第一章轴压杆的稳定1

1 cos 0
荷载——位移曲线
平衡曲线
荷载——位移曲线 平衡曲线
（二）静力准则
体系处于某一平衡位置，如果与其无限接近的相邻位置也是平衡的，则 所探讨的平衡位置是随遇的。 M0 pl sin C C 0 sin 只能确定体系的临界状态。 平衡状态： sin 0 0 相邻位置+*处（ *<<1）：
M
A
0
P( y1 y 2 ) ky1 0
Py1 2Py2 2k y1 2k y2 0
写成矩阵形式，有
P y1 P k P 2k 2P 2k y 0 2
（3）稳定方程（特征方程）：y1、y2有非0解(0解对应于原平衡 形式)，有
2 pl cos C 2 C 1 cos 2
C M 0 0 C
Pl
<1时，对任何，2>0，体系是稳定的； =1时，在=0这一点， 2=0，体系随遇。 0 时，2>0，体系稳定。 >1时，2可能为正、为负或为零，取决于值。 稳定临界面方程：
Pl C
M0 C
0
sin( *) 0 * 0
sin * *, cos* 1
* 1,
sin * cos 0 * 0 * ( cos 1) 0 1 cos 0
——力是保向的，不改变方向。
平衡状态时，由虚功原理，给定பைடு நூலகம்小的可能位移时，内外力系所作的总 功为零：
We Wi 0
其中，外力功 We 等于外荷载势能增量 e的负值，即： We e 内力功 Wi 等于体系弹性势能增量 U 的负值，即：Wi U
e U 0 平衡条件：
（1）固定端：y=0, y 0 （2）铰支端：y=0, M EIy 0
d3y dy H V cosq N sin q V Pq EI 3 P dx dx
一、稳定性概念与分类
1、稳定性概念
稳定是关于结构平衡状态性质的定义： ——平衡指结构处于静止或匀速运动状态； ——稳定指结构原有平衡状态不因微小干扰而改变， 失稳指结构因微小干扰而失去原有平衡状态、并转移到另 一新的平衡状态。
稳定性概念：处于平衡位置的结构或构件，在任意微小外界干 扰下偏离其平衡位置，当外界干扰消除后，仍能自动回复到原 平衡位置，该结构或构件是稳定的。若不能自动回复到原平衡 位置，则为不稳定平衡状态，称为失稳，或屈曲。 特点：（1）结构稳定性问题不属于强度问题。 （2）稳定性问题的研究对象是几何不变体系，几何可变 体系与瞬变体系不是稳定性问题的研究对象。 2、结构稳定问题的类型 （一）按作用类型： 静力稳定和动力稳定
d3y V EI 3 P(C1 cosx C 2 sin x ) dx
横面上的内力，可用轴力N与剪力V表示，亦可用水平力H与竖向力P表示，水平内力 H表达式是
H V cos q N sin q
因为：cosq 1, NP, sinq q dy/dx；
所以：
d3y dy H EI 3 P PC3 dx dx
体系屈曲时，y1、y2无法确定出具体数值，只能求出二者比值。 与2特征根对应的2特征向量分别是
y2 1.36 ，此为屈曲模态； P 0.423 k y1 y P 1.577 k 时， 2 0.366 ，无实际意义。 y1
时，
三、理想中心受压弹性直杆的临界荷载(无限自由度) 弹性直杆具有无限自由度，变形形状由挠曲线方程表示。 基本假定为: （1）屈曲时荷载作用方向不变； （2）小变形情况，且忽略剪切与轴向变形； （3）材料是线弹性的。 基于以上假设的理论称为小挠度理论。还有大挠度或大变形理论。 下面研究无限自由度体系的稳定性问题
结构稳定和稳定内力
教材：李存权 人民交通出版社
引言：
科学技术的发展，极大地促进了交通土建 与建筑工程技术的发展。结构向高强、轻质、 大跨度的方向发展。结构稳定性问题就突出出 来了，在工程结构中，构件、部件及整个结构 体系都不允许发生失稳。屈曲不仅使工程结构 发生过大变形，而且往往导致结构的破坏。需 要专门进行结构稳定性分析与计算。这就是本 课程要分析与解决的问题。 下面是一些失稳的案例
A
（3）确定临界荷载 q =0为原平衡形式。 P 2ak a 0 解出临界荷载是 q 0，出现新的平衡形式，此时，
2a 2 k Pcr
例1-2：用静力法求图示结构临界荷载
（1）2自由度体系，用y1、y2表示。 （2）临界状态下，出现新平衡形式。列出2个平衡方程，即
M
即
B
0
令M0=0，
