椭圆方程精解

椭圆的标准方程怎么求椭圆是解析几何中的一个重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。

椭圆的标准方程是求解椭圆特征的重要方法之一。

接下来，我们将介绍椭圆的标准方程是如何求解的。

首先，我们需要了解椭圆的定义和性质。

椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点称为焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。

椭圆还有一个重要的性质是，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。

椭圆还有一个短轴长度2b，满足b^2 = a^2 c^2，其中c是焦距。

接下来，我们来推导椭圆的标准方程。

假设椭圆的长轴与x轴重合，焦点在原点上方，且椭圆的中心与原点重合。

设椭圆的焦点坐标为(F1, 0)和(-F2, 0)，椭圆上一点P的坐标为(x, y)。

根据椭圆的定义，我们有PF1 + PF2 = 2a，即√(x F1)^2 + y^2 + √(x+ F2)^2 + y^2 = 2a。

化简得x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，这就是椭圆的标准方程。

如果椭圆的长轴与y轴重合，推导过程和上面类似，最终得到的标准方程为y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1。

当椭圆的中心不在原点时，我们可以通过平移坐标系的方法将椭圆的中心平移到原点，然后再根据上面的方法求解标准方程。

最后，我们来举一个具体的例子来求解椭圆的标准方程。

假设椭圆的焦点坐标为(3, 0)和(-3, 0)，离心率为2/3。

首先，我们可以计算出椭圆的长轴长度为6，根据离心率的定义可得椭圆的短轴长度为2√5。

然后，代入椭圆的标准方程x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1中，得到椭圆的标准方程为x^2/36 + y^2/20 = 1。

