高考数学专题10.1随机时间与概率原卷版

专题11.4 随机事件的概率与古典概型1．（2021·全国·高一课时练习）某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，3次中9环，4次中8环，1次未中靶，则此人中靶的频率是（ ） A ．0.2 B ．0.4 C ．0.5 D ．0.9【答案】D 【分析】直接利用频率的公式求解. 【详解】由题得这个人中靶的次数为2+3+4=9， 所以此人中靶的频率是90.910=. 故选：D2．（2021·全国·高一课时练习）已知A 与B 是互斥事件，且()0.3P A =，()0.1P B =，则()P A B +等于（ ） A ．0.1 B ．0.3C ．0.4D ．0.8【答案】D 【分析】根据互斥事件概率的加法关系即可求解． 【详解】由题：A ，B 是互斥事件, 所以()()()P A B P A P B +=+， 且()()110.30.7P A P A =-=-=，, 则()()()0.8P A B P A P B ++==． 故选：D3.（2019·全国高考真题（文））两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D 【解析】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排练基础法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12．故选D ．4．（2021·广东顺德·高二期中）某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命中率为（ ） A ．72% B ．74%C ．75%D ．76%【答案】B 【分析】根据题意可直接计算. 【详解】该同学这两场投篮的命中率为2080%3070%74%2030⨯+⨯=+.故选：B.5．（2021·广东·佛山市南海区九江中学高二月考）甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是（ ） A ．0.2 B ．0.3C ．0.5D ．0.8【答案】B 【分析】甲不输分为甲胜乙和甲乙下成平局两种情况，其中甲胜乙和甲乙下成平局是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式进行求解即可. 【详解】甲不输棋的设为事件A ，甲胜乙设为事件B ，甲乙下成平局设为事件C ，则事件A 是事件B 与事件C 的和，显然B 、C 互斥，所以()()()P A P B P C =+，而()0.8P A =，()0.5P C =，所以()()()0.3P B P A P C =-=，所以甲胜的概率是0.3故选:B6.【多选题】（2021·广东·仲元中学高二开学考试）下列说法错误的是（ ） A ．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B ．某种福利彩票的中奖概率为11000，买1000张这种彩票一定能中奖 C ．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为49100D ．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 【答案】BCD 【分析】根据概率的定义和生活中的概率判断各选项的对错.由频率和概率的关系可知随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，A正确，某种福利彩票的中奖概率为11000，买1000张这种彩票不一定能中奖，B错误，掷一枚硬币出现反面的概率为12，C错误，某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是明天有70%的可能会降水，D错误，故选：BCD.7．（2021·全国·高一课时练习）从某自动包装机包装的食品中，随机抽取20袋，测得各袋的质量（单位：g）分别为：492，496，494，495，498，497，503，506，508，507，497，501，502，504，496，492，496，500，501，499.根据抽测结果估计该自动包装机包装的袋装食品质量在497.5～501.5 g之间的概率为_______.【答案】0.25【分析】找到质量在497.5～501.5 g之间的袋数由频率可得答案.【详解】质量在497.5～501.5 g之间的有498，501，500，501，499共5袋，所以其频率为520＝0.25，由此我们可以估计质量在497.5～501.5 g之间的概率为0.25.故答案为：0.25.8．（2021·全国·高一课时练习）从一批乒乓球产品中任取一个，若其质量小于2.45g的概率为0.22，质量不小于2.50g的概率为0.20，则质量在2.45~2.50g范围内的概率为___________.【答案】0.5829 50【分析】利用概率的性质计算出所求概率.【详解】依题意质量在2.45~2.50g范围内的概率为10.220.20.58--=.故答案为：0.589．（2021·全国·高一课时练习）操作1：将1000粒黑芝麻与1000粒白芝麻放入一个容器中，并搅拌均匀，再用小杯从容器中取出一杯芝麻，计算黑芝麻的频率.操作2：将1500粒黑芝麻与500粒白芝麻放入一个容器中，并搅拌均匀，再用小杯从容器中取出一杯芝麻，计算黑芝麻的频率.通过两次操作，你是否有所发现？若有一袋芝麻，由黑、白两种芝麻混合而成，你用什么方法估计其中黑芝麻所占的百分比？【答案】答案见解析利用频率估计概率的思想可得出结论. 【详解】通过两次操作，我们会有所发现，比如： 操作1中，黑芝麻的频率为10001100010002=+，操作2中，黑芝麻的频率为1500315005004=+，在搅拌均匀的前提下，由此可想到可将这袋芝麻搅拌均匀后从中取出一杯， 将此杯中黑芝麻的频率作为黑芝麻所占的百分比的估计.10.（2021·北京丰台·高二期中）从两个黑球（记为1B 和2B ）、两个红球（记为1R 和2R ）从中有放回地任意抽取两球．（1）用集合的形式写出试验的样本空间； （2）求抽到的两个球都是黑球的概率． 【答案】 （1）答案见解析 （2）14【分析】（1）根据题意，列出样本空间所有可能的情况即可；（2）列出抽到两个球都是黑球的所有可能情况，利用古典概型的概率公式计算即可 （1）试验的样本空间1112111221222122={(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),B B B B B R B R B B B B B R B R Ω 1112111221222122(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}R B R B R R R R R B R B R R R R ；（2）设事件=A “抽到两个黑球”，则对于有放回简单随机抽样， 11122122{(,),(,),(,),(,)}A B B B B B B B B =．因为样本空间Ω中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型． 因此(A)41P(A)()164n n ===Ω． 所以抽到的两个球都是黑球的概率为14练提升1．