人教版 九年级数学下册 第28章 锐角三角函数 培优训练

第28章锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用1. 在厶ABC中，/ A=120° AB=4 AC=2 贝卩sinB 的值是（）A. 口B .-i C .2 D14 5 7 142. 在Rt△ ABC中，/ C=90 ,若AB=4 sinA=?，则斜边上的高等于（）5A. 64 B .兰C . 16 D . 1225 25 5 53. 如图，在Rt△ ABO中，斜边AB= 1,若OC/ BA / AOC= 36°，贝S （）A. 点B到AO的距离为sin 54B. 点B到AO的距离为tan 36 °C. 点A到OC的距离为sin 36 ° sin 54D. 点A到OC的距离为cos 36 sin 544. 如图是教学用直角三角尺，边AC= 30 cm,/ C= 90° tan / BAC=则边BC的长为（）A. 30 3 cm B . 20 3 cm C . 10 3 cm D . 5 3 cm\[2 35. 如图，在△ ABC中，cos B= ,sin C= , AC= 5,则厶ABC的面积是（）2 5A.fB. 12C. 14D. 21 6•河堤横断面如图所示，堤高BC= 6 m,迎水坡AB的坡比为1 : 3,则AB的长为（）A. 12 m B . 4 3 m C . 5 3 m D . 6 3 m7. 如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15 m,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角a为60°，又从A点测得D点的俯角B为30°,若旗杆底部G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为()A. 20 m B . 10 3 m C . 15 3 m D . 5 6 m8. 一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20 n mile，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20 min 后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A. 10：3 n mile/h B .30 n mile/h C . 20 ';3 n mile/h D . 30 : 3n mile/h9. 从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°,看到楼顶部点D处的仰角为60°,已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（A. (6+2 .3) 米B (6+3 .3) 米C (6+6 .3 )米D . 12 米10. 如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）.为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发,垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30° 则B、C两地之间的距离为()3A. 100 3 m B 50 2m C. 50 3m D .咛11. 在Rt△ ABC中，CA= CB AB=込/2,点D在BC边上，连接AD 若tan1/ CAD= 3,贝y BD的长为 _____ .12. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3 , 0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC= 2,设tan / BOC= m则m的取值范围是________ .13. 在等腰三角形ABC中，/ A= 30°, AB= 8,贝S AB边上的高CD的长是14. 在Rt△ ABC中，/ C=90 , tanA = 4, BC=8 则厶ABC的面积为.315. 等腰三角形的一腰长为6cm,底边长为673cm则其顶角为___________ .16. 在Rt△ ABC中，/ ACB=90 , CDLAB于点D.已知AC=5 , BC=2 那么sin / ACD= _____17. 如图，在Rt△ ABC中，/ C=90°, D为BC上一点，/ DAC=30 , BD=2 AB= 2怎,贝S AC的长是_______ .18. 如图，从地面上点A处测得山顶上铁塔BD的塔顶和塔底的仰角分别为B =60°和a =45°，已知塔高BD=100m那么山高CD= m .（结果保留根号）19. 如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C 点处的俯角为45°.则海底C点处距离海面DF的深度为________ 米（结果精确到个位，参考数据：2〜1.414 , . 3〜1.732 , 〜2.236 ）…字二…一/产'即~~时•、\I 、20. 如图，一幢大楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌CD小明在山坡的底部A处测得宣传牌底部D的仰角为60°,沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45° .已知山坡AB垂直于视线AD AB=20米，AE=30米,则这块宣传牌CD的高度为________________ 米.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米.