向量的数乘经典练习题

3.1.2.空间向量的数乘运算专项练习一、选择题(每小题5分，共20分)1．若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|a ||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝1⇔〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时，不能成立．答案： A2．已知空间四边形ABCD 的对角线为AC ，BD ，设G 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC → 解析： AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →.答案： A3．下列条件使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →＋OC → B.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 C.OM →＝15OA →＋23OB →＋12OC →D.MA →＋MB →＋MC →＝0解析： 根据共面向量定理知A ，B ，C 均错，只有D 能使其一定共面． 答案： D4．对于空间任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝1是P ，A ，B ，C 四点共面的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析： 若x ＋y ＋z ＝1，则OP →＝(1－y －z )OA →＋yOB →＋zOC →，即AP →＝yAB →＋zAC →，由共面定理可知向量AP →，AB →，AC →共面，所以P ，A ，B ，C 四点共面；反之，若P ，A ，B ，C 四点共面，当O 与四个点中的一个(比如A 点)重合时，OA →＝0，x 可取任意值，不一定有x ＋y ＋z ＝1，故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题：①向量a ，b ，c 共面，则它们所在的直线也共面；②若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b ＝λa ；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部．上述命题中的真命题是________．解析： ①中a 所在的直线其实不确定，故①是假命题；②中当a ＝0，而b ≠0时，则找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；③中M 是△ABC 的重心，故M 在平面ABC 上且在△ABC 内，故③是真命题．答案： ③6．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC →＋AB 1→＋AD 1→与向量AC 1→之间的关系是________． 解析： ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，AC →＝AB →＋AD →，AB 1→＝AB →＋AA 1→，AD 1→＝AD →＋AA 1→，∴AC →＋AB 1→＋AD 1→＝2AC 1→.答案： AC →＋AB 1→＋AD 1→＝2AC 1→三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线． 证明： 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →.∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c . ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →.又∵EF →与EB →有公共点E ， 所以E ，F ，B 三点共线．8．如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．解析： ∵AE →＝AB →＋BC →＋CE →＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC →＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC →)＝－OA →＋12(OD →＋AB →)＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA →)＝－32OA →＋12OD →＋12OB →，∴x ＝12，y ＝－32.(10分)如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． 解析： (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ， 连接MN ，NQ ，QR ，RM ，∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形， ∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →) ＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →) ＝32(EF →＋EH →)． 又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面． (2)平行．证明如下： 由(1)得MQ →＝32EG →，∴MQ →∥EG →， ∴EG ∥平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE →＝32EF →，∴MN →∥EF →.即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF ＝E ，∴平面EFGH 与平面ABCD 平行．。

第六章 6.2.3向量的数乘运算【基础篇】题型1 向量的数乘的定义与运算法则 1．已知λ∈R ，则下列结论正确的是( ) A ．|λa |＝λ|a | B ．|λa |＝|λ|a C ．|λa |＝|λ||a |D ．|λa |>02．若a ，b 为已知向量，且 23(4a －3c )＋3(5c －4b )＝0，则c ＝________.题型2 向量的数乘的应用3．如图，在△ABC 中，D 是边BC 的中点，AG →＝2GD →，则用向量AB →，AC →表示BG →为( )A .BG →＝－23AB →＋13AC →B .BG →＝－13AB →＋23AC →C .BG →＝23AB →－13AC →D .BG →＝23AB →＋13AC →4．如图，在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，DC 的中点，AD →＝m ，BC →＝n ，则EF →＝( ) A .12m ＋12n B .23m ＋13n C.34m ＋14nD .13m ＋23n题型3 向量共线的判定5．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，且a ，b 不共线，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线6．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O.若2OA →＋3OC →＝2OD →＋3OB →，则四边形ABCD 一定是( ) A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．菱形7．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，其中e 1，e 2不共线．问是否存在实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？题型4 向量共线定理的应用8．如图，在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是BN 上一点．若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A .911B .211C .311D .1119．在△ABC 中，点D 在边BC 的延长线上，且BC →＝3CD →.若AO →＝xAB →＋(1－x)AC →，－13<x<0，则点O 在( ) A ．线段BC 上 B ．线段CD 上 C ．线段AC 上D ．线段AD 上10．在△ABC 中，点D 满足AD →＝16AB →＋12AC →，直线AD 与BC 交于点E ，则|CE →||CB →|的值为( ) A .12 B .13 C .14D .1511．设e 1，e 2是空间内两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋ke 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k ＝________．【提升篇】1．