（2021·北京丰台·高二期中）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中3个红球，1个黄球，从中随机抽取2个球，则抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的概率是（ ） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】B 【分析】分别求出从有4个大小质地完全相同的球的袋子中随机抽取2个球和抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的基本事件的个数，再根据古典概型公式即可得解. 【详解】解：从有4个大小质地完全相同的球的袋子中随机抽取2个球有246C =种情况，抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球有11313C C ⋅=，所以抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的概率是3162=.故选：B.2．（2021·北京市第八中学怡海分校高二期中）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“只有一次中靶”互斥而不对立的是（ ） A ．至少一次中靶 B ．至多一次中靶 C ．至多两次中靶 D ．两次都中靶【答案】D 【分析】事件A 和B 互斥而不对立所需要的条件是()p A B =∅且()1p A B ≠，一一验证A 、B 、C 、D 四个选项，选出答案. 【详解】设“只有一次中靶”为事件A设“至少一次中靶”为事件B ，则事件B 包含：“有一次中靶”和“有两次中靶”两种情况，，显然()p A B ≠∅，不互斥，A 选项错误；设“至多一次中靶”为事件C ，则事件C 包含事件：“有一次中靶”和“有零次中靶”，显然()p A C ≠∅，不互斥，B 选项错误；设“至多两次中靶”为事件D ，则事件D 包含事件：“有两次中靶”，“有一次中靶”和“有零次中靶”，显然()p A D ≠∅，不互斥，C 选项错误；设“两次都中靶”为事件E ，则()p A E =∅，()1p A E ⋃≠，满足互斥而不对立所需要的条件，故选项D 正确. 故选：D3．（2021·全国·高三月考（文））2019年版高中数学人教A 版教材一共有5本.分别是《必修第一册》《必修第二册》《选择性必修第一册》《选择性必修第二册》《选择性必修第三册》，在一次数学新教材培训会议上，主持人刚好带了全套5本新教材，现从中随机抽出了3本送给在场的培训学员，则恰有1本选择性必修的新教材被抽到的概率为（ ） A ．35B ．310 C ．13D ．15【答案】B 【分析】应用组合数计算随机抽出了3本恰有1本选择性必修的新教材的抽取方法，再应用古典概型的概率求法求出概率即可. 【详解】由题设，随机抽出了3本恰有1本选择性必修的新教材的概率为212335310C C C =.故选：B4．（2021·广西南宁·高三月考（文））哥尼斯堡“七桥问题”是著名的古典数学问题，它描述的是:在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图1).问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?瑞士数学家欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把该问题归结为如图2所示的“一笔画”问题，并证明了上述走法是不可能的.假设在图2所示七条线中随机选取两条不同的线，则这两条线都与A 直接相连的概率为（ ）A ．27B ．37C ．12D ．1021【答案】D 【分析】结合古典概型公式和组合公式直接求解. 【详解】由题可知，若从7条线路中选2条，则有2721C =种方法，若选出的两条线都与A 相连，则共有2510C =种方法，则这两条线都与A 直接相连的概率为252101021C P C ==.故选：D5．（2021·广东·广州市协和中学高二期中）在某次围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛.比赛取三局二胜制，即先胜两局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为13，且各局比赛的胜负互不影响，在甲已经先胜一局的情况下，甲获得冠军的概率为（）A．49B．59C．527D．23【答案】B【分析】甲获得冠军有两种情况, 第一种情况：第二局甲获胜获得得比赛冠军, 第二种情况：第二局甲输，第三局甲获胜获胜得比赛冠军，求出两种情况下的概率，相加即可.【详解】在甲已经先胜一局的情况下，甲获得冠军有两种情况，第一种情况：第二局甲获胜获得得比赛冠军，11 3P=第二种情况：第二局甲输，第三局甲获胜获胜得比赛冠军1212 339P=⨯=，故甲获得冠军的概率为125 399 +=.故选：B.6.（2021·广东·仲元中学高一期末）数学多选题A，B，C，D四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得5分，部分选对的得2分.有选错的得0分.已知某道数学多选题正确答案为BCD，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了1个，或2个，或3个选项，则他能得分的概率为（）A．12B．716C．25D．25【答案】A【分析】利用组合数求得随机地填涂了1个或2个或3个选项，每种可能性都是相同的，然后列举计数能得分的涂法种数，求得所求概率.【详解】解：随机地填涂了1个或2个或3个选项，共有12344414C C C++=种涂法，能得分的涂法为（BCD），（BC），（BD），（CD），B，C，D，共7种，故他能得分的概率为71 142=．故选：A.7.（2021·上海市松江二中高二月考）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为___________． 【答案】23【分析】首先排好4个1,，即可产生5个空，再利用插空法求出2个0相邻与2个0不相邻的排法，再利用古典概型的概率公式计算可得； 【详解】解：将4个1和2个0随机排成一行，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1021053=+ 故答案为：238．（2021·北京市第八中学怡海分校高二期中）1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋子中依次不放回地摸出2个球.（1）写出试验的样本空间；（2）求摸出的2个球颜色相同的概率. 【答案】（1）{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)} （2）13【分析】（1）列举法把所有情况写出来，用集合表示，就是试验的样本空间；（2）有古典概率的公式进行计算 （1）试验的样本空间为：{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),Ω=(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}（2）设事件A =“摸出的两个球的颜色相同” 所以{}(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)A =， ()4n A =，()12n Ω=所以()41()()123n A P A n ===Ω 9．（2021·浙江·台州市路桥区东方理想学校高二月考）从编号为A 、B 、C 、D 的4名男生和编号为m、n的2名女生中任选3人参加演讲比赛．