定律：“温度为T的物体，在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解：第一步，设未知函数：
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步，根据条件写出方程 dP P, 为比例系数，
dx
第三步，取比例系数为正：因 dP 0， 故 0，
第九章 常微分方程

第9章 常微分方程数值解法 8-2
第8章 序
许多科学技术问题，例如天文学中的星体运动， 许多科学技术问题，例如天文学中的星体运动，空间 技术中的物体飞行，自动控制中的系统分析， 技术中的物体飞行，自动控制中的系统分析，力学中的振 动，工程问题中的电路分析等，都可归结为常微分方程的 工程问题中的电路分析等， 初值问题。 初值问题。 所谓初值问题， 所谓初值问题，是函数及其必要的导数在积分的起始 点为已知的一类问题，一般形式为： 点为已知的一类问题，一般形式为：
⇒ y n +1 = y n −1 + 2hf ( xn , y n )
第9章 常微分方程数值解法
(8 - 4)
8-10
Euler公式的推导（ Euler公式的推导（续5） 公式的推导
上对y )=f 四、利用数值积分公式：在[xn,xn+1]上对y′(x)=f (x,y(x)) 积分 利用数值积分公式：
x0 < x1 < L < xn < L
（i=1,2,…,n）构造插值函数作为近似函数。上述离散点 i=1,2,…,n）构造插值函数作为近似函数。 相 邻两点间的距离h 称为步长， 邻两点间的距离hi=xi-1-xi 称为步长，若hi 都相等为一定数 h, 则称为定步长，否则为变步长。( x, y ( x)) 则称为定步长，否则为变步长。 a≤ x≤b y ′( x) = f 本章重点讨论如下 y (a ) = y0 一阶微分方程： 一阶微分方程： 在此基础上介绍一阶微分方程组与 8-5 第9章 常微分方程数值解法 高阶微分方程的数值解法。 高阶微分方程的数值解法。
⇒ yn +1 = yn + hf ( xn , yn ) + E ( xn , h) ⇒ yn +1 = yn + hf ( xn , yn )

设在微小的时间间隔 [t, t t], o
100 cm
水面的高度由h降至 h h, 则 dV r 2dh,
r 1002 (100 h)2 200h h2 ,
dV (200h h2 )dh,
(2)
比较(1)和(2)得: (200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
28
(200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
解 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s s(t)
d 2s dt 2 0.4
t 0时, s 0,v ds 20, dt
v
ds dt
0.4t
C1
s 0.2t 2 C1t C2
代入条件后知 C1 20, C2 0
7
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒 2,问开始制动
其中c1, …,cn是n个独
立的任意常数，则称y是F=0的一个通解。
例： y=x2+C是方程y'=2x 的通解.yBiblioteka x2 2C1x C2
是
方程y"=1的通解.
y
y=x2+C
独立：C1 C2 x C3 x 2 不独立：C1x C2 x (C1 C2 )x Cx
0
x
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5. 特解： 不包含任何常数的解.
隐函数的形式Φ(x,y;c1, …,cn)=0,给出， 把Φ(x,y;c1, …,cn)=0称作方程的通积分。
求微分方程满足某些条件的特解。即
9. 初值问题：求出方程F(x, y, y‘, …, y (n) ) = 0满足
初始条件的解。其中x0,y0,y1,…,yn-1是
已知常数。y(x0 ) y0,

dy f ( x, y) x [a, b] dx y(a) y0
只要f (x, y)在a,b R1上连续, 且关于 y 满足
Lipschitz 条件，即存在与 x, y无关的常数 L 使 | f (x, y1) f (x, y2 ) | L | y1 y2 |
常微分方程的数值解法分为 （1）初值问题的数值解法 （2）边值问题的数值解法
一、初值问题的数值解法
1、一阶常微分方程初值问题的一般形式
y f (x, y), a x b

y(a)

y0
(1)
2. 迭代格式的构造
(1) 构造思想：将连续的微分方程及初值条件离散为线性方程 组加以求解。由于离散化的出发点不同，产生出各种不同的数 值方法。基本方法有：有限差分法（数值微分）、有限体积法 （数值积分）、有限元法（函数插值）等等。
y( x1 ) h
y( x0 )
y( x ) y h f ( x , y( x ))
1
0
1
1
x0
x1
yi1 yi hf xi1, yi1 i 0, n 1
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接 得到，故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者 称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。
y 2xy2 （0 x 1.2）

y
0

1
取步长 h 0.1。
解: 应用Euler公式于题给初值问题的具体形式为：
yi1 yi 2hxi yi2 i 0,1,...,11

y

0

1
其中 xi 0.1i。 计算结果列于下表：