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流体力学 第二章

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流体力学第二章 流体静力学

流体力学第二章 流体静力学
第二章 流体静力学
流体静力学：研究流体静止时的力学规律。 主要研究内容：研究静止流体的压强分布以及静止流体对
物体表面的作用力。 意义：流体静力学在工程中有着广泛的应用，设计挡水建
筑物、水工结构、高压容器时。都要应用流体静力学的基 本原理。 静止流体受力情况比较简单，但其分析也同样使用严格的 阿力学分析方法，掌握好这些分析方法，可为学习流体动 力学打下良好的基础。
由曲线积分
d U ( x ,y ,z ) X d x Y d y Z d z
dUUdxUdyUdz x y z
整理ppt
C2 流体静力学
2.2 流体平衡微分方程
一 欧拉平衡微分方程
可得欧拉平衡方程
f
1
p
0
d U ( x ,y ,z ) X d x Y d y Z d z
dUUdxUdyUdz x y z
这样形成在赤道处大气自下向上，然后在高空自赤道流向北极；在 北极大气自上向下，最后沿洋面自北向南吹的大气环流。通常将沿洋面 自北向南吹的风称为贸易风。
整理ppt
C2 流体静力学 五 流体静力学基本方程
2.2 流体平衡微分p 0方程z
• 单位质量流体机械能守恒式：
p z c g c z
x
h2
整理ppt
C2 流体静力学
2.1静止流体中的应力特征
特征一：应力的作用方向为作用面的内法向方向
特征二：流体中某一点的静压强 p(x,y,z) 的大小 与压强的作用面无关。
整理ppt
C2 流体静力学
2.1静止流体中的应力特征
流体特征 1：静止流体不能承受切应力，也不能承受拉应力， 只能承受压应力，即压强，压强的作用 方向为作用面的内法向方向（垂直指向作用面）。

流体力学第2章流体运动学基本概念

流体力学第2章流体运动学基本概念
式中：a,b,c被称为拉格朗日变数。不同的一组（a,b,c） 表示不同的流体质点。
10
→
→
→
→
对于任一流体质点，其速度可表示为：
r x y z v i j k vx i v y j vz k t t t t 其加速度可表示为：
用拉格朗日法描述流体运动看起来比较简 单，实际上函数B（a,b,c,t)一般是不容易找到的， 往往不能用统一的函数形式描述所有质点的物
理参数的变化。所以这种方法只在少数情况下
使用，在本书中主要使用欧拉法。
13
2.2.2 欧拉法（也叫场法）
基本思想：在确定的空间点上来考察流体的流动， 将流体的运动和物理参量直接表示为空间坐标和时间的 函数，而不是沿运动的轨迹去追踪流体质点。 例：在直角坐标系的任意点（x,y,z）来考察流体流 动，该点处流体的速度、密度和压力表示为： v=v(x,y,z,t)=vx(x,y,z,t)i+ vy(x,y,z,t)j+ vz(x,y,z,t)k
15
2.2.3 质点导数
定义：流体质点的物理量对于时间的变化率。
拉格朗日法中，由于直接给出了质点的物理量的表达 式，所以很容易求得物理量的质点导数表达式。
B B(a, b, c, t ) t t
如速度的质点导数（即加速度）为：
v ( a , b, c , t ) a ( a , b, c , t ) t

v v v vy vz 又由矢量运算公式：v v vx x y z
其中矢量算子 i j k 叫哈密顿算子 x y z
18
于是质点的速度增量可以表示为：
v v ( v v )t t

