2019年高考全国1卷理科数学试题及答案

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x =>D ．AB =∅【答案】A2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B【解析】不妨设正方形边长为 a.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即所各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，所求概率为221()228a a ππ⨯⨯=，选B. 3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】设公差为d ，则有112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C.5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【解析】由已知，使1()1f x -≤≤成立的x 满足11x -≤≤，所以由121x -≤-≤得13x ≤≤，即使1(2)1f x -≤-≤成立的x 满足13x ≤≤，选D.6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C 【解析】621(1)(1)x x ++展开式中含2x 的项为224426621130C x C x x x⋅+⋅=，故2x 前系数为30，选C.. 7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】B8．右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1 000和n =n +1B ．A >1 000和n =n +2C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +2 【答案】D【解析】由题意选择321000nn->，则判定框内填1000A ≤，由因为选择偶数，所以矩形框内填2n n =+，故选D.9．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【答案】D10．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设直线1l 方程为1(1)y k x =-取方程214(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩得2222111240k x k x x k --+=∴21122124k x x k --+=-212124k k += 同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++221222222212121224244416482816k k k k k k k k ++=++=++≥+= 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取得等号. 11．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，学科*网其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110【答案】A【解析】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k-则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 1(1)1(12)(122)222k k k k S k ++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是之后的等比数列11,2,,2k +的部分和，即1212221t t k -+=+++=-，所以2314tk =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 对应满足的最小条件为293054402N ⨯=+=，故选A. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（集合）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【解析】集合N ={x |－2＜x ＜3}，所以有M ∩N={x |－2＜x ＜2}. 【答案】C2．（复数）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=【解析】由题意得i y x i z )1(-+=-，∵=1z i -，∴22(1)1y x +-=，即22(1)1y x +-=【答案】C3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【解析】由指数函数和对数函数的单调性易得22log 0.2log 10a =<=，0.20 221b =>=，0.3 0.20c =>且0.30 0.20.21c =<=，所以有a c b <<.【答案】B4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的 长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是 A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm【解析】由题意可知，肚脐至足底的长度大于105cm ，则头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈64.89cm ，因此身高大于105+64.89=169.89cm ；头顶至咽喉的长度小于26cm ，则咽喉至肚脐的长度小于42.07cm ，头顶至肚脐的长度小于68.07cm ，所以身高小于68.07+68.07÷0.618=178.21cm. 所以选答案B. 【答案】B5．（函数）函数2cos sin )(xx xx x f ++=在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．【解析】∵2cos sin )(x x x x x f ++=，],[ππ-∈x ，∴)(cos sin cos sin )(22x f x x xx x x x x x f -=++-=+--=-，∴f (x )在[,]-ππ上是奇函数，因此排除A ；又01cos sin )(22>π+-π=π+ππ+π=πf ，因此排除B 、C. 【答案】D6．（概率统计）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【解析】所有重卦的个数为6426=，恰有3个阳爻的个数为20C C 3336=，因此恰有3个阳爻的概率为1656420==P PS ：其实可以对题目进行抽象：即有A 、B 两种字母，填6个位置，求恰有3个A 的概率.这样更容易求解.【答案】A7．（平面向量）已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-⊥a b b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解析】∵b a 、为非零向量，∴0||0||≠≠b a、. ∵()b -⊥a b ，∴2()||0b a b b -⋅=⋅-=a b ，即2||a b b ⋅=.设a 与b之间的夹角为θ，则2||||cos ||||||||||a b b b a a b a b θ⋅===，∵||2||a b =，∴1cos 2θ=.∵0θπ≤≤，∴3πθ=. 【答案】B8．（程序运算）如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+【解析】通过模拟程序过程，很容易得到正确答案. 【答案】A9．（数列）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【解析】设等差数列{}na 的公差为d ，依题意有⎩⎨⎧=+=+5406411d a d a ，解之得⎩⎨⎧=-=231d a .∴1(1)25n a a n d n =+-=-，21(1)42n n n S na d n n -=+=-. 【答案】A10．（解析几何）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【解析】由题意，设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.∵22||2||AF BF =，2||3||AB BF =，又∵1||||AB BF =，12||3||BF BF =. 由椭圆的定义可知，12||||2BF BF a +=，∴13||2a BF =，2||2aBF =，2||AF a =，1||AF a =. ∵13||||=2aAB BF =，∴1AF B ∆为等腰三角形，在1AF B ∆中，11||1cos 2||3AF F AB AB ∠==. 而在12AF F ∆中，222222121212212||||||22cos 12||||2AF AF F F a a F AB AF AF a a+-+-∠===-， ∴22113a -=，解得2=3a . ∴2=2b ，椭圆C 的方程为22132x y +=. 【答案】B11．（三角函数）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间2(,)ππ单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【解析】∵()sin |||sin()|sin |||sin |sin |||sin |()f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，∴f (x )是偶函数，①正确. 当2(,)x π∈π时，sin ||sin x x =，|sin |sin x x =，则()2sin f x x =为减函数，故f (x )在区间2(,)ππ单调递减，②错误. 当(0,]x ∈π时，()sin |||sin |sin sin 2sin f x x x x x x =+=+=，所以f (x )在(0,]π内有1个零点x =π；由于f (x )是偶函数，所以在[,0)-π内有1个零点x =-π；∵(0)0f =，∴0x =由也是f (x )的1个零点；因此f (x )在[,]-ππ有3个零点，③错误. 当sin ||1x =、|sin |1x =时，f (x )取得最大值2，④正确.【答案】C12．（立体几何）已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π【解析】如图A12所示.图A12在△PAC 中，设∠PAC=θ，PA=PB=PC=2x ，EC=y ，x >0，y >0， ∵点E 、F 分别为PA 、AB 的中点，∴x PB EF ==21，AE =x ， 在△PAC 中，由余弦定理得：xx x x 21222424cos 222=⨯⨯-+=θ， 在△EAC 中，由余弦定理得：xy x x y x 44222cos 22222+-=⨯⨯-+=θ， ∴xy x x 442122+-=，即222-=-y x ①. ∵△ABC 是边长为2的正三角形，∴360sin 2=⨯= CF ∵∠CEF =90°，∴222CF EF CE =+，即322=+y x ②.联立①②得，22=x ，∴PA=PB=PC=2x=2 ∵△ABC 是边长为2的正三角形，∴222AB PB PA =+，222AC PC PA =+，222BC PC PB =+，即PA=PB=PC 两两垂直，∴三棱锥P-ABC 的外接球O 即以PA 为棱的正方体的外接球 ∴外接球的直径为62222=++=PC PB PA R ，∴26=R ∴外接球O 的体积为π6866π34π343=⨯==R V【答案】D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学C．x2A ．165cmB ．175cm C．185cm5．函数f x sin x x2在,的图象大致为、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M x 2 ，N x x2 x 60 ，则M I Nx2C．x 2 D．x 22．设复数满足1，在复平面内对应的点为x,y ，则B．x3．已知a log 2 0.2 ，b 20.2 c 0.20.3，则B．a cb C．ab D．b ca4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512 0.618 ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是515 1。

