第六章定积分的应用
教学目的
1、理解元素法的基本思想；
2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、
旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。
3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均
值等).
教学重点：
1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面
面积为已知的立体体积。
2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等.教学难点：
1、截面面积为已知的立体体积。
2、引力。
§61定积分的元素法
回忆曲边梯形的面积
设y=f（x）≥0(x∈[a,b］）.如果说积分,
?=b a
dx x
f
A)
(是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数
?=x a
dt t
f
x
A)(
)
(就是以[a,x］为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f（x）dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f(x）dx, f（x）dx称为曲边梯形的面积元素.
以［a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以
[a,b］为积分区间的定积分:
?=b a
dx x
f
A)
(.
一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间［a,b]上,分布在［a,x］上的量用函数U（x)表示,再求这一量的元素dU（x）,设dU（x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以［a,b］为积分区间求定积分即得
?=b a
dx x
f
U)
(.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法）.
§6.2定积分在几何上的应用
一、平面图形的面积
1．直角坐标情形
设平面图形由上下两条曲线y =f 上（x ）与y =f 下（x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成,则面积元素为［f 上(x ）-f 下（x ）]dx ,于是平面图形的面积为
dx x f x f S b
a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左（y )与x =?右（y ）及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为
?-=d
c dy y y S )]()([左右??. 例1计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积.
解(1）画图.
（2)确定在x 轴上的投影区间：［0,1］.
（3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上.
（4)计算积分
31]3132[)(10323
102=-=-=?x x dx x x S . 例2计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积.
解(1）画图.
(2）确定在y 轴上的投影区间:［-2,4］.
(3）确定左右曲线: 4)( ,2
1)(2+==y y y y 右左??. （4）计算积分
?--+=422)214(dy y y S 18]61421[42
32=-+=-y y y . 例3求椭圆122
22=+b
y a x
所围成的图形的面积. 解设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍,椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为［0,a ].因为面积元素为ydx ,所以 ?=a
ydx S 04. 椭圆的参数方程为:
x =a cos t ,y =b sin t ,
于是?=a ydx S 04?=0
2)
cos (sin 4πt a td b