（1）把选中3人的所有可能情况一一列举出来；（2）求所选3人中恰有一名女生的概率；（3）求所选3人中至少有一名女生的概率【答案】（1）答案见解析（2）3 5（3）4 5【分析】（1）列举法写出基本事件；（2）结合古典概型概率公式即可求出结果；（3）结合古典概型概率公式即可求出结果.（1）设4名男生分别为A，B，C，D，两名女生分别为m，n，则从6名学生中任3人的所有情况有：ABC，ABD，ABm，ABn，ACD，ACm，ACn，ADm，ADn，Amn，BCD，BCm，BCn，BDm，BDn，Bmn，CDm，CDn，Cmn，Dmn，共20种，（2）由（1）可知共有20种情况，其中所选3人中恰有一名女生的有12种，所以所求概率为123 205，（3）由（1）可知共有20种情况，所选3人中至少有一名女生的有16种，所以所求概率为164 20510．（2021·陕西·西安中学高二月考（理））福州某中学高一（10）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照性别分层抽样的方法组建了一个由4人组成的课外学习兴趣小组.（1）求课外兴趣小组中男､女同学的人数；（2）经过一个月的学习､讨论，这个兴趣小组决定从该组内选出2名同学分别做某项试验，求选出的2名同学中恰有1名女同学的概率；（3）试验结束后，同学A得到的试验数据为68，70，71，72，74；同学B得到的试验数据为69，70，70，72，74；请问哪位同学的试验更稳定？并说明理由.【答案】（1）男､女同学的人数分别为3，1（2）12（3）B同学的实验更稳定，理由见解析【分析】（1）按照分层抽样的按比例抽取的方法，男女生抽取的比例是45：15，4人中的男女抽取比例也是45：15，从而解决；（2）先算出选出的两名同学的基本事件数，再算出恰有一名女同学事件数，两者比值即为所求概率；（3）欲问哪位同学的试验更稳定，只要算出他们各自的方差比较大小即可.（1）解：因为每个同学被抽到的概率为416015P==，课外兴趣小组中男、女同学的人数分别为3，1；（2）解：把3名男同学和1名女同学记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b），（a2，b），（a3，b），共6种，其中有一名女同学的有3种，所以，选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为131 62P==；（3）解：16870717274715x++++==，26970707274715x++++==，∴2222221(6871)(7071)(7171)(7271)(7471)45s-+-+-+-+-==，222222(6971)2(7071)(7271)(7471)3.25s-+⨯-+-+-==，∴B同学的实验更稳定.1．（2021·山东·高考真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率是（）A．29B．23C．14D．12【答案】D【分析】应用古典概型的概率求法，求甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率即可.练真题【详解】甲、乙两位同窗选取景点的种数为224⨯=，其中甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的种数为2，∴甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率为2142=． 故选：D2．（2020·海南省高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A ．62% B ．56% C ．46% D ．42% 【答案】C 【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅， 则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-= 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%. 故选：C.3．（2020·全国高考真题（文））设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ） A ．15B ．25 C ．12D ．45【答案】A 【解析】如图，从O A B C D ,,,,5个点中任取3个有{,,},{,,},{,,},{,,}O A B O A C O A D O B C {,,},{,,},{,,},{,,}O B D O C D A B C A B D {,,},{,,}A C D B C D 共10种不同取法，3点共线只有{,,}A O C 与{,,}B O D 共2种情况， 由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为21105=. 故选：A4.（2019·江苏高考真题）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____. 【答案】710. 【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有2510C =种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有11326C C =种情况， 若选出的2名学生都是女生，有221C =种情况，所以所求的概率为6171010+=. 5.（2020·江苏省高考真题）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】19【解析】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==. 故答案为：19. 6．（2017·山东高考真题（文））某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，求这两个国家包括A 1，但不包括B 1的概率． 【答案】（1）15P = ；（2）29P =【解析】（Ⅰ）由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}121323111213212223313233,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A AB A B A B A B A B A B A B A B A B {}{}{}121323,,,,,B B B B B B ，共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{}{}{}121323,,,,,A A A A A A ,共3个，则所求事件的概率为：31155P ==. （Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}111213212223313233,,{,},,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B ，共9个，包含1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有：{}{}1213,,,A B A B ，共2个， 所以所求事件的概率为：29P =.。