工程流体力学第二章 流体静力学

工程流体力学第二章 流体静力学

只有重力作用下的等压面应满足的条件：
1.静止； 2.连通； 3.连通的介质为同一均质流体； 4.质量力仅有重力； 5.同一水平面。
提问:如图所示，哪个断面为等压面? 您的答案是: C-C 断面 B-B 断面
第三节 重力作用下的流体平衡
在自然界和实际工程中，经常 遇到并要研究的流体是不可压缩的 重力液体，也就是作用在液体上的 质量力只有重力的液体。
f ds f x dx f y dy f z dz 0
f
图2-4 两个矢量的数量积
两个矢量的数量积等于零，必 须f和ds互相垂直，其夹角φ等于900。 也就是说，通过静止流体中的任一点 的等压面都垂直于该点处的质量力。 例如，当质量力只有重力时，等压面 处处与重力方向正交，是一个与地球 同心的近似球面。但是，通常我们所 研究的仅是这个球面上非常小的一部 分，所以可以看成是水平面 。
一、重力作用下的静力学基本方程 在一盛有静止液体的容器上取 直角坐标系（只画出OYZ平面，Z轴 垂直向上），如图2-5所示。
P0 P2 P1 Z1 Z2
图2-5 推导静力学基本方程式用图
这时，作用在液体上的质量力 只有重力 G=mg ，其单位质量力在各 坐 标 轴 上 的 分 力 为 fx=0 ， fy=0 ， fz=-g， 代入式（2-4），得 dp gdz dp 写成 dz g 0 （2-8）
或
1 p x p n f x dx 0 3
由于等式左侧第三项为无穷小， 可以略去，故得：
（2-1）
因为n的方向完全可以任意选择， 从而证明了在静止流体中任一点上来 自各个方向的流体静压强都相等。但 是，静止流体中深度不同的点处流体 的静压强是不一样的，而流体又是连 续介质，所以流体静压强仅是空间点 坐标的连续函数，即

华中科技大学 流体力学第二章_1

华中科技大学 流体力学第二章_1
当 ， A点相对压强为 p pa gh2 .
'
形管测压计 例 如图所示，h = 2 m时，求封闭容器中的真空压强。 解 设封闭容器内的绝对压强为 p， 真空压强为pv ,大气压为pa。
空气（略）
则： p =pa – g h
根据真空压强的定义： p = pa – p= pa – (pa – g h ) = g h =1000 × 9.8 ×2 = 19．6 kPa 水
dp = (f x dx+ f y dy + f z dz )
dp gdz
p gz C
p z C g
p1 p2 z1 z2 g g
静力学基本方程
p z C g
在高度 z = z0 水平液面上压强为 p0 , z A 基准面
p0
z0 h z o

绝对真空
标准大气压强为101325 Pa，工程中一般采用101 kPa。
真空压强（真空度） -- 以大气压强为基准的压强。
真空压强 = 大气压强 － 绝对压强 p 大气压强
绝对压强
绝对真空
例 绝对压强 117.7 kPa ，相对压强 117.7 101 = 16.7 kPa 例 绝对压强 68.5 kPa ，真空压强 101 68.5 = 32.5 kPa
0.223 p a
z 11000 m
(2) 同温层中的压强分布 在同稳层中温度是常数
T 216.5 K
p p RT 216.5R
z=z1: p=p1
dp gdz
p g ( z1 z ) exp p1 RT
dp gdz p 216.5 R

工程流体力学第二章

工程流体力学第二章

pxdydz pnds • sin dz 0
p y dxdz
pnds
•
cos
dz
1 2
dxdydz
g
0
所以：
px pn 0
故
py
pn
1 2
dyg
0
y b
pxdy
o
px pn py pn
pnds
G x a
p y dx
得证
微元体分析法的步骤： 1 取合适的微元体 2 受力分析 3 建立方程
F pcg A ghc A
y D
y C
J cx yA
c
常见几何形状的惯性矩（表2－2）
矩形 圆型
c
l
J cx
1 12
bl 3
b
cR
J cx
1 R4
4
¼圆
xc c yc
xc
yc
4R
3
J cx
(1 4
16
9 2
R4
) 4
例2-5 设矩形闸门的宽为6米，长10米，铰链到低水面的 距离为4米。按图示方式打开该闸门，求所需要的力 R。
z
p0
o
B
z
p0
o
B
R
(a)
pg
2
2r2
R
(b)
pg
2
2(r2
R2)
例2-4 设内装水银的U型管绕过D点的铅垂线等角速度旋 转，求旋转角速度和D点的压强。设水银密度为
13600kg/m3 且不计液面变化带来的影响。
ω
关键：
10cm 5cm
1 写出所有的体积力
20c m
z
12cm 2 根据压力差公式写出压强

