专题二、分式不等式的解法

解分式不等式的方法教学设计教学设计方案一、教学目标1. 理解分式不等式的概念和性质。

2. 掌握解分式不等式的基本方法和步骤。

3. 能够运用所学知识解决实际问题，提高数学应用能力。

二、教学内容1. 分式不等式的概念和性质。

2. 解分式不等式的基本方法和步骤。

3. 分式不等式的应用实例。

三、教学重点与难点1. 重点：掌握解分式不等式的基本方法和步骤。

2. 难点：如何根据不等式的性质和运算法则求解分式不等式。

四、教具和多媒体资源1. 黑板和粉笔。

2. 投影仪和教学PPT。

3. 教学软件：几何画板。

五、教学方法与手段1. 激活学生的前知：通过提问、复习等方式，回顾分式的性质和运算法则，为学习分式不等式打下基础。

2. 教学策略：采用讲解、示范、小组讨论等多种方式，引导学生理解分式不等式的概念和性质，掌握解分式不等式的基本方法和步骤。

3. 学生活动：组织学生进行小组讨论，互相交流学习心得，共同解决问题。

六、教学过程1. 导入：通过实例引入分式不等式的概念，让学生初步了解分式不等式的应用背景。

2. 讲授新课：讲解分式不等式的性质和解法，引导学生理解分式不等式的求解思路，掌握基本方法和步骤。

3. 巩固练习：给出几个分式不等式，让学生尝试求解，巩固所学知识。

4. 归纳小结：总结分式不等式的性质和解法，强调需要注意的事项，加深学生对知识的理解。

七、评价与反馈1. 设计评价策略：通过课堂练习、小组讨论等方式，了解学生对分式不等式的理解程度和应用能力。

2. 为学生提供反馈：根据学生的练习情况，及时指出存在的问题，并给予正确的指导和建议，帮助学生纠正错误，提高学习效果。

八、作业布置1. 完成教材中的相关练习题。

2. 尝试求解几个实际问题中的分式不等式，提高数学应用能力。

第2课时一元二次不等式及其解法(二)学习目标1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．知识点一 分式不等式的解法 一般的分式不等式的同解变形法则： (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0； (2)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0；g (x )≠0； (3)f (x )g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )≥0. 知识点二 一元二次不等式恒成立问题一般地，“不等式f (x )>0在区间[a ，b ]上恒成立”的几何意义是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象全部在x 轴上方．区间[a ，b ] 是不等式f (x )>0的解集的子集． 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即： k ≥f (x )恒成立⇔k ≥f (x )max ； k ≤f (x )恒成立⇔k ≤f (x )min .知识点三 含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，仍可按以前的步骤，即第一步先处理二次项系数，第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根，第三步若有根，区分根的大小写出解集，若无根，结合图象确定解集是R 还是∅.在此过程中，因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时，为了确定展开讨论．1．由于x －5x ＋3>0等价于(x －5)(x ＋3)>0，故y ＝x －5x ＋3与y ＝(x －5)(x ＋3)图象也相同．( × )2．x 2＋1≥2x 等价于(x 2＋1)min ≥2x .( × )3．对于ax 2＋3x ＋2>0，当a ＝1时与a ＝－1时，对应的不等式解集不能求并集．( √ ) 4．(ax ＋1)(x ＋1)>0⇔⎝⎛⎭⎫x ＋1a (x ＋1)>0.( × )题型一 分式不等式的解法 例1 解下列不等式：(1)2x －5x ＋4<0； (2)x ＋12x －3≤1. 解 (1)2x －5x ＋4<0⇔(2x －5)(x ＋4)<0⇔－4<x <52，⎩⎭(2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0， 解得x <32或x ≥4，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4. 反思感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型f (x )g (x )>0(<0)或f (x )g (x )≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母即可． 跟踪训练1 解下列不等式： (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－xx ＋3>1. 解 (1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0.解得⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∴x <－13或x ≥12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－13或x ≥12. (2)方法一 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12，∴－3<x <－12， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12. 方法二 原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－12.⎩⎭题型二 不等式恒成立问题 例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.∴－4<m ≤0.(2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立， 就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， ∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0. 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 方法二 当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立， 即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立． ∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可．综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 引申探究把例2(2)改为：对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围． 解 f (x )<－m ＋5，即mx 2－mx －1<－m ＋5， m (x 2－x ＋1)－6<0. 设g (m )＝m (x 2－x ＋1)－6.则g (m )是关于m 的一次函数且斜率 x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0. ∴g (m )在[1,3]上为增函数，要使g (m )<0在[1,3]上恒成立，只需g (m )max ＝g (3)<0， 即3(x 2－x ＋1)－6<0，x 2－x －1<0，方程x 2－x －1＝0的两根为x 1＝1－52，x 2＝1＋52，∴x 2－x －1<0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52，即x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52.反思感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式．(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解．跟踪训练2 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求实数m 的取值范围． 解 构造函数f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈[1,2]， 则f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2)．由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立．则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4，所以m ≤－5.题型三 含参数的一元二次不等式例3 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. 解 当a <0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＞0， ∵a <0，∴1a <1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x ＞1. 当a ＝0时，不等式可化为－x ＋1<0，解集为{x |x ＞1}． 当a ＞0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 当0<a <1时，1a ＞1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a . 当a ＝1时，不等式的解集为∅.当a ＞1时，1a <1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 综上，当a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x ＞1； 当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0<a <1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1. 反思感悟 解含参数的一元二次不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论． 跟踪训练3 解关于x 的不等式(x －a )(x －a 2)<0.解 当a <0或a ＞1时，有a <a 2，此时，不等式的解集为{x |a <x <a 2}； 当0<a <1时，有a 2<a ，此时，不等式的解集为{x |a 2<x <a }； 当a ＝0或a ＝1时，原不等式无解．综上，当a<0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a<x<a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|a2<x<a}；当a＝0或a＝1时，解集为∅.穿针引线解高次不等式观察下列不等式解集与图象的关系．猜想第三个不等式的解集.对于函数f(x)＝(x－x1)(x－x2)(x－x3)…(x－x n)，不妨设x1<x2<x3<…<x n.其图象有两个特点：①当x＞x n时，x－x1＞0，x－x2＞0，…，x－x n＞0，∴f(x)＞0.该区间内f(x)图象在x轴上方．②从x轴右上方开始，f(x)的图象每穿过一个零点，就从x轴一侧到另一侧变化一次．根据这个原理，只要画出f(x)示意图(穿针引线)，即可得到f(x)＞0(或f(x)<0)的解集．如第三个不等式解集为(0,1)∪(2，＋∞)．在此过程中，y轴可省略不画．典例解不等式x－1x(x＋1)＞0.解x－1x(x＋1)＞0即x(x－1)(x＋1)＞0，穿针引线：解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．[素养评析]穿针引线法的发现归功于从简单到复杂，从具体到一般的观察，发现问题，提出命题，这就是逻辑推理素养中的归纳.1．若不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2答案 D解析 由题意，得Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2. 2．不等式x －1x －2≥0的解集为( )A ．[1,2]B ．(－∞，1]∪[2，＋∞)C ．