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2012年10月高等教育自学考试《高等数学（一）》试题
课程代码：00020
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
1．在区间),
0(内，下列函数无界的是（
B ）。
A ．x sin
B ．x
x sin C ．x
x
cos sin D ．)2cos(x 2．已知极限
2
211lim e x
bx
x
，则b
（ D ）。A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．设函数)(x f 二阶可导，则极限
bx
x x
x f x x f )
(')2('lim 00
（ C ）。
A ．)
(''0x f B ．
)
(''0x f C ．
)
(''20x f D ．)
(''20x f
4．函数
C x F dx
x f )
()(，则xdx
x f cos )(sin （ C ）。
A ．C
x x F sin )(sin B ．C
x x f sin )(sin C ．C x F )(sin D ．C
x f )
(sin 5．函数),(y x f z
在点),(00y x 处偏导数存在，则该函数在点
),(00y x 处必（ A ）。
A ．有定义
B ．极限存在
C ．连续
D ．可微
二、填空题（本大题共
10小题，每小题3分，共30分）
6．已知函数
x
x x f 1
2)
(，则复合函数
)]
([x f f x
x 314。
7．极限x
x x
1sin
1
ln lim 0
。
8．某产品产量为q 时总成本2
200
1200
)(q q C ，则100q
时的边际成本为
1 。
9．极限x
x x x
ln 1
lim
1
1
。
10．设函数x
x
y
1sin 的铅直渐近线为1x 。
11．已知直线l 与X 轴平行且与曲线x
e x
y 相切，则切点坐标为
（0，-1）。
12．函数
)1ln()
(2
x x f 在区间[-1，2]上最小值为
。
13．设函数x tdt t x 20
cos )(，则
)
('x x x 2cos 4。
14．求函数)arcsin(2
2
y x z 的定义域为12
2
y
x
。
15．设函数
)(2
e x
z
，则
)
0,1(y
z 4
。
三、计算题（一）（本大题共
5小题，每小题5分，共25分）
16．求极限x
x
x x
sin 11lim
。
解：原极限
x
x x
x
x sin )11(2lim 0
（3分）=1.
（5分）
17．已知函数
)(x f 可导，且)(sin )
(,)
0('x f x g a f ，求)0('g 。
解：x x f x g cos )(sin ')('，
（3分）a f g )
0(')
0('。
（5分）
18．设函数
)0(1
x x y
x ，求dy 。
19．设函数)(x f 在区间I 上二阶可导，且0)(''x f ，判断曲线)
(x f e
y 在区间I 上的凹
凸性。
20．计算不定积分
dx x
x )1cos(2
。
四、计算题（二）（本大题共
3小题，每小题7分，共21分）
21．设函数x
x
x y
ln 的单调区间与极值。
22．求微分方程0)(dy dx y x 满足初始条件10
x y
的特解。
23．计算二重积分D
dxdy y
x
y I
sin ，其中
区域D 由其线1,0,y
x
x y
围成。
五、应用题（本大题
9分）
24．过点（1，2）作抛物线
12
x
y 的切线，设该切线
与抛物线及y 轴所围的平面区域为 D.
（1）求D 的面积A ；
（2）求D 绕x 轴一周的旋转体体积
x V 。
六、证明题（本大题5分）
25．设函数)(x f 可导，且0)0(,cos sin )
(sin '2
f x
x x f ，证明1ln 2
1)
(2
x
x f 。