流体力学(张景松版)第二章 流体静力学

流体力学(张景松版)第二章 流体静力学

工程大气压 98066.5 0.98067 1
0.9678 735.6 10.000 735.6 14.22
标准大气压 101325 1.01325 1.033
1
760 10.332 760
14.7
托
133.3 0.00133 0.00136 0.00132 1
13.6
1 0.01934
毫米水柱 9.8067 0.000098 0.0001 0.0000968 0.07356 1 0.07356 0.00142
一、压强的计量
p
1、绝对压强
以完全真空为基准计量的压强
绝对 压强
2、计示（相对）压强
以当地大气压强为基准计量的压强
o
计示 压强
计示 压强 （真空）
p>pa
大气压强 p=pa
p<pa 绝对 压强
完全真空 p=0
表压： p pa pe p pa gh
真空： p pa pv pa p pe
p p dx x 2
o y
dz
b ac
dy dx
p p dx x 2
x
为得到b面和c面的压强，利用a点压强进行泰勒展开:
b(x dx , y, z) : 2
pb

p

p x
dx 2
c(x dx , y, z) : 2
pc

p
p x
dx 2
2 流体静力学
z
p p dx x 2
一、流体的静压强
流体处于绝对静止或相对静止时的压强。
P dP p lim
A0 A dA
2.2 流体的静压力及其特性

流体力学-第二章 基本方程


h
0
xy
z
经流体柱后侧流入的流体质量应为：
流入质量=
h
0
uy
z
同时，经流体柱前侧流出的质量为：
z
流出质量=
h
0
uy
z
x
h
0
uy
z
x
O
x u u x
x
y
u
h y
x
Chen Haishan NIM NUIST
流出质量减去流入质量 ＝柱体内质量的减少。
柱体内的净流出量
（流入质量减去流出质量 ＝柱体内质量的增加）
pnx nx pxx ny pyx nz pzx
pny nx pxy ny pyy nz pzy
pnz
nx pxz
ny pyz
nz pzz
Chen Haishan
NIM NUIST
z
pzz
z
pzx
pz pzy
pxz
px
pxx
pxy
pyy
pyx
py
P Pnz n
Pny
y Pnx o
Chen Haishan NIM NUIST
通过体积分，作用于体积为 的流体块上的质量力：
Fd =作用于流体的质量力
Chen Haishan NIM NUIST
② 表面力
表面力：是指流体内部之间或者流体与其他物体之 间的接触面上所受到的相互作用力。
如流体内部的粘性应力和压力、流体与固体接触面 上的摩擦力等。
x y
n n
cosn, cosn,
x y
nxn n y n
z n cosn, z nzn
Chen Haishan NIM NUIST

第二章 流体力学的基本方程1-2


(v⋅ ∇) b = 0
→
→
→
v⋅ ∇ϕ = 0
21
一维、 三.一维、二维、三维流动 一维 二维、
在设定的坐标系中， 在设定的坐标系中，根据有关物理 量依赖于一个坐标、 量依赖于一个坐标、两个坐标和三个坐 流体运动可分为一维运动、 标，流体运动可分为一维运动、二维运 动和三维运动。 动和三维运动。
14
运 中 流 质 所 有 物 量 (例 v, p, ρ,T等 动 的 体 点 具 的 理 N 如 ) 对 间 变 率: 时 的 化 ∆N ∂N → dN = lim = + (V⋅ ∇)N ∆t→ ∆ 0 ∂t dt t 称 物 量 的 点 数或 体 数 为 理 N 质 导 ( 随 导 ) dN −全 数 随 导 导 或 体 数 dt ∂N −局 导 或 变 数 部 数 时 导 ∂t (V⋅ ∇)N − 位 导 变 数
9
流体速度v、压力 、密度ρ和温度 等的对应表达式为： 和温度T等的对应表达式为 流体速度 、压力p、密度 和温度 等的对应表达式为：
vx = vx(x, y, z, t) = vx[x(t ), y(t ),z(t ),t ] vy = vy(x, y, z, t) = vy[x(t ), y(t ),z(t ),t ] vz = vz(x, y, z, t) = vz[x(t ), y(t ),z(t ),t ] v = v(x, y, z, t) = v[x(t ), y(t ),z(t ),t ] 及 p = p(x, y, z, t) = p[x(t ), y(t ),z(t ),t ] ρ = ρ(x, y, z, t) = ρ[x(t ), y(t ),z(t ),t ] T = T(x, y, z, t) = T [x(t ), y(t ),z(t ),t ] x, y, z, t —欧 变 拉 数

