3.2立体几何中的向量方法(3)向量法解决空间角和距离问题课件新人教A版选修2_1

设平面 α 的法向量为 n，B∉α，A∈α，则 B 点到
点面距
平面
α
的距离
d＝
|
BA·n| |n|
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等( )
(2)直线 l 与平面 α 的法向量的夹角的余角就是直线 l 与平面 α 所
B．60°
C．120° 答案：A
D．150°
3．已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面
所成的二面角的大小为
()
A．45°
B．135°
C．45°或 135° 答案：C
D．90°
求两异面直线所成的角
[典例] 如图，在三棱锥 V-ABC 中，顶点 C 在空间直角坐标系的原点处，顶点 A，B，V 分别 在 x，y，z 轴上，D 是线段 AB 的中点，且 AC＝ BC＝2，∠VDC＝π3，求异面直线 AC 与 VD 所成 角的余弦值．
所成的角 a，b，则 cos θ＝ |cos〈a，b〉|＝_|_a_||_b_|
_0_，__π_2__
直线与平 面所成的
角
设直线 l 与平面 α 所成的角为 θ，l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，则 sin θ＝_|c_o_s_〈__a_，__n_〉__|
|a·n|
＝_|a_|_|n_|_
(1)求证：PB⊥DM； (2)求 BD 与平面 ADMN 所成的角．
[解] 如图，以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系， 设 BC＝1，则 A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)， D(0,2,0)，C(2,1,0)，M1，12，1. (1)证明： PB·DM ＝ (2,0，－2)·1，－32，1＝0， ∴ PB⊥ DM ，即 PB⊥DM. (2)∵ PB·AD＝(2,0，－2)·(0,2,0)＝0， ∴PB⊥AD.

跟踪训练 2 如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中， 底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°， PA⊥底面 ABCD，且 PA＝AD＝AB＝2BC， M、N 分别为 PC、PB 的中点．
本
专 (1)求证：PB⊥DM； 题 (2)求 BD 与平面 ADMN 所成的角．
栏
目 (1)证明 如图所示，以点 A 为坐标原点建立 开 空间直角坐标系，设 BC＝1，则 A(0,0,0)，
P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,1,0)， M1，12，1.
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栏
目
开
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1．两条异面直线所成的角
本
设两条异面直线 a，b 所成的角为 θ，它们的方向向量分
专
|a·b|
题 栏
别为 a，b，则 cos θ＝__|_a_||_b_| _.
目 2．直线和平面所成的角
开
设直线和平面所成的角为 θ，且直线的方向向量为 a，
|a·b| 平面的法向量为 b，则 sin θ＝_|_a_||_b_|__.
栏 目 开
C1(0,4,2)，A1(2,0,2)， ∴E(1,2,2)，F(1,4,1)，A→F＝(－1,4,1)，B→E＝(－1，－2,2)，
∴|A→F|＝ 18＝3 2，|B→E|＝ 9＝3， A→F·B→E＝1－8＋2＝－5，
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本 ∴cos〈A→F，B→E〉＝3－25·3＝－5182.
目 开
＝||aa|·|bb||.
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例 2 如图所示，已知直角梯形 ABCD

→1， 1.如图， 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， 试判断向量AA →1，CC →1，DD → 1，A → → → → BB 1A，B1B，C1C，D1D与平面 ABCD 的位 置关系是什么？与平面 ABCD 满足此种关系的向量还有 吗？它们的共同特点是什么？
2.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中． (1)棱 AB，DC，D1C1，A1B1 之间的位置关系 是什么？它们的方向向量之间又有什么关系？ (2)棱 A1B1，B1C1，C1D1，D1A1 与平面 ABCD 有什么样的位置关系？它们的方向向量与平面 ABCD 的法向量之间 又有什么关系？ (3)平面 ABCD 和平面 A1B1C1D1 的位置关系是什么？它们的法 向量之间又有什么关系？
•
已知正方体 ABCD － A1B1C1D1 的棱长 为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证： • (1)FC1∥平面ADE； • (2)平面ADE∥平面B1C1F.
• • • •
由题目可获取以下主要信息： ①ABCD－A1B1C1D1为正方体且棱长为2； ②E、F分别是BB1、DD1的中点． 解答本题可先建系，求出直线的方向向量和平 面的法向量，再利用方向向量和法向量间的关 系判定线面、面面平行．
1 2 －2 解析： ∵α∥β，∴ ＝ ＝ k .∴k＝4. －2 －4
• 答案： C
• 3．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直 线l2的一个方向向量为 (x ，y,8)，且l1∥l2，则x ＝________，y＝________.
－7 3 4 解析： ∵l1∥l2，∴ ＝ ＝ ， x y 8 ∴x＝－14，y＝6.
• 3．2 立体几何中的向量方法
• 第1课时 空间向量与平行关系

< EA, AF >=π-θ（或θ）， l 2 u E u A u u r 2 u A u u A r 2 u A u F u u r 2 2 u E u A u r u A u F u r
m 2 d 2 n 2m 2 m n c o s
当E,F在公垂线同一侧时取负号 当d等于0是即为“余弦定理”
解：如图1，设 A B A1 A A D 1 ， BA B D A 1 A D1 A 6A 0
化为向量问题
D1
C1
依据向量的加法法则， A1C AB AD A1A A1
B1
进行向量运算
D
C
A1C 2(A B A D A1)A 2
A
B
图1
22
2
A A B A D 1 2 A ( A A B A D A B 1 A A A D 1 )A
别 是 A B 、 A D 的 中 点 ， G C ⊥ 平 面 A B C D ， 且 G C ＝ 2 ，
求 点 B 到 平 面 E F G 的 距 离 .
z
分析:用几何法做
G
相当困难,注意到坐标
系建立后各点坐标容易
得出,又因为求点到平 面的距离可以用法向量
xD
C
来计算,而法向量总是 F
可以快速算出.
∴d=|
uuur PA
||cos
uuur PA,
r n
|=
|
uuur PA |
|
r n
|
u|ucros
uuur PA,
r n
|
=
|
uuur PuAur
r n
|
.
|n|
|n|
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.