2013年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合A ={x ∈R|2x +1<0}，B ={(x +1)(x −2)<0}，则A ∩B =( ) A.(−∞, −1) B.(−1, −12)C.(−12,2)D.(2, +∞)2. 在复平面内，复数1−2i 2+i对应的点的坐标为（ ）A.(0, −1)B.(0, 1)C.(45, −35)D.(45, 35)3. 参数方程{x =2−ty =−1−2t （为参数）与极坐标方程ρ=sin θ所表示的图形分别是（ ）A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线4. 已知向量a →=(2, 1)，b →=(−2, k)且a →⊥(2a →−b →)，则实数k ＝（ ） A.−14 B.−6C.6D.145. 如图，AB ，AC 分别与圆O 相切于点B ，C ，ADE 是⊙O 的割线，连接CD ，BD ，BE ，CE ．则（ ）A.AB 2=AD ⋅DEB.CD ⋅DE =AC ⋅CEC.BE ⋅CD =BD ⋅CED.AD ⋅AE =BD ⋅CD6. 从0，1中选一个数字，从2，4，6中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ） A.36 B.30 C.24 D.127. 设不等式组{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0表示的平面区域为D ．若圆C ：(x +1)2+(y +1)2=r 2(r >0)不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是（ ） A.[2√2, 2√5] B.(2√2, 3√2] C.(3√2, 2√5] D.(0, 2√2)∪(2√5, +∞)8. 已知函数f(x)=sin (2x +φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x ∈R 恒成立，且f(π2)<f(π)．则下列结论正确的是（ ） A.f(1112π)=−1B.f(7π10)>f(π5)C.f(x)是奇函数D.f(x)的单调递增区间是[kπ−π3, kπ+π6](k ∈Z)二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为________．在△ABC 中，若b =4，cos B =−14，sin A =√158，则a =________，c =________．如图是根据50个城市某年6月份的平均气温（单位：∘C ）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5, 26.5]，样本数据的分组为[20.5, 21.5),[21.5, 22.5),[22.5, 23.5),[23.5, 24.5),[25.5, 26.5]，由图中数据可知a =________；样本中平均气温不低于23.5∘C的城市个数为________．已知定义域为R的偶函数f(x)在(−∞, 0]上是减函数，且f(12)=2，则不等式f(2x)>2的解集为________．在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120∘，那么|PF|=________．函数B1的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)= x+1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)=x2−2x(x∈R)是单函数；②函数f(x)={log2x，x≥22−x,x<2是单函数；③若y=f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④函数f(x)在定义域内某个区间D上具有单调性，则f(x)一定是单函数．其中的真命题是________（写出所有真命题的编号）．三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）已知函数f(x)=cos(2ωx−π6)−cos(2ωx+π6)+1−2sin2ωx，(x∈R, ω>0)的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f(x)在区间[−π4, π3]上的最大值和最小值．已知{a n}为等差数列，且a2=−1，a5=8．（1）求数列{|a n|}的前n项和；（2）求数列{2n⋅a n}的前n项和．现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为34，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为23，命中得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（1）求该射手恰好命中两次的概率；（2）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX；（3）求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率．设函数f(x)=13x3−ax(a>0)，g(x)＝bx2+2b−1．