在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，则( ) A .AO →＝AB →＋AD → B .AO →＝12(AB →＋AD →)C .AO →＝AB →－AD → D .AO →＝12(AB →－AD →)2．已知向量a ，b 不共线．若向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，则λ的值为( ) A ．1 B ．0C ．－1D ．±13．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，已知PTAP ＝5－12，则( )A .CT →＝3－52CA →＋3－52CE →B .CT →＝5－12CA →＋5－12CE →C .CT →＝3－54CA →＋3－54CE →D .CT →＝3－54CA →＋5－12CE →4．已知O 是平面内一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心5．(多选)[重庆南开中学2022质量检测]已知点P 是△ABC 的中线BD 上一点(不包含端点)且AP →＝xAB →＋yAC →，则下列说法正确的是( ) A ．x ＋2y ＝1B ．2x ＋y ＝1C ．2x ＋4y ≥2 2D ．log 2x ＋log 2y≥－36．(多选)[山东师范大学附属中学2022高一月考]已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且PA →＋2PB →＋3PC →＝0.若E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．向量PA →与PC →可能平行 B ．点P 在线段EF 的延长线上 C ．点P 在线段EF 上 D ．PE ∶PF ＝2∶17．已知M 是△ABC 所在平面内的一点．若满足6AM →－AB →－2AC →＝0，且S △ABC ＝λS △ABM ，则实数λ的值是________．8．[山东历城二中、章丘四中等校2022高一联考]在△ABC 中，点P 满足BP ＝2PC ，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AB →＝λAM →，AC →＝μAN →(λ>0，μ>0)，求1λ＋1μ的最小值．9．已知e 1，e 2是平面上两个不共线的向量，且AB →＝k e 1－4e 2，CD →＝－e 1＋k e 2，BD →＝e 1＋2e 2.(1)若AB →，CD →方向相反，求k 的值； (2)若A ，C ，D 三点共线，求k 的值．答案及解析1.【答案】C【详解】当λ<0时，|λa |＝λ|a |不成立，A 错误；|λa |是一个非负实数，而|λ|a 是一个向量，B 错误；当λ＝0或a ＝0时，|λa |＝0，D 错误．故选C. 2.【答案】1213b －839a【详解】∵23(4a －3c )＋3(5c －4b )＝0，∴83a －2c ＋15c －12b ＝0，化简得13c ＝12b －83a ，∴c ＝1213b －839a . 3.【答案】A【详解】由题意可得BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋23AD →＝BA →＋23×12(AB →＋AC →)＝BA →＋13AB →＋13AC →＝13AC→－23AB →.故选A. 4.【答案】A【详解】由已知可得CF →＋DF →＝0，EA →＋EB →＝0，由平面向量的加法可得⎩⎪⎨⎪⎧EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →，上述两个等式相加可得2EF →＝AD →＋BC →＝m ＋n ，则EF →＝12(m ＋n )．故选A. 5.【答案】B【详解】∵AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，且a ，b 不共线，∴BD →＝BC →＋CD →＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b .∵AB →＝a ＋5b ，∴BD →＝AB →，即BD →与AB →共线，则A ，B ，D 三点共线，故选B. 6.【答案】B【详解】∵2OA →＋3OC →＝2OD →＋3OB →，∴2(OA →－OD →)＝3(OB →－OC →)，∴2DA →＝3CB →，∴四边形ABCD 一定是梯形．故选B.7.【答案】由题意得d ＝λa ＋μb ＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2， 若d 与c 共线，则存在实数k ≠0，使d ＝kc ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2ke 1－9ke 2，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，解得λ＝－2μ. 故存在实数λ，μ，且λ＝－2μ，使d 与c 共线． 8.【答案】D【详解】由题意可得AC →＝5AN →，则AP →＝mAB →＋211×5AN →＝mAB →＋1011AN →.因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋1011＝1，即m ＝111.9.【答案】B【详解】由向量共线定理可知O ，B ，C 三点共线． ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3AD →－3AC →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.又∵－13<x <0，∴点O 在线段CD 上，且不与C ，D 两点重合．10.【答案】C【解析】设AE →＝λAD →＝λ6AB →＋λ2AC →，则CE →＝AE →－AC →＝λAD →－AC →＝λ6AB →＋λ2AC →－AC →＝λ6AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2－1AC →， CB →＝AB →－AC →，且CE →，CB →共线，设CE →＝kCB →， 则λ6AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2－1AC →＝k (AB →－AC →)， 所以⎩⎨⎧λ6＝k ，λ2－1＝－k ，所以λ6＝1－λ2，解得λ＝32，此时CE →＝14AB →－14AC →，所以CE →＝14CB →，故|CE →||CB →|＝14.故选C. 11.【答案】1【详解】依题意，CD →＝e 1＋2e 2， 故AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝7e 1＋(k ＋6)e 2. 已知A ，B ，D 三点共线，可设AD →＝λAB →， 则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋ke 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧7＝λ，k ＋6＝kλ，解得k ＝1.1.【答案】B【详解】如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，由平行四边形法则得AB →＋AD→＝AC →＝2AO →，所以AO →＝12(AB →＋AD →)．故选B.2.【答案】C【详解】∵向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，∴(a ＋λb )∥(b ＋λa )．由向量共线的充要条件可知，存在一个实数m ，使得a ＋λb ＝m (b ＋λa )，即(1－mλ)a ＝(m －λ)b .∵a 与b 不共线，∴1－mλ＝m －λ＝0，可得m ＝λ.∴1－λ2＝0，λ＝±1.当λ＝1时，向量a ＋b 与b ＋a 是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去．∴λ＝－1.3.【答案】A【详解】设AP ＝1，则PT ＝5－12＝TS ，CP ＝1＋5－12＝5＋12＝CS ， CT →＝CA →＋AT →＝CA →＋25－1TS →＝CA →＋25－1(CS →－CT →)＝CA →＋25－1(1＋5－122＋5－12CE →－CT →)＝CA→＋CE →－5＋12CT →，所以5＋32CT →＝CA →＋CE →，所以CT →＝3－52CA →＋3－52CE →. 故选A. 4.【答案】B【详解】AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，设∠BAC 的平分线为AD ，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为AD → 的方向． 又∵λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在射线AD 上移动． ∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心． 5.【答案】AC【详解】因为AP →＝xAB →＋yAC →，所以AP →＝xAB →＋2yAD →.