参考数据：2〜1.414 , 3〜1.732 ）.21. 如图，在△ ABC中，CDLAB 垂足为D.若AB=12 CD=6 tanA=?，求2 sinB+cosB 的值.22. 已知：如图，Rt△ AOB中，/ 0=90，以0A为半径作O Q BC切OO于点C,连接AC交QB于点P.(1) 求证：BP=BC(2) 若sin / PAQ= 1，且PC=7 求OO 的半径.323. 如图，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC= 30 m,由地面向上依次为第1层、第2层，…，第10层，每层高度为3 m假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长h m.(1)用含a的式子表示h；(不必指出a的取值范围)⑵当a= 30°时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层？若a每小时增加15°，从此时起几小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？24. 如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m,他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°;小红眼睛与地面的距离（CD是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、ND 在同一条直线上）.求出旗杆MN勺高度.（参考数据：2〜1.4…3〜1.7 , 结果保留整数.）26.如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF,从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角a为45° .从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角B为30°.已知树高EF=6米，求塔CD的高度.（结果保留根号）[Um答案：1 —10 DBCCA AADCA 11.612.5 m^-2"13.^3^或4 或4 314.2415. 120°16.二3 17. 318. 50 ( 3+1)19. 260020. 5.421. 解：在 Rt △ ACD 中，T/ADC=90，二 tanA 二 CD - 3，二 AD=4 AD AD 2••• BD=AB -AD=12-4=8 在 Rt △BCD 中,BDC=90 , BD=8 CD=6 BC= BD 2 CD 2 =10, • sinB 二 CD 3 , cosB=BD - , • sinB+cosB=3+« =7 . BC 5BC5 5 5 5 22. (1)证明：连接 OC T BC 是O O 切线，•/0(B=90°,「./OCA / BCA=90 , T OA=O , •/ OCA / OAC / BOA=90，•/ OAC+APO=90,T / APO / BPC •/ OAC / BPC=90，•/ BPC / BCA 二 BC=BP(2)解：延长 AO 交O O 于点 E ,连接 CE 在 Rt △ AOP 中, T sin / PAO=,3设 OP=x AP=3x 贝y AO=22x ,T AO=OE 二 OE=22x ,「. AE=^2x , 解得：x=3,・ AO=6 2 .23. 解：（1）如图，过点E 作EF ±AB 于点F.由题意可知，四边形 ACEF 为矩形，• EF = AC= 30, AF = CE= h ,Z BEF= T AB= 3X 10= 30,・ BF = AB- AF = 30- h.T sin / PAO=,3CE = 1 AE 3 AC 2一2 . 3x 7= .・ --------- - AE 3 '3「• h = 30— 30tan a .⑵ 当 a = 30° 时，h = 30 — 30tan 30 ° = 30 — 30^3〜12.7.3T 12.7 — 3~4.2，二当a= 30°时，B 点的影子落在乙楼的第五层.当 h = 0 时，30 — 30ta n a= 0,得 a= 45 °,Ta 每小时增加15°,二从此时起1小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光.24. 解：过点A 作AE± MN 于 E ,过点C 作CF 丄MN 于 F ,则 EF=AB-CD=1.7-1.5=0.2 (m ),在 Rt △ AEM 中, v/ AEM=90 , / MAE=45 , • AE=ME 设 AE=ME=xm 贝S MF=(x+0.2 ) m , FC= (28-x ) m在 Rt △ MFC 中, v/ MFC=90，/ MCF=30，二 MF=CF?ta / MCF• x+0.2二乜 (28-x )，解得 9.7，二 MN 二ME+EN=9.7+1.711 米.又•••在 Rt △ BEF 中，tan / BEF = ||, ••• tan a= 30—1，即 30— h = 30tan a, 30答：旗杆MN 的高度约为11米.解：由题意可知/ BAD W ADB=45，二 FD 二EF 二米，在 Rt △ PEH 中, tan B =CG ，二CG=( 5 3+6)?二=5+2 3，：. CD=( 6+2.3 ) 米. PG 326. tan B =EH PHBF ，八 BF =： 5 3，二 PG=BD=BF+FD=35+6, 在 RT A PCG K。