通过上面的介绍，我们可以得出椭圆的标准方程求解方法。

当我们了解了椭圆的定义和性质后，可以根据椭圆的焦点坐标和离心率来求解标准方程。

希望这篇文章对你有所帮助，谢谢阅读！。

椭圆及其标准方程【要点梳理】 要点一：椭圆的定义平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的集合叫椭圆．这两个定点1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距．要点诠释：（1）1F 、2F 是椭圆上不同的两个顶点；（2）若P 是椭圆上任意一点，则12PF PF +=常数； （3）当 常数12F F > 时，轨迹为椭圆； 当 常数=12F F ，则轨迹为线段12F F ； 当 常数12F F <，则轨迹不存在．要点二：椭圆的标准方程1． 椭圆的标准方程要点诠释：1． 这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2． 在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222c a b =-；3． 椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -；4． 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 2． 标准方程的推导：由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简．以焦点在x 轴上的方程22221x y a b+=(0)a b >>为例．(1)建系建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两个定点1F ，2F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)．（2）设点设|F 1F 2|=2c(c ＞0)，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则有F 1(-1，0)，F 2(c ，0)． (2)列式由于点(,)M x y 为椭圆上任意一点，则由定义不难得出椭圆集合为： {}122P M MF MF a =+= （称此式为几何条件） 即()()22222x c y x c y a -++++= （实现集合条件代数化） ①(4)化简为化简①这个方程，将等号左边的一个根式移到右边，得()()22222x c y a x c y ++=--+，将这个方程两边平方，得()()22222 44x c y a ax c y ++=-+－22()x c y +-+，整理得222()a cx a x c y -=-+上式两边再平方，得4222222222222a a cx c x a x a cx a c a y -+=-++，整理得22222222()()a c x a y a a c -+=- ②方程②结构较复杂，不便记忆，继续化简．由椭圆的定义可知22a c >，即a c >，所以220a c ->，将方程②两边同除以222()a a c -，得222221x y a a c +=-． 令222a c b -=，那么所得的椭圆方程可化为：22221x y a b+=，(0)a b >>． 因此，方程22221(0)x y a b a b+=>>即为焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．要点三：求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下两种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a ，b ，即：“先定型，再定量”．②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：221(,0)mx ny m n m n +=>≠且．（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题．【典型例题】 类型一：椭圆的定义例1． 若一个动点P (x ，y )到两个定点A （－1，0）、A ＇（1，0）的距离的和为定值m （m >0），试求P 点的轨迹方程．【解析】∵|PA|+|PA ＇|=m ，|AA ＇|=2，|PA|+|PA ＇|≥|AA ＇|， （1）当0<m<2时，P 点的轨迹不存在； （2）当m=2时，P 点的轨迹就是线段AA ＇ ∴其方程为y=0（－1≤x≤1）；（3）当m ＞2时，由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以A 、A ＇为焦点的椭圆 ∵2c=2，2a=m ，∴2m a =，1c =，222214m b a c =-=-∴点P 的轨迹方程为22221144x y m m-=-．【总结升华】平面内一动点到两定点的距离和等于常数时，动点的轨迹不一定是椭圆．．当动点到两点的距离和小于两定点之间的距离时，动点的轨迹不存在；当动点到两点的距离和等于两定点之间的距离时，动点的轨迹是线段；当动点到两定点的距离和（常数）大于两定点之间的距离时，动点的轨迹是椭圆．举一反三：【变式1】已知圆22:(2)36A x y ++=，圆A 内一定点()20B ，，圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．【答案】设圆P 的半径为r ，则|PB|=r ， ∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为6，∴两圆的圆心距|PA|=6－r ，即|PA|+|PB|=6（大于|AB|）． ∴点P 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆． ∴2a=6，2c=|AB|=4．∴a=3，c=2，b 2=a 2－c 2=32－22=5．∴点P 的轨迹方程为22195x y +=【变式2】设动圆P 与圆22:(3)4M x y -+=外切，与22:(3)100N x y ++=内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．【答案】2213627x y +=类型二：椭圆的标准方程例2． 椭圆22110036x y +=的焦距是 ，焦点坐标是 ；若AB 为过椭圆的一个焦点F 1的一条弦，F 2为另一个焦点，则2ABF ∆的周长是 ．【答案】1216(8,0),(8,0)40F F -【解析】由椭圆方程知22100,36a b == ∴22264c a b =-=， ∴8,216c c ==．∴两焦点为12(8,0),(8,0)F F - 又因为三角形的周长为为22||||||AB AF BF ++=22440a a a +==【总结升华】有椭圆的标准方程可以读出有关信息，如a ，b 的值和焦点的位置，进而可以解决有关问题，因此我们应该准确把握椭圆的标准方程，并从中读出有关信息．举一反三：【变式1】椭圆221x y m n+=--(m <n <0)的焦点坐标是________．【答案】，(【变式2】方程2212516x y m m +=-+表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________．【答案】92<m <25【解析】因为焦点在y 轴上，所以16＋m >25－m ，即m >92，又因为b 2＝25－m >0，故m <25， 所以m 的取值范围为9252m <<． 