又B ，P ，D 三点共线，所以x ＋2y ＝1，所以选项A 正确，选项B 错误．x ＋2y ＝1，所以2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥2 2x ·22y ＝2 2x＋2y＝2 2(当且仅当x ＝12，y ＝14时等号成立)，所以选项C 正确．因为x ＋2y ＝1≥2 2xy ，所以xy ≤18⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝12，y ＝14时等号成立， 所以log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )≤log 218＝－3，所以选项D 错误．故选AC. 6.【答案】CD【详解】点P 为△ABC 所在平面内一点，E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则P A →＋PC →＝2PE →，PB →＋PC →＝2PF →，而P A →＋2PB →＋3PC →＝0，即(PA →＋PC →)＋2(PB →＋PC →)＝0，于是得2PE →＋4PF →＝0，即EP →＝2PF →，所以点P 在线段EF 上，且PE ∶PF ＝2∶1，即点P ，A ，C 不共线，则向量PA →与PC →不可能平行，A 不正确，B 不正确，C 正确，D 正确．故选CD .7.【答案】3【详解】如图，记2AM →＝AN →.∵AN →－AB →＋2AN →－2AC →＝0， ∴BN →＝2NC →，S △ABC ＝32S △ABN .又∵S △ABM ＝12S △ABN ，∴S △ABC ＝3S △ABM ，∴λ＝3.8.【答案】【详解】连接AP ，如图．∵△ABC 中，BP →＝BA →＋AP →，PC →＝PA →＋AC →， 点P 满足BP →＝2PC →， ∴－AB →＋AP →＝2(AC →－AP →)， ∴AP →＝23AC →＋13AB →.又∵AB →＝λAM →，AC →＝μAN →(λ>0，μ>0)， ∴AP →＝2μ3AN →＋λ3AM →.又∵M ，P ，N 三点共线， ∴2μ3＋λ3＝1，λ>0，μ>0， ∴1λ＋1μ＝⎝⎛⎭⎫1λ＋1μ·⎝⎛⎭⎫2μ3＋λ3＝2μ3λ＋λ3μ＋1≥2 2μ3λ·λ3μ＋1＝2 23＋1, 当且仅当2μ3λ＝λ3μ，即⎩⎪⎨⎪⎧μ＝3（2－2）2，λ＝3（2－1） 时取“＝”，则1λ＋1μ的最小值为2 23＋1. 9.【答案】(1)由题意知，AB →∥CD →，则存在λ∈R ，使得AB →＝λCD →，即k e 1－4e 2＝λ(－e 1＋k e 2)，整理得(k ＋λ)e 1＝(kλ＋4)e 2. 由e 1，e 2是不共线的向量，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋λ＝0，kλ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，k ＝2. 又AB →，CD →方向相反，则λ＝－2，k ＝2，故k 的值为2.(2)由题意知，AD →＝AB →＋BD →＝(k ＋1)e 1－2e 2.由A ，C ，D 三点共线得，存在μ∈R ，使得AD →＝μCD →，即(k ＋1)e 1－2e 2＝μ(－e 1＋k e 2)，整理得(k ＋μ＋1)e 1＝(kμ＋2)e 2. 由e 1，e 2是不共线的向量，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋μ＋1＝0，kμ＋2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，μ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，μ＝1.综上，k ＝1或k ＝－2.。

专题6.2 平面向量的加法、减法、数乘运算知识储备一．向量加法的法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则有什么关系？【答案】(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.(2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.二．向量的减法1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则向量a－b＝BA，如图所示.3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.【思考】若a ，b 是不共线向量，|a ＋b |与|a －b |的几何意义分别是什么？【答案】如图所示，设OA ＝a ，OB ＝b .根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有OC ＝a ＋b ，BA ＝a －b .因为四边形OACB 是平行四边形，所以|a ＋b |＝|OC |，|a －b |＝|BA |，分别是以OA ，OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长.三 向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎪⎩⎪⎨⎧<>.00的方向相反时，与当的方向相同；时，与当a a λλ 特别地，当λ＝0时，λa ＝0.当λ＝－1时，(－1)a ＝－a .四 向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .【思考】向量共线定理中为什么规定a ≠0?【答案】若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线.(1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa .(2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·江西高一期末（理））下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．MB AD BM +- B ．()()AD MB BC CM +++C ．()AB CD BC ++D ．OC OA CD -+【答案】A 【解析】对B ，()()AD MB BC CM AD MB BC CM AD +++=+++=，故B 正确； 对C ，()AB CD BC AB BC CD AD ++=++=，故C 正确；对D ，OC OA CD AC CD AD -+=+=，故D 正确；故选：A.2．（2021·北京市第四中学顺义分校高一期末）在平行四边形ABCD 中，设对角线AC 与BD 相交于点O ，则AB CB +=（ ）A ．2BOB ．2DOC ．BD D ．AC【答案】B 【解析】因为四边形ABCD 为平行四边形，故0AO CO +=，故22AB CB AO OB CO OB OB DO +=+++==，故选B.3．（2020·莆田第七中学高二期中）在五边形ABCDE中（如图），AB BC DC+-=（）A．AC B．AD C．BD D．BE【答案】B【解析】AB BC DC AB BC CD AD+-=++=.故选B4．（2020·全国高二单元测试）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则AB＋12BC＋12BD等于（）A．AD B．GA C．AG D．MG 【答案】C【解析】∵四面体A-BCD中，M、G为BC、CD中点，∵12BC BM=，12BD MG=，∵1122AB BC BD AB BM MG AM MG AG ===+++++.故选C 5．（2021·江苏高一）八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH ，其中1OA =，则给出下列结论：①0BF HF HD -+=；①2OA OC OF +=-；①AE FC GE AB +-=．其中正确的结论为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】C 【解析】对于∵：因为BF HF HD BF FH HD BH HD BD -+=++=+=，故∵错误； 对于∵：因为3602908AOC ︒∠=⨯=︒，则以,OA OC 为邻边的平行四边形为正方形， 又因为OB 平分AOC ∠，所以22OA OC OB OF +==-，故∵正确；对于∵：因为AE FC GE AE FC G EG A FC +-=++=+，且FC GB =，所以AE FC GE AG GB AB +-=+=，故∵正确，故选：C.6．（2019·天津市南开区南大奥宇培训学校高三月考）如图，在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，则DC =（ ）A ．a b c -++B ．a b c -+-C ．a b c ++D ．a b c -+【答案】D 【解析】由题意，在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，根据向量的运算法则，可得DC DA AB BC b a c a b c =++=-++=-+.故选D.7．（2020·陕西宝鸡市·高三二模（文））点P 是ABC ∆所在平面内一点且PB PC AP +=，在ABC ∆内任取一点，则此点取自PBC ∆内的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B【解析】设D 是BC 中点，因为PB PC AP +=，所以2PD AP =，所以A 、P 、D 三点共线且点P 是线段AD 的三等分点， 故13PBC ABC S S ∆∆=，所以此点取自PBC ∆内的概率是13．故选B. 8．（2020·自贡市田家炳中学高二开学考试）P 是ABC 所在平面内一点，若CB PA PB λ=+，其中R λ∈，则P 点一定在（ ）A ．ABC 内部B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上【答案】B【解析】根据题意，CB PA PB CB PB PA CP PA λλλ=+⇔-=⇔=，∴点P 在AC 边所在直线上，故选B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