[1,2)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞) 答案 D解析 由题意可知，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(x －2)≥0，x －2≠0，∴x >2或x ≤1.3．不等式3x ＋1≥1的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(－1,2]B ．[－1,2]C ．(－∞，2]D ．(－1,2]答案 D解析 ∵3x ＋1≥1，∴3x ＋1－1≥0，∴3－x －1x ＋1≥0，即x－2x＋1≤0，等价于(x－2)(x＋1)<0或x－2＝0，故－1<x≤2.4．若不等式x2＋x＋k<0在区间[－1,1]上恒成立，则实数k的取值范围是．答案(－∞，－2)解析x2＋x＋k<0，即k<－(x2＋x)在区间[－1,1]上恒成立，即k<[－(x2＋x)]min.当x＝1时，[－(x2＋x)]min＝－2.∴k<－2.5．解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.解方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.因为函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以①当a<－1时，原不等式的解集为{x|a<x<－1}；②当a＝－1时，原不等式的解集为∅；③当a>－1时，原不等式的解集为{x|－1<x<a}．1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论(1)若f (x )有最大值f (x )max ，则a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)若f (x )有最小值f (x )min ，则a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min . 3．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a >0，a <0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两不等根(Δ>0)，两相等实根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2.一、选择题1．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 答案 A解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≠0，(x －1)(2x ＋1)≤0，解得－12<x ≤1.∴原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－12，1.2．若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－3 D ．3 答案 C解析 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立， 又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3， ∴m 的最大值为－3.3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0,4] D ．[0,4]答案 D解析 当a ＝0时，ax 2－ax ＋1<0无解，符合题意． 当a <0时，ax 2－ax ＋1<0解集不可能为空集． 当a ＞0时，要使ax 2－ax ＋1<0解集为空集，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，a ∈[0,4]．4．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <a 或x >1a B.{}x | x >aC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >a 或x <1a D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 答案 A 解析 ∵a <－1，∴a (x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝⎛⎭⎫x －1a >0. 又a <－1，∴1a >a ，∴x >1a或x <a .∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <a 或x >1a . 5．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >14 B ．RC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13<x <32 D ．∅ 答案 A解析 因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点， 又m >0，所以原不等式的解集不可能是B ，C ，D ，故选A.6．若关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的一根比1小且另一根比1大，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 C解析 令f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2， 依题意得f (1)<0，即1＋a 2－1＋a －2<0， ∴a 2＋a －2<0，∴－2<a <1.7．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则实数x 的取值范围是( ) A ．1<x <3 B ．x <1或x >3 C ．1<x <2 D ．x <1或x >2答案 B解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， g (a )＞0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝x 2－3x ＋2>0，g (－1)＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3. 8．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两个正实根，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．(0,2) C ．(－3,0) D ．(－1,3) 考点 “三个二次”间对应关系的应用 题点 由“三个二次”的对应关系求参数值 答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，x 1＋x 2＝3－m ＞0，x 1x 2＝m ＞0，解得0<m ≤1.二、填空题9．不等式5－xx ＋4≥1的解集为 ．答案 ⎝⎛⎦⎤－4，12 解析 因为5－x x ＋4≥1等价于1－2xx ＋4≥0，所以2x －1x ＋4≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋4)≤0，x ＋4≠0，解得－4<x ≤12.10．若不等式ax 2＋2ax －(a ＋2)≥0的解集是∅，则实数a 的取值范围是 ． 答案 (－1,0]解析 当a ＝0时，－2≥0，解集为∅，满足题意；当a ≠0时，a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋4a (a ＋2)<0，解得－1<a <0.综上可知，a 的取值范围是(－1,0]．11．(2018·上饶模拟)当x ＞0时，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则实数a 的最小值为 ． 答案 －2解析 当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立，当Δ＝a 2－4＞0时，有f (0)＝1＞0，若要原不等式恒成立，则需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＞0，－a 2<0，解得a ＞2，所以使不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立的实数a 的最小值是－2. 三、解答题12．对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，求实数a 的取值范围． 解 当a －2≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，4(a －2)2－4(a －2)·(－4)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a 2<4，解得－2<a <2.当a －2＝0时，－4<0恒成立， 综上所述，－2<a ≤2.13．已知一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．解 方法一 由题意可得a <0，且α，β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴由根与系数的关系得⎩⎨⎧ba＝－(α＋β)<0， ①ca ＝αβ＞0， ②∵a <0,0<α<β， ∴由②得c <0，则cx 2＋bx ＋a <0可化为x 2＋b c x ＋ac ＞0.①÷②，得b c ＝－(α＋β)αβ＝－⎝⎛⎭⎫1α＋1β<0. 由②得a c ＝1αβ＝1α·1β＞0.∴1α，1β为方程x 2＋b c x ＋ac ＝0的两根． 又∵0<α<β， ∴0<1β<1α，∴不等式x 2＋b c x ＋ac ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1β或x ＞1α， 即不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1β或x ＞1α. 方法二 由题意知a <0，∴由cx 2＋bx ＋a <0，得c a x 2＋ba x ＋1＞0.将方法一中的①②代入， 得αβx 2－(α＋β)x ＋1＞0， 即(αx －1)(βx －1)＞0. 又∵0<α<β， ∴0<1β<1α.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1β或x ＞1α.14．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，则实数k 的取值范围为 ． 答案 [－3,2)解析 ∵－2是2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的解，∴2(－2)2＋(2k ＋5)(－2)＋5k ＝k －2<0.∴k <2，－k >－2>－52，∴2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝(x ＋k )(2x ＋5)<0的解集为⎝⎛⎭⎫－52，－k ， 又x 2－x －2>0的解集为{x |x <－1或x >2}， ∴－2<－k ≤3，∴k 的取值范围为[－3,2)． 15．解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0. 解 (1)当a ＝0时，原不等式可化为－2x ＋4>0， 解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}．(2)当a >0时，原不等式可化为(ax －2)(x －2)>0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2.①当0<a <1时，2a>2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； ②当a ＝1时，2a＝2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}；③当a >1时，2a <2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a . (3)当a <0时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2，则2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a <x <2. 综上，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <2； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2}；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a .。