【变式3】已知椭圆的标准方程是222125x y a +=(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且|F 1F 2|=8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为________．【答案】【解析】因为F 1F 2＝8，即即所以2c ＝8，即c ＝4，所以a 2＝25＋16＝41，即a所以△ABF 2的周长为4a ＝．例3． 当39k <<时，指出方程22193x y k k +=--所表示的曲线．【解析】∵39k <<∴90-3>0k k ->且（1） 若9-k>k-3，即36k <<时，则方程表示焦点在x 轴上的椭圆； （2） 若9-k=k-3，即k=6时，方程表示圆221x y +=；（3） 若9-k<k-3， 即69k <<时，则方程表示焦点在y 轴上的椭圆．【总结升华】一方面确定椭圆标准方程需要知道定形条和定位条件，反过来，给出了椭圆的标准方程后，也可以从中读出相关信息． 举一反三：【变式】如果方程222(0)x ky k +=>表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ．【答案】01k<<类型三：求椭圆标准方程例4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；（2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点35 (,)22 -．【解析】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为22221(0)x ya ba b+=>>．∵2a=10，2c=8，∴a=5，c=4 ∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为221 259x y+=；（2）∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为22221(0) y xa ba b+=>>由椭圆的定义知，2a==，∴a又c=2，∴b2=a2－c2=10－4=6∴所求椭圆的标准方程为221 106y x+=【总结升华】求椭圆的标准方程就是求a2及b2（a＞b＞0），并且判断焦点所在的坐标轴．当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为22221x ya b+=；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为22221y xa b+=．举一反三：【变式1】已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0，1)，P是椭圆上一点，并且|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，则椭圆的标准方程是________．【答案】221 43y x+=【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆22194x y+=有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程．【答案】221 1510x y+=．例5．求经过点P（－3，0），Q（0，2）的椭圆的标准方程．【解析】设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）．∵椭圆经过点P（－3，0）和Q（0，2），∴91,4 1.m n =⎧⎨=⎩ ∴1,91.4m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求椭圆方程为22194x y +=．【总结升华】在求椭圆的标准方程时必须先判断焦点的位置，然后再设出方程．在无法判断焦点的位置时可设mx 2+ny 2=1（m ＞0，n ＞0，m ≠n ），而不规定m 与n 的大小关系，从而避免讨论焦点的位置．举一反三：【变式1】过点(－3，2)且与椭圆22194x y +=有相同焦点的椭圆的标准方程是________．【答案】2211510x y +=【变式2】已知椭圆的中心在原点，经过点P （3，0）且a =3b ，求椭圆的标准方程．【答案】2219x y +=或221819y x +=．类型四：椭圆的综合问题例6．设F 1、F 2是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△PF 1F 2的面积等于________．【答案】4【解析】由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c =PF 1＋PF 2＝2a ＝6．又PF 1∶PF 2＝2∶1，∴PF 1＝4，PF 2＝2， 由22＋42＝2可知△PF 1F 2是直角三角形， 故△PF 1F 2的面积为12PF 1·PF 2＝12×2×4＝4． 【总结升华】解决椭圆焦点三角形有关问题的关键在于充分利用椭圆的定义以及余弦定理、正弦定理． 举一反三：【变式1】已知P 为椭圆221169x y +=上的一点，12,F F 是两个焦点，1260O F PF ∠=，求12F PF ∆的面积．【答案】【变式2】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x．过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么椭圆C 的方程为______．【答案】221168x y +=类型五：坐标法的应用例7．△ABC 的两个顶点坐标分别是B （0，6）和C （0，－6），另两边AB 、AC 的斜率的乘积是49-，求顶点A 的轨迹方程．【解析】设顶点A 的坐标为（x ，y ） 由题意得664(0)9y y x x x -+⋅=-≠， ∴顶点A 的轨迹方程为221(0)8136x y x +=≠．【总结升华】求出曲线方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件．举一反三：【变式1】已知A 、B 两点的坐标分别为（0，－5）和（0，5），直线MA 与MB 的斜率之积为49-，则M 的轨迹方程是（ ）A ．221100259x y += B ．221(5)100259x y x +=≠± C ．221225254x y += D ．221(0)225254x y x +=≠ 【答案】D【变式2】△ABC 两顶点的坐标分别是B （6，0）和C （－6，0），另两边AB 、AC 的斜率的积是49-，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．221(6)8136x y y +=≠±B ．221(6)8116y x y +=≠±C ．221(6)1636x y x +=≠±D ．221(6)3616x y x +=≠±【答案】D【变式3】如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段 PP ′，求线段PP ′中点M 的轨迹．【答案】设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ， 则00,2y x x y ==因为00(,)P x y 在圆224x y +=上，所以22004x y += 将00,2x x y y ==代入上方程得2244x y +=即2214x y +=所以点M 的轨迹是一个椭圆。