(Ⅰ)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线，求a，b的值；(Ⅱ)当a＝1−2b时，若函数f(x)+g(x)在区间(−2, 0)内恰有两个零点，求a的取值范围；(Ⅲ)当a＝1−2b＝1时，求函数f(x)+g(x)在区间[t, t+3]上的最大值．已知椭圆C:x2a2+y2=1(a>1)的上顶点为A，左焦点为F，直线AF与圆M:x2+y2+6x−2y+7=0相切．过点(0, −12)的直线与椭圆C交于P，Q两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当△APQ的面积达到最大时，求直线的方程．已知数列{a n}的前n项和为S n，且点(n, S n)在函数y＝2x+1−2的图象上．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设数列{b n}满足：b1＝0，b n+1+b n＝a n，求数列{b n}的前n项和公式；(Ⅲ)在第(II)问的条件下，若对于任意的n∈N∗不等式b n<λb n+1恒成立，求实数λ的取值范围．参考答案与试题解析2013年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】先解不等式求出集合A和B；再由交集定义求出结论．【解答】解：∵集合A={x∈R|2x+1<0}={x|x<−12}B={(x+1)(x−2)<0}={x|−1<x<2}∴A∩B={x|x<−12}∩{x|−1<x<2}=(−1, −12)故选B．2.【答案】A【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】化简复数1−2i2+i，它在复平面内的对应点为(0, 1)，由此求得结果．【解答】复数1−2i2+i =(1−2i)(2−i)(2+i)(2−i)=−5i5=−i，它在复平面内的对应点为(0, −1)，3.【答案】B【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断极坐标方程ρ=sinθ所表示的图形；将参数方程{x=2−ty=−1−2t（为参数）的参数方程消去参数后化成直角坐标方程即可得到结论．【解答】解：∵曲线的参数方程{x=2−ty=−1−2t（为参数），消去参数t得：2x−y−5=0．∴它所表示的图形是直线．∵ρ=sinθ∴ρ2=ρsinθ∴x2+y2=y∴直角坐标方程为x2+y2−y=0∴它所表示的图形是圆故选B．4.【答案】D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】由已知易得2a→−b→的坐标，由成立垂直的充要条件可得关于k的方程，解之即可．【解答】∵a→=(2, 1)，b→=(−2, k)，∴2a→−b→=(6, 2−k)，又∵a→⊥(2a→−b→)，∴2×6+1×(2−k)＝0，解得k＝145.【答案】C【考点】与圆有关的比例线段【解析】由已知中AB，AC分别与圆O相切于点B，C，ADE是⊙O的割线，根据切割线定理，及相似三角形性质（对应边成比例），逐一分析四个答案，可得结论．【解答】解：∵AB，AC分别与圆O相切于点B，C，ADE是⊙O的割线，由切割线定理可得AB2=AD⋅AE，故A不正确，D不正确；由△ACD∽△AEC，可得CD⋅AE=AC⋅CE，故B不正确；由△ACD∽△AEC，可得AD⋅CE=AC⋅CD，由△ABD∽△AEB，可得AD⋅BE=AB⋅BD，又因为AB=AC，故BE⋅CD=BD⋅CE，故C正确故选C6.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】先选后排，特殊元素和特殊位置优先安排的原则即可得出．【解答】解：分以下两类：①当从0，1中选一个数字为0时，再从2，4，6中选两个数字可有C32种选法，组成无重复数字的三位数，则0不能在首位，共可组成C32C21A22=12个偶数；②当从0，1中选一个数字为1时，再从2，4，6中选两个数字可有C32种选法，组成无重复数字的三位数，则1不能放在末位，共可组成C32C21A22=12个偶数．综上可知：共有12+12=24个偶数．故选C．7.【答案】D【考点】求线性目标函数的最值【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△MNP及其内部，而圆C表示以(−1, −1)为圆心且半径为r的圆．观察图形，可得半径r<CM或r>CP时，圆C不经过区域D上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r的取值范围．【解答】解：作出不等式组{x+y≤4y−x≥0x−1≥0表示的平面区域，得到如图的△MNP及其内部，其中M(1, 1)，N(2, 2)，P(1, 3)∵圆C：(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)，表示以C(−1, −1)为圆心，半径为r的圆∴由图可得，当半径满足r<CM或r>CP时，圆C不经过区域D上的点，∵CM=√(1+1)2+(1+1)2=2√2，CP=√(1+1)2+(3+1)2=2√5∴当0<r<2√2或r>2√5时，圆C不经过区域D上的点故选：D8.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用正弦函数的单调性【解析】根据题意首先判断φ的取值，然后逐条验证．对A，代入求值即可；对B，代入比较大小即可；对C，根据奇函数定义，验证是否适合；对D，通过解不等式求单调区间的方法求解．【解答】解：∵f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，∴2×π6+φ=kπ+π2⇒φ=kπ+π6，k∈Z．