不等式的解法1.一元二次不等式的解法(1)含有未知数的最高次数是二次的一元不等式叫做一元二次不等式.(2)—元二次不等式的解法(如下表所示)设a >0, G1, G2是一兀一次方程 aG2+ bG + c= 0的两实根，且 G1 v G2(3)x a x a①> 0(av b)的解集为：｛G|GW a 或 G >b｝; - < 0(av b)的解集为：｛GR< G v b｝.x_ b x_b②从函数观点来看，一元二次不等式aG2+ bG + c> 0(a > 0)的解集是一元二次函数 y =aG2+ bG + c(a> 0)在G轴上方的点的横坐标的集合.③三个“二次”的关系常说的三个“二次”即指二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，这三者之间有着密切的联系，这种联系点可以成为高考中的命题点. 处理其中某类问题时，要善于产生对于另外两个“二次”的联想，或进行转化，或帮助分析•具体到解一元二次不等式时，就是要善于利用相应的二次函数的图象进行解题分析，要能抓住一元二次方程的根与一元二次不等式的解集区间的端点值的联系.2.解一元二次不等式的方法：(1)图象法：先求不等式对应方程的根，再根据图象写出解集.(2)公式法步骤：①先化成标准型：aG2+ bG + c>0(或v 0)，且a>0;②计算对应方程的判别式△;③求对应方程的根；④利用口诀“大于零在两边，小于零在中间”写出解集.3.解绝对值不等式的基本思想1)解绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，把带有绝对值号的不等式等价转化为不含绝对值号的不等式求解，常采用的方法是讨论符号和平方，例如：(1)若a>0,则 |G| v a? —a v G< a? Q v a2；(2)若a>0,则 > a? G< —a,或G>a? G>a2；(3)| f(G)|< g(G)? —g(G)<f(G<g(G;(4)| f (G»l> g(G? f (G»>g(G»或f(G< —g(G(无论g(G»是否为正)•常用的方法有：⑴ 由定义分段讨论；(2)利用绝对值不等式的性质；(3)平方. 2)常见绝对值不等式及解法：(1)| f(G>l > a(a> 0)? f (G > a 或f(G <—a；(2)| f(Q| v a(a> 0)? —a v f(G» < a；(3)| G- a1| + | G- a2| > ( v) b,用零点分区间法.4.一般分式不等式的解法：(1)整理成标准型区> 0(或v 0)或区 > 0(或w 0).g(x) g(x)(2)化成整式不等式来解：①妁>0? f(G) g(G)>0 g(x)②⑷v 0? f(G) g(G)v 0g（x）③0? *f(x)g(x 尸og(x) g(x 尸 0④⑷w 0? <fx）g（x 戶0g(x) g(x 尸 0（3）再讨论各因子的符号或按数轴标根法写出解集.★热点考点题型探析★考点1 一元二次不等式的解法题型1.解一元二次不等式［例1］不等式X2x的解集是（）A . -：：,0 B. 0,1 C. 1,二 D. -：：,0 U 1,::【解题思路】严格按解题步骤进行［解析］由x2x得x（x -1） 0 ,所以解集为-：：,0 U 1, +处）,故选D;别解：抓住选择题的特点，显然当X二2时满足不等式，故选D.【名师指引】解一元二次不等式的关键在于求出相应的一元二次方程的根题型2.已知一元二次不等式的解集求系数.2 1 1 2［例2］已知关于x的不等式ax 2x c 0的解集为（-―，一）,求-ex • 2x -a 0的解集.3 2【解题思路】由韦达定理求系数2 1 1 1 1 2［解析］由ax 2x e 0的解集为（--，）知a ：：： 0 ,,为方程ax 2x ^0的两3 2 3 21 12 1 1 e个根，由韦达定理得，，解得a ~ -12, e = 2, -ex2■ 2x - a 0即3 2 a 3 2 a22x 2x 1^： 0,其解集为C23）.【名师指引】已知一元二次不等式的解集求系数的基本思路是，由不等式的解集求出根，再由韦达定理求系数【新题导练】21.不等式（a — 2）x +2（a — 2） -4 v 0,对一切x € R恒成立，则a的取值范围是（）A. ( 4 ,2]B. (-2,2]C. (-2,2)D. (-a ,2)解析：•••弋 a 2 <0?可推知-2v av2,另a=2时，原式化为-4v 0,恒成立，-2v a<2.选B A<0,2.关于x 的不等式(mx -i)( x -2)> o,若此不等式的解集为｛x |— v Gv 2｝，则m 的取值 m范围是A . m > o B.o v m v 2 C . m >D . m v o座爛翩2解析：由不等式的解集形式知mv 0.答案：D今歹切占财考点2含参数不等式的解法 题型1：解含参数有理不等式例1:解关于x 的一元二次不等式 X 2_ (3 • a)x 3a 0 【解题思路】比较根的大小确定解集解析：••• x 2-(3 a)x 3a 0 ,二 x-3 x 壬aft J ■Q 后尸讥If,⑴当a <3时,xv a 或x J3，不等式解集为<xx v a 或x >3> ； 的叫刚Q 恥2⑵当a = 3时，不等式为(x —3, =0，解集为｛x x E R 且x 式3｝；⑶当a >3寸，x <3或x>a ，不等式解集为l x x【名师指引】解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论 ：①根据二次项系数(大于0,小于0,等于0);②根据根的判别式讨论(—0/ -0^ < 0 ).③根据根的大小讨论(x X 2,x =X 2,M X 2).题型2:解简单的指数不等式和对数不等式1例 2.解不等式 log a (1 — -) > 1 (a 0,ax【解题思路】借助于单调性进行分类讨论1为{G|1v Gv }.:::3或x - a ：-1)解析(1)当a > 1时，原不等式等价于不等式组1由此得1 — a> .因为1-a v 0，所以x(2)当0 v a v 1时，原不等式等价于不等式组:1 1 - >0』x11 一一 >a L. x1Gv 0,「.v Gv 0.1—a 1 -1>0 x由①得G > 1或G v 0，由②得0 综上，当a> 1时，不等式的解集是v G v 1 -a 1 {G|丄 v1 -a ,.