工程流体力学：第二章 流体力学基本方程


y x
ln x t ln y t ln c
(x t)(y t) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
2020年12月7日 20
三、流管与流束 1.流管——在流场中任取一个有流体
从中通过的封闭曲线，在曲线上的每一个 质点都可以引出一条流线，这些流线簇围 成的管状曲面称为流管。
第二章 流体力学基本方程
1. 流体运动的基本概念-流体运动的特征 2. 4个重要方程：
连续性方程 － 根据质量守恒定律导出 运动方程－ 根据牛顿第二运动定律导出 伯努利方程－ 根据能量守恒定律导出 动量积分方程和动量矩积分方程－ 根据动量定理 和动量矩定理导出. 这些方程是分析研究和解决流体力学问题的基础.
合；
对于定常流动，流线与迹线重合。
❖ 流线不能相交（驻点和速度无限大的奇点除外）。
❖ 流线的走向反映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分 布。
❖ 迹线和流线的区别： ❖ 迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与Lagrange
观点对应； ❖ 流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与
Euler观点对应。
的速度向量
相切v。x, y, z, t
❖ 流线微分方程：
v2 v1
v3
v4
dr v 0
dx dy dz u(x, y, z,t) v(x, y, z,t) w(x, y, z,t)
2020年12月7日 16
迹线与流线的区别
❖ 流线的性质：
❖ 对于非定常流动，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重
u u u u
ax
t
u
x
v
y

第二章2-工程流体力学


五．一元流,二元流,三元流
一元流(one-dimensional flow):流体在一个方向流 动最为显著，其余两个方向的流动可忽略不计， 即流动流体的运动要素是一个空间坐标的函数。若 考虑流道（管道或渠道）中实际液体运动要素的断 面平均值， 则运动要素只是曲线坐标s的函数，这种流动属于一 元流动。 x u u ( x, t )
dr vdt
dx dy dz dt ux, y, z, t vx, y, z, t wx, y, z, t
初始时刻 t t0 时质点的坐标 a, b, c ，积 分得该质点的迹线方程。
二、流线(streamline)
• 流线：某一时刻处处与速度矢量相切的空间曲线-瞬时性, 。 • 任一时刻t，曲线上每一点处的切向量 d 都与该点的速度向量 相切。 r dxi dyj dzk v x, y, z, t • 流线微分方程：
ux ux ( x, y, z, t ) u y u y ( x, y, z, t )
p p( x, y, z, t )
uz uz ( x, y, z, t )
( x, y, z, t )
x, y, z ,t--欧拉变量，其中x，y，z与时间t有关。
欧拉法是常用的方法。
欧拉法中的加速度 -- 质点速度矢量对时间的变化率。
解：（1）流线方程的一般表达式为
将本题已知条件代入，则有： 积分得： （1+t）lnx = lny + lnC ' 当t= t0时，x=x0，y=y0 ，则有 故过A（ x0，y0，z0 ）点的流线方程为
（2）求迹线方程
代入本题已知条件有： 当t= t0时，x=x0代入上式得
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2017/6/151黄磊2017年3月

流体静力学着重研究流体在外力作用下处于静止状态的规律及其在工程实际中的应用。这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时，称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标系静止时，称流体处于相对静止状态。流体处于绝对静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。举例：物体和盛满水的水杯

§2-1流体静压强及其特征一、流体静压强的定义在流体内部或流体与固体壁面所存在的单位面积上的法向作用力称为流体的压强。当流体处于静止状态时，流体的压强称为流体静压强，用符号p表示，单位为Pa。二、流体静压强的基本特性（1）流体静压强与作用面相垂直，流体静压力指向作用面的内法线方向。