∵f(π2)<f(π)⇒sin(π+φ)=−sinφ<sin(2π+φ)=sinφ⇒sinφ>0．∴φ=2kπ+π6，k∈Z．不妨取φ=π6f(11π12)=sin2π=0，∴A×；∵f(7π10)=sin(7π5+π6)=sin47π30=−sin17π30<0，f(π5)=sin(2π5+π6)=sin17π30>0，∴B×；∵f(−x)≠−f(x)，∴C×；∵2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2⇒kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z．∴D√；故选D二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）【答案】−2【考点】程序框图【解析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，输出结果．【解答】解：由程序框图，知：第一次循环：i=1+1=2，S=3−13+1=12；第二次循环：i=2+1=3，S=12−112+1=−13；第三次循环：i=3+1=4，S=−13−1−13+1=−2．结束循环，输出S=−2．故答案为：−2．【答案】 2,3【考点】 正弦定理同角三角函数间的基本关系 【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin B =√154且B 为钝角，cos A =78，再利用诱导公式求得sin C 的值，再利用正弦定理求得a 、c 的值． 【解答】解：∵ 在△ABC 中，b =4，cos B =−14，sin A =√158，∴ sin B =√154 且B 为钝角， ∴ cos A =78，sin C =sin (A +B)=sin A cos B +cos A sin B =√158×(−14)+78×√154=3√1516． 由正弦定理可得4sin B=a sin A=c sin C，即√154=√158=3√1516，∴ a =2，c =3，故答案为2，3． 【答案】 0.18,33【考点】频率分布直方图 【解析】先由样本的频率分布直方图，结合总的概率和为1求出a ，再求出平均气温低于23.5∘C 的城市频率，利用频数=频率×样本容量求解平均气温不低于23.5∘C 的城市个数即可． 【解答】解：由样本的频率分布直方图知：a =1−1×(0.10+0.12+0.12+0.22+0.26)=0.18．平均气温低于23.5∘C 的频率，即最右边三个矩形面积之和为0.18+0.22+0.26=0.66， ∵ 总城市数为50，∴ 平均气温不低于23.5∘C 的城市个数为50×0.66=33． 故答案为：0.18；33．【答案】 (−1, +∞) 【考点】奇偶性与单调性的综合 其他不等式的解法 【解析】根据偶函数性质可知f(−12)=2，及f(x)在[0, +∞)上是增函数，利用函数单调性即可求得不等式的解集． 【解答】解：因为f(x)为偶函数，且f(12)=2，所以f(−12)=2， 又f(x)在(−∞, 0]上是减函数，所以f(x)在[0, +∞)上是增函数，由f(2x )>2得，2x >12或2x <−12（舍），由2x >12解得x >−1．所以不等式f(2x )>2的解集为(−1, +∞)． 故答案为：(−1, +∞)． 【答案】 4【考点】 抛物线的求解 【解析】利用抛物线的定义，|PF|=|PA|，设F 在l 上的射影为F′，依题意，可求得|FF′|，|AF′|，从而可求得点P 的纵坐标，代入抛物线方程可求得点P 的横坐标，从而可求得|PA|． 【解答】解：∵ 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点， ∴ |PF|=|PA|，F(1, 0)，准线l 的方程为：x =−1； 设F 在l 上的射影为F′，又PA ⊥l ， 依题意，∠AFF′=60∘，|FF′|=2，∴ |AF′|=2√3，PA // x 轴，∴ 点P 的纵坐标为2√3，设点P 的横坐标为x 0，则(2√3)2=4x 0， ∴ x 0=3，∴ |PF|=|PA|=x 0−(−1)=3−(−1)=4．故答案为：4．【答案】③【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据已知中“单函数”的定义，可得函数f(x)为单函数时，对任意x1≠x2，均有f(x1)≠f(x2)成立，由此举出反例可判断①②，根据定义可判断③④，进而得到答案．【解答】解：①中函数f(x)=x2−2x(x∈R)，当x=0或x=2时，f(x)=0，故∃x1，x2∈A且f(x1)=f(x2)时，有x1≠x2，不满足“单函数”的定义；②中函数f(x)={log2x，x≥22−x,x<2，当x=0或x=4时，f(x)=2，故∃x1，x2∈A且f(x1)=f(x2)时，有x1≠x2，不满足“单函数”的定义；③由“单函数”的定义可得f(x1)=f(x2)时总有x1=x2，故其逆否命题：x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)成立，故③为真命题④中函数f(x)在定义域内某个区间D上具有单调性，但在整个定义域上有增有减时，可能会存在x1≠x2，使x1≠x2，从而不满足“单函数”的定义；综上真命题只有③故答案为：③三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】解：（1）f(x)=cos2ωx⋅cosπ6+sin2ωx⋅sinπ6−cos2ωx⋅cosπ6+sin2ωx⋅sinπ6+cos2ωx=sin2ωx+cos2ω x=√2sin(2ωx+π4)．