10.1.1 有限样本空间与随机事件课后训练巩固提升1.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组,某学生只选报其中的2个,则试验的样本空间包含的样本点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个Ω={(数学,计算机),(数学,航空模型),(计算机,航空模型)},共3个样本点.2.任意说出星期一到星期日中的两天(不重复),记事件A:恰有一天是星期六,则事件A包含的样本点个数是()A.3B.4C.5D.6{(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,7)},共有6个样本点.3.从1,2,3,4,5这5个数字中,一次性任取两个数,则试验的样本空间包含的样本点总数为()A.5B.10C.20D.8,所以两个数不能重复,且无顺序,即(1,2)与(2,1)表示同一个样本点.因此样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共10个样本点.故选B.4.抛掷两枚骰子一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X,则“X≥5”表示的样本点是()A.第一枚6点,第二枚2点B.第一枚5点,第二枚1点C.第一枚1点,第二枚6点D.第一枚6点,第二枚1点,分别用x1,x2表示第一枚骰子和第二枚骰子出现的点数,则x1,x2=1,2,3,4,5,6.由题意知x1-x2=5,所以x1=6,x2=1,即“X≥5”表示的样本点是第一枚6点,第二枚1点.5.某班数学建模课分成5个小组(编号为1,2,3,4,5),采用合作学习的方式进行,课堂上教师会随机选择一个小组的成果进行展示,则这一试验的样本空间为.,试验的基本结果有1,2,3,4,5,所以样本空间Ω={1,2,3,4,5}.6.从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球,则事件A=“恰好取得红球”包含的样本点个数为.{(红,白),(红,黑)},包含2个样本点.7.有3个兴趣小组,甲、乙两名同学各自参加其中一个小组,则样本空间包含的样本点个数为.1,2,3,用(1,2)表示甲参加第1个兴趣小组,乙参加第2个兴趣小组,则样本空间为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)},共9个样本点.8.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:从3月1日至3月5日中任选2天,记发芽的种子数分别为m,n.(1)用(m,n)的形式写出试验的样本空间;(2)用集合表示事件A:m,n∈[25,30].因为m,n的取值为23,25,30,26,16,且m≠n,所以样本空间Ω={(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16)}.(2)因为在[25,30]中的数有25,26,30,所以A={(25,26),(25,30),(26,30)}.9.某人从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,无放回地取两个小球,每次取一个,观察取出的球的标号.(1)写出试验的样本空间;(2)用集合表示下列事件:A=“第一次取出的小球上的标号为2”;B=“取出的两球标号之和为4”;C=“取出的两球标号之和不小于4”.用(x1,x2)表示第一次取出x1号球,第二次取出x2号球,则x1,x2=1,2,3,4,且x1≠x2,那么试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.(2)“第一次取出的小球上的标号为2”,即x1=2,所以A={(2,1),(2,3),(2,4)}.“取出的两球标号之和为4”,即x1+x2=4,所以B={(1,3),(3,1)}.“取出的两球标号之和不小于4”,即x1+x2≥4,所以C={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.1.先后抛掷一枚硬币3次,观察落地时哪一面朝上,则试验的样本空间包含的样本点个数为()A.3B.8C.6D.102种结果,第二、三次硬币也有2种结果,所以共有8种结果,即样本空间包含8个样本点.2.掷一对不同颜色的质地均匀的骰子,观察向上的点数,则事件A=“点数之和大于8”用集合表示为()A.{8,9,10,11,12}B.{9,10,11,12}C.{(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}D.{(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5)}1,2,3,4,5,6,所以掷一对不同颜色的均匀骰子,用(x,y)表示样本点,则x,y=1,2,3,4,5,6,点数之和如图所示,坐标平面内的数表示一对不同颜色的均匀骰子抛掷后出现的点数的和,样本点与所描点一一对应,样本空间共包含36个样本点.则事件A={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.3.若甲、乙、丙3人各投一次篮,用1表示投篮命中,用0表示投篮未命中,则事件A=“恰有两人命中”的集合表示是()A.{(1,1)}B.{(1,1,0)}C.{(1,1,0),(1,0,1)}D.{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}3种情况:甲、乙命中丙未命中;甲、丙命中乙未命中;乙、丙命中甲未命中.所以A={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.4.甲、乙两同学做一次猜拳游戏(石头、剪子、布),并注意所有可能的结果,则这个试验的样本空间包含的样本点个数为.Ω={(石头,石头),(石头,剪子),(石头,布),(剪子,石头),(剪子,剪子),(剪子,布),(布,石头),(布,剪子),(布,布)},共有9个样本点.5.先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为x ,y ,则事件A :“log 2x y=1”的集合表示是.log 2x y=1,得2x=y ,x ∈{1,2,3,4,5,6},y ∈{1,2,3,4,5,6}.∴{x =1,y =2,{x =2,y =4,{x =3,y =6. ∴A={(1,2),(2,4),(3,6)}.6.从分别写有1,2,3,4,5的5X 卡片中随机抽取1X,放回后再随机抽取1X,则事件A=“抽得的第一X 卡片上的数大于第二X 卡片上的数”的样本点个数为.,表中每组数据中的第一个数表示第一次取到的数,第二个数表示第二次取到的数.则事件A={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},共有10个样本点.7.甲、乙、丙三人坐在一排三个位置上,观察甲、乙两人的位置情况.(1)写出这个试验的样本空间;(2)用集合表示下列事件:A=“甲、乙相邻”;B=“甲在乙的左边”(不一定相邻).从左到右记这三个位置为1,2,3,i表示“坐的座号是i”,则这个试验的样本空间是Ω={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},其中第1个数表示甲坐的位置号,第2个数表示乙坐的位置号.(2)事件A=“甲、乙相邻”包含4个样本点,所以A={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}.事件B=“甲在乙的左边”包含3个样本点,所以B={(1,2),(1,3),(2,3)}.8.设集合M={1,2,3,4},a∈M,b∈M,(a,b)是一个样本点.(1)写出试验的样本空间;(2)用集合表示下列事件:A=“a+b=5”;B=“a<3,且b>1”;C=“ab=4”.这个试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}. (2)A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}.B={(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)}.C={(1,4),(2,2),(4,1)}.。

