常微分方程课件

1 2
y2
1 2
x2
c1.
所以其通解为y2 x2 c.
例2 确定镭的衰变速度与质量m成正比.
解 dm km, (k 0为比例系数),负号表示质量随时间增加而减少. dt
所以
dm dt
kdt,
(m
0), ln
m
kt
c1 ,
m ektc1 ekt ,即为衰变规律.由此可见镭的质量随时间增加而 按指数规律衰减.
若q(x) 0,即y ' py q称为一阶线性非齐次方程.
对于一阶线性齐次方程,其通解很容易解决.即 dy pdx, ln | y | y
pdx
c
',
y
ce
pdx
,
这里c为任意实数.
对于一阶线性非齐次方程,不能进行变量分离,求解稍困难些.
不难看出,一阶线性齐次方程y ' py 0是非齐次方程y ' py
x
(2)因为2x 2 yy ' 0, 所以y ' y ,即x2 y2 c为该微分方程的解;
(3)改写微分方程成ydy
x xdx, 两端积分可得
1
y2
1
x2
c '.
22
即x2 y2 c为该微分方程的解;
(4)因为x 1时, y 0,所以c 1,所求曲线方程为x2 y2 1(特解).
2
24
原方程的通解为 x y 1 sin(x y) x c 24
四、一阶线性微分方程
形如 dy py q称为一阶线性微分方程(!重点掌握!).这里p, dx
q均为x的连续函数.之所以称为线性,是指函数y及其导数y '都是 一次的. 若q(x) 0,即y ' py 0称为一阶线性齐次方程.

条件为：
1 dP k P dt P t 0(1790 年 ) P0
20
从而得出人口按指数规律增加：
P P0e kt
评价 l相对增长率等于常数这一假设只在一
个较短的时间间隔对问题的模拟较好；
l按指数模型，人口将无限增长下去, 但这是不可能的。
21
2. Logistic 模型(人口增长模型 )
32
Ž C 0 情况，对应
R 2GM0 , R
设初:条 t0件 时 R0，
通过解这个一阶方程, 得
2R2 3 3
2GM 0 tC,
再利用初条件， R3 得 92G到M 0t2
33
这个公式被称为“扁平宇宙模型” (flat universe model) , 试问此 模型就宇宙膨胀可以给出什么预言？
二、近代以来交通、通讯工具的进步对人们社会生活的影 响
(1)交通工具和交通事业的发展，不仅推动各地经济文化交 流和发展，而且也促进信息的传播，开阔人们的视野，加快 生活的节奏，对人们的社会生活产生了深刻影响。
(2)通讯工具的变迁和电讯事业的发展，使信息的传递变得 快捷简便，深刻地改变着人们的思想观念，影响着人们的社 会生活。
请见以下各种微分方程：
(1) dy f(x) dx
(2) dd22 xtad dx tbx0
11
(3) m d d22 ythyd d y tk yF (t) ( 4 )y P (x )y Q (x ) (5 ) xd ys xixnd 0y
( 6 )x 3 y x 2 y 4 x y 3 x 2 (7 ) (y)2 4 y 3 x 0
dt
k
分离变量并积分
rdt
dx
x(1

,
学 即随着 f ( x , y )的定义域的增大 院
缩小 , 这显然是我们不想看到
的.
dy 2 2 第三章 x y , 例如 初值问题 dx y (0) 0 河 当取定义域为 R : 1 x 1, 1 y 1时 , 北 1 1 师 解的存在唯一区间 x h min{ 1, } . 2 2 范 当取定义域为 R : 2 x 2 , 2 y 2时 , 大 2 1 解的存在唯一区间 x h min{ 2 , } . 学 8 4
它的解在区间
x x 0 h 上存在唯一 , b 这里 h min( a , ), M Max f ( x , y ) ( x , y ) R M 根据经验 , 如果 f ( x , y )的定义域 R 越大 , 解的存在唯一
信 区间也应越大
,但根据定理的结论
, 可能出现这种情况 , 解的存在唯一区间反而
f ( x , y ) 在整个 xy , 连续和有界 y 的一阶连续 ,
平面上有定义 同时存在关于
偏导数 , 则方程 ( 3 . 1)的解可 以延拓到区间 ( , ).
作业
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
第三章
1 研究方程 dx
的解存在区间
dy
1 y 满足条件 y ( 0 ) 1,
. 这样我们已把方程
一段 .
*
上有定义的唯一解 学
( 3 . 1) 满足 ( 2 )的解
( x ), 在定义区间向右延长了
即方程 ( 3 . 1) 满足 ( 2 )的解 y ( x ) 为解 y ( x ) 在定义 ,
区间 x x 0 h 0的向右方延拓