…因为f(x)是最小正周期为π，所以2π2ω=π，因此ω=1．…（2）由（1）可知，f(x)=√2sin(2x+π4)，因为−π4≤x≤π3，所以−π4≤2x+π4≤11π12．…于是当2x+π4=π2，即x=π8时，f(x)取得最大值√2；…当2x+π4=−π4，即x=−π4时，f(x)取得最小值−1．…【考点】求两角和与差的正弦正弦函数的奇偶性正弦函数的定义域和值域正弦函数的单调性【解析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为√2sin(2ωx+π4)，由此根据函数的周期求得ω的值．（2）由（1）可知，f(x)=√2sin(2x+π4)，再根据−π4≤x≤π3，求得函数的最值．【解答】解：（1）f(x)=cos2ωx⋅cosπ6+sin2ωx⋅sinπ6−cos2ωx⋅cosπ6+sin2ωx⋅sinπ6+cos2ωx=sin2ωx+cos2ω x=√2sin(2ωx+π4)．…因为f(x)是最小正周期为π，所以2π2ω=π，因此ω=1．…（2）由（1）可知，f(x)=√2sin(2x+π4)，因为−π4≤x≤π3，所以−π4≤2x+π4≤11π12．…于是当2x+π4=π2，即x=π8时，f(x)取得最大值√2；…当2x+π4=−π4，即x=−π4时，f(x)取得最小值−1．…【答案】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，因为a2=−1，a5=8，所以{a1+d=−1a1+4d=8解得a1=−4，d=3，…所以a n=−4+3(n−1)=3n−7，…因此|a n|=|3n−7|={−3n+7,n=1,23n−7,n≥3…记数列{|a n|}的前n项和为S n，当n=1时，S1=|a1|=4，当n=2时，S2=|a1|+|a2|=5，当n≥3时，S n=S2+|a3|+|a4|+...+|a n|=5+(3×3−7)+(3×4−7)+...+(3n−7)=5+(n−2)[2+(3n−7)]2=32n2−112n+10，又当n=2时满足此式，综上，S n={4,n=132n2−112n+10，n≥2…（2）记数列{2n a n}的前n项和为T n，由（1）可知，a1=−4，d=3，a n=3n−7，则T n=2a1+22a2+23a3+⋯+2n a n，①2T n=22a1+23a2+24a3+⋯+2n a n−1+2n+1a n，②①-②可得−T n=2a1+d(22+23+⋯+2n)−2n+1a n=−8+3×22(1−2n−1)1−2−2n+1(3n−7)=−8+3(2n+1−4)−2n+1(3n−7)=−20−(3n−10)2n+1，故T n=20+(3n−10)2n+1…【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2=−1，a 5=8，利用等差数列的通项公式能求出a n ，由此能求出数列{|a n |}的前n 项和；（2）记数列{2n a n }的前n 项和为T n ．则T n =2a 1+22a 2+23a 3+⋯+2n a n ，由错位相减法可求和． 【解答】 解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 2=−1，a 5=8，所以{a 1+d =−1a 1+4d =8解得a 1=−4，d =3，…所以a n =−4+3(n −1)=3n −7，… 因此|a n |=|3n −7|={−3n +7,n =1,23n −7,n ≥3…记数列{|a n |}的前n 项和为S n ， 当n =1时，S 1=|a 1|=4，当n =2时，S 2=|a 1|+|a 2|=5，当n ≥3时，S n =S 2+|a 3|+|a 4|+...+|a n |=5+(3×3−7)+(3×4−7)+...+(3n −7) =5+(n−2)[2+(3n−7)]2=32n 2−112n +10，又当n =2时满足此式，综上，S n ={4,n =132n 2−112n +10，n ≥2…（2）记数列{2na n }的前n 项和为T n ，由（1）可知，a 1=−4，d =3，a n =3n −7， 则T n =2a 1+22a 2+23a 3+⋯+2n a n ，①2T n =22a 1+23a 2+24a 3+⋯+2n a n−1+2n+1a n ，② ①-②可得−T n =2a 1+d(22+23+⋯+2n )−2n+1a n =−8+3×22(1−2n−1)1−2−2n+1(3n −7)=−8+3(2n+1−4)−2n+1(3n −7) =−20−(3n −10)2n+1， 故T n =20+(3n −10)2n+1…【答案】 解：（1）记：“该射手恰好命中两次”为事件A ，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C ，“该射手射击乙靶命中”为事件D ． 由题意知，P(B)=P(C)=34，P(D)=23，所以P(A)=P(BCD ¯)+P(BC ¯D)+P(B ¯CD)=P(B)P(C)P(D ¯)+P(B)P(C ¯)P(D)+P(B ¯)P(C)P(D) =34×34×(1−23)+34×(1−34)×23+(1−34)×34×23=716． （2）根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．