•• 1 v Gv1 -a Gv 0｝,当0v av 1时，不等式的解集1 -a【名师指引】解指数不等式与对数不等式通常是由指数函数和对数函数的单调性转化为一般 的不等式(组)来求解，当底数含参数时要进行分类讨论 • 【新题导练】3.关于x 的不等式63x ? 一 2口％ 一 m 2:：: 0的解集为()/ m m 、 / m m 、 / m^ , z m 、A. ( ,) B. ( , ) C.(」：，)U(D.以上答案都不对9 7 7 9 9 7解析：原不等式可化为(x —)(^—h ：0,需对m 分三种情况讨论，即不等式的解集与 m 有关.4.解关于x 的不等式：ax 2「2(a 1)x 4 ：：； 0 解析：(ax — 2)(x — 2) ：：：022_2(a-1)a a2f 21当 a >1=2> 二』X |-<;X£2 A ；— 2 2当 0 ：： a ： ： 1 = 2 x |2 ：： x ::-a l at2亠当 a ：：：0= (_ax 2)(x-2) 0= x|x 或x 2I aJa = 0 = x 2; a = 1 = x ：=①5.考点3分式不等式及高次不等式的解法 ［例 5］解不等式：(X 2-1)(x 2-6x ，8) _0 【解题思路】先分解因式，再标根求解［解析］原不等式 (x-1)(x • 1)(x -2)(x-4) _ 0,各因式根依次为-1,1,2,4,在数轴上标根如下：解析:原不等式二(x a)(x 3)(x 1) 0 ,结合题意画出图可知 a =-2 .6.解关于x 的不等式(a 1)X1■ x(a 0)解：①若0 :::a ：：： _1，则原不等式的解集为(-丄，一 5)(】5，：：)；2a 225亠11亠 5 —②右a 二 ------ ，则原不等式的解集为(- —，•：：);ax 1【名师指引】求解高次不等式或分式不等式一般用根轴法'4,要注意不等式的解集与不等式 对应的方程的根的关系. 【新题导2 2③若a 5 1，则原不等式的解集为(丄 -,-丄)(〔5 ,2 2 a 27.(广东省深圳中学20XX— 20XX学年度高三第一学段考试) 解不等式x x 2(-)4^^ 2.1.解析：幕2x 2(丄)5 . . 221 x2 2x_42二 2 2 >22即23x，. 22得x ■ 5所以原不等式的解集为{x |x ■ -}6 6考点4简单的恒成立问题题型1:由二次函数的性质求参数的取值范围例1.若关于x 的不等式ax 22x 2 ■ 0在R 上恒成立，求实数a 的取值范围• 【解题思路】结合二次函数的图象求解［解析］当a =0时，不等式2x 2 . 0解集不为R ，故a =0不满足题意fe>02 ，解得a22 -4 2a ：：01综上，所求实数a 的取值范围为(丄，•：：)2a = 0x • R 恒成立二 b = 0或c 0a = 0“、2i 亠「a v 0不等式ax bx c ::: 0对任意x • R 恒成立二 b = 0或 2b 2 -4ac ： 0c ：： 0题型2.转化为二次函数的最值求参数的取值范围【解题思路】先分离系数，再由二次函数最值确定取值范围 •［解析］(1)设 f (x)二 ax 2bx c(a = 0) •由f (0) =1 得 c = 1，故 f(x) = ax 2bx 1.••• f(x 1) - f (x) =2x . a(x 1)2 b(x 1) 1 - (ax 2bx1^2x即 2ax a b = 2x ,所以 2a =2,a b = 0,解得 a =1,b = -1f (x) = x 2 - x 12 2(2)由(1)知 x -x 1 2x m 在［-1,1］恒成立，即 m . x -3x 1 在［-1,1］恒成立•人23 2 5令 g(x)二x - 3x ，1=(x-—) -一，则 g(x)在［-1,1］上单调递减•所以 g(x)在［-1,1］上2 4的最大值为g(1H-1 •所以m 的取值范围是(」：，-1)・【名师指引】m_f(x)对一切R 恒成立，则m 乞［f (x)］min ; m 一 f(x)对一切R 恒成 立，则 m_［f(X)］max ； 【新题导练】1>—2当a = 0时,要使原不等式解集为 R ,只需【名师指引】不等式 ax 2bx c - 0对一切 a 0 :=b 2—8.不等式ax2+4x+a >1-2x2对一切R恒成立，则实数 a的取值范围是 __________________ . ［解析］:不等式ax24x a • 1 -2x2对一切x R恒成立，即(a ' 2)x2 4x ^1 0对一切x R恒成立若a ' 2=0,显然不成立a 2 0若a + 2式0，则』• : :: 019•若不等式G2+ aG + 1 _0对于一切 G (0,—)成立，贝V a的取值范围是25C.—2 a a 1解析：设f ( G)= G 2+ aG + 1，则对称轴为 G = 一 —，若一，即a< — 1时，贝U f (G)2 2_2 一5 __I 2a 1a 若0乞一 "，即一 1 <a_0，则应有f (——)2 225故- SO.综上，有-尹故选C.★抢分频道★基础巩固训练1.不等式—x 2+5x+6 >0的解集是 _______________2解析：将不等式转化成x -5x -6 ::： 0，即X 1 x - 6 ::: 0.] 2.若不等式x2-ax-b ：：：0的解集为{x | 2 ：：： x ：：： 3},则不等式bx 2-ax-1・0的解集为2 2.解析：先由方程x -ax-b=0的两根为 2和3求得a,b 后再解不等式 bx-ax-1・0.得 (1 1 )I 一一，一— I 2 3丿23.(广东省五校20XX 年高三上期末联考)若关于x 的不等式g(x)_a a 1(x R)的解 集为空集，则实数a 的取值范围是 ____________________________________ .解析：g(x) _a 2a 1(^ R)的解集为空集，就是 仁[g(x)]maG < a 2a 1 所以 a (」：，-1) _• (0,二)214(08梅州)设命题 P ：函数f(x) =lg(ax -x a)的定义域为R ；命题 q:不等式16\ 1 ' 2x ::: 1 ' ax 对一切正实数均成立。