依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。
提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展；
政府及各阶层人士的提倡与推动。
[串点成面· 握全局]
因此, 求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样. 易验证, 此参数曲线恰为通解的包络 结果: Clairaut方程
dy dy y x f dx dx
此直线族的包络
的通解
y cx f( c )是一直线族,
或
x f '(p) 0 y xp f (p)
x f '(c) 0 y xc f (c)
是Clairaut方程的奇积分曲线, 所对应的解是奇解.
例4: 解:
求解方程
1 y xy' . y'
其中
这是Clairaut方程,
因而它有通解: 因为
f (c) , 所以 c 1 x 2 0 从 c 1 y cx c
注:
p 判别曲线是否为方程的 奇解 , 尚需进一步 .
例3:
解:
dy 2 求微分方程 y 10 dx p2 y2 1 0, 从 2p 0.
消去p(实际上p=0), 得到p-判别曲线 即
2
的奇解.
y 2 1,
y 1.
y sin( x c ), c 为任常数
现在l 上任取一个固定点M, 则M在某一条曲线 l c 上. 由于
l与 l c
在M点有相同的切线, 而
l 与 lc

2021/3/10
11
谢谢观看
2021/3/10
12
常微分方程常见形式及解法
2021/3/10
知行1301 13275001
毕文彬
1
微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系 的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在 初等数学的代数方程，其解是常数值。 常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知数是单一 自变数的函数。最简单的常微分方程，未知数是一个 实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函 数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成 的系统。微分方程的表达通式是：
非齐次一阶常系数线性微分方程：
齐次二阶线性微分方程：
描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程：
非齐次一阶非线性微分方程：
描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程：
3
2021/3/10
微分方程的解
微分方程的解通常是一个函数表达式（含一 个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如 ： dy/dx=sinx， 的解是 y=-cosx+C， 其中C是待定常数； 例如，如果知道 y=f(π)=2， 则可推出 C=1， 而可知 y=-cosx+1，
4
简易微分方程的求解方法
01
一阶线性常微分方程
02
二阶常系数齐次常微分方程
2021/3/10
5
01 一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常 数变易法： 对于方程：
可知其通解：
然后将这个通解代回到原式中，即可求出 C(x)的值
2021/3/10
6
02 二阶常系数齐次常微分方程
对于二阶常系数齐次常微分方程，常 用方法是求出其特征方程的解 对于方程： 可知其通解： 其特征方程： 根据其特征方程，判断根的分布情况 ，然后得到方程的通解 一般的通解形式为(在r1=r2的情况下):

若求得(10)的通解形式为
( y, p, c) 0
则得(9)的参数形式的通解为
x f ( y, p ) ( y, p, c) 0
其中p是参数, c是任意常数 .
dy 3 dy y 0. 例3 求解方程 ( ) 2 x dx dx
dy 3 y( ) dx 解: 方程变形为: x dy 2 dx y p3 dy , ( p 0). 设p , 代入方程得 : x dx 2p dx 1 上式两边对y求导, 并以 代入, 得 dy p 2 dp 3 dp p(1 3 p ) (y p ) 1 dy dy , 2 p 2p
x sin t.
p tan t , x sin t
由于
dy pdx tan t cos tdt sin tdt,
y sin tdt cost c
积分得
故原方程参数形式的通解为

x sin t y cos t c
可以消去参数, 得通解为 t
由于
dy dx p

cos t
1 dt 2 sin t
积分得
1 x 2 dt cot t c, sin t
故原方程参数形式的通解为

'
x cot t c,
1 y , sin t
2
当y 0时, 代入原方程得 y 1,
故知y 1也是原方程的解 。
其中p是参数, c是任意常数 .
数 附注1: 在参数形式通解中的参 p, 通常用t来替代, 一方面这是习惯所至另方面, 这也表明在通解中的 , dy p只起参数作用而不再表示 y '了. , dx , 附注2: 在求得通解后比如p ( x, c),不应把能解 dy dy 中的p看成 ,即 ( x, c),并进而两边关于 积 x dx dx 分, 得到y ( x, c)dx c1.我们可这样去理解因为 ,

量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现
在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果
考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程
(1.1)可化为
d2x dt 2

g
(1.2)
将上式对t积分两次得
x(mt)xk12xgt2mgc1t c2
(1.3) (1.1)
ppt课件
11
一般说来，微分方程就是联系自变量、 未知函数以及未知函数的某些导数之间的关 系式. 如果其中的未知函数只是一个自变量 的函数，则称为常微分方程；如果未知函数 是两个或两个以上自变量的函数，并且在方 程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 本书 所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分 方程或方程.
这样，从定义1.1可以直接验证：
F(x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
ppt课件
14
n 阶隐式方程的一般形式为
常微分方程
ppt课件
1
常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航 天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都 可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、 万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗
ppt课件
2
传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等，对这些 规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究.