P(X =0)=P(B ¯C ¯D ¯)=(1−34)×(1−34)×(1−23)=148，P(X =1)=P(BC ¯D ¯)+P(B ¯CD ¯)=34×(1−34)×(1−23)+(1−34)×34×(1−23)=18，P(X =2)=P(BCD ¯)+P(B ¯C ¯D)=34×34×(1−23)+(1−34)×(1−34)×23=1148，P(X =3)=P(BC ¯D)+P(B ¯CD)=34×(1−34)×23+(1−34)×34×23=14，P(X =4)=P(BCD)=34×34×23=38， 故X 的分布列是∴ EX =0×148+1×18+2×1148+3×14+4×38=176．（3）设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件A 1，“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为事件B 1，“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”为事件B 2， 则A 1=B 1∪B 2，B 1，B 2为互斥事件．P(A 1)=P(B 1)+P(B 2)=34×(1−34)×(1−23)+(1−34)×34×(1−23)+34×34×23=12． ∴ 该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为12． 【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）该射手恰好命中两次共有C 32=3种情况，根据相互独立事件的概率计算公式及互斥事件的概率计算公式即可得出；（2）由题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，相互独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式及数学期望的计算公式计算即可．（3）该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次可分为以下两种情况：“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”事件，“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”事件，且上述两种事件互斥，利用相互独立事件的概率计算公式及互斥事件的概率计算公式解出即可．【解答】 解：（1）记：“该射手恰好命中两次”为事件A ，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C ，“该射手射击乙靶命中”为事件D ． 由题意知，P(B)=P(C)=34，P(D)=23，所以P(A)=P(BCD ¯)+P(BC ¯D)+P(B ¯CD)=P(B)P(C)P(D ¯)+P(B)P(C ¯)P(D)+P(B ¯)P(C)P(D)=34×34×(1−23)+34×(1−34)×23+(1−34)×34×23=716． （2）根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．P(X =0)=P(B ¯C ¯D ¯)=(1−34)×(1−34)×(1−23)=148，P(X =1)=P(BC ¯D ¯)+P(B ¯CD ¯)=34×(1−34)×(1−23)+(1−34)×34×(1−23)=18， P(X =2)=P(BCD ¯)+P(B ¯C ¯D)=34×34×(1−23)+(1−34)×(1−34)×23=1148，P(X =3)=P(BC ¯D)+P(B ¯CD)=34×(1−34)×23+(1−34)×34×23=14， P(X =4)=P(BCD)=34×34×23=38， 故X 的分布列是∴ EX =0×148+1×18+2×1148+3×14+4×38=176．（3）设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件A 1，“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为事件B 1，“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”为事件B 2， 则A 1=B 1∪B 2，B 1，B 2为互斥事件．P(A 1)=P(B 1)+P(B 2)=34×(1−34)×(1−23)+(1−34)×34×(1−23)+34×34×23=12． ∴ 该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为12．【答案】(I)f ′(x)＝x 2−a ，g ′(x)＝2bx ．因为曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线， 所以f(1)＝g(1)，且f ′(1)＝g ′(1)，即13−a =b +2b −1，且1−a ＝2b ， 解得a =13,b =13． (II)记ℎ(x)＝f(x)+g(x)， 当a ＝1−2b 时，ℎ(x)=13x 3+1−a 2x 2−ax −a ，ℎ′(x)＝x 2+(1−a)x −a ＝(x +1)(x −a)，令ℎ′(x)＝0，得x 1＝−1，x 2＝a >(0)当x 变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)的变化情况如下表：所以函数ℎ(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(a, +∞)；单调递减区间为(−1, a)， 故ℎ(x)在区间(−2, −1)内单调递增，在区间(−1, 0)内单调递减，从而函数ℎ(x)在区间(−2, 0)内恰有两个零点，当且仅当{ℎ(−2)<0ℎ(−1)>0ℎ(0)<0 ，解得0<a <13，所以a 的取值范围是(0,13)．