厦门理工材料力学-第8章b

（3）任意斜截面的应力 与三向应力圆对应关系
n 1 cos2 2 cos2 3 cos2
2
n
1
3
n
n
12
cos2
22
cos2
2 3
cos2
2 n
•A
结论：任意斜截面的应力值 位于三向应力圆的阴影区内
3
2
o
1
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MECHANICS OF MATERIALS
二. 最大与最小应力 最大与最小正应力
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MECHANICS OF MATERIALS
§8-1 引言
关于应力：
两个特点： • 同一横截面上，不同点处的应力一般不同 • 过同一点，不同方位截面上的应力一般不同
一个概念：应力状态
通过构件内部一点所作的任一平面在该点的应力状况 称为该点的一个应力状态。
一个问题：一个点的各应力状态之间存在怎样的联系？是否 可能由已知的若干个应力状态推知到其它所有应力状态？
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关于微体：
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围绕杆件内某点所截取的一个边长无限小的长方体；
每个面上的应力分布差异可忽略，认为其均匀分布；
微体相对的两个面上的应力视为过该点的、法向相反的两个 平面在该点的应力，等值、反向 ；
微体三个相邻表面上的应力分别代表了过该点的、互相垂 直的三个平面在该点的应力状况；
§8-3 应力圆
一、应力圆
应力转轴公式
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin2
x
2
y
sin2

2
四、最大剪应力
max
※解题注意事项：
1 3
2
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先
应写清已知条件。
⑴x、y 以拉为正，以压为负； ⑵x 沿单元体顺时针转为正，逆时针转为负； ⑶ 为斜截面的外法线与x 轴正向间夹角，逆时针转为 正，顺时针转为负。
⒉ 求得主应力ˊ、〞与0排序，确定1、2、3的值。 ⒊ 0为主应力ˊ所在截面的外法线与x 轴正向间夹角， 逆时针转为正，顺时针转为负。
x 1
圆上D1点代表x 截面； D2点代表y 截面；
E点代表方位为 角的斜截面； A1、 A2 点代表两个主平面。
1、单元体各斜截面与圆上各点相对应（点面相对应） 结论 2、圆上各点横、纵坐标与各斜截面的正、剪应力对应。
3、转向相同，夹角两倍关系
x
A1
2
D1
y x y
y x x
y 0,
x 40MPa,
' 80 0 80 0 2 ( ) 40 2 40 56.57 " 2 2
1 16.57 MPa, 2 0, 3 96.57 MPa 1 max [(16.57 (96.57)] 56.57 MPa 2
x cos2 y sin 2 x sin 2
1 cos 2 1 cos 2 x y x sin 2 2 2 x y x y cos 2 x sin 2 2 2
同理，由
F
F
z zy
yx xy
yz zy
zx xz


A

A

例4 承受偏心载荷的矩形截面杆如图所示，用实验方法测得杆二
3 侧的纵向应变分别是 a 1103 和 b 0.4 10 ，材料的弹性模量
E 210GPa ；求拉力P和偏心矩e的值。
b
P e
a
25
P 5 b a
解：(1)将外力向轴线简化，如下图所示； 其中：M=Pe，这属于拉弯组合变形； (2)求出a、b点的应力；
C
解：(1)研究AB，受力分析，求约束反力
XB 300 A D B P
SA
A
YB
B
P l=2.6m
X B 21.65kN , YB 12.5kN , SA 25kN
(2)杆属压缩与弯曲的组合变形，画内力图；
N(kN) M(kNm)
(-)
21.65
(+)
16.25
(3)危险截面是D截面，危险点是D截面的上边缘
二、应力分析： x z Mz P My
P
y My
MZ
P xP A
Mzy xM z Iz
xM
y
Myz Iy
P Mz y Myz x A Iz Iy
三、中性轴方程 对于偏心拉压问题
P M z y0 M y z0 x 0 A Iz Iy
z
P PyP y0 PzP z0 P yP y0 z P z0 (1 2 2 )0 2 2 A Aiz Aiy A iz iy
c max
N M max A W
查型钢表得：A=3060 mm2，Wt=185000 mm3，则
c max
21.65 103 16.25 103 94.9 MPa 6 9 3060 10 x

研究对象（research object） 圆截面杆（circular bars） 受力特点（character of external force）
杆件同时承受转矩和横向力作用
变形特点（character of deformation）
发生扭转和弯曲两种基本变形
F
B A C
l
(Combined Deformation)
A B A
F
C
l
M
x B
F
(Combined Deformation)
画内力图确定危险截面
M
A A
F
Fl
M
固定端A截面为危险截面
(Combined Deformation)
二、应力分析（Stress analysis）
危险截面上的最大弯曲正应力 发生在C1 、C2 处 最大扭转切应力发生在截面周边 上的各点处. 危险截面上的危险点为C1 和 C2 点 对于许用拉压应力相等的塑性材 料制成的杆,这两点的危险程度是相同 的.可取任意点C1 来研究. C1 点处于平面应力状态, 该 点的单元体如图示
1.外力分析（Analysis of external force） 将外力简化并沿主惯性轴分解,将组合变形分解为基本变形, 使之每个力（或力偶）对应一种基本变形 2.内力分析（Analysis of internal force ） 求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截面.分 别计算在每一种基本变形下构件的应力和变形 3.应力分析（Stress analysis） 画出危险截面的应力分布图,利用叠加原理 将基本变形下的 应力和变形叠加,建立危险点的强度条件
FRAy
FNAB
30°
Fy