1 / 14专题30 椭圆的方程及几何性质一、椭圆的标准方程和几何性质－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a焦半径公式：称P 到焦点的距离为椭圆的焦半径① 设椭圆上一点()00,P x y ，则1020,PF a ex PF a ex =+=-（可记为“左加右减”） ② 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为a c +，最小值为a c - 焦点三角形面积：122tan2PF F S b θ=（其中12PF F θ=∠）2 / 14题型一、椭圆离心率的值例1、【2018年高考全国Ⅱ理数】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以212||2||PF F F c ==，由AP2tan PAF ∠=，所以2sin PAF ∠=，2cos PAF ∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，所以2225sin()3c a c PAF ==+-∠， 所以4a c =，14e =，故选D ．3 / 14变式1、（2016年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．【答案】：.63【解析】：由题意得y ＝b 2与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的交点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫±32a ，b2，因为F (c,0)，且∠BFC ＝90°，所以FB →·FC →＝0，即⎝⎛⎭⎫c －32a ⎝⎛⎭⎫c ＋32a ＋b 24＝0，即3c 2＝2a 2，所以e ＝63.变式2、(2017苏北四市一模） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．【答案】：.5－12【解析】：因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)，所以B 2F →＝(c ，－b )，B 1A →＝(a ，b )．因为FB 2⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0，故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52(负值舍去)．题型二、椭圆离心率的范围例2、【江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初】已知1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点，点A ，B 分别是椭圆E 的右顶点和上顶点，若直线4 / 14AB 上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是______.【答案】 【解析】12PF PF ⊥，即P 在以12F F 为直径的圆上，即222x y c +=.直线AB ：1x ya b+=，即0bx ay ab +-=，圆心到直线的距离d c =≤，即422430a a c c -+≤，即4231001e e e -+≤<<，，所以解得1e >≥故答案为：1,1)2. 变式1、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的内接ABC ∆的顶点B 为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =，则椭圆离心率的取值范围是___________.【答案】⎛ ⎝⎭【解析】由题意可设()0,B b ，(),0F c ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =， 可得F 为ABC ∆的重心，设()11,A x y ，()22,C x y ， 由重心坐标公式可得，1203x x c ++=，120y y b ++=，即有AC 的中点(),M x y ，可得12322x x c x +==，1222y y by +==-，5 / 14由题意可得点M 在椭圆内，可得2291144c a +<，由c e a =，可得213e <，即有03e <<.故答案为：⎛ ⎝⎭. 变式2、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）设椭圆M 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，若斜率为1的直线与椭圆M相切同时亦与222:()C x y b b +-=（b 为椭圆的短半轴）相切，记椭圆的离心率为e ，则2e =__________．【答案】32- 【解析】设切线方程为y x m =+，代入椭圆方程可得：()2222222220ba x a mx a m ab +++-=.因为相切2220,m a b ∆=∴=+，由直线y x m =+与圆C 相切，,(1b m b =∴=+，或(1b -（舍去）.则有2222(1b a b +=+，因为222b a c =-，所以可得22231)2,)2a c e -==∴.故答案为：32-. 题型三、椭圆的方程6 / 14例3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，7 / 14由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．变式1、【2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试】若椭圆22221x y a b+=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是【答案】22154x y +=【解析】∵点(1，12)在圆外，过点(1，12)与圆相切的一条直线为x ＝1，且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1，设点P(1，12)，连接OP ，则OP ⊥AB ，∵k OP ＝12，∴k AB ＝－2．又直线AB 过点(1,0)，∴直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0，∵点(0，b)在直线AB 上，∴b ＝2，又c ＝1，∴a 2＝5，故椭圆方程是25x ＋24y ＝1．变式2、（泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，若点P 的坐标为 (1，32)，且△PQF 2的周长为8，则椭圆C 的方程为 ．8 / 14【答案】x 24＋y 23＝1【解析】 因为△PQF 2的周长为4a ，所以，a =2，把P 的坐标为 (1，32)代入椭圆C ，得219144b +=，所以，23b =，椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．变式3、在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>椭圆的左、右焦点分别为，．已知和3(,)2e 都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率，则椭圆E 的方程为 ．【答案】．【解析】 由题设知，，由点在椭圆上，得222211e a b+=，21b =，所以，．由点3(,)2e 在椭圆上，得22223()21e ab +=， 42440a a -+=，22a =．题型四、椭圆中点的求解例4、(2019泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q.已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6.xoy 1(0)F c -，2(0)F c ，(1)e ，2212x y +=222==c a b c e a +，(1)e ，22=1c a -xOyPF 1F 2Q9 / 14(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设点Q 的横坐标为x 0，求x 0的取值范围．【解析】 (1) 由题意得c a ＝12，a 2c ＋a ＝6，解得a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2) 解法1设B(m ，n)，则m 24＋n 23＝1.