l * z 2 dm C * Pl * 0 0 2 l m m l 2 2 z dm z dz 0 0 l 3 d 2 * (C Pl) * 0 2 2 ml dt 3 l
* A cost B sin t 2

e U U We 为体系的总势能，
平衡状态时，体系总势能的一阶变分为零，总势能为驻值——总势能驻值原 理。
2 平衡状态的稳定性通过总势能的二阶变分 确定。
稳定的平衡状态时，总势能为最小值——总势能最小原理。 能量准则： （1）体系的平衡状态由 0 的条件确定； （2）当 2 0 时，该平衡状态是稳定的； 当 2 0 时，是不稳定的；
2 dV d q d y D横面上剪力：V+dV=Psin( q +d q) P (q +d q)，所以: dV=Pdq , 得 P P 2 dx dx dx
（2）考虑微段的平衡：可导出 V dM dx 再利用物理关系
则 有
dV d 2 M d2y P 2 2 dx dx dx
M EIy
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第一章 轴压杆的稳定
2
则
此微分方程的特征方程是
4 2 2 0 4个特征根是
通解可写成
2 d4y 2 d y 0 4 2 dx dx
1,2 0 3, 4 i
y C1 sin x C2 cosx C3 x C4
C1、C2、C3、C4是积分常数。
角位移 q 、弯矩M与剪力V分别是 dy q (C1 cos x C 2 sin x ) C 3 dx d2y M EI 2 P(C1 sin x C 2 cosx ) dx
1. 静力稳定：分枝型、极值型、屈曲后极限破坏、跳跃型、缺 陷敏感型。
2. 动力稳定：弛振和涡振、参数激振、共振、强迫振动。
（二）按破坏部位： 整体稳定、局部稳定、整体稳定和局部稳定的相互作用
1. 整体稳定
2. 局部稳定
3. 整体稳定和 局部稳定的相互作用
（三）按缺陷影响：缺陷敏感型、缺陷不敏感型 （四）按材料状态：弹性稳定、弹塑性稳定
临界状态： 1 cos 0
2 pl cos C 2 C 1 cos 2
（三）运动准则
体系因某种干扰绕所讨论的平衡位置作微小自由振动，其振动频率与体 系上荷载有关，当荷载趋近其临界值时，振动频率趋近于零。 可确定保守和非保守系统的屈曲荷载。
C Pl m l2 3
当处于临界状态时，=0，
C Pl 0 PE C / l
§1-2 用静力法计算理想中心受压直杆的临界荷载
一、方法要点：利用平衡状态的二重性。 （1）设压杆处于临界状态，即压杆可以处于直线平衡状态， 也可以处于弯曲平衡状态； （2）建立杆件的弯曲平衡微分方程； （3）求解平衡微分方程，利用位移有非0解(对应于弯曲平衡状态，而0解对 应于直线平衡状态)，得出稳定性方程，称为特征方程； （4）解特征方程，求解出临界荷载； （5）确定杆件失稳时的屈曲模态，即特征曲线。 所以，稳定性问题，最后在数学上归结为求解一个特征值问题。下面对这 几个解题要点逐一进行详细介绍。 二、有限自由度体系的临界荷载
1．稳定微分方程
设挠曲线方程是y=y(x)，其一阶导数即为角位移 ，二阶导数是曲率k 2 dy d q d y q k 2 (小变形下) dx dx dx
（1）微段ds的受力分析 对于C横面，有：N=Pcos q P 对于D横面，有：N+dN=Pcos(q+d q ) Pcos( q)P，所以：dN=0 C横面上剪力：V=Psin q=P q
P k P 0 P 2k 2P 2k 此即特征方程，或称稳定方程，是一个一元二次方程
3P 2 6kP 2(k) 2 0
（4）临界荷载与屈曲模态：2个特征根是
P 0.423k 1.577k
临界荷载应取最小值，第2个特征值无实际意义。 Pcr 0.423k
§1-1 概述 §1-2 用静力法计算理想中心受压直杆的临界荷载 §1-3 具有弹性支承的压杆和简单刚架的稳定 §1-4 格构式轴心受压柱的稳定 §1-5 屈曲后荷载与变形的关系 §1-6 轴压杆的非弹性屈曲 §1-7 初始缺陷对轴压杆稳定的影响
§1-8 压杆稳定理论在工程设计中的应用
§1-1 概述
d2 d2y d2y (EI 2 ) P 2 2 dx dx dx
对于等截面直杆，EI=constant，则
d4y d2y EI 4 P 2 0 dx dx
这就是材力中的平衡微分方程，此处用于求解稳定问题，故称为稳定微分方程。 2．临界荷载的求解