第十章概率10．1随机事件与概率10．1.2事件的关系和运算|提能达标过关|1．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则()A．A⊆BB．A＝BC．A∪B表示向上的点数是1或2或3D．AB表示向上的点数是1或2或3解析：选C由题意可知A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A∪B表示向上的点数是1或2或3，故选C.2．(2020·湖北武汉一中月考)打靶3次，事件A i＝“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示()A．全部击中B．至少击中1发C．至少击中2发D．全部未击中解析：选B A1∪A2∪A3表示的是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发，故选B.3．有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是()A．至少有1件次品与至多有1件正品B．至少有1件次品与2件都是正品C．至少有1件次品与至少有1件正品D．恰有1件次品与2件都是正品解析：选D A项中至少有1件次品与至多有1件正品是同一事件，不是互斥事件，它们都包括了“1件正品，1件次品”和“2件都是次品”的情况，故不满足条件．B项中至少有1件次品与2件都是正品是对立事件，故不满足条件．C 项中至少有1件次品与至少有1件正品不是互斥事件，它们都包括了“1件正品，1件次品”的情况，故不满足条件．D项中恰有1件次品与2件都是正品是互斥事件，但不是对立事件．因为除此之外还有“2件都是次品”的情况，故满足条件．故选D.4．(2019·江西新余一中期中考试)在一次随机试验中，A，B，C，D是彼此互斥的事件，且A＋B＋C＋D是必然事件，则下列说法正确的是()A.A＋B与C是互斥事件，也是对立事件B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件解析：选D由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是必然事件，故其事件的关系如图所示．由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立事件，故只有D中的说法正确．5．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两弹都击中飞机”，B＝“两弹都没击中飞机”，C＝“恰有一弹击中飞机”，D＝“至少有一弹击中飞机”，下列说法不正确的是()A．A D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D解析：选D由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机，只有一弹击中飞机，故有A D，故A正确；由于事件B，D是互斥事件，故B∩D＝∅，故B正确；由A∪C＝D成立可得C正确；A∪C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件，而B∪D为必然事件，故D不正确．故选D.6．某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次不中靶”的对立事件是________．解析：事件“至少有1次不中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中靶”，其对立事件是“2次都中靶”．答案：2次都中靶7．(一题两空)在随机抛掷一颗骰子的试验中，事件A＝“出现不大于4的偶数点”，事件B＝“出现小于6的点数”，则事件A∪B的含义为________，事件A∩B的含义为________．解析：易知B＝“出现6点”，则A∪B＝“出现2，4，6点”，A∩B ＝“出现2，4点”．答案：出现2，4，6点出现2，4点8．从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，给出如下四组事件：①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”；②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”；③“这张牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这张牌是方块”；④“这张牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”．其中互为对立事件的有________．(写出所有正确的编号)解析：从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”是互斥事件，但不是对立事件；②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”是互斥事件，也是对立事件；③“这张牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这张牌是方块”不是互斥事件，故更不会是对立事件；④“这张牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”是互斥事件，也是对立事件．故答案为②④.答案：②④9．从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A＝“抽到的是一等品”，事件B＝“抽到的是二等品”，事件C＝“抽到的是三等品”，用A，B，C表示下列事件：(1)事件D＝“抽到的是一等品或二等品”；(2)事件E＝“抽到的是二等品或三等品”．解：(1)D＝A∪B.(2)E＝B∪C.10．记某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环分别为事件A，B，C，D，指出下列事件的含义：(1)A∪B∪C；(2)B∩C；(3)B∪C∪D.解：(1)由题意可得，A∪B∪C＝射中10环或9环或8环．(2)C＝射中环数不是8环，则B∩C＝射中9环．(3)B∪C∪D＝射中9环或8环或7环，则B∪C∪D＝射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.建模探究提能(2020·福建福州一中期末考试)用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”．(1)写出试验的样本空间；(2)用集合的形式表示事件A，B，C，D；(3)事件B与事件C有什么关系？事件A和B的交事件与事件D有什么关系？并说明理由．解：(1)试验的样本空间Ω＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)，(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}．(2)A＝{(红，黄，蓝)}．B＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}C＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)}．D＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)}．(3)由(2)可知C⊆B，A∩B＝A，A与D互斥，所以事件B包含事件C，事件A和B的交事件与事件D互斥．。