因为A(－2，0)，AB ⊥BQ ，所以直线BQ 的方程为y ＝－m ＋2n(x －m)＋n ，因为P 是AB 的中点，所以P(m －22，n 2)，所以直线OP 的方程为y ＝nm －2x ，联立直线BQ ，OP 的方程得－m ＋2n (x －m)＋n ＝nm －2x ，(8分)解得x 0＝（m －2）（m 2＋2m ＋n 2）m 2－4＋n 2，由m 24＋n 23＝1得n 2＝－34(m 2－4)，代入上式化简得x 0＝m ＋6，(14分) 因为－2<m<2，所以4<x 0<8.(16分)解法2 设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)，k ≠0.将y ＝k(x ＋2)代入椭圆方程x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得x B ＝－8k 2＋64k 2＋3，所以y B ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋64k 2＋3＋2＝12k 4k 2＋3， 则直线BQ 的方程为y －12k 4k 2＋3＝－1k (x －－8k 2＋64k 2＋3)，10 / 14因为P 是AB 的中点，则x P ＝x A ＋x B 2＝－2＋－8k 2＋64k 2＋32＝－8k 24k 2＋3，y P ＝12y B ＝6k4k 2＋3，所以直线OP 的斜率为6k4k 2＋3－8k 24k 2＋3＝－34k ，则直线OP 的方程为y ＝－34k x ，(8分)联立直OP ，BQ 的方程得x 0＝16k 2＋244k 2＋3＝4＋124k 2＋3，(14分)因为4k 2＋3>3，所以0<124k 2＋3<4，4<4＋124k 2＋3<8，即4<x 0<8.(16分)解后反思 直线和椭圆相交求范围(最值)问题，第(2)问解法1设出关键点B 的坐标(m ，n)，建立关于点中参数m ，n 的目标函数，进一步转化为函数法或不等式法来解决；解法2通常设出直线的方程，并与椭圆方程联立，进而转化关于x 或y 的一元二次方程，通过根与系数关系，运用设而不求的思想，得到点的坐标，建立关于线中参数m 的目标函数，进一步转化为函数法或不等式法来解决. 这两种解法都较常见. 解法1参量多一点，但运用得当，也很方便，这里解法1在建立目标函数后就显得很简单，解法2参量少目标集中． 变式1、(2019苏州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6. (1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．【解析】：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，半焦距为c ，因为椭圆的离心率为12，所以c a ＝12，即a ＝2c ，11 / 14又因为A 到右准线的距离为6，所以a ＋a 2c ＝3a ＝6，(2分)解得a ＝2，c ＝1，(4分) 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2) 直线AB 的方程为y ＝32(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝32（x ＋2），x 24＋y23＝1，得x 2＋3x ＋2＝0，解得x ＝－2或x ＝－1. 则B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，32.(9分) 由题意，右焦点F(1，0)，所以直线BF 方程为y ＝－34(x －1)，(11分)由⎩⎨⎧y ＝32（x ＋2），x 24＋y 23＝1，得7x2－6x －13＝0，解得x ＝－1或x ＝137，(13分) 所以，点M 坐标为⎝⎛⎭⎫137，－914.(14分)1、【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b12 / 14【答案】B【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-，化简得2234a b =， 故选B.2、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又12014,42MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =，22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去）， M的坐标为(．3、【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，1212(1)y y -=-，13 / 14所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤， 当且仅当5m =时取最大值．4、【2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试】若椭圆22221x y a b+=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是【答案】22154x y +=【解析】∵点(1，12)在圆外，过点(1，12)与圆相切的一条直线为x ＝1，且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1，设点P(1，12)，连接OP ，则OP ⊥AB ，∵k OP ＝12，∴k AB ＝－2．又直线AB 过点(1,0)，∴直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0，∵点(0，b)在直线AB 上，∴b ＝2，又c ＝1，∴a 2＝5，故椭圆方程是25x ＋24y ＝1．5、（2017·全国卷）已知椭圆C ：22221x y a b+=（a >b >0）的左，右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则椭圆C 的离心率为 ．【答案】3614 / 14【解析】 以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a = ，所以，椭圆C的离心率c e a == 6、 设1F ，2F 是椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点，P 为直线l ：53a x =上一点，△21F PF 是底角为30︒的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为 ．【答案】56【解析】 设直线l 与x 轴交于点A ，由题意得，∠PF 2F 1=120°，∠PF 2A =60°，AF 2=53ac -， 所以，PF 2=2AF 2=103a -2c= F 1F 2=2c ，56c e a ==，所以，椭圆E 的离心率为56． 7、(2017无锡期末） 设点P 是有公共焦点F 1，F 2的椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点，且PF 1⊥PF 2，椭圆C 1的离心率为e 1，双曲线C 2的离心率为e 2，若e 2＝3e 1，则e 1＝________. 【答案】53【解析】不妨设F 1，F 2分别是左、右焦点，椭圆的长半轴为a 1，双曲线的实半轴为a 2，P为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，则根据椭圆和双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 2＝2a 1，PF 1－PF 2＝2a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＝a 1＋a 2，PF 2＝a 1－a 2.因为PF 1⊥PF 2，所以PF 21＋PF 22＝F 1F 22，即(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝(2c )2，化简得a 21＋a 22＝2c 2，所以⎝⎛⎭⎫a 1c 2＋⎝⎛⎭⎫a 2c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2，又因为e 2＝3e 1，所以e 21＝59，故e 1＝53.。