这一特性可由反证法给予证明：

假设在静止流体中，流体静压强不与作用面相垂直，流体静压力与作用面的切线方向成α角，如图2-1所示。

αFn

Ft

F

切向压力

静压力法向压力

图2-1

那么静压力F可以分解成两个分力即切向压力Ft和法向压力Fn。由第一章可知，流体具有流动性，受任何微小切力作用都将连续变形，也就是说流体要流动。

这与我们假设是静止流体相矛盾。流体要保持静止状态，不能有剪切力存在，而流体也不能承受拉力，唯一的作用力便是沿作用面内法线方向的压力。

（2）静止流体中任意一点流体压强的大小与作用面的方向无关，即任一点上各方向的流体静压强都相同。

在静止流体中围绕任意一点A取一微元四面体的流体微团ABCD，设直角坐标原点与A重合。微元四面体正交的三个边长分别为dx，dy和dz，如图所示。因为微元四面体处于静止状态，所以作用在其上的力平衡。z

xydzdxdy2017/6/152pz

py

px

pn

作用在ACD面上的流体静压强作用在BCD面

上的静压强

作用在ABD和上的静压强

图2－2 微元四面体受力分析

zxydzdxdy设作用在ACD、ABD、ABC和BCD四个面上的流体静压强分别为px、py、pz和pn，pn与x、y、z轴的夹角分别为α、β、γ，则作用在各面上流体的总压力分别为：除压强外，还有作用在微元四面体微团上的质量力。设流体微团的平均密度为ρ，而微元四面体的体积为dV=dxdydz/6微元四面体流体微团的质量为dm=ρdxdydz/6。pzpypxpnzxydzdxdy

假定作用在流体上的单位质量力为，它在各坐标轴上的分量分别为fx、fy、fz，则作用在微元四面体上的总质量力在三个坐标轴上的分量为：

pz

py

px

pn

z

xydzdxdy

由于流体的微元四面体处于平衡状态，故作用在其上的所有力在任意轴上投影的和等于零：

在x轴方向力的平衡方程为：

pz

py

px

pn

z

xydzdxdy

因为上式变成两边除dydz由于为无穷小，可以略去故得：

同理可得所以

代入数值得：

pz

py

px

pn

z

xydzdxdy静止的流体，点的位置不同，压强可能不同；

点的位置一定，无论那个方向，压强大小相同。

pz

py

px

pn

z

xydzdxdy2017/6/15

3§2-2流体静压强的分布规律在实际工程中，经常遇到并要研究的流体是质量力只有重力的液体。

一、压强关系式在静止液体中任意取出一微小圆柱体，如图所示。微元流体在图示力的作用下处于平衡状态。轴向方向满足：

P3

P4

所以整理得

静止液体中任两点的压强差等于两点间的深度差与密度、重力加速度的乘积。

二、流体静压强的基本方程式

hp0

对于静止液体密度为ρ的液体，

设液面的压强为p0 ，如图示。深度为h处的压强为：

——液体静力学的基本方程式

由此可得到三个重要结论：(1)在重力作用下的静止液体中，静压强随深度按线性规律变化，即随深度的增加，静压强值成正比增大。(2)在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成：一部分是自由液面上的压强p0；另一部分是该点到自由液面的单位面积上的液柱重量ρgh。(3)在静止液体中，位于同一深度(h＝常数)的各点的静压强相等，即任一水平面都是等压面，压强的方向指向受力物体的内法向。