人教版九年级数学下册第二十八章 锐角三角形易错题型28.1 锐角三角形第1课时 锐角的正弦易错点1 不能正确理解锐角正弦的定义1..如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，则sin B ＝（ ）A.AB CD B.BD AC C.AB BC D.ABAC 2.如图，在△ABC 中，AE ⊥BC 于点E ，D 为AB 边上一点，如果BD=2AD ，CD=10，sin ∠BCD=53，那么AE 的值为（ ）A.3 B.6 C.7.2 D.93.如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，AD ⊥BD ，AB=4，sin A=43，则平行四边形ABCD 的面积是 .易错点2 求锐角的正弦时题目没有明确指出斜边，忽视分类而出错4.若Rt △ABC 的两条边长分别为6和8，则其最小角的正弦值是 .5.在Rt △ABC 中，AB ＝5，BC ＝4，求sin A 的值.第2课时 锐角的余弦和正切易错点 忽略求锐角三角函数的前提条件——“在直角三角形中”1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是（ ）A.31 B.3 C.42 D.222.如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E.若tan ∠ADE=25，AB=4，则AC 的长度是（ ）A.25 B.6￿ C.45 D.83.如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8.若∠BPC=21∠BAC ，则tan ∠BPC= .4.在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，cos A ＝43，则BC 的长 .5.在△ABC 中，AB ＝25，AC ＝24，BC ＝7，求sin A ，cos A ，tan A 的值.第3课时 特殊角的三角函数易错点1 记错特殊角的三角函数值而出错1.如图，把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin ∠1=22，则∠2的度数为（ ）A.120°B.135°C.145°D.150°2.|3-2sinα|+（tanβ-1）2=0，则锐角α＝ ，β＝.3.计算：tan 2 45°-2cos 60°＋（2-π）0￿-（-21）-1.易错点2 忽视锐角三角函数的取值范围4.已知∠A ，∠B 均为锐角，且sin A 是一元二次方程6x 2-11x ＋3＝0的根，cos B 是一元二次方程6x 2-x-2＝0的根，求sin 2 A+cos 2 B 的值.28.2 解直角三角形及其应用28.2.1 解直角三角形易错点1 在解非直角三角形问题时，忽视条件“直角三角形”1.如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tan B ＝23，AC ＝23，则AB 的长为（ ）A.4 B.3＋3 C.5 D.2＋232.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠A=90°，AC=6，D 是AC 上一点，过D 作DE ⊥BC 于点E ，若tan ∠DBA=51，则CE 的长为 .易错点2 在题目没有给出图形时，易忽略分类讨论，出现漏解3.在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝13，∠B ＝60°，则BC 的长 .4.如果方程x 2-4x ＋3＝0的两个根分别是Rt △ABC 的两条边长，Rt △ABC 的最小角为∠A ，那么tan A ＝ .5.在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B ＝30°，△ABC 的面积是 .28.2.2 应用举例第1课时 与视线有关的解直角三角形应用题易错点 不能正确理解仰角、俯角的概念1.从一栋二层楼的楼顶点A 处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C 处的俯角为45°，顶部点D 处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD 是（ ）A.（6＋63）米B.（6＋33）米C.（6＋23）米D.12米2. 如图，AB 是长为10m ，倾斜角为30°的自动扶梯，平台BD与大楼CE 垂直，且与扶梯AB 的长度相等，在B 处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE 的高度（结果保留整数）.（参考数据：sin65°≈0.90，tan 65°≈2.14）第2课时 与方位角、坡角有关的解直角三角形应用题易错点1 不能正确理解方位角的概念1.如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测点，AB=4 km ，从A 处测得船C 在北偏东45°的方向，从B 处测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离CD 的长为（ ）1.A.42km B.（4+22）km C.（4+2）km D.（4-2）km 易错点2 不能正确理解坡度的概念2.2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习.如图，一位同学乘滑雪板沿斜坡笔直滑下了200米，若斜坡与水平面的夹角为α，则他下降的高度为 米.（用含α的式子表示）3.如图是将一正方体货物沿坡面AB 装进汽车货箱的平面示意图，已知长方体货箱的高度BC 为2米，斜坡AB 的坡度i=1∶3，现把图中的货物沿斜坡继续往前平移，当货物顶点D 与C 重合时，恰好可把货物放平装进货箱，则BD= 米.