向量数乘和线性运算精选题32道附参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，，，若，则的值为（）A．﹣3B．3C．2D．﹣23．如图，若＝，＝，＝，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是（）A．＝﹣B．＝+C．＝﹣D．＝+4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心5．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则λ•μ等于（）A．B．C．D．6．已知点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，＝，则实数m为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣47．在平行四边形ABCD中，＝，＝，若E是DC的中点，则＝（）A．B．C．﹣+D．﹣+8．已知D为△ABC所在平面内一点，3＝，则＝（）A．﹣+B．+C．﹣D．+9．在△ABC中，，则＝（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，，，BE和CD相交于点F，则向量等于（）A．B．C．D．11．△ABC中，AB＝6，BC＝8，AB⊥BC，M是△ABC外接圆上一动点，若＝λ+μ，则λ+μ的最大值是（）A．1B．C．D．212．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|+|＝|﹣|，则||＝（）A．8B．4C．2D．1二．多选题（共4小题）（多选）13．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若＝，则点M是边BC的中点B．若＝，则点M在边BC的延长线上C．若＝，则点M是△ABC的重心D．若＝，且x+y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的（多选）14．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），则下列说法正确的有（）A．若λ+μ＝1且λ＞0，则点P在线段BC的延长线上B．若λ+μ＝1且λ＜0，则点P在线段BC的延长线上C．若λ+μ＞1，则点P在△OBC外D．若λ+μ＜1，则点P在△OBC内（多选）15．已知正方形ABCD的边长为2，向量，满足，，则（）A．B．C．D．（多选）16．下列四式可以化简为的是（）A．+（）B．（）+（）C．+D．三．填空题（共12小题）17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，•＝﹣，则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则•的最小值为．18．已知O在△ABC内，且S△AOB：S△BOC：S△AOC＝4：3：2，，则λ+μ＝19．已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是．20．在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AD＝DB，BE＝2EC，记，＝，若，则x+y的值为．21．在四边形ABCD中，AB＝6，若，则＝．22．已知△ABC的一内角，AB＝10，AC＝6，O为△ABC所在平面上一点，满足|OA|＝|OB|＝|OC|，设＝m+n，则m+3n的值为．23．在直角坐标系中，O为原点，，则x+y＝．24．已知，，，则＝．25．已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q．若＝，则当ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为．26．如图，给定单位向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的上运动．若，其中x，y∈R，则x+2y的最大值是．27．已知点O是△ABC内部一点，并且满足，△BOC的面积为S1，△ABC 的面积为S2，则＝．28．设λ是正实数，三角形ABC所在平面上的另三点A1，B1，C1满足：＝λ（+），＝λ（+），＝λ（+），若三角形ABC与三角形A1B1C1的面积相等，则λ的值为．四．解答题（共4小题）29．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，AE＝EC，AD，BE交于点F，设＝，＝．（1）用，分别表示向量，；（2）若＝t，求实数t的值．30．如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M，设，．（1）试用向量，表示；（2）过点M作直线EF，分别交线段AC，BD于点E，F．记，，求证：为定值．31．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O 交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当•＝﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||＝||恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．32．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点．（1）若点O满足，求证：；（2）已知E为AC边中点，O在线段DE上，且满足，△BOC的面积为2，求△ABC的面积．向量数乘和线性运算精选题32道参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由可知，＝﹣＝﹣＝﹣++＝，故选：C．2．如图，在△ABC中，，，若，则的值为（）A．﹣3B．3C．2D．﹣2【解答】解：∵＝+，＝＝（﹣）＝﹣＝×﹣＝﹣，∴＝+（﹣）＝+；又＝λ+μ，∴λ＝，μ＝；∴＝×＝3．故选：B．3．如图，若＝，＝，＝，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是（）A．＝﹣B．＝+C．＝﹣D．＝+【解答】解：＝，＝，＝，则＝+＝+＝+（﹣）＝﹣＝﹣．故选：C．4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴+的方向与∠BAC的角平分线一致又∵，∴＝λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选：B．5．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则λ•μ等于（）A．B．C．D．【解答】解：由题意及图，可知：＝+＝+＝+（+）＝﹣，∴λ＝，μ＝﹣，∴λ•μ＝﹣．故选：A．6．已知点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，＝，则实数m为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【解答】解：如图所示，点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，延长OB到D点，以OA，OD为邻边作平行四边形AODF，连接CF分别交AB，AD于E，G点．则点E是△OAD的重心．∵＝，不妨设CE＝7，则OC＝3，OE＝4，EG＝2，OF＝12．∴m＝＝﹣4，解得m＝﹣4．故选：D．7．在平行四边形ABCD中，＝，＝，若E是DC的中点，则＝（）A．B．C．﹣+D．﹣+【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，＝，＝，则＝＝﹣＝﹣，又E是DC的中点，则＝+＝（﹣）+＝﹣＝﹣+．故选：C．8．已知D为△ABC所在平面内一点，3＝，则＝（）A．﹣+B．+C．﹣D．