用字母表示数的历史

９——２４　数学教学　２０１１年第９期　

用字母表示数的历史　

２００２４１华东师范大学数学系汪晓勤华东师范大学数学系２００７级教育硕士樊校　

“用字母表示　’，这在今天学过代数的人看　

来乃是一件稀松平常的事情，当年，中国第一部　

符号代数教材《代数术》的翻译者李善兰（１８１１　

１８８２）和伟烈亚力（Ａ．Ｗｙｌｉｅ，１８０５￣１８８７）所　创“代数”一词，正是取“用字母代替效’之义．但　

是，如果我们追溯代数学的历史，就不能不感到　

惊讶：用字母表示数的历史竟是如此地漫长．美　

国数学家和数学史家Ｍ·克莱因在批判“新数运　动”时曾指出：“从古代埃及人和巴比伦人开始　

直到韦达和笛卡儿之前，没有一个数学家能意识　到字母可用来代表一类数”－ｌＪ＿本文对“用字母　

表示　’的历史作一考察，以供教学参考．　

在代数学发展的早期，人们完全用文字来表　

达一个代数问题的解法，如莱因得纸草书（约公　

元前１６５０年）第３１题：“一个量，加上它的鲁，它的　＿）　１　１　．．　１和它的　１，等于３３．求该量．”　其中的未知量　

直译出来是“一堆”，在象形文中用特殊的文字来　

表达．有理由相信，当时已有“用字母表示未知　数”的需求了．　

古代两河流域的代数学也属于修辞代数．大　英博物馆所藏古巴比伦时期泥版ＢＭ１３９０１上载　

有七个一元二次方程问题．其中第ｌ题为：“将正　

方形面积与边长相加，和为导，求边长．”解法如　

１　１　１　１　下：“置系数１，半之，得去；去自乘，得　．将寺与　厶　厶　Ｌ±　‘士　０　１　１　詈相加，得１；此为１的平方，从１中减去去，得去，　

即为正方形边长．　’第２题：“从正方形面积中减　去边长，得８７０，求边长．”解法如下：“置系数１，　半之，得　１；去自乘，得　．将　与８７０相加，得　‘±　‘士　１　１　１　１　８７０　；此为２９寺的平方．将２９去与去相加，得３０，　

即为正方形边长．”第７题为：“将正方形边长的　

７倍与面积的ｌ１倍相加，和为６寺，求边长．”解法　如下：“置７与１１；将６寺乘以１１，得６８￣．取７的　

一半，得３　，３　自乘，得１２　．将１２　与６８　相　

加，得８１；此为９的平方，从９中减去３去，得５击．　

儿的倒数无法求出．那么，１ｌ必须乘以几方可得　５去？是　１，此即正方形边长．”［。］这里，我们用十　

进制数来代替原文中的６０进制数．　

由于不知道用字母表示数，数列“通项”概念　

在修辞代数里是根本不存在的，所有数列求和　

的结果都只能是针对具体的若干项．塞流斯时　

期（约公元前３００年）泥版ＡＯ　６４８４上载有１—１０　的平方和，结果是１　＋２。＋３　＋…＋１０　＝　

Ｉ　１　Ｘ寺＋１０×考）Ｘ　５５．　

古代希腊、阿拉伯、犹太数学文献中的数列　

求和公式都是如此．　

在古希腊，毕达哥拉斯学派（公元前６世纪）　

研究了多边形数，该学派晚期数学家尼可麦丘　

（约公元１００年）在《算术引论》中列出【３Ｊ＝　

三角形数：１　３　６　１０　１５　２１　２８　３６　４５　５５…　正方形数：１　４　９　１６　２５　３６　４９　６４　８１　ｉ００…　五边形数：１　５　１２　２２　３５　５１　７０　９２　１１７　１４５···　六边形数：１　６　１５　２８　４５　６６　９１　１２０　１５３　１９０···　七边形数：１　７　１８　３４　５５　８１　１１２　１４８　１８９　２３５－··　