参考答案人教版九年级数学下册第二十八章 锐角三角形易错题型28.1 锐角三角形第1课时 锐角的正弦易错点1 不能正确理解锐角正弦的定义1..如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，则sin B ＝（ D ）A.AB CD B.BD AC C.AB BC D.ABAC 2.如图，在△ABC 中，AE ⊥BC 于点E ，D 为AB 边上一点，如果BD=2AD ，CD=10，sin ∠BCD=53，那么AE 的值为（ D ）A.3 B.6 C.7.2 D.93.如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，AD ⊥BD ，AB=4，sin A=43，则平行四边形ABCD 的面积是 37 .易错点2 求锐角的正弦时题目没有明确指出斜边，忽视分类而出错4.若Rt △ABC 的两条边长分别为6和8，则其最小角的正弦值是53或47 .5.在Rt △ABC 中，AB ＝5，BC ＝4，求sin A 的值.解：①当AB 为斜边时，sin A ＝AB BC =54；②当AB 为直角边时，AC ＝4122=+BC AB ，sin A ＝AB BC =41414.第2课时 锐角的余弦和正切易错点 忽略求锐角三角函数的前提条件——“在直角三角形中”1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是（ D ）A.31B.3C.42D.222.如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E.若tan ∠ADE=25，AB=4，则AC 的长度是（ B ）A.25B.6￿C.45D.83.如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8.若∠BPC=21∠BAC ，则tan ∠BPC= 34 .4.在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，cos A ＝43，则BC 的长 72 .5.在△ABC 中，AB ＝25，AC ＝24，BC ＝7，求sin A ，cos A ，tan A 的值.解：∵在△ABC 中，AB ＝25，AC ＝24，BC ＝7，∴AB 2＝AC 2＋BC 2.∴△ABC 是直角三角形，且∠C ＝90°.∴sin A ＝AB BC =257，cos A ＝AB AC =2524，tan A ＝AC BC =247.第3课时 特殊角的三角函数易错点1 记错特殊角的三角函数值而出错1.如图，把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin ∠1=22，则∠2的度数为（ B ）A.120°B.135°C.145°D.150°2.|3-2sinα|+（tanβ-1）2=0，则锐角α＝ 60° ，β＝ 45° .3.计算：tan 2 45°-2cos 60°＋（2-π）0￿-（-21）-1.解：原式＝1-1+1-（-2）＝1-1+1+2＝3.易错点2 忽视锐角三角函数的取值范围4.已知∠A ，∠B 均为锐角，且sin A 是一元二次方程6x 2-11x ＋3＝0的根，cos B 是一元二次方程6x 2-x-2＝0的根，求sin 2 A+cos 2 B 的值.解：解方程6x 2-11x ＋3＝0得x 1＝31，x 2＝23.∵∠A 为锐角，∴0＜sin A ＜1.∴sin A ＝31.解方程6x 2-x-2＝0得x 1＝32，x 2＝-21.∵∠B 为锐角，∴0＜cos B ＜1.∴cos B ＝32.∴sin 2A+cos 2B ＝（31）2＋（32）2＝95.28.2 解直角三角形及其应用28.2.1 解直角三角形易错点1 在解非直角三角形问题时，忽视条件“直角三角形”1.如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tan B ＝23，AC ＝23，则AB 的长为（ C ）A.4 B.3＋3 C.5 D.2＋232.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠A=90°，AC=6，D 是AC 上一点，过D 作DE ⊥BC 于点E ，若tan ∠DBA=51，则CE 的长为 5212 .易错点2 在题目没有给出图形时，易忽略分类讨论，出现漏解3.在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝13，∠B ＝60°，则BC 的长 3或1 .4.如果方程x 2-4x ＋3＝0的两个根分别是Rt △ABC 的两条边长，Rt △ABC 的最小角为∠A ，那么tan A ＝31或42 .5.在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B ＝30°，△ABC 的面积是 315或213 .28.2.2 应用举例第1课时 与视线有关的解直角三角形应用题易错点 不能正确理解仰角、俯角的概念1.从一栋二层楼的楼顶点A 处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C 处的俯角为45°，顶部点D 处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD 是（ A ）A.（6＋63）米B.（6＋33）米C.（6＋23）米D.12米2.（2019 昆明五华区二模）如图，AB 是长为10m ，倾斜角为30°的自动扶梯，平台BD 与大楼CE 垂直，且与扶梯AB 的长度相等，在B 处测得大楼顶部C 的仰角为65°，求大楼CE 的高度（结果保留整数）.（参考数据：sin 65°≈0.90，tan 65°≈2.14）解：如图，作BF ⊥AE 于点F.