(III)记ℎ(x)＝f(x)+g(x)，当a ＝1−2b ＝1时，ℎ(x)=13x 3−x −1．由(II)可知，函数ℎ(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(1, +∞)；单调递减区间为(−1, 1)． ①当t +3<−1时，即t <−4时，ℎ(x)在区间[t, t +3]上单调递增，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13(t +3)3−(t +3)−1=13t 3+3t 2+8t +5；②当t <−1且−1≤t +3<1，即−4≤t <−2时，ℎ(x)在区间[t, −1)上单调递增，在区间[−1, t +3]上单调递减，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(−1)=−13；当t <−1且t +3≥1，即−2≤t <−1时，t +3<2且ℎ(2)＝ℎ(−1)=−13， 所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(−1)=−13；③当−1≤t <1时，t +3≥2>1，ℎ(x)在区间[t, 1)上单调递减，在区间[1, t +3]上单调递增， 而最大值为ℎ(t)与ℎ(t +3)中的较大者．由ℎ(t +3)−ℎ(t)＝3(t +1)(t +2)知，当−1≤t <1时，ℎ(t +3)≥ℎ(t)， 所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13t 3+3t 2+8t +5； ④当t ≥1时，ℎ(x)在区间[t, t +3]上单调递增，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13t 3+3t 2+8t +5． 【考点】 函数的零点利用导数研究函数的最值 利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（I ）求出f ′(x)，g ′(x)，由题意得f(1)＝g(1)，且f ′(1)＝g ′(1)，解该方程组即可； (II)记ℎ(x)＝f(x)+g(x)，当a ＝1−2b 时，ℎ(x)=13x 3+1−a 2x 2−ax −a ，利用导数可研究其单调性、极值情况，由函数在(−2, 0)内有两零点可得端点处函数值及极值符号，由此得一不等式组，解出即可； (III)当a ＝1−2b ＝1时，ℎ(x)=13x 3−x −1．由(II)可知，函数ℎ(x)的单调区间及极值点，按照在区间[t, t +3]内没有极值点，一个极值点，两个极值点分类讨论，结合图象及函数的单调性即可求得其最大值； 【解答】(I)f ′(x)＝x 2−a ，g ′(x)＝2bx ．因为曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线， 所以f(1)＝g(1)，且f ′(1)＝g ′(1)，即13−a =b +2b −1，且1−a ＝2b ，解得a =13,b =13．(II)记ℎ(x)＝f(x)+g(x)， 当a ＝1−2b 时，ℎ(x)=13x 3+1−a 2x 2−ax −a ，ℎ′(x)＝x 2+(1−a)x −a ＝(x +1)(x −a)，令ℎ′(x)＝0，得x 1＝−1，x 2＝a >(0)当x 变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)的变化情况如下表：所以函数ℎ(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(a, +∞)；单调递减区间为(−1, a)， 故ℎ(x)在区间(−2, −1)内单调递增，在区间(−1, 0)内单调递减，从而函数ℎ(x)在区间(−2, 0)内恰有两个零点，当且仅当{ℎ(−2)<0ℎ(−1)>0ℎ(0)<0 ，解得0<a <13，所以a 的取值范围是(0,13)．(III)记ℎ(x)＝f(x)+g(x)，当a ＝1−2b ＝1时，ℎ(x)=13x 3−x −1．由(II)可知，函数ℎ(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(1, +∞)；单调递减区间为(−1, 1)． ①当t +3<−1时，即t <−4时，ℎ(x)在区间[t, t +3]上单调递增，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13(t +3)3−(t +3)−1=13t 3+3t 2+8t +5；②当t <−1且−1≤t +3<1，即−4≤t <−2时，ℎ(x)在区间[t, −1)上单调递增，在区间[−1, t +3]上单调递减，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(−1)=−13；当t <−1且t +3≥1，即−2≤t <−1时，t +3<2且ℎ(2)＝ℎ(−1)=−13，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(−1)=−13；③当−1≤t <1时，t +3≥2>1，ℎ(x)在区间[t, 1)上单调递减，在区间[1, t +3]上单调递增， 而最大值为ℎ(t)与ℎ(t +3)中的较大者．