专题10.1 两个原理与排列组合二项式定理（测试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 【2018四川德阳三校联考】从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A. 48B. 72C. 90D. 96【答案】D点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．2. 【2018广西柳州两校联考】在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，浙江大学1名，并且清华大学和北京大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A. 36种B. 24种C. 22种D. 20种【答案】B【解析】根据题意，分2种情况讨论：①、第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，共有32A A=12种推荐方法；32②、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余2个女生从剩下的2个大学中C A A=12种推荐方法；故共有12+12=24种推荐方法，故选：B．选，共有2223223. 7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（）A．120 B．240 C．360 D．480【答案】C【解析】试题分析：前排3人有4个空,从甲乙丙3人中选1人插入,有1143C C 种方法,对于后排,若插入的2人不相邻有25A 种,若相邻有1152C C 种,故共有1121143552()360C C A C C +=种,选C ．考点：1．排列组合问题；2．相邻问题和不相邻问题．4. 若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A ．90B ．45C ．120D ．180 【答案】D 【解析】考点：1、二项式展开式的系数；2、二项展开式的通项公式．5. 【2018河北衡水联考】若()62x y -的展开式中的二项式系数和为S ， 24x y 的系数为P ，则PS 为（ ） A. 152 B. 154C. 120D. 240【答案】B【解析】0166666264S C C C =+++==()44621615240P C =-=⨯=24015644P S == 故选B 6. 2321(2)x x+-展开式中的常数项为（ ） A ．-8 B ．-12 C ．-20 D ．20 【答案】C 【解析】试题分析：∵236211(2)()x x x x +-=-，∴6621661()(1)r rr r r r r T C x C x x--+=-=-， 令620r -=，即3r =，∴常数项为336(1)20C -=-.考点：二项式定理.7. 某人将英语单词“apple ”记错字母顺序，他可能犯的错误次数最多是(假定错误不重犯)( )A.60B.59C.58D.57 【答案】B 【解析】考点：排列组合及简单的计数问题8. 【2018黑龙江齐齐哈尔一模】由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（ ） A. 300 B. 338 C. 600 D. 768 【答案】D【解析】当1在首位时，6只有一种排法，7有四种排法，余下四数共有44A 中排法，共有441496A ⨯⨯=种；当1在个位时，同样共有96种；当1即不再首位也不在个位时，先把1和6排好，有224A ⨯种排法，再排7有3种排法，余下四数共有44A 中排法，共有24244A 3576A ⨯⨯⨯=种综上：共有192576+=768。