则BF ＝DE.在Rt △ABF 中，sin ∠BAF ＝ABBF ，则BF ＝AB·sin ∠BAF ＝10×21＝5.在Rt △CDB 中，tan ∠CBD ＝BD CD ，则CD ＝BD·tan 65°≈10×2.14≈21.∴CE ＝DE ＋CD ＝BF ＋CD ＝5＋21＝26（m ）.答：大楼CE 的高度约是26 m.第2课时 与方位角、坡角有关的解直角三角形应用题易错点1 不能正确理解方位角的概念1.如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测点，AB=4 km ，从A 处测得船C 在北偏东45°的方向，从B 处测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离CD 的长为（ B ）2.A.42km B.（4+22）km C.（4+2）km D.（4-2）km 易错点2 不能正确理解坡度的概念2.2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习.如图，一位同学乘滑雪板沿斜坡笔直滑下了200米，若斜坡与水平面的夹角为α，则他下降的高度为 200sin α 米.（用含α的式子表示）3.如图是将一正方体货物沿坡面AB 装进汽车货箱的平面示意图，已知长方体货箱的高度BC 为2米，斜坡AB 的坡度i=1∶3，现把图中的货物沿斜坡继续往前平移，当货物顶点D 与C 重合时，恰好可把货物放平装进货箱，则BD= 5103 米.。

人教版数学九年级下册第28章锐角三角函数锐角三角函数同步训练题含答案1. 把Rt △ABC 各边的长度都扩展3倍失掉Rt △A′B′C′，那么锐角∠A 、∠A′的余弦值的关系是( )A ．cosA ＝cosA′B ．cosA ＝3cosA′C ．3cosA ＝cosA′D ．不能确定2. 以下式子错误的选项是( )A ．cos40°＝sin50°B ．tan15°·tan75°＝1C.sin 225°＋cos 225°＝1 D ．sin60°＝2s in30°3. 在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，那么以下结论正确的选项是( )A ．sinA ＝32B ．tanA ＝12 C.cosA ＝32D ．以上都不对 4. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，那么sinA 的值为( ) A.513 B ．1213 C.512 D ．1255. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，那么tanA 的值是( ) A.34 B ．43 C.35 D ．456. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假定sinA ＝513，那么cosA 的值为( ) A.512 B ．813 C.23 D ．12137. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，那么cosB 的值为( ) A.154 B ．14 C.1515 D ．417178. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，假定AC ＝2，BC ＝1，那么sin ∠ACD 的值为( )A.53 B ．23 C.255 D ．559．△ABC 中， ∠C ＝90°，AB ＝8，cosA ＝34，那么BC 的长______. 10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.那么sinA ＝______，cosA ＝_______，tanA ＝_______.11. 假定0＜∠A ＜90°，那么0____sinA_____1,0_____cosA_____1.12. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3cm ，AB ＝5cm ，那么，cosB ＝________.13. sin 2α＋cos 2α＝_____；tanα＝____________.14. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tanA ＝158，那么AB ＝______. 15．假定α为锐角，且cosα＝1－3m 2，那么m 的取值范围是_______________. 16. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相反的正方形，ABCD 都在格点处，AB 与CD 相交于点O ，那么tan ∠BOD 的值等于____.17. α是锐角，化简：cos 2α－4cosα＋4－|1－cosα|.18. ：sinα＋cosα＝m ，sinα·cosα＝n.试确定m 、n 之间的关系．19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(2,1)和点B(3,0)．求sin ∠AOB ，cos ∠ABO 的值．20. 如下图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上的一点，AC ＝2，CD ＝1，记∠CAD ＝α.(1)试写出α的三个三角函数值；(2)假定∠B ＝α，求BD 的长．21. 小明在某次作业中失掉如下结果：sin 27°＋sin 283°≈0.122＋0.992＝0.9945，sin 222°＋sin 268°≈0.372＋0.932＝1.0018，sin 229°＋sin 261°≈0.482＋0.872＝0.9873，sin 237°＋sin 253°≈0.602＋0.802＝1.0000，sin 245°＋sin 245°≈(22)2＋(22)2＝1. 