一元二次不等式与特殊的高次不等式解法例1 解不等式0)1)(4(<-+x x .分析：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等式的解集是下面两个不等式组：⎩⎨⎧<+>-0401x x 与⎩⎨⎧>+<-0401x x 的解集的并集，即{x|⎩⎨⎧<+>-0401x x }∪⎩⎨⎧>+<-0401|{x x x }=φ∪{x|-4<x<1}={x|-4<x<1}.书写时可按下列格式：解：∵(x-1)(x+4)<0⇔⎩⎨⎧<+>-0401x x 或⎩⎨⎧>+<-0401x x ⇔x∈φ或-4<x<1⇔-4<x<1，∴原不等式的解集是{x|-4<x<1}.小结：一元二次不等式)a ()c bx ax (c bx ax 00022≠<++>++或的代数解法：设一元二次不等式)a (c bx ax 002≠>++相应的方程)a (c bx ax 002≠=++的两根为2121x x x x ≤且、，则00212>--⇔>++)x x )(x x (a c bx ax ；①若⎩⎨⎧>>⎩⎨⎧<<⇒⎩⎨⎧>->-⎩⎨⎧<-<->.x x ,x x ,x x ,x x .x x ,x x ,x x ,x x ,a 2121212100000或或则得 当21x x <时，得1x x <或2x x >；当21x x =时，得1x x ,R x ≠∈且. ②若⎩⎨⎧><⎩⎨⎧><⇒⎩⎨⎧>-<-⎩⎨⎧>-<-<.x x ,x x ,x x ,x x .x x ,x x ,x x ,x x ,a 2121212100000或或则得 当21x x <时，得21x x x <<；当21x x =时，得∅∈x .分析二：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x （从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x 轴分为三部分：（-∞，-4）（-4，1）（1，+∞）；②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；解：①检查各因式中x 的符号均正；②求得相应方程的根为：-2，1，3；③列表如下：④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-2<x<1或x>3}.小结：此法叫列表法，解题步骤是：①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)…(x-x n)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……；②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；④看下面积的符号写出不等式的解集.练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1<x<0或2<x<3}.思考：由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数图像求解例2图练习图直接写出解集：{x|-2<x<1或x>3}. {x|-1<x<0或2<x<3}在没有技术的情况下：可大致画出函数图星求解，称之为串根法①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.注意：奇穿偶不穿例3解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：④∴原不等式的解集为：{x|-1<x<2或2<x<3}.说明：∵3是三重根，∴在C 处穿三次，2是二重根，∴在B 处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x 1)n 时，n 为奇数时，曲线在x 1点处穿过数轴；n 为偶数时，曲线在x 1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.练习：解不等式：(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0.解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2≤0；②求得相应方程的根为：-2（二重），-1，3；③在数轴上表示各根并穿线，如图：④∴原不等式的解集是{x|-1≤x ≤3或x=-2}.说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉.2．分式不等式的解法 例4 解不等式：073<+-x x .错解：去分母得03<-x ∴原不等式的解集是{}3<x |x .解法1：化为两个不等式组来解：∵073<+-x x ⇔⎩⎨⎧>+<-⎩⎨⎧<+>-07030703x x x x 或\ ⇔x ∈φ或37<<-x ⇔37<<-x ，∴原不等式的解集是{}37<<-x |x . 解法2：化为二次不等式来解： ∵073<+-x x ⇔⎩⎨⎧≠+<+-070)7)(3(x x x ⇔37<<-x ，∴原不等式的解集是{}37<<-x |x 说明：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)≤0，则不等式解集中应注意x ≠-7的条件，解集应是{x| -7<x ≤3}. 小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x ，不等式两边同乘以一个含x 的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移项，通分，右边化为0，左边化为)x (g )x (f 的形式. 例5 解不等式：0322322≤--+-x x x x . 解法1：化为不等式组来解较繁.解法2：∵0322322≤--+-x x x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠--≤--+-0320)32)(23(222x x x x x x ⇔⎩⎨⎧≠+-≤+---0)1)(3(0)1)(3)(2)(1(x x x x x x ，∴原不等式的解集为{x| -1<x ≤1或2≤x<3}.练习：解不等式253>+-x x . 答案： 2.{x|-13<x<-5}. 练习：解不等式：123422+≥+--x x x x.（答：{x|x ≤0或1<x<2}）三、小 结1．特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x 的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律作；②注意边界点（数轴上表示时是“0”还是“.”）.2．分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为)x (g )x (f >0(或)x (g )x (f <0)的形式，转化为：)0)(0)()((0)(0)()(⎩⎨⎧≠<⎩⎨⎧≠>x g x g x f x g x g x f 或，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式 . 3．一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式. 4．注意必要的讨论.5．一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴. 五、思考题：1． 解关于x 的不等式：(x-x 2+12)(x+a)<0.解：①将二次项系数化“+”为：(x 2-x-12)(x+a)>0，②相应方程的根为：-3，4，-a ，现a 的位置不定，应如何解？ ③讨论：ⅰ当-a>4，即a<-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| -3<x<4或x>-a}.ⅱ当-3<-a<4，即-4<a<3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| -3<x<-a 或x>4}.ⅲ当-a<-3，即a>3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| -a<x<-3或x>4}.ⅳ0当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| x>-3}.ⅴ当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| x>4}.2．若不等式13642222<++++x x kkx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的范围.(提示：4x 2+6x+3恒正)（答：1<k<3）。