专题十计数原理10.1计数原理、排列与组合考点计数原理、排列与组合1.(2016四川理,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72答案D奇数的个数为C31A44=72.2.(2015四川理,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个答案B数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数,比40000大的偶数为以4开头与以5开头的数.其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾,有2A43=48个;同理,以5开头的有3A43=72个.于是共有48+72=120个,故选B.评析本题考查了分类与分步计数原理、排列数的知识.考查学生分析问题、解决问题的能力.3.(2014大纲全国理,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种答案C从6名男医生中选出2名有C62种选法,从5名女医生中选出1名有C51种选法,由分步乘法计数原理得不同的选法共有C62·C51=75种.故选C.4.(2014辽宁理,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24答案D先把三把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把三人带椅子插放在四个位置,共有A43=24种放法,故选D.评析本小题主要考查排列组合的应用及逻辑思维能力,解决不相邻问题常采用插空法.5.(2014四川理,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种答案B若最左端排甲,其他位置共有A55=120种排法;若最左端排乙,最右端共有4种排法,其余4个位置有A44=24种排法,所以共有120+4×24=216种排法.6.(2014重庆理,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168答案B先不考虑小品类节目是否相邻,保证歌舞类节目不相邻的排法共有A33·A43=144种,再剔除小品类节目相邻的情况,共有A33·A22·A22=24种,于是符合题意的排法共有144-24=120种.7.(2013山东理,10,5分)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279答案B由分步乘法计数原理知:用0,1,…,9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10=900,组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8=648,则组成有重复数字的三位数的个数为900-648=252,故选B.评析本题考查分步乘法计数原理,考查学生的推理运算能力.8.(2012课标理,2,5分)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种答案A2名教师各在1个小组,给其中1名教师选2名学生,有C42种选法,另2名学生分配给另1名教师,然后将2个小组安排到甲、乙两地,有A22种方案,故不同的安排方案共有C42A22=12种,选A.评析本题考查了排列组合的实际应用,考查了先分组再分配的方法.9.(2012辽宁理,5,5分)一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为()A.3×3!B.3×(3!)3C.(3!)4D.9!答案C第1步:3个家庭的全排列,方法数为3!;第2步:家庭内部3个人全排列,方法数为3!,共3个家庭,方法数为(3!)3,∴总数为(3!)×(3!)3=(3!)4,故选C.评析本题主要考查计数原理的基础知识,考查学生分析、解决问题的能力.10.(2012安徽理,10,5分)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为()A.1或3B.1或4C.2或3D.2或4答案D由题意及C62=15知只需少交换2次.记6位同学为A1、A2、A3、A4、A5、A6,不妨讨论①A1少交换2次,如A1未与A2、A3交换,则收到4份纪念品的同学仅为A2、A32人;②A1、A2各少交换1次,如A1与A3未交换,A2与A4未交换,则收到4份纪念品的同学有4人,为A1、A2、A3、A4.故选D.评析本题考查了计数原理等知识,考查学生应用数学知识,分类讨论思想,利用符号标记具体分析是顺利解题的关键.11.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{an }如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个答案C本题考查组合数和计数原理的应用,考查分类讨论的数学思想.当m=4时,数列{a n}共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k≤8,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,则必有a1=0,a8=1,a2可为0,也可为1.(1)当a2=0时,分以下3种情况:①若a3=0,则a4,a5,a6,a7中任意一个为0均可,则有C41=4种情况;②若a3=1,a4=0,则a5,a6,a7中任意一个为0均可,有C31=3种情况;③若a 3=1,a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有C21=2种情况;(2)当a2=1时,必有a3=0,分以下2种情况:①若a4=0,则a5,a6,a7中任一个为0均可,有C31=3种情况;②若a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有C21=2种情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14个,故选C.解后反思本题是“新定义”问题,理解“规范01数列”的定义是解题的关键,注意分类讨论时要不重不漏.12.(2020新高考Ⅰ,3,5分)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有() A.120种 B.90种 C.60种 D.30种答案C解题思路:第一步:安排甲场馆的志愿者,则甲场馆的安排方法有C61=6种,第二步:安排乙场馆的志愿者,则乙场馆的安排方法有C52=10种,第三步:安排丙场馆的志愿者,则丙场馆的安排方法有C33=1种.所以共有6×10×1=60种不同的安排方法.故选C(易错:注意分配到每个场馆的志愿者是不分顺序的,所以不用全排列).13.(2022新高考Ⅱ,5,5分,应用性)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有() A.12种 B.24种 C.36种 D.48种答案B丙和丁相邻共有A22·A44种站法,甲站在两端且丙和丁相邻共有C21·A22·A33种站法,所以甲不站在两端且丙和丁相邻共有A22·A44−C21·A22·A33=24种站法,故选B.14.(2021全国乙理,6,5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有() A.60种 B.120种 C.240种 D.480种答案C解题指导:先将5人分为4组,其中一组有2人,然后将4个项目进行排列,即可完成这件事情,进而得到结果.解析先将5人分为4组,其中一组有2人,另外三组各1人,共有C52=10种分法,然后将4个项目全排列,共有A44=24种排法,根据分步乘法计数原理得到不同的分配方案共有C52·A44=240种,故选C.易错警示本题容易出现将5人分为4组,共有分法C52·C31·C21=60种的错误结果.15.(2017天津理,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)答案1080解析本题主要考查计数原理及排列组合的应用.(1)有一个数字是偶数的四位数有C41C53A44=960个.(2)没有偶数的四位数有A54=120个.故这样的四位数一共有960+120=1080个.思路分析分两种情况:①有一个数字是偶数的四位数;②没有偶数的四位数.16.(2015广东理,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案1560解析∵同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,∴全班共写了40×39=1560条毕业留言.17.(2013北京理,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.答案96解析5张参观券分成4份,1份2张,另外3份各1张,且2张参观券连号,则有4种分法,把这4份参观券分给4人,则不同的分法种数是4A44=96.18.(2013大纲全国理,14,5分)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作答)答案480解析先将除甲、乙两人以外的4人排成一行,有A44=24种排法,再将甲、乙插入有A52=20种,所以6人排成一行,甲、乙不相邻的排法共有24×20=480种.19.(2013浙江理,14,4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).答案480解析从左往右看,若C排在第1位,共有排法A55=120种;若C排在第2位,共有排法A42·A33=72种;若C排在第3位,则A、B可排C的左侧或右侧,共有排法A22·A33+A32·A33=48种;若C排在第4,5,6位时,其排法数与排在第3,2,1位相同,故共有排法2×(120+72+48)=480种.20.(2011北京理,12,5分)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有个.(用数字作答)答案14解析解法一:数字2只出现一次的四位数有C41=4个;数字2出现两次的四位数有C42C22=6个;数字2出现三次的四位数有C43=4个.故总共有4+6+4=14个.解法二:由数字2,3组成的四位数共有24=16个,其中没有数字2的四位数只有1个,没有数字3的四位数也只有1个,故符合条件的四位数共有16-2=14个.评析本题考查排列组合的基础知识,考查分类讨论思想,解题关键是准确分类,并注意相同元素的排列数等于不同元素的组合数.属于中等难度题.。