若某人满足上述两个黄金分割比2512D．x2D ．190cm6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。

每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“——”，右图就是一重卦，在所有重卦7．8．9．中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．16 B．1132C．213211 D．16已知非零向量r ra2ba，b 满足，且a b，则a 与b 的夹角为（）A．6B．32C．3 D．右图是求11的程序框图，图中空白框中应填入1112A21A112A11AA．B．AC．AD．A2A记S n 为等差数列A ．a n 2n 5a n 的前n项和，已知S4=0，a5B ．a n 3n 10C．S 2n2 8n5，D．10．已知椭圆C 的焦点为F1 1,0 ，F2 1,0 AB BF1 ，则C 的方程为2x2A ．y 122xB．32 y21211．关于函数f x sin x sinx ① f x 是偶函数② fA．①②④Sn 2n2n，过F2 的直线与C 交于A ，B 两点，AF2 2 F2B ，2xC．42y213D．2y214有下述四个结论：x 在区间2,有 4 个零点④ fB．②④单调递增x 的最大值为2C．①④D．①③12．已知三棱锥 P ABC 的四个顶点在球 O 的球面上， PA PB PC ， △ABC 是边长为 2 的正三角形， E ， F 分别是 PA ， PB 的中点， CEF 90 ，则球 O 的体积为A ．8 6B ． 4 6C ． 2 6D ． 6二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。