.课题： 1.5 一元二次不等式（二）――高次不等式、分式不等式解法教课目标：1．稳固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单的分式不等式和特别的高次不等式的解法；2．培育数形联合的能力，一题多解的能力，培育抽象归纳能力和逻辑思想能力；3．激发学习数学的热忱，培育勇于探究的精神，勇于创新精神，同时领会从不一样侧面察看同一事物思想教课要点：简单的分式不等式和特别的高次不等式的解法教课难点：正确串根（根轴法的使用）讲课种类：新讲课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容剖析：1．本小节第一比较学生已经认识的一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，从而获得利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法说明一元二次不等式能够转变为一元一次不等式组，由此引出简单的分式不等式的解法2．本节课学习简单的分式不等式和特别的高次不等式的解法，这是这小节的要点，要点是弄清简单的分式不等式和特别的高次不等式解法的根轴法的使用教课过程：一、复习引入：1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2．一元二次不等式的解法步骤一元二次不等式 ax 2bx c 0或 ax2bx c 0 a0 的解集：设相应的一元二次方程 ax2bx c 0 a0 的两根为 x1、 x2且 x1x2，b24ac ，则不等式的解的各样状况以下表：(课本第19 页)000二次函数y ax2bx c y ax 2bx c y ax 2bx c y ax2bx c（ a0 ）的图象.一元二次方程有两相异实根 有两相等实根ax 2 bx c 0x 2 )x 1 x 2b a 0 的根 x 1, x 2 (x 1无实根2aax 2 bx c 0x 1或 x x 2x xb(a 0)的解集 x x 2aRax 2 bx c 0x x 2( a 0)的解集 x x 1前言：今日我们来研究一元二次不等式的此外解法，以及特别的高次不等式、分式不等式的解法二、解说新课：⒈ 一元二次不等式与特别的高次不等式解法例 1 解不等式 ( x 4)( x 1) 0.剖析一：利用前节的方法求解；剖析二：由乘法运算的符号法例可知，若原不等式建立，则左侧两个因式一定异号，x 1 0 x 1 0 ∴原不等式的解集是下边两个不等式组：4与4的解集的并集，x xx 1 0 x 1 0即 {x|4 }∪ { x |x4}= φ∪{x|-4<x<1}={x|-4<x<1}.书写时可按以下格x式：解二：∵ (x-1)(x+4)<0x 1 0 x 1 0x4 0或4 0xx ∈φ或-4<x<1 -4<x<1 ，∴原不等式的解集是 {x|-4<x<1}.小结：一元二次不等式 ax 2 bx c 0 ( 或 ax 2 bx c 0 ) (a0 ) 的代数解法： 设一元二.次不等式 ax2bx c0 (a0) 相应的方程ax2 bx c 0(a0) 的两根为 x1、x2且 x1x2，则 ax2bx c 0a(x x1 )( x x2 ) 0 ；①若 a 0 , 则得x x10,或xx10,xx1,或x x1,x x20,x x20.x x2 ,x x2 .当 x1x2时，得 x x1或 x x2；当 x1x2时，得 x R , 且 x x1.②若 a 0 , 则得x x10,或x x10,xx1,或x x1, x x20,x x20.x x2 ,x x2 .当 x1x2时，得 x1x x2；当 x1 x2时，得x.剖析三：因为不等式的解与相应方程的根相关系，所以可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：①求根：令(x-1)(x+4)=0 ，解得x（从小到大摆列）分别为-4 ， 1，这两根将x 轴分为三部分：（ -，-4）（-4，1）（1，+）；②剖析这三部分中原不等式左侧各因式的符号（-，-4）（-4，1）（1，+）x+4-++x-1--+(x-1)(x+4)+-+③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4<x<1}.例 2 ：解不等式： (x-1)(x+2)(x-3)>0 ；解：①检查各因式中 x 的符号均正；②求得相应方程的根为： -2 ， 1， 3；③列表以下：-213x+2-+++x-1--++x-3---+各因式积-+-+④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-2<x<1或 x>3}.小结：此法叫列表法，解题步骤是：.①将不等式化 (x-x1)(x-x2) ⋯(x-xn)>0(<0)形式（各 x 的符号化“+ ”，）令 (x-x1)(x-x2)⋯(x-xn)=0 ，求出各根，不如称之分界点，一个分界点把（数）数分红两部分，n 个分界点把数分红n+1 部分⋯⋯；②按各根把数分红的 n+1 部分，由小到大横向摆列，相各因式向摆列（由小根的因式开始挨次自上而下摆列）；③算各区内各因式的符号，下边是乘的符号；④看下边的符号写出不等式的解集.：解不等式： x(x-3)(2-x)(x+1)>0.{x|-1<x<0或 2<x<3}.思虑：由函数、方程、不等式的关系，可否作出函数像求解直接写出解集： {x|-2<x<1或 x>3}.