例
思2 一阶微分方程
8.2.3 一阶线性微分方程
形如 y′+p（x）y=Q（x） （8-3） 的方程称为一阶线性微分方程，其中p（x）和Q（x）是已知连续函数.
注意:所谓线性是指其中对未知函数y和y′都是一次的.
当Q（x）≡0时，有y′+p（x）y=0（8-4）
注意:在求解非齐次方程时，可以用常数变易法求解， 也可以直接由式（8-7）求解.
8.2 一阶微分方程
例 例8-9】求解方程(dy)/(dx)-ycotx=xsinx.
解 方法一 常数变易法.首先对齐次线性方程 (dy)/(dx)-ycotx=0 分离变量，得(dy)/y=cotxdx 积分，得ln｜y｜=ln｜sinx｜+C1, 因此，齐次方程的通解为y=Csinx（C=±eC1） 将上式中的C变易为C（x），再把y=C（x）sinx代 入原方程，得C′（x）sinx+C（x）cosx-C（x） sinxcotx=xsinx,即C′（x）=x 因此C（x）=(1/2)x2+C 于是原方程的通解为 y=C（x）sinx=（(1/2)x2+C）sinx
8.2 一阶微分方程
微分方程研究的主要问题就是如何求解，但并不是所有的微分方程都能用初等积分的方 法求出.因此，我们不能奢求能够解出所有的微分方程，但是对于某些特殊类型的方程， 是可以用初等积分的方法求解的.
8.2.1 可分离变量的微分方程 在一阶方程中，如果可以将含有未知函数y的式子及dy与含有自变量x的式子及dx分开至 方程两边，然后就可以分别对y和x积分求解. 形如 (dy)/(dx)=f（x）g（y）［g（y）≠0］ （8-1） 的方程称为可分离变量的微分方程. 对式（8-1），可以将关于y和x的式子分开，得(dy)/g（y）=f（x）dx 然后两边积分得∫(dy)/g（y）=∫f（x）dx+C

使用龙格-库塔公式计算 下一个时间点的数值解的 近似值。
根据选择的步长，确定当 前时刻的数值解的近似值 。
重复上述步骤，直到达到 所需的时间积分区间终止 点。
龙格-库塔方法的误差分析
误差主要来源于时间步长 的离散化，步长越小，误 差越小。
龙格-库塔方法的收敛性 和稳定性取决于所选步长 和步数。
ABCD
机械工程
在机械工程中，机构的动力学行为可以用常微分方程来描 述，如机器人的运动轨迹、机械臂的姿态等，通过数值解 法可以模拟这些机构的运动。
在金融问题中的应用
股票价格模拟
股票价格的变化可以用常微分方程来描述，通过数值解法可以模 拟股票价格的走势，预测未来的股票价格。
期货价格模拟
期货价格的变化也可以用常微分方程来描述，通过数值解法可以 模拟期货价格的走势，预测未来的期货价格。
可以通过增加步数来减小 误差，但会增加计算量。
在实际应用中，需要根据 具体问题选择合适的步长 和步数，以达到精度和计 算效率的平衡。
05
数值解法的应用
在物理问题中的应用
计算物体运动轨迹
通过数值解法求解常微分方程，可以模拟物体的运动轨迹，如行星 运动轨迹、炮弹弹道等。
模拟振动系统
在物理中，许多系统可以用常微分方程来描述，如弹簧振荡器、电 磁振荡器等，通过数值解法可以模拟这些系统的振动行为。
终止条件
当达到预设的精度或迭代次数时，停止迭代并输出结果。
欧拉方法的误差分析
截断误差
由于欧拉方法使用离散化近似 ，因此存在截断误差。这种误 差的大小取决于步长$h$的选
择。
稳定性
欧拉方法对于某些微分方程可 能是不稳定的，这意味着随着 迭代的进行，解可能会发散或

dx n
4、线性和非线性
定义：如果微分方程中，未知函数和出现的各阶导数而 言是一次有理整式，则此微分方程称为线性微分方程， 否则称为非线性微分方程. 参见上述各例.
一般地，n阶线性微分方程为
d d nn yx a 1 (x )d d n n 1 y 1 x a n(x )yf(x ) (1 .1)3
的方向场，又称向量场.
Ｄ
等斜线
在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线（等倾斜线）.
例２ 实例分析（方向场）
讨论微分方程
dy 1 xy dx
等斜线是双曲线：1xyk
积分曲线的分布概况如左图.
等斜线
注释：原方程的解为
1x2
1x2
ye2 ( e 2 dxc)
积分曲线：图中实线
拐点 所在 的曲 线
因此，微分方程是一门与实际联系比较密切的数学课程，应 该注意它的实际背景与应用；而作为一门数学基础课程，又应该 把重点放在应用数学方法研究微分方程本身的问题上.
返回
第二节 微分方程的基本概念
1、微分方程
定义：把包含未知函数导数的方程叫做 微分方程.例
如方程（1.1）.
定义的注:联系自变量、未知函数及它的导数(或微 分)的关系式,数学上称为微分方程.
例如数学分析中的隐函数问题，就是在一定条件下， 由方程
F(x, y)0 (*)
来确定隐函数，上述方程（*）是众所周知的隐函数方 程，它是函数方程中最简单的一种。而隐函数是所要求 的未知函数。
在数学分析中，不定积分问题 F(x)f(x)dx，实际上是
微分的逆运算问题，也可以用函数的概念叙述如下：
设 f(x) 是自变量为 x 的已知连续函数，试求函数 y=y(x) 满足 下列方程：