+【解答】解：因为D为△ABC所在平面内一点，3＝，所以．故选：A．9．在△ABC中，，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵；∴；∴．故选：B．10．如图，在△ABC中，，，BE和CD相交于点F，则向量等于（）A．B．C．D．【解答】解：设＝k＝k（﹣）＝k（﹣），∵＝+＝k（﹣）+﹣＝（k﹣1）+（1﹣k），＝﹣＝﹣．∵∥，∴＝λ，则（k﹣1）+（1﹣k）＝λ（﹣）．∴，∴k＝，＝﹣，∴＝+＝+．故选：B．11．△ABC中，AB＝6，BC＝8，AB⊥BC，M是△ABC外接圆上一动点，若＝λ+μ，则λ+μ的最大值是（）A．1B．C．D．2【解答】解：以B为坐标原点，BC方向为X轴正方向建立直角坐标系，∴A（0，6）C（8，0），∴外接圆的方程为：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25，即，∴设M（4+5cosθ，3+5sinθ），∴，，∵，∴，∴，∴，故选：C．12．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|+|＝|﹣|，则||＝（）A．8B．4C．2D．1【解答】解：由＝16，得||＝4，∵＝||＝4，而∴＝2故选：C．二．多选题（共4小题）（多选）13．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若＝，则点M是边BC的中点B．若＝，则点M在边BC的延长线上C．若＝，则点M是△ABC的重心D．若＝，且x+y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的【解答】解：若＝，则点M是边BC的中点，故A正确；若＝，即有﹣＝﹣，即＝，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若＝，即++＝，则点M是△ABC的重心，故C正确；若＝，且x+y＝，可得2＝2x+2y，设＝2，由右图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．故选：ACD．（多选）14．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），则下列说法正确的有（）A．若λ+μ＝1且λ＞0，则点P在线段BC的延长线上B．若λ+μ＝1且λ＜0，则点P在线段BC的延长线上C．若λ+μ＞1，则点P在△OBC外D．若λ+μ＜1，则点P在△OBC内【解答】解：因为若λ+μ＝1且λ＞0，故即又λ＞0则点P在线段BC或其反向延长线上，A错误；若λ+μ＝1且λ＜0，同上可得而λ＜0则点P在线段BC的延长线上，B正确；若λ+μ＞1，，同上可得，当λ+μ＞1时，λ+μ﹣1＞0根据向量加法的平行四边形法则可以看出则点P在△OBC外，C正确；若λ+μ＜1，不防令λ＝0，μ＝﹣1则，很显然此时点P在线段CO的延长线上，不在△OBC内，D错误．故选：BC．（多选）15．已知正方形ABCD的边长为2，向量，满足，，则（）A．B．C．D．【解答】解：由条件可得：，所以，A正确；，与不垂直，B错误；，C错误；，根据正方形的性质有AC⊥BD，所以，D项正确．故选：AD．（多选）16．下列四式可以化简为的是（）A．+（）B．（）+（）C．+D．【解答】解：＝＝，A正确；+＝＝，B正确；＝，C正确；＝，D错误．故选：ABC．三．填空题（共12小题）17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，•＝﹣，则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则•的最小值为．【解答】解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B＝60°，AB＝3，∴A（，），∵BC＝6，∴C（6，0），∵＝λ，∴AD∥BC，设D（x0，），∴＝（x0﹣，0），＝（﹣，﹣），∴•＝﹣（x0﹣）+0＝﹣，解得x0＝，∴D（，），∴＝（1，0），＝（6，0），∴＝，∴λ＝，∵||＝1，设M（x，0），则N（x+1，0），其中0≤x≤5，∴＝（x﹣，﹣），＝（x﹣，﹣），∴•＝（x﹣）（x﹣）+＝x2﹣4x+＝（x﹣2）2+，当x＝2时取得最小值，最小值为，故答案为：，．18．已知O在△ABC内，且S△AOB：S△BOC：S△AOC＝4：3：2，，则λ+μ＝【解答】解：如图，根据题意不妨设△ABC的边，AB＝4，AC＝2，BC＝＝2，建立如图坐标系，则BC的方程为x+2y﹣4＝0，则3a﹣4＜0，设O点坐标为（a，a），点O在三角形内，则O到BC的距离d＝＝，则根据S△AOB：S△BOC：S△AOC＝4：3：2，得（•4a）：（2×）：（×2a），解得a＝，∴＝（，），＝（4，0），＝（0，2），由，得，解得，，所以：λ+μ＝，故填：19．已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是6．【解答】解：如图，设，，由||＝1，且|﹣|∈{1，2}，分别以A1，A2为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．故满足条件的k的最大值为6．故答案为：6．20．在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AD＝DB，BE＝2EC，记，＝，若，则x+y的值为．【解答】解：如图，∵AD＝DB，BE＝2EC；∴，＝，且；∴＝；又；∴根据平面向量基本定理得，；∴．故答案为：．21．在四边形ABCD中，AB＝6，若，则＝12．【解答】解：根据题意，如图，在AB上取一点E，使＝，则有＝+＝+＝+（﹣）＝+，又由，则有＝，四边形AECD为平行四边形，则有＝＝，又由AB＝6，则＝6×2＝12；故答案为：12．22．已知△ABC的一内角，AB＝10，AC＝6，O为△ABC所在平面上一点，满足|OA|＝|OB|＝|OC|，设＝m+n，则m+3n的值为．【解答】解：由得：||＝||＝||，则点O是△ABC的外心，则，由＝10×＝30所以，所以，所以m+3n＝，故答案为：23．在直角坐标系中，O为原点，，则x+y＝0．【解答】解：∵，∴x+y＝2（﹣），∴（x+2）+（y﹣2）＝，∴x＝﹣2，y＝2，x+y＝0，故答案为：0．24．已知，，，则＝2．【解答】解：因为，，，所以＝7，所以＝1，则2＝＝4﹣4×1+4＝4，则＝2．故答案为：2．25．已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q．若＝，则当ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为或．【解答】解：G为△ABC的重心，所以＝+，设＝μ，故＝+，因为P，G，Q三点共线，故+＝1①，所以+＝3，＝＝＝②，由①②得或，故答案为：或．26．如图，给定单位向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的上运动．若，其中x，y∈R，则x+2y的最大值是．【解答】解：根据题意，建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（﹣，）；设∠AOC＝α，则＝（cosα，sinα），∵，∴（cosα，sinα）＝（x，0）+（﹣y，y）；即cosα＝x﹣y，sinα＝y，解得：x＝sinα+cosα，y＝sinα；∴x+2y＝sinα+cosα＝sin（α+θ），其中tanθ＝；又sin（α+θ）≤1，∴x+2y≤．故答案为：．27．已知点O是△ABC内部一点，并且满足，△BOC的面积为S1，△ABC 的面积为S2，则＝．【解答】解：因为，所以，分别取AC，BC的中点D，E，则，，所以，即O，D，E三点共线且，则，因为D为AC中点，所以，所以．故答案为：．28．设λ是正实数，三角形ABC所在平面上的另三点A1，B1，C1满足：＝λ（+），＝λ（+），＝λ（+），若三角形ABC与三角形A1B1C1的面积相等，则λ的值为．【解答】解：△ABC的重心为点G，由题意可知△ABC与△A1B1C1关于中心点G对称，由，＝（+）＝λ（+），故，故答案为：．四．解答题（共4小题）29．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，AE＝EC，AD，BE交于点F，设＝，＝．（1）用，分别表示向量，；（2）若＝t，求实数t的值．【解答】解：（1）由题意，D为BC的中点，且＝，∵+＝2，∴＝2﹣，∴＝﹣＝2﹣﹣＝﹣+2；（2）∵＝t＝t，∴＝﹣＝﹣+（2﹣t），∵＝﹣+2，，共线，∴，∴t＝．30．如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M，设，．（1）试用向量，表示；（2）过点M作直线EF，分别交线段AC，BD于点E，F．记，，求证：为定值．【解答】解：（1）由A，M，D三点共线，可设＝，由B，M，C三点共线，可设＝，因为，不共线，所以，解得，，故．（2）因为E，M，F三点共线，设＝，由（1）知，，即，，所以，故为定值，即得证．31．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O 交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当•＝﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||＝||恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标为（cosα，sinα）；（Ⅱ），，•＝﹣时，即（cos）（cos）+sin2α＝，整理得到cos，所以锐角α＝60°；（Ⅲ）在x轴上假设存在定点M，设M（x，0），，则由||＝||恒成立，得到＝，整理得2cosα（2+x）＝x2﹣4，所以存在x＝﹣2时等式恒成立，所以存在M（﹣2，0）．32．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点．（1）若点O满足，求证：；（2）已知E为AC边中点，O在线段DE上，且满足，△BOC的面积为2，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵D为BC边中点；∴；∴由得，；∴；（2）如图，根据条件：＝＝；∴；∴DE＝3DO；又AB＝2DE；∴AB＝6DO；∴S△ABC＝6S△BOC＝12；即△ABC的面积为12．。