据此，小明猜想：关于恣意锐角α，均有sin 2α＋sin 2(90°－α)＝1.(1)当α＝30°时，验证：sin 2α＋sin 2(90°－α)＝1能否成立？(2)小明的猜想能否成立？假定成立，请给予证明；假定不成立，请举一个反例． 参考答案;1---8 BDCBB DBC9. 2710. BC AB BC AC BC AC11. ＜ ＜ ＜ ＜12. 3513. 1 sinαcosα14. 1715. －13＜m ＜1316. 317. 解：原式＝cosα－22－|1－cosα|＝|cosα－2|－|1－cosα|＝－cosα＋2－1＋cosα＝1.18. 解：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴(sinα＋cosα)2－2sinα·cosα＝1.∵sinα＋cosα＝m ，sinα·cosα＝n ，∴m 2－2n ＝1.19. 解：过点A 作AC ⊥x 轴于C ，∵点A 的坐标为(2,1)，点B 的坐标为(3,0)，∴OC ＝2，AC ＝1，BC ＝1.∴OA ＝OC 2＋AC 2＝5，AB ＝AC 2＋BC 2＝ 2.∴sin ∠AOB ＝AC OA ＝15＝55，∴cos ∠ABO ＝BC AB ＝12＝22.20. 解：(1)sinα＝55，cosα＝255，tanα＝12； (2)BC ＝AC tanα＝212＝4，∴BD ＝BC －CD ＝4－1＝3. 21. 解：(1)当α＝30°时，sin 2α＋sin 2(90°－α)＝sin 230°＋sin 260°＝(12)2＋(32)2＝14＋34＝1； (2)小明的猜想成立，证明如下：如图在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ＝α，那么∠B ＝90°－α，∴sin 2α＋sin 2(90°－α)＝(BC AB )2＋(AC AB )2＝BC 2＋AC 2AB 2＝AB 2AB 2＝1.。

人教版九年级数学下册第二十八章　锐角三角函数单元测试训练卷一、选择题（共10小题，4*10=40）1. 如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若CD ＝5，AC ＝6，则tan B 的值是( )2. 如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝15，则tanA 的值为( )A. 817 B. 1517 C. 815 D. 1583. 关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°4. 在△ABC 中，若|s inA －12|＋(cosB －32)2 ＝0，则∠C 的度数为( )A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°5. 点M(－sin60°，cos60°)关于x 轴对称的点的坐标是( )A. (32，12) B. (－32，－12)C. (－32，12)D. (－12，－32)6. 如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A ，B ，C 均在网格交点上，⊙O 是△ABC 的外接圆，则cos ∠BAC 的值为()A. 55 B. 255 C. 12 D. 327. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径为32，AC ＝2，则sin B 的值是( )A. 23B. 32C. 34D. 438. 如图，在▱ABCD 中，点E 是AD 的中点，延长BC 到点F ，使CF ∶BC ＝1∶2，连接DF ，EC. 若AB ＝5，AD ＝8，sinB ＝45，则DF 的长等于( )A. 10B. 15C. 17D. 259．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为( )A. 30°B. 50°C. 60°或120°D. 30°或150°10. 如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图．设∠DAO ＝α，彩电后背AD 平行于前沿BC ，且与BC 的距离为60 cm ，若AO ＝100 cm ，则墙角O 到前沿BC 的距离OE 是( )A. (60＋100sin α) cmB. (60＋100cos α) cmC. (60＋100tan α) cmD. 以上选项都不对二．填空题（共6小题，4*6=24）11. tan60°＝ .12. 如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝5，AC ＝6，则tan B ＝________.13. 已知传送带的坡度i ＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面10 m 高的地方，那么物体所经过的路程为________ .　14. 如图，直线MN 与⊙O 相切于点M ，ME ＝EF 且EF ∥MN ，则cos E ＝________.15．如图，在△ABC 中，点O 是角平分线AD ，BE 的交点，若AB ＝AC ＝10，BC ＝12，则tan ∠OBD 的值是 ．16．如图，从甲楼底部A 处测得乙楼顶部C 处的仰角是30°，从甲楼顶部B 处测得乙楼底部D 处的俯角是45°，已知甲楼的高AB 是120 m ，则乙楼的高CD 是________m(结果保留根号)．三．解答题（共5小题， 56分）17．