2024年高考数学随机过程与时间序列分析历年真题Ⅰ.选择题（共15小题，每小题3分，共45分）从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项。

1. 设随机过程Xt如下：Xt为第t年的高考数学成绩（t为正整数），已知X1 = 90，且对于任意s ≤ t，Xt 与Xs 不相关。

则X4的期望值为A. 90B. 92.5C. 95D. 97.52. 已知时间序列Xt满足Xt+1 = 0.8Xt + Zt，其中Zt为均值为0，方差为1的正态随机变量。

若X0 = 2，求X2的数学期望。

A. 0B. 1C. 2D. 33. 时间序列{Xt} 列是平稳时间序列，其均值为3，自相关系数ρ(1) = 0.5，求期望µ。

A. 1.5C. 2.5D. 34. 随机过程Xt 为时间序列{Et} 的线性平滑，其中Et 为均值为0，方差为1的白噪声序列。

已知X0 = 1，X1 = 3，X2 = 2，则X3的期望为A. 2B. 2.5C. 3D. 3.55. 已知时间序列Xt 满足Xt = 0.5Xt-1 + 2 + Zt ，其中Zt 是均值为0，方差为1的正态随机变量序列。

若X1 = 3，求X4的条件数学期望。

A. 4B. 5C. 6D. 76. 时间序列{Xt}是一个二阶自回归序列，其期望为0，自相关系数ρ(1) = 0.7，ρ(2) = −0.5，求X2的方差。

A. 0B. 0.5D. 1.57. 随机过程Xt与时间序列{Et} 的滑动平均相关，其中Et 为白噪声序列，已知X1 = 3，X2 = 4，X3 = 5，X4 = 6，X5 = 7。

求X5对应的Et 值。

A. 1B. 2C. 3D. 48. 设Xt 是平稳时间序列{Et} 的滑动平均序列，其中Et 为白噪声序列。

已知X1 = 2，X2 = 4，X3 = 6。

求X5对应的Et 值。

A. 4B. 5C. 6D. 79. 时间序列{Xt}是一个AR(1)序列，其期望为3，自相关系数ρ(1) =0.8，已知X3 = 5，求X4的条件数学期望。

第十二章概率和统计一．基础题组1.【2014课标Ⅰ，理5】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（） A ．81 B ．83 C ．85 D ．87 2.【2013课标全国Ⅰ，理3】为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样3.【2011全国新课标，理4】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为() A ．13B ．12C ．23D ．344.【2012全国，理15】(某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为__________．5. 【2014课标Ⅰ，理18】从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,Nμσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数.利用（i ）的结果，求EX .附：15012.2≈ 若()2~,Z Nμσ则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=。