第六章 6.2 6.2.3A 级——基础过关练1．(多选)设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论错误的是( ) A ．a 与－λa 的方向相反 B ．|－λa|≥|a|C ．a 与λ2a 的方向相同D ．|－λa |＝|λ|a【答案】ABD 【解析】当λ取负数时，a 与－λa 的方向是相同的，选项A 错误；当|λ|<1时，|－λa|≥|a |不成立，选项B 错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a 与λ2a 的方向相同．|－λa |＝|λ|a 中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D 错误；故选ABD ．2．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上靠近点B 的一个三等分点，那么EF →＝( )A ．12AB →－13AD →B ．14AB →＋12AD →C ．13AB →＋12AD →D ．12AB →－23AD →【答案】D 【解析】EF →＝EC →＋CF →＝12AB →＋23CB →＝12AB →－23AD →.3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A ．23B ．13C ．－13D ．－23【答案】A 【解析】(方法一)由AD →＝2DB →，可得CD →－CA →＝2(CB →－CD →)⇒CD →＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.故选A ．(方法二)CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.故选A ．4．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．△ABC 内部 B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上 D ．BC 边所在的直线上【答案】B 【解析】∵CB →＝λP A →＋PB →，∴CB →－PB →＝λP A →.∴CP →＝λP A →.∴P ，A ，C 三点共线．∴点P 一定在AC 边所在的直线上．5．(2020年深圳月考)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则( )A ．AB →＋AC →＝3HM →＋3MO → B ．AB →＋AC →＝3HM →－3MO → C ．AB →＋AC →＝2HM →＋4MO →D ．AB →＋AC →＝2HM →－4MO →【答案】D 【解析】如图所示的Rt △ABC ，其中∠B 为直角，则垂心H 与B 重合，∵O 为△ABC 的外心，∴OA ＝OC ，即O 为斜边AC 的中点．又∵M 为BC 的中点，∴AH →＝2OM →.∵M 为BC 的中点，∴AB →＋AC →＝2AM →＝2(AH →＋HM →)＝2(2OM →＋HM →)＝4OM →＋2HM →＝2HM →－4MO →.故选D ．6．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足5x a ＋(8－y )b ＝4x b ＋3(y ＋9)a ，则x ＝________；y ＝________.【答案】3 －4 【解析】因为a 与b 不共线，根据向量相等得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＝3y ＋27，8－y ＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－4.7．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】12 【解析】由已知DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12.8．设a ，b 是两个不共线的向量．若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k ＝________. 【答案】－4 【解析】因为向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，所以k a ＋2b ＝λ(8a ＋k b )⇒k ＝8λ，2＝λk ⇒k ＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k ＜0)．9．化简：(1)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b －2⎝⎛⎭⎫12a ＋38b ； (2)4(a －b )－3(a ＋b )－b .解：(1)原式＝12⎝⎛⎭⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0. (2)原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b .10．如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 分别为AC ，BA 的中点，AD ，BE ，CF 相交于点O ，求证：(1)AD →＝12(AB →＋AC →)；(2)AD →＋BE →＋CF →＝0； (3)OA →＋OB →＋OC →＝0.证明：(1)∵D 为BC 的中点，∴AD →＝AB →＋BD →，AD →＝AC →＋CD →，∴2AD →＝AB →＋BD →＋AC →＋CD →，∴AD →＝12(AB →＋AC →)．(2)∵AD →＝12(AB →＋AC →)，BE →＝12(BC →＋BA →)，CF →＝12(CA →＋CB →)，∴AD →＋BE →＋CF →＝0.(3)∵OA →＝－23AD →，OB →＝－23BE →，OC →＝－23CF →，∴OA →＋OB →＋OC →＝0.B 级——能力提升练11．已知△ABC 三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在的直线上 D ．P 在线段AC 上【答案】D 【解析】P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →，∴PC →＝－2P A →.∴P 在AC 边上． 12．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A ．14a ＋12bB ．13a ＋23bC ．12a ＋14bD ．23a ＋13b【答案】D 【解析】∵△DEF ∽△BEA ，∴DF AB ＝DE EB ＝13.∴DF ＝13AB ．∴AF →＝AD →＋DF →＝AD→＋13AB →.∵AC →＝AB →＋AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →＝b ，联立得AB →＝12(a －b )，AD →＝12(a ＋b )，∴AF →＝12(a ＋b )＋16(a －b )＝23a ＋13b .13．在△ABC 中，G 为△ABC 的重心，记a ＝AB →，b ＝AC →，则CG →＝( ) A ．13a －23bB ．13a ＋23bC ．23a －13bD ．23a ＋13b【答案】A 【解析】因为G 为△ABC 的重心，所以AG →＝13(AB →＋AC →)＝13a ＋13b .所以CG →＝CA →＋AG →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b .14．下列各组向量中，能推出a ∥b 的是( ) ①a ＝－3e ，b ＝2e ； ②a ＝e 1－e 2，b ＝e 1＋e 22－e 1；③a ＝e 1－e 2，b ＝e 1＋e 2＋e 1＋e 22.A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③【答案】B 【解析】①中a ＝－32b ，所以a ∥b ；②中b ＝e 1＋e 22－e 1＝e 2－e 12＝－12a ，所以a ∥b ；③中b ＝3e 1＋3e 22＝32(e 1＋e 2)，若e 1与e 2共线，则a 与b 共线，若e 1与e 2不共线，则a 与b 不共线．