AB

C

对于不同密度的混合液体，在同一容器中处于静止状态，

分界面既是水平面又是等压面。

等压面适用条件：只适用于静止、同种、连续的液体。液体静力学基本方程式的另一种表达形式p0

p1

p2

Z1

Z2

在一盛有静止液体的容器内，任取两点1和2，点1和点2压强各为p1和p2，位置坐标各为z1和z2，如图示。Z0

整理得：

为了进一步理解流体静力学基本方程式，现在来讨论流体静力学基本方程的几何意义

几何意义由公式可以看出，在同一种静止液体中，任何一点的都是一个常数。Z是流体质点离基准面的高度，称为位置水头。p/ρg也是长度单位，它的几何意义

表示为单位重量流体的压强水头。位置水头和压强水头之和称为静水头。

p0

p1

p2

Z1

Z2

Z02017/6/15

4§2-3压强的计算基准和量度单位

一、压强的两种计算基准压强计算基准：绝对压强和相对压强。以完全真空时的绝对零压强(p＝0)为基准来计量的压强称为绝对压强，用p’表示。以当地大气压强pa为基准来计量的压强称为相对压强用p表示。绝对压强与相对压强、大气压强之间的关系：因为p可以由压强表直接测得，所以又称计示压强。绝对压强p’不可能是负值，但相对压强可正可负。当相对压强为正时，称为正压，反之为负压。负压的绝对值称为真空度，用符号pv表示。即p<0时

为了正确区别和理解绝对压强、相对压强和大气压强之间的关系，用图来说明。

真空度绝对压强

相对压强（或计示压强）

绝对压强压强之间的关系图示

当地大气压强是某地气压表上测得的压强值，它随着气象条件的变化而变化，所以当地大气压强线是变动的。由于绝大多数气体的性质是气体绝对压强的函数，所以气体的压强都用绝对压强表示。而液体的性质几乎不受压强的影响，所以液体的压强常用计示压强表示。在工程实际中，相对压强应用更广泛，如果涉及到压强没做特别说明，均指相对压强。

真空度绝对压强相对压强（或计示压强）

绝对压强压强之间的关系图示

二、压强的单位流体静压强的计量单位有许多种，为了便于换算，现将常遇到的几种压强单位及其换算系数列于表2-1中。

表2-1压强的单位及其换算表标准大气压（atm）帕（pa）毫米汞柱米水柱工程大气压（at）110132576010.331at=98kpa

流体静力学基本方程式在工程实际中有广泛的应用。液柱式测压计的测量原理就是以流体静力学基本方程为依据的，它用液柱高度或液柱高度差来测量流体的静压强或压强差。下面介绍几种常见的液柱式测压计。一、测压管1.结构测压管是一种最简单的液柱式测压计。为了减少毛细现象所造成的误差，采用一根内径为10mm左右的直玻璃管。测量时，将测压管的下端与装有液体的容器连接，上端开口与大气相通，如图所示。

§2-4流体静力学基本方程式的应用2017/6/155测压管2.测量原理在相对压强作用下，液体在玻璃管中上升高度，设被测液体的密度为ρ，大气压强为pa，可得M点的绝对压强为M点的相对压强为测压管只适用于测量较小的压强，如果被测压强较高，则需加长测压管的长度，使用就很不方便。于是，用测得的液柱高度h，可得到容器中液体的计示压强及绝对压强。二、U形管测压计1.结构这种测压计是一个装在刻度板上两端开口的U形玻璃管。测量时，管的一端与被测容器相接，另一端与大气相通，如图所示。P

a

ρ1

Mp

12h1

h2

ρ2

等压面

U形管测压计P>Pa

M点的绝对压强为

p’=pa+ρ2gh2-ρ1gh1

p’1=p’+ρ1gh1

p’2=pa+ρ2gh2

M点的相对压强为

p=ρ2gh2-ρ1gh1

U形管测压p’+ρ1gh1+ρ2gh2=paM点的绝对压强为

p’=pa-ρ1gh1-ρ2gh2

M点的真空度或负压强为pv=pa-p’=ρ1gh1+ρ2gh2

三、U形管差压计U形管差压计用来测量两个容器或同一容器流体中不同位

置两点的压强差。测量时，把U形管两端分别与两个容器的测点A和B连接。

U形管差压计若A、B为液体，ρA=ρB=ρ1

若两个容器内是同一气体，由于气体的密度很小，U形管内的气柱重量可忽略不计，上式可简化为

四、倾斜微压计在测量气体的小压强和压差时，为了提高测量精度，常采用微压计。倾斜微压计是由一个大截面的杯子连接一个可调节倾斜角度的细玻璃管构成，其中盛有密度为ρ的液体。

0

ph1

h2Θ

pa

sLA

ρ1

20

倾斜微压计倾斜微压计的放大倍数

Θ值越小，倾斜微压计可使读数更精确。