毕达哥拉斯学派的数学家能轻易说出一个　

具体的多边形数，却无法表达“任一三角形数”、　

“任一正方形效’、“任一五边形数”等的大小，更　

不能表达出“任意边形数”．　

，毕达哥拉斯学派将正整数分成奇数和偶数，　

又将偶数分为偶倍偶数、偶倍奇数和奇倍偶数　

三类．尼可麦丘是这样定义三类偶数的　

偶倍偶数：自身可二等分，而各部分也可二　２０１１年第９期　数学教学　９—２５　

等分，同样，所得各部分仍可二等分，直到不可再　分的单位为止．偶倍偶数依次为２，４，８，１６，３２，　

●●●●　偶倍奇数：自身为偶数，可二等分，但各部分　

不可再等分．偶倍奇数依次为６，１０，１４，１８，２２，　

●　奇倍偶数：自身为偶数，可二等分，而各部分　

也可二等分，有时，所得各部分仍可再等分，但不　

能分到单位．这些数包括：　３×４，３×８，３×１６，３×３２，…，　

５×４，５×８，５×１６，５×３２，…，　

７×４，７×８，７×１６，７×３２，…，　若能用字母　表示正整数，则三类偶数分别为形　

如２　、２（２ｎ＋１）和２　（２ｎ＋１）（他≥２）的正整数，　

一目了然．不会用字母表示数，尼可麦丘浪费了　

多少笔墨啊！　在《几何原本》中，欧几里得（公元前３世纪）　用线段来表示数，线段的名称倒是用了两个字　

母，偶然也用一个字母，但他同样不会用字母来　表达“任意多个”，不会用字母来表达奇数、偶数　

和其他数．同卷命题２１：“若将几个偶数相加，则　其和为偶数．”其证明如下【４Ｊ．　“设把几个偶数　Ｂ、Ｂ　、　Ｄ、ＤＥ相加，　

则可证其和　Ｅ为偶数．　因为，数　、Ｂ　、　Ｄ、ＤＥ的每一个都是偶数，则他们都可被二　

等分，这样，其和　也可二等分，但可以二等分　的数为偶数，所以ＡＥ为偶数．”　欧几里得只能用４个偶数来代替“几个偶　

数’’；只能揪住偶数的原始定义反复使用，只能用　冗长的几何语言来表达简明的等式２ｋｌ＋２ｋ２＋　

…·＋２ｋ　＝２（ｋｌ＋ｋ２＋…＋尼　）．　公元３世纪，被誉为古希腊代数学鼻祖的丢　

番图（Ｄｉｏｐｈａｎｔｕｓ）在其《算术》中首次用字母　“（”来表示未知数，这使得丢番图成为缩略代数　最早的作者．但丢番图并不知道用字母来表示任　

一个数．《算术》第１卷【２Ｊ第１题：“已知两数的　

和与差，求这两个数．”丢番图的解法是：“假设　和为ｉ００，差为４０，较小数为　，则较大数为４０＋　

Ｘ，则２　＋４０＝１００，故得　＝３０，而较大数为　７０．”同卷第７题：“从同一个数中分别减去两个　

已知数，使两差数之比等于给定比”丢番图的　解法是：“假设两个已知数分别为１００和２０，给定　比为３：１，所求数为Ｘ，则Ｘ一２０＝３（ｘ一１００），故　得Ｘ：１４０．”同卷第２７题：“已知两数的和与积，　

求这两个数．”丢番图的解法是：“假设和为２０，乘　

积为９６，２　为所求数之差，于是所求数为１０＋Ｘ　和１０一Ｘ．故得１００～Ｘ　＝９６，Ｘ＝２，从而得所　

求两数分别为１２和８．”　

这里，我们把丢番图的“　”改成了　．与古代　

巴比伦和埃及祭司、毕达哥拉斯、欧几里得、尼　可麦丘等相比，丢番图让代数学前进了一大步．　

但由于不知道用字母来表示任意一个数，丢番图　

只能用特殊的数来代替题中的已知数，用特殊的　

比来代替题中的已知比．　

印度数学家婆罗摩笈多（Ｂｒａｈｍａｇｕｐｔａ，５９８　６７０）及后来的婆什迦罗（Ｂｈｇｓｋａｒａ，１１１４—　

１１８５）等都用梵文颜色名的首音节来表示未知数，　如表１所示．于是，“ｙａ　１　ｒｕ　１”表示代数式Ｘ＋１；　

“ｙａ　１９７　ｃａ　１　６　４４　ｎｉ　１　ｒｕ　０”表示代数式１９７ｘ一　１６４４ｙ—　＋０，注意，古代印度人用数字上一点　

表示负号．婆什伽罗在其《代数》中还讨论了代　

数式的加、减、乘、除和乘方运算，如ｙａ　１　ｒｕ　１　

与ｙａ　２　ｒｕ　８相加，ｙａ　５　ｒｕ　１与ｙａ　３　ｒｕ　２相乘之　类，但婆什伽罗把代数式中的字母看作未知数，　

而不是一类数．至于方程，则用两个上下对齐的　多项式来表示．如　

“甲有３００金及６匹马，乙有同价的１０匹马，　

但欠债１００金．若甲乙二人财产相同，问马价几　何？’’［５］　

设马价为ｙａ　１，则得方程　ｙａ　６　ｒｕ　３００　ｙａ　１０　ｒｕ　１００　

此即６　＋３００＝１０ｘ—ｉ００．　表１印度数学家用字母表示数　

中文名　梵文音译名　首音节　表示的数　常数　Ｒｕｐａ　ｒＵ　常数项　多少　ｙｇｖａｔ—ｔ￣ｖａｔ　ｙａ　第一未知数　黑色　Ｃａｌａｃａ　Ｃａ　第二未知数　，　蓝色　Ｎｉｌａｃａ　ｎｌ　第三未知数　ｆ　黄色　Ｐｉｔａｃａ　Ｐ１　第四未知数　