(6分) 计算：(1)12＋2－1－4cos30°＋|－12|；(2)|2－3|＋2sin60°＋(12)－1－(2018＋1)0 .18．(8分) 在△ABC 中，∠C ＝90°.(1)已知c ＝83，∠A ＝60°，求∠B ，a ，b ；(2)已知a ＝36，∠A ＝30°，求∠B ，b ，C.19．(8分) 如图，已知▱ABCD ，点E 是BC 边上的一点，将边AD 延长至点F ，使∠AFC ＝∠DEC.(1)求证：四边形DECF是平行四边形．(2)若AB＝13，DF＝14，tan A＝125，求CF的长．20．(10分) 测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°(参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2)．(1)若已知CD＝20米，求建筑物BC的高度；(2)若已知旗杆的高度AB＝5米，求建筑物BC的高度．21．(12分) 如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝800 m，BC＝200m，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°.(1)求AB段山坡的高度EF；(2)求山峰CF的高度(2≈1.414，CF结果精确到米)．22．(12分) 如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C 的求救信号．已知A、B两船相距100(3＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C 在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．(1)分别求出A与C、A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保留根号)；(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC航行去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?参考答案1-5CDBDB6-10BACDA11．312.34　13.26 m15. 1216．40317. 解：(1)原式＝2 3＋12－4×32＋12＝2 3＋12－2 3＋12＝1.(2)原式＝2－3＋2×32＋2－1＝3.18. 解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝43(2)∠B ＝60°，b ＝92，c ＝6619．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC. ∴∠ADE ＝∠DEC. 又∵∠AFC ＝∠DEC ，∴∠AFC ＝∠ADE ，∴DE ∥FC. ∴四边形DECF 是平行四边形．(2)解：过点D 作DH ⊥BC 于点H ，如图．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BCD ＝∠A ，CD ＝AB ＝13．又∵tan A ＝125．∴tan ∠DCH ＝125＝DHCH ．设DH ＝12x ，CH ＝5x ，由勾股定理得，(12x)2＋(5x)2＝132，解得x ＝1．∴DH ＝12，CH ＝5．∵四边形DECF 是平行四边形，∴CF ＝DE ，EC ＝DF ＝14．∴EH ＝9．∴DE ＝92＋122＝15．∴CF ＝DE ＝15．20. 解：(1)在Rt △BCD 中，∵∠BDC ＝45°，∴BC ＝CD ＝20米．答：建筑物BC 的高度为20米；(2)设CD ＝BC ＝x 米，∴AC ＝(x ＋5)米．在Rt △ACD 中，tan ∠ADC ＝AC CD ＝5＋x x≈1.2，解得x≈25，经检验x≈25符合题意．答：建筑物BC 的高度约为25米．21．解：(1)如答图，过点B 作BH ⊥AF 于点H ，∵在Rt △ABH 中，sin ∠BAH ＝BH AB ，∴BH＝800·sin30°＝400(m)，∴EF＝BH＝400 m；(2)∵在Rt△CBE中，sin∠CBE＝CEBC，∴CE＝200·sin45°＝1002＝141.4(m)，∴CF＝CE＋EF ＝141.4＋400≈541(m)．答：AB段山坡高度为400 m，山峰CF的高度约为541 m.22．解：(1)如图，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.设AE＝x海里．在Rt△AEC中，∠CAE＝60°，∴CE＝AE·tan60°＝3x海里，AC＝AEcos60°＝2x海里．在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，∴BE＝CE＝3x海里．∵AB＝AE＋BE＝100(3＋1)海里，∴x＋3x＝100(3＋1)，解得x＝100.∴AC＝200海里．在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°.设AF＝y海里．在Rt△AFD中，∠DAF＝60°，∴AD＝2y海里，DF＝3y海里．在Rt△CFD中，∠DCF＝45°，∴CF＝DF＝3y海里．∵AC＝AF＋CF ＝200海里，∴y＋3y＝200，解得y＝100(3－1)，∴AD＝2y＝200(3－1)海里．答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200(3－1)海里．(2)没有．由(1)可知DF＝3AF＝3×100(3－1)≈127(海里)．∵127海里＞100海里，∴巡逻船A沿直线AC航行去营救船C，在去营救的途中没有触暗礁危险．。