15．已知在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是________．【答案】2∶3 【解析】因为P A →＋PB →＋PC →＝AB →，所以PC →＝AB →－PB →－P A →＝AB →＋BP →＋AP →＝2AP →.所以点P 在边CA 上，且是靠近点A 一侧的三等分点．所以△PBC 和△ABC 的面积之比为2∶3.16．设点O 在△ABC 的内部，点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，且|OD →＋2OE →|＝1，则|OA →＋2OB →＋3OC →|＝________.【答案】2 【解析】如题图所示，易知|OA →＋2OB →＋3OC →|＝|OA →＋OC →＋2(OB →＋OC →)|＝|2OD →＋4OE →|＝2|OD →＋2OE →|＝2.17．如图，已知E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量法证明：四边形EFGH 是平行四边形．证明：在△BCD 中，∵G ，F 分别是CD ，CB 的中点，∴CG →＝12CD →，CF →＝12CB →.∴GF →＝CF→－CG →＝12CB →－12CD →＝12DB →.同理HE →＝12DB →.∴GF →＝HE →.又∵G ，F ，H ，E 四点不在同一条直线上，∴GF ∥HE ，且GF ＝HE .∴四边形EFGH 是平行四边形．18．设OA →，OB →不共线，且OC →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R )． (1)若a ＝13，b ＝23，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)若A ，B ，C 三点共线，则a ＋b 是否为定值？并说明理由．解：(1)证明：当a ＝13，b ＝23时，OC →＝13OA →＋23OB →，所以23(OC →－OB →)＝13(OA →－OC →)，即2BC →＝CA →.所以BC →与CA →共线．又BC →与CA →有公共点C ，所以A ，B ，C 三点共线．(2)a ＋b 为定值1，理由如下： 因为A ，B ，C 三点共线，所以AC →∥AB →.不妨设AC →＝λAB →(λ∈R )，所以OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)，即OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →.又OC →＝aOA →＋bOB →，且OA →，OB →不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－λ，b ＝λ，所以a ＋b ＝1(定值)．C 级——探索创新练19．(2020年合肥月考)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较长的一段AC 是全长与另一段CB 的比例中项，即满足AC AB ＝BCAC ＝5－12，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB 的黄金分割点．在△ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，设AP →＝x 1AB →＋y 1AC →，AQ →＝x 2AB →＋y 2AC →，则x 1x 2＋y 1y 2＝( )A ．5＋12B ．2C ．5D ．5＋1【答案】C 【解析】由题意，AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5－12BC →＝AB →＋3－52(AC →－AB →)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－3－52AB →＋3－52AC →＝5－12AB →＋3－52AC →，同理，AQ →＝AB →＋BQ →＝AB →＋5－12BC →＝AB →＋5－12(AC →－AB →)＝3－52AB →＋5－12AC →.∴x 1＝y 2＝5－12，x 2＝y 1＝3－52.∴x 1x 2＋y 1y 2＝5－13－5＋3－55－1＝ 5.故选C ．。

§2. 2. 2向量数乘运算及其几何意义班级 ___________姓名 ____________学号 ____________得分 ____________一、选择题1．已知向量 a= e 1 -2 e 2，b=2 e 1+e 2, 其中 e 1、 e 2 不共线，则 a+b 与 c=6 e 1-2 e 2 的关系为 （）A ．不共线B ．共线C ．相等D ．无法确定2．已知向量 e 1、 e 2 不共线，实数 (3x-4y)e 1＋(2x-3y)e 2 =6e 1+3e 2 ,则 x － y 的值等于 （）A ． 3B ． -3C ． 0D ． 2uuur uuur uuur | uuur3．若 AB =3 a, CD =－ 5a ,且 | AD | BC | ,则四边形 ABCD 是（）A ．平行四边形B ．菱形C ．等腰梯形uuur uuur D ．不等腰梯形4． AD 、 BE 分别为△ ABC 的边 BC 、 AC 上的中线，且uuurAD =a , BE =b ,那么 BC 为（）A ． 2 a ＋ 4bB ． 2 a － 2bC ． 2 a － 4bD ． － 2 a ＋ 4b333333335．已知向量 a ,b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使a ,b 共线的条件是 （ ）① 2a -3b=4e 且 a+2b= -3e②存在相异实数 λ， μ，使 λa -μb=0③ xa+yb=0 (其中实数 x, y 满足 x+y=0)uuur uuur④已知梯形 ABCD ，其中 AB =a , CD =bA ．①②B ．①③C ．②D ．③④*6．已知△ ABC 三个顶点 A 、 B 、 C 及平面内一点 uuur uuur uuur uuurP ，若 PA PB PCAB ，则（）A ． P 在△ ABC 内部B ． P 在△ ABC 外部C ．P 在 AB 边所在直线上D ． P 在线段 BC 上二、填空题7．若 |a|=3,b 与 a 方向相反 ,且 |b|=5,则 a=b8．已知向量 e 1 ,e 2 不共线，若 λe 1－ e 2 与 e 1－ λe 2 共线 ,则实数 λ=uuur uuur uuur9．a,b 是两个不共线的向量， 且 AB =2a ＋ kb , CB =a ＋ 3b , CD =2a － b ,若 A 、B 、D 三点共线，则实数 k 的值可为uuur uuur *10．已知四边形 ABCD 中， AB =a － 2c,CD =5a ＋ 6b － 8c 对角线 AC 、BD 的中点为 E 、 F ，uuur则向量 EF三、解答题11．计算：⑴ (－ 7) ×6a=⑵ 4(a ＋ b)－ 3(a － b)－8a=⑶ (5a － 4b ＋ c)－ 2(3a － 2b ＋ c)=uuur uuur uuuur12．如图，设AM 是△ ABC 的中线，AB =a , AC =b ,求 AM13．设两个非零向量 a 与 b 不共线 ,uuur uuur uuur⑴若 AB =a＋ b , BC =2a＋ 8b , CD =3( a－ b) ,求证： A、 B、D 三点共线 ;⑵试确定实数 k，使 ka＋ b 和 a＋ kb 共线 .uuur uuur uuur uuur uuur* 14．设 OA ,OB 不共线 ,P 点在 AB 上,求证 : OP =λOA +μOB 且λ+μ=1( λ, μ∈ R).。

