数字系统综合数字滤波器设计方法

数字信号处理实验数字巴特沃思滤波器的设计数字信号处理技术是现代通信、音频、图像等领域中不可或缺的一门技术。

数字信号处理的核心是数字滤波器设计，本文将介绍一种常用的数字滤波器——数字巴特沃斯滤波器的设计方法。

一、数字滤波器简介数字滤波器是将连续时间信号转换成离散时间信号，实现对离散时间信号的滤波处理，具有实时性好、精度高、可重复性强等优点。

数字滤波器有两种类型：有限冲激响应（FIR）滤波器和无限冲激响应（IIR）滤波器。

二、数字巴特沃斯滤波器数字巴特沃斯滤波器是一种常用的IIR滤波器，其主要特点是具有平坦的通/阻带，通/阻带边缘陡峭。

因此在实际应用中，数字巴特沃斯滤波器应用较为广泛。

数字巴特沃斯滤波器的设计方法一般包括以下步骤：确定滤波器类型、确定通/阻带的截止频率、确定滤波器的阶数、计算滤波器的系数。

1、确定滤波器类型在实际应用中，数字巴特沃斯滤波器有四种类型：低通、高通、带通和带阻滤波器，应根据实际需求选择。

2、确定通/阻带的截止频率通常情况下，固定本例中采用的是低通滤波器，需要确定的就是通带和阻带的截止频率。

对于低通滤波器，通带截止频率ωc应该比信号频率fs的一半小，阻带截止频率ωs 应该比ωc大一些，通常ωs/ωc取0.5~0.7比较好。

滤波器的阶数一般是与滤波器的性能相关的。

阶数越高，性能越好，但同时计算量也会更大。

在实际应用中，一般取4~8的阶数即可。

4、计算滤波器的系数根据上述参数计算滤波器的系数，这里介绍两种常用的方法：一种是脉冲响应不变法（Impulse Invariant Method），另一种是双线性变换法（Bilinear Transformation）。

脉冲响应不变法是一种较为简单的设计方法，但由于其数字滤波器与连续时间滤波器之间的不同，可能会引入一定程度的失真。

双线性变换法可以使二阶系统和一阶系统的增益分别为1和0dB，这是一种比较理想的设计方法。

四、实验步骤本实验采用Matlab软件进行数字滤波器的设计，具体步骤如下：1、打开Matlab软件，新建一个.m文件；2、输入需要滤波的数字信号，此处可以使用Matlab自带的signal工具箱中的一些模拟信号；4、使用filter函数实现数字滤波器对信号的滤波过程；5、通过比较信号的频谱图，评估滤波器的性能。

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2、由模平方函数确定系统函数
模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数表示：
| H ( j) |2 H ( j)H *( j)
由于冲击响应h(t)为实函数，H ( j) H *( j)
| H ( j) |2 H ( j)H ( j) H (s)H (s) |s j
H (s)是模拟滤波器的系统函数，是s的有理分式；
分别对应：通带波纹和阻带衰减(阻带波纹)
（4种函数）
只介绍前两种
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32
33
无论N多大，所 有特性曲线均通 过该点
特性曲线单调减小，N越大，减小越慢 阻
特性曲线单调减小，N越大，减小越快
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20Nlog2：频率增加一倍，衰减6NdB
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另外：
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无论N多大，所 有特性曲线均通 过Ωc点: 衰减3dB, Ωc 为 3dB带宽
8
根据
(线性相位滤波器)
非线性相位滤波器
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问题：
理想滤波器的幅度特性中，频带之间存 在突变，单位冲击响应是非因果的；
只能用逼近的方法来尽量接近实际的要 求。
滤波器的性能要求以频率响应的幅度特 性的允许误差来表征，如下图：
10
p
11
低通滤波器的频率响应包括：
通带：在通带内，以幅度响应的误差δp逼近 于1；
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3、数字滤波器设计的基本方法
利用模拟理论进行设计 先按照给定的技术指标设计出模拟滤波 器的系统函数H(s)，然后经过一定的变 换得到数字滤波器的系统函数H(z),这实 际上是S平面到Z平面的映射过程： 从时域出发，脉冲响应不变法 从频域出发，双线性变换法 适合于设计幅度特性较规则的滤波器， 如低通、高通等。
由于系统稳定， H(s)的极点一定落在s的左半 平面，所以左半平面的极点一定属于H(s)，右 半平面的极点一定属于H(-s)。

WR (e j ) FT[wR (n)] WRg ( )e j , (N 1) / 2
窗函数的几个参数:
旁瓣瓣的峰最值大值n相—对窗主函瓣数最的大幅值频的函衰数减W（g (dB)）的；最大旁
过渡带宽度B—用该窗函数设计的FIRDF的过渡带宽
度；
阻带最小衰减s—用该窗函数设计的FIRDF的阻带
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④ h(n)奇对称，N为偶数
• 相位特性:
• 频率特性:
N 3 2
Hg () 2hnsin n n0
• Hg()在=0，2 处为零，即H(z)在 z=1处有零点； • Hg() 在=0，2 奇对称，在=处偶对称。
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（3）线性相位FIRDF的零点分布特点
N 1
将 h(n) h(N 1 n) 代入式 H (z) h(n)zn 得到：
①窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带； ②相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量 集中在主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提 高阻带衰减和通带平稳性。 但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣 宽度来换取对旁瓣的抑制。
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回到本节 7.2.3 典型窗函数介绍
1．矩形窗（Rectangle Window）
N 1
H e j Hg e j h(n)e jn n0
N 1 2
[h(n)e jn h(N n 1)e j(N n1) ] n0
j N 1 N / 21
j (n N 1)
j (n N 1)
e 2 [h(n)e
2 h(n)e 2 ]
n0
N / 21
e j 2h(n) cos(n ) n0
1
e
j
] N 1 2

6.2 IIR滤波器设计的特点
将IIR滤波器的系统函数用极、零点表示：
M
M
bk zk
(1 ck z1)
H(z)
k 0 N

A
k 1 N
1 ak zk
(1 dk z1)
k 1
k 1
M≤N
对系统函数的设计就是确定各系数ak, bk或零极点ck，dk和A， 使滤波器满足给定的性能要求
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第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 6.3.2 巴特沃思低通逼近 （最平幅度逼近）
巴特沃思低通滤波器在通带内有最大平坦的幅度特 性，因而又称为最平幅度特性滤波器
巴特沃思低通滤波器幅度平方函数定义
|
H
a
(
j)
|2

1

(
1 / c
)2
N
式中，N为正整数，代表滤波器的阶数。Ωc为 3dB截止频率。当Ω=Ωc时，衰减为 3 dB
器• Ha(s)Ha(-s)的极点为
sk
1
(1)2N ( jc )
ej

1 2

22kN1
c
k=1, 2, …, 2N
• Ha(s)Ha(-s)的2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆（巴特沃 思圆）上，极点间的角度间隔为π/N rad
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第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
|Ha(jΩ)|2单调减小，N越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄
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第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
巴特沃思滤波器的极(零)点分布 (公式法求解低通Ha(s))
|
H