如何求椭圆方程椭圆是一种常见的几何图形，其形状类似于拉伸的圆形。

椭圆方程是描述椭圆形状的数学方程。

在本文中，我们将探讨如何求解椭圆方程的方法。

我们需要了解椭圆的定义。

椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点称为焦点，而2a称为椭圆的长轴。

为了求解椭圆方程，我们需要知道椭圆的中心和长轴的长度。

如果我们知道椭圆的焦点坐标和长轴长度，我们可以使用以下公式来求解椭圆方程：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中，(h,k)是椭圆的中心坐标，a是长轴的长度，b是短轴的长度。

接下来，让我们通过一个实例来说明如何求解椭圆方程。

假设我们知道椭圆的焦点坐标为F1(1,0)和F2(-1,0)，长轴的长度为4。

我们需要求解椭圆的方程。

我们可以确定椭圆的中心坐标为(h,k) = (0,0)。

然后，我们可以确定长轴的长度为2a = 4，因此a = 2。

将这些值代入椭圆方程，我们可以得到：(x-0)²/2² + (y-0)²/b² = 1化简方程，我们得到：x²/4 + y²/b² = 1根据椭圆的定义，我们知道焦点到椭圆轨迹上任意一点的距离之和等于常数2a。

在本例中，2a = 4，因此我们可以验证焦点到椭圆轨迹上的点的距离之和是否等于4。

例如，我们可以选择椭圆上的点P(2,0)。

根据焦点到点P的距离之和等于常数2a，我们可以计算焦点F1到点P的距离和焦点F2到点P的距离：PF1 = sqrt((2-1)² + (0-0)²) = sqrt(1) = 1PF2 = sqrt((2+1)² + (0-0)²) = sqrt(9) = 3PF1 + PF2 = 1 + 3 = 4由此可见，焦点到椭圆轨迹上任意一点的距离之和等于4，验证了我们得到的椭圆方程的正确性。