{x|-1<x<0或2<x<3}在没有技的状况下：可大概画出函数形求解，称之根法练习图（零点分段法）例 2 图①将不等式化 (x-x1)(x-x2) ⋯(x-xn)>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+ ”；(了一方便 )②求根，并在数上表示出来；③由右上方穿，数上表示各根的点（什么？）；④若不等式（ x 的系数化“+”后）是“>0 ”,找“ ”在x 上方的区；若不等式是“<0 ”, 找“ ”在x 下方的区 .注意：奇偶不2 3例 3 解不等式： (x-2) (x-3) (x+1)<0.解：① 各因式中x 的符号均正；②求得相方程的根：-1 ， 2， 3（注意： 2 是二重根， 3 是三重根）；③在数上表示各根并穿，每个根穿一次（自右上方开始奇偶不），以下：④∴原不等式的解集：{x|-1<x<2或2<x<3}.明：∵ 3 是三重根，∴在 C 三次， 2 是二重根，∴在 B 两次，果相当于没 .由此看出，当左f(x)有同样因式 (x-x1) n， n 奇数，曲在x1点穿数； n 偶数，曲在x1点不穿数，不如“奇偶不”.：解不等式： (x-3)(x+1)(x2+4x+4)0..解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2 0；②求得相应方程的根为：-2 （二重）， -1 ， 3；③在数轴上表示各根并穿线，如图：④∴原不等式的解集是{x|-1 x 3 或 x=-2}.说明：注意不等式若带“ = ”号，点画为实心，解集界限处应有等号；此外，线虽不穿过-2 点，但 x=-2知足“= ”的条件，不可以遗漏 .2．分式不等式的解法例 4x 30 .解不等式：7x错解：去分母得 x3 0∴原不等式的解集是x | x 3 .解法 1：化为两个不等式组来解：x 3 x 3 0 x 3 037 x 3，∵x 7或7 x ∈φ或 7 xx7x∴原不等式的解集是 x | 7x3 .解法 2：化为二次不等式来解：x 3 ( x 3)( x 7)7 x 3，∵x 7 0x7∴原不等式的解集是 x | 7 x3说明：若此题带“ = ”，即(x-3)(x+7)0 ，则不等式解集中应注意 x -7 的条件，解集应是 {x| -7<x 3}.小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数 x ，不等式两边同乘以一个含 x 的式子，它的正负不知，不等号方向没法确立，无从解起，若议论分母的正负，再解也能够，但太复杂 .所以，解分式不等式，切忌去分母 .f ( x) 解法是：移项，通分，右侧化为0，左侧化为的形式 .g (x)例 5 解不等式：x 23x 2x 20 .2x 3解法 1：化为不等式组来解较繁 .x 2 3x 2 ( x 2 3x 2)( x 22x 3) 0解法 2：∵.(x1)( x2)( x3)(x 1)0(x3)( x1)0，∴原不等式的解集为 {x| -1<x 1 或 2 x<3}.-1 1 23也能够直接用根轴法（零点分段法）求解：练习： 1.课本 P21 练习： 3⑴⑵； 2.解不等式x3x 2 .5答案： 1.⑴{x|-5<x<8} ；⑵ {x|x<-4, 或 x>-1/2}；2.{x|-13<x<-5}.2 解不等式：2 4 x0 或 1<x<2} ）2x 1.（答：{x|xx3x 2三、小结：1．特别的高次不等式即右侧化为0，左侧可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左侧各因式中 x 的系数化为“+ ”，如有因式为二次的（不可以再分解了）二次项系数也化为“ + ”，再按我们总结的规律作；②注意界限点（数轴上表示时是“ 0 ”仍是“.”）.f ( x)>0( 或f ( x)2．分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为<0) 的形式，转变g( x)g( x)f (x) g( x) 0 f ( x) g(x)0为：(或) ，即转变g (x) 0g( x) 0为一次、二次或特别高次不等式形式.也能够直接用根轴法（零点分段法）求解3．一次不等式，二次不等式，特别的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式 .4．注意必需的议论.5．一次、二次不等式构成的不等式组仍要借助于数轴.四、、部署作业五、思虑题：21．解对于 x 的不等式： (x-x +12)(x+a)<0.2解：①将二次项系数化“ + ”为：(x -x-12)(x+a)>0，②相应方程的根为：-3 ，4，-a ，现 a 的地点不定，应怎样解？③议论：ⅰ当 -a>4 ，即 a<-4时，各根在数轴上的散布及穿线以下：-34-a x∴原不等式的解集为 {x| -3<x<4或 x>-a}..ⅱ当 -3<-a<4，即-4<a<3时，各根在数轴上的散布及穿线以下：-3-a4x∴原不等式的解集为{x| -3<x<-a或x>4}.ⅲ当 -a<-3 ，即 a>3 时，各根在数轴上的散布及穿线以下：-a-34x∴原不等式的解集为 {x| -a<x<-3或 x>4}.ⅳ当 -a=4 ，即 a=-4时，各根在数轴上的散布及穿线以下：-3 4 -a x∴原不等式的解集为 {x| x>-3}.ⅴ当 -a=-3，即 a=3 时，各根在数轴上的散布及穿线以下：-3-a4x∴原不等式的解集为 {x| x>4}.2x 22kx kk 的取值范围 .(提示：2．若不等式26x 1 对于x取任何实数均建立，求4x324x +6x+3 恒正 )（答： 1<k<3 ）六、板书设计（略）七、课后记：。