白色　Ｐａｎｄｕ　ｐａ　第五未知数　红色　Ｌｏｈｉｔａ　ｌｏ　第六未知数　平方数　ｙｇｖａｔ——ｔｇｖａｔ　ｖａｒｇａ　ｙａ　Ｖ　２　平方根　Ｃａｒａｎｉ　Ｃ　一　美国数学史家卡约黎（Ｆ．Ｃａｊｏｒｉ，１８５９￣　１９３０）将古代印度的代数学归入符号代数［６

】ｊ我　９—２６　数学数学　２０１１年第９期　

们认为这并不符合史实．尽管古代印度数学家　

使用了缩略的梵文音节来表示未知数，但事实上　他们并没有用缩略音节和其他梵文字母来表示　

任意数．实际上，婆什伽罗和古希腊数学家一样，　没能用字母来表达“任意多项”以及一般项，只能　取特殊的项数，通项公式和求和公式均以文字来　表述．　中国宋元时期的“天元术”最多也只能归入　

“缩略代　’的范畴．宋元数学家用“天元”来表　示未知数，我们今天的“一元一次方程”、“一元　

二次方程”、“二元一次方程组”中的“元”指的就　是未知数．在天元术中，多项式是通过系数的纵　

向有序排列来表达的，只在一次项系数的右边标　

一“元”字，或只在常数项右边标一“太”字．如　

Ｉ　

兰Ｉｉ　ｌ元　■■＿　■■—Ｔ厂●－■，Ｕ　

ｌｌ茎Ｔ　Ｉ　ｌ＝ｌ　

即表示多项式Ｘ　＋３２ｘ＋２５６．　数学的历史并非如我们想象的那么一帆风　

顺、呈直线式发展．即使在今天，我们也难免会　有“今不如昔”的感叹，更何况在古代，由于信息　

渠道的闭塞、数学思想的传播是极受限制的．无　论如何，在用字母表示数这件事上，丢番图之后　

一千多年间，欧洲人非但没有进步，反而倒退回　古巴比伦祭司的水平．　

中世纪阿拉伯数学家也不会用字母来表示　数．尽管他们在数列求和方面取得令人瞩目的　

成就，但他们不会表达数列通项以及“任意多项”，　他们只能通过具体的若干项（如５Ｎ、１０项等）来　

说明求和的方法．尽管“代数学”的西方名称源于　花拉子米（Ａ１一Ｋｈｗａｒｉｚｍｉ，７８０７—８５０７）的著作，　但花拉子米却只能用“１平方与１０根等于３９单　

位”这样的语言来表达一元二次方程　＋１０ｘ＝　

３９．　１３世纪初，意大利数学家斐波纳契在《计算　

之书》中，依然没有用字母来表示数．在该书第　ｌ２章，作者给出二次幂和的求法，但由于斐波纳　

契没能用字母来表示“任一　’，他只能与古希腊　

和阿拉伯数学家一样，取一个特殊的数（１０）作为　项数．方程的求解过程完全是用文字来表达的．　

在第１５章，作者给出大量一元二次方程问题．以　下我们看到的是一元二次方程Ｘ　＋２７ｘ一３２４＝　

０的解法：　

“将１２分成两部分，其中一部分乘以２７，所　得乘积等于另一部分的平方．解法如下：设其中　

一部分为物，则另一部分为１２减物．将其乘以　２７，得３２４减２７物．物自乘，即第一部分自乘，得　

平方等于３２４减２７物．两边加２７物，得平方加２７　

物等于３２４．依术解之，取根数２７之半１３去，自　１　１　乘，得１８２｝．加３２４，得５０６｝．其平方根求法如　

下：取它的４倍，得２０２５，开方得４５，除以分数线　

下４的平方根，即除以２，商为２２去．从中减去根　

数之半，得平方的根为９，即第一部分．它与１２　的差，即３，为第二部分．’’［　】　

除了作者将未知数称为“物”（源于花拉子　

米）之外，其他与古代巴比伦祭司的表述并无二　致．