由ℎ(t +3)−ℎ(t)＝3(t +1)(t +2)知，当−1≤t <1时，ℎ(t +3)≥ℎ(t)， 所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13t 3+3t 2+8t +5；④当t ≥1时，ℎ(x)在区间[t, t +3]上单调递增，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13t 3+3t 2+8t +5．【答案】 解：（1）将圆M 的一般方程x 2+y 2+6x −2y +7=0化为标准方程(x +3)2+(y −1)2=3，则圆M 的圆心M(−3, 1)，半径r =√3．由A(0,1),F(−c,0)(c =√a 2−1)得直线AF 的方程为x −cy +c =0． 由直线AF 与圆M 相切，得√1+c 2=√3，解得c =√2或c =−√2（舍去）． 当c =√2时，a 2=c 2+1=3， 故椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．（2）由题意可知，直线PQ 的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线PQ 的方程为y =kx −12． 因为点(0,−12)在椭圆内，所以对任意k ∈R ，直线都与椭圆C 交于不同的两点． 由{y =kx −12x 23+y 2=1得(1+3k 2)x 2−3kx −94=0．设点P ，Q 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，则y 1=kx 1−12，y 2=kx 2−12，x 1+x 2=3k 1+3k 2，x 1x 2=−94(1+3k 2)，所以|PQ|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=3√(1+k 2)(1+4k 2)1+3k ．又因为点A(0, 1)到直线y =kx −12的距离d =2√k 2+1，所以△APQ 的面积为S =12|PQ|⋅d =9√1+4k 24(1+3k 2)．设t =11+3k2，则0<t ≤1且k 2=13t−13，S =94t ⋅√43t−13=94√4t 3−t 23=94√−13(t −2)2+43．因为0<t ≤1，所以当t =1时，△APQ 的面积S 达到最大， 此时11+3k 2=1，即k =0．故当△APQ 的面积达到最大时，直线的方程为y =−12． 【考点】圆锥曲线的综合问题 直线的一般式方程 椭圆的标准方程【解析】（1）写出直线AF 的方程，由直线AF 与圆M 相切得关于c 的方程，解出c 再由a 2=c 2+b 2即可求得a 值； （2）易判断直线PQ 的斜率存在，设出其点斜式方程，根据弦长公式表示出PQ ，根据点到直线的距离公式表示出点A(0, 1)到直线PQ 的距离，由三角形面积公式可表示出△APQ 的面积，根据该函数的结构特点转化为二次函数即可求得面积最大时k 的值；【解答】 解：（1）将圆M 的一般方程x 2+y 2+6x −2y +7=0化为标准方程(x +3)2+(y −1)2=3，则圆M 的圆心M(−3, 1)，半径r =√3．由A(0,1),F(−c,0)(c =√a 2−1)得直线AF 的方程为x −cy +c =0．由直线AF 与圆M 相切，得√1+c 2=√3， 解得c =√2或c =−√2（舍去）． 当c =√2时，a 2=c 2+1=3， 故椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．（2）由题意可知，直线PQ 的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线PQ 的方程为y =kx −12． 因为点(0,−12)在椭圆内，所以对任意k ∈R ，直线都与椭圆C 交于不同的两点． 由{y =kx −12x 23+y 2=1得(1+3k 2)x 2−3kx −94=0．设点P ，Q 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，则y 1=kx 1−12，y 2=kx 2−12，x 1+x 2=3k1+3k ，x 1x 2=−94(1+3k 2)，所以|PQ|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=3√(1+k 2)(1+4k 2)1+3k 2．又因为点A(0, 1)到直线y =kx −12的距离d =2√k 2+1，所以△APQ 的面积为S =12|PQ|⋅d =9√1+4k 24(1+3k 2)．设t =11+3k 2，则0<t ≤1且k 2=13t −13，S =94t ⋅√43t −13=94√4t3−t 23=94√−13(t −2)2+43．因为0<t ≤1，所以当t =1时，△APQ 的面积S 达到最大， 此时11+3k 2=1，即k =0．故当△APQ 的面积达到最大时，直线的方程为y =−12．【答案】（I ）由题意可知，S n =2n+1−2．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n+1−2−(2n −2)=2n ， 当n ＝1时，a 1=S 1=21+1−2=2也满足上式， 所以a n =2n (n ∈N ∗)．(II)由(I)可知b n+1+b n =2n (n ∈N ∗)，即b k+1+b k =2k (k ∈N ∗)． 