分式方程与分式不等式分式方程与分式不等式是高中数学中的重要内容，它们在代数方程与不等式的研究中起着重要的作用。

本文将介绍分式方程与分式不等式的基本概念、解法以及应用。

一、分式方程分式方程是一个含有分式的方程，它的解是使得方程两边的分式取相同值的数。

分式方程的基本形式为：$\frac{P(x)}{Q(x)}=c$其中，P(x)和Q(x)为多项式，c为常数。

解分式方程的关键是求出使得方程成立的x值。

解分式方程的步骤如下：1. 将分式方程中的所有分式转化为通分形式，即找到它们的最小公倍数，并将各个分式乘以使分母相同的因子。

2. 化简方程，合并同类项。

3. 将方程转化为多项式方程，通过去分母的操作，可以用等式的形式表示。

4. 求解多项式方程，得到方程的解。

需要注意的是，解分式方程时，要注意验证所得的解是否满足原始方程。

二、分式不等式分式不等式是一个含有分式的不等式，它的解是使得不等式成立的x值。

分式不等式的基本形式为：$\frac{P(x)}{Q(x)}>a$或$\frac{P(x)}{Q(x)}<a$其中，P(x)和Q(x)为多项式，a为常数。

解分式不等式的关键是求出使得不等式成立的x值所在的区间。

解分式不等式的步骤如下：1. 将分式不等式中的所有分式转化为通分形式，方法与解分式方程类似。

2. 化简不等式，合并同类项。

3. 将不等式转化为多项式不等式。

4. 求解多项式不等式，得到x所在的区间。

需要注意的是，解分式不等式时，要注意分母的正负情况，以及不等式中的临界点。

三、应用举例分式方程与分式不等式在实际问题中有着广泛的应用。

下面分别举例说明。

例1：企业利润分配某企业盈利纳入员工利益分享计划，根据企业盈利比例，公司将利润的30%分配给员工。

其中，员工A分得的利润为整个利润的1/4，员工B分得的利润是员工A分得利润的2/3。

求员工A和员工B分得的利润。

解：设整个利润为x，员工A分得的利润为$\frac{1}{4}$ *$\frac{3}{10}$ * x = $\frac{3}{40}$ * x员工B分得的利润为$\frac{2}{3}$ * $\frac{3}{40}$ * x =$\frac{1}{20}$ * x所以，员工A和员工B分得的利润分别为$\frac{3}{40}$x和$\frac{1}{20}$x。

二元一次不等式的解法与分式不等式的解法一、基础知识考点对于一元二次方程)0(02>=++a c bx ax ，设△=ac b 42-，他的解按 分为三种情况，相应地，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 与x 轴的相对位置也分为三种情况，所以也就分这三种情况讨论对应的一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 与)0(02>>++a c bx ax的解集。

请完成下列表格：注：当一元二次不等式02>++c bx ax 的二次项系数<a 时应怎样处理？二、基础练习例1、解下列不等式（1）022>--x x ； （2）0322>-+-x x ； （3）02322>-+x x ； （4）1)2()3(-+≤-x x x x ； （5）412->-x x题型1.关于0))((>--b x a x 、0))((<--b x a x 且（b a >）型的不等式的解法： 解法一：利用一元二次不等式的解法： 解法二：转化为一元一次不等式组：0))((>--b x a x ⎩⎨⎧⇔ 或⎩⎨⎧0))((<--b x a x ⎩⎨⎧⇔ 或⎩⎨⎧例2、解关于x 的不等式0)7)(3(<+-x x 的解集题型2、0>--bx a x 、0<--bx a x 型不等式的解法解法一：转化为一元一次不等式组：0>--b x ax ⎩⎨⎧⇔ 或⎩⎨⎧0<--b x ax ⎩⎨⎧⇔ 或⎩⎨⎧解法二：转化为一元二次不等式：0>--bx a x ⇔0))((>--b x a x ；0<--bx a x ⇔0))((<--b x a x例4、解下列关于x 的不等式 （1）073<--x x ；（2）073≤--x x ；（3）373≤--x x ；（4）1373+≤--x x x【思考题】研究一元二次方程)0(02>=++a c bx ax 两根的分布； 对于一元二次方程根的分布问题可以结合相应二次函数的图像求解。