6.2.3向量的数乘运算例5计算：（1）()34a -⨯ ；（2）()()32a b a b a +--- ；（3）()()2332a b c a b c +---+ ．解：（1）原式()3412a a =-⨯=- ；（2）原式33225a b a b a b =+-+-=；（3）原式2332a b c a b c=+--+- 52a b c =-+- ．例6如图6.2-15，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB a = ，AD b = ，用a ，b表示MA ，MB ， MC 和MD ．解：在ABCD 中，AC AB AD =+=+ a b ，DB AB AD a b =-=- ．由平行四边形的两条对角线互相平分，得()11112222MA AC a b a b =-=-+=-- ，()11112222MB DB a b a b ==---= ，111222MC AC a b ==+ ，111222MD DB a b =-=-+ ．练习1.任画一向量e ，分别求作向量4a e = ，4b e =- ．【答案】见解析【解析】【分析】先画出e ，依次画出4a e = ，4b e =- 即可.【详解】如图．【点睛】本题考查了向量的画法，考查了相反向量的概念，属于基础题.2.点C 在线段AB 上，且52AC CB =，则AC = ___AB ，BC = ___AB ．【答案】①.57②.2 7-【解析】【分析】根据题意画出图形，分析即可得解.【详解】由点C 在线段AB 上，且52AC CB =，可画出图形，设5AC =，则2CB =，∴7AB =，∴AC 和AB 同向，且57AC AB = ，∴BC 和AB 反向，且27B BC A =- .【点睛】本题考查向量的意义，属于基础题.3.把下列各小题中的向量b 表示为实数与向量a 的积：（1）3a e = ，6b e =；（2）8a e = ，14b e =- ；（3）23a e =- ，13b e = ；（4）34a e =- ，23b e =- ．【答案】（1）2b a = ；（2）74b a =- ；（3）12b a =- ；（4）89b a = ．【解析】【分析】根据向量的数乘运算计算即可.【详解】（1）623b e e ==⨯ ，2b a =；（2）71484b e e =-=-⨯ ，74b a =- ；（3）112(323b e e ==-⨯- ，12b a =- ；（4）283()394b e e =-=⨯- ，89b a = ．【点睛】本题考查平面向量数乘的运算法则，属于基础题.例7如图6.2-16，已知任意两个非零向量a ，b ，试作OA a b =+ ，2OB a b =+ ，3OC a b =+ .猜想A ，B ，C 三点之间的位置关系，并证明你的猜想．分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线，为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上．在本题中，应用向量知识判断A ，B ，C 三点是否共线，可以通过判断向量AC ，AB 是否共线，即是否存在λ，使AC AB λ= 成立．解：分别作向量OA ，OB ，OC ，过点A ，C 作直线AC （图6.2-17）.观察发现，不论向量a ，b怎样变化，点B 始终在直线AC 上，猜想A ，B ，C 三点共线．事实上，因为()2AB OB OA a b a b b =-=+-+= ，()32AC OC OA a b a b b =-=+-+= ，所以2AC AB = ．因此，A ，B ，C 三点共线．例8已知a ，b 是两个不共线的向量，向量b ta - ，1322a b - 共线，求实数t 的值．解：由a ，b 不共线，易知向量1322a b - 为非零向量．由向量b ta - ，1322a b - 共线，可知存在实数λ，使得1322ta a b b λ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，即13122t a b λλ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由a ，b 不共线，必有131022t λλ+=+=.否则，不妨设102t λ+≠，则31212a b t λλ+=+ ．由两个向量共线的充要条件知，a ，b 共线，与已知矛盾．由1023102t λλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得13t =．因此，当向量b ta - ，1322a b - 共线时，13t =．练习4.判断下列各小题中的向量a 与b 是否共线：（1）2a e =- ，2b e =；（2）12a e e =- ，1222b e e =-+ ．【答案】（1）a 与b 共线；（2）a 与b 共线．【解析】【分析】根据向量共线定理进行分析计算即可.【详解】（1）2b e a ==- ，所以a 与b 共线；（2）1212222()2b e e e e a ==-=-+-- ，所以a 与b 共线．【点睛】本题考查向量共线的问题，熟练掌握向量共线定理是解题的关键，属于基础题.5.化简：（1）5(32)4(23)a b b a -+- ；（2）111(2)(32)()342a b a b a b ----- ；（3）()()x y a x y a +-- ．【答案】（1）32a b - ；（2）111123a b -+v v ；（3）2ya v .【解析】【分析】根据向量的数乘运算和加减法运算法则进行计算即可.【详解】（1）原式151081232a b b a a b =-+-=-；（2）原式123111111334222123a b a b a b a b =--+-+=-+ ；（3）原式2xa ya xa ya ya =+-+= ．【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.6.已知12,e e 是两个不共线的向量，122a e e =- ，212b e ke =+ ．若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．【答案】4-【解析】【分析】根据平面向量的共线的充要条件列出等式计算即可.【详解】由已知0a ≠，∵a 与b 是共线向量，∴存在R λ∈，使b a λ= ，即()121222e ke e e λ+=- ，∴121222e ke e e λλ+=- ，∴2,2,24,k k λλλ⎧==⎧⇒⎨⎨=-=-⎩⎩∴k 的值为4-．【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于常考题.变式练习题7.已知3(2a －b ＋c )＋x ＝2(－a ＋3b )，求x .【答案】x ＝－8a ＋9b －3c .【解析】【分析】根据向量的数乘运算，移项，直接解出x 即可.【详解】因为3(2a －b ＋c )＋x ＝2(－a ＋3b )，所以6a －3b ＋3c ＋x ＝－2a ＋6b ，即x ＝－8a ＋9b －3c .8.如图，平行四边形ABCD 中，点M 在AB 的延长线上，且BM ＝12AB ，点N 在BC 上，且BN ＝13BC .求证：M 、N 、D 三点共线．【答案】见解析.【解析】【分析】由题意画出图象，利用向量的加法和条件表示出DM DN ，，利用向量共线的充要条件，即可证明M 、N 、D 三点共线．【详解】由题意画出图象：因为BM 12=AB ，点N 在BC 上且BN 13=BC ，所以32DM DA AM DA AB =+=+ ，23DN DC CN DC CB =+=+ ，因为DC AB = ，DA CB =，所以22323323DN AB DA DA AB DM ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭ ，则DM DN ，所以M 、N 、D三点共线．【点睛】本题考查向量在几何中的应用，向量的加法法则，以及利用向量共线的充要条件证明三点共线，属于中档题.9.已知a ，b 是两个不共线的向量，向量b －t a ，12a －32b 共线，求实数t 的值．【答案】13.【解析】【分析】由向量b －t a ，12a －32b 共线得存在实数λ，使得b －t a ＝λ13()22a b - ，整理，由a ，b 不共线可得a ，b 的系数都为零，列方程组求解即可.【详解】解由a ，b 不共线，知向量12a －32b 为非零向量．由向量b －t a ，12a －32b 共线，可知存在实数λ，使得b －t a ＝λ13()22a b - ，即1()2t λ+a ＝3(1)2λ+b .由a ，b 不共线，必有t ＋12λ＝32λ＋1＝0.否则，不妨设t ＋12λ≠0，则a ＝31212t λλ++b ，得a ，b 共线，与已知矛盾．由10,2310,2t λλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得t ＝13.因此，当向量b －t a ，12a －32b 共线时，t ＝13.10.设,a b →→是不共线的两个非零向量．若8a k b →→+与2k a b →→+共线，求实数k 的值．【答案】k ＝±4.【解析】【分析】由题意8a k b →→+与2k a b →→+共线，结合向量共线定理即可求得答案.【详解】由,a b →→不共线可知2k a b →→+为非零向量，而8a k b →→+与2k a b →→+共线，所以存在唯一实数λ，使得822a k b k a b k a b λλλ→→→→→→⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，即()()82k a k b λλ→→-=-.因为,a b →→不共线，所以80420k k k λλ-=⎧⇒=±⎨-=⎩.11.已知向量1212a e e →→→=-，2132b e e →→→⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.求证：a →与b →是共线向量．【答案】证明见解析【解析】【分析】由平面向量共线定理即可证明问题.【详解】由题意，1212a e e →→→=-，2132b e e →→→⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则121662b e e a →→→→⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由向量共线定理知a →与b →是共线向量．。