当k ＝1时，b 2+b 1=21，…①当k ＝2时，b 3+b 2=22，所以−b 3−b 2=−22，…② 当k ＝3时，b 4+b 3=23，…③当k ＝4时，b 5+b 4=24，所以−b 5−b 4=−24，…④ … …当k ＝n −1时（n 为偶数），b n +b n−1=2n−1，所以−b n −b n−1=−2n−1⋯n −1 以上n −1个式子相加，得b n +b 1=2−22+23−24+⋯+2n−1=2[1−(−2)n−1]1−(−2)=2(1+2n−1)3=2n 3+23，又b 1＝0，所以，当n 为偶数时，b n =2n 3+23．同理，当n 为奇数时，−b n +b 1=2−22+23−24+⋯−2n−1 =2[1−(−2)n−1]1−(−2)=2−2n 3，所以，当n 为奇数时，b n =2n 3−23．因此，当n 为偶数时，数列{b n }的前n 项和T n ＝b 1+b 2+...+b n =(23−23)+(223+23)+(233−23)+(243+23)+⋯+(2n 3+23) =23+223+⋯+2n 3=13⋅2(1−2n )1−2=2n+13−23；当n 为奇数时，数列{b n }的前n 项和T n ＝b 1+b 2+...+b n−1+b n =(23−23)+(223+23)+⋯+(2n−13+23)+(2n 3−23) =(23+223+⋯+2n3)−23=2n+13−43． 故数列{b n }的前n 项和T n ={2n+13−23(n)2n+13−43(n)．(III)由(II)可知b n ={2n3+23(n)2n3−23(n)，①当n 为偶数时，b nb n+1=2n 3+232n+13−23=2n +22n+1−2=12+32n+1+2，所以b nbn+1随n 的增大而减小，从而，当n 为偶数时，b nb n+1的最大值是b2b 3=1．②当n 为奇数时，b n b n+1=2n 3−232n+13+23=2n −22n+1+2=12−32n+1+2，所以b n b n+1随n 的增大而增大，且b nb n+1=12−32n+1+2<12<1．综上，b nb n+1的最大值是1．因此，若对于任意的n ∈N ∗，不等式b n <λb n+1恒成立，只需λ>1，故实数λ的取值范围是(1, +∞)． 【考点】 数列的求和 数列的函数特性等差数列与等比数列的综合【解析】（I ）由题意可知S n =2n+1−2，分当n ＝1，和n ≥2两种情况，可得数列{a n }的通项公式；第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页(II)可得b n+1+b n =2n ，分n 为奇数和n 为偶数，由累加的方法，结合等比数列的求和公式可得答案；(III)由(II)可知b n ={2n3+23(n)2n3−23(n)，分当n 为偶数和奇数时，考虑数列的单调性，可得b nbn+1的最大值是1，进而可得结论． 【解答】（I ）由题意可知，S n =2n+1−2．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n+1−2−(2n −2)=2n ， 当n ＝1时，a 1=S 1=21+1−2=2也满足上式， 所以a n =2n (n ∈N ∗)．(II)由(I)可知b n+1+b n =2n (n ∈N ∗)，即b k+1+b k =2k (k ∈N ∗)． 当k ＝1时，b 2+b 1=21，…①当k ＝2时，b 3+b 2=22，所以−b 3−b 2=−22，…② 当k ＝3时，b 4+b 3=23，…③当k ＝4时，b 5+b 4=24，所以−b 5−b 4=−24，…④ … …当k ＝n −1时（n 为偶数），b n +b n−1=2n−1，所以−b n −b n−1=−2n−1⋯n −1 以上n −1个式子相加，得b n +b 1=2−22+23−24+⋯+2n−1 =2[1−(−2)n−1]1−(−2)=2(1+2n−1)3=2n 3+23，又b 1＝0， 所以，当n 为偶数时，b n =2n 3+23．同理，当n 为奇数时，−b n +b 1=2−22+23−24+⋯−2n−1 =2[1−(−2)n−1]1−(−2)=2−2n 3，所以，当n 为奇数时，b n =2n 3−23．因此，当n 为偶数时，数列{b n }的前n 项和T n ＝b 1+b 2+...+b n =(23−23)+(223+23)+(233−23)+(243+23)+⋯+(2n 3+23) =23+223+⋯+2n 3=13⋅2(1−2n )1−2=2n+13−23；当n 为奇数时，数列{b n }的前n 项和T n ＝b 1+b 2+...+b n−1+b n =(23−23)+(223+23)+⋯+(2n−13+23)+(2n 3−23) =(23+223+⋯+2n3)−23=2n+13−43． 故数列{b n }的前n 项和T n ={2n+13−23(n)2n+13−43(n)．(III)由(II)可知b n ={2n3+23(n)2n3−23(n)，①当n 为偶数时，b nb n+1=2n 3+232n+13−23=2n +22n+1−2=12+32n+1+2，所以b n b n+1随n 的增大而减小，从而，当n 为偶数时，b nb n+1的最大值是b2b 3=1．②当n 为奇数时，b nb n+1=2n 3−232n+13+23=2n −22n+1+2=12−32n+1+2，所以b n b n+1随n 的增大而增大，且b nb n+1=12−32n+1+2<12<1．综上，b nbn+1的最大值是1．因此，若对于任意的n ∈N ∗，不等式b n <λb n+1恒成立，只需λ>1， 故实数λ的取值范围是(1, +∞)．。
