9.1.2三角形的内角和与外角和(2)
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三角形的内角和与外角和的关系总结三角形是几何学中一个重要的概念,它由三条线段组成,其中每两条线段的交点被称为顶点。
三角形的内角和与外角和是研究三角形性质时经常遇到的问题,本文将对其进行总结和探讨。
1. 三角形的内角和三角形的内角和是指三个内角的度数之和。
对于任意三角形,无论其大小和形状如何,三个内角的度数之和始终为180度。
这一性质被称为"三角形的内角和定理",是几何学中的基本定理之一。
数学的证明过程较为复杂,这里不做详述,但可以通过实际测量和计算来验证。
2. 三角形的外角和三角形的外角和是指三个外角的度数之和。
外角是指一个三角形内部的一条边延伸出去,与另外两条边的非共边构成的角。
对于任意三角形,无论其大小和形状如何,三个外角的度数之和始终为360度。
这一性质也是几何学中的基本定理之一。
3. 内角和与外角和的关系内角和与外角和有着重要的关系。
根据三角形的内角和定理和外角和的定义,可以得出如下结论:内角和 + 外角和 = 180度 + 360度 = 540度这意味着三角形内角和与外角和的和始终为固定值的540度。
这也被称为"三角形内外角和关系定理"。
通过数学的证明,可以得到这个结论。
4. 应用举例通过内角和与外角和的关系,我们可以解决一些与三角形性质相关的问题。
例如,已知一个三角形的一个内角和一个外角,可以通过计算得到其他两个内角的度数,或者已知两个内角,可以通过计算得到第三个内角的度数。
此外,可以利用内角和与外角和的关系来验证三角形的正确性。
如果测得一个三角形的内角和不等于180度或者外角和不等于360度,那么这个图形就不是一个三角形。
总之,三角形的内角和与外角和的关系是几何学中重要的定理之一。
它们揭示了三角形内外角度数之间的联系,对于解决三角形性质相关的问题具有重要作用。
在实际应用中,我们可以根据这些定理进行计算和验证,进一步深入理解和应用三角形的性质。
第9章多边形祸兮福之所倚,福兮祸之所伏。
《老子·五十八章》原创不容易,【关注】店铺,不迷路!教材简析本章的主要内容包括:(1)三角形的概念及其边角性质;(2)多边形的有关概念以及多边形的内角和与外角和;(3)用多边形的内角和知识探究正多边形在铺设地面中的运用和隐含的数学道理.三角形是最简单的多边形,也是认识其他图形的基础.本章将在学习与其有关的线段(三角形的高、中线和角平分线)和角(三角形的内角、外角)的基础上学习多边形的有关知识,如借助三角形的内角和探究多边形的内角和.学习本章后,我们不仅可以进一步认识三角形,而且还可以了解一些几何中研究问题的基本思路和方法.本章在中考中,主要考查运用三角形内角和定理、内外角的关系求角的度数,运用多边形内角和公式求角的度数或多边形的边数,以及选择一种或多种正多边形铺设地面.题型以选择题、填空题为主,难度较小.教学指导【本章重点】1.三角形的有关概念及性质.2.三角形的内角和定理、外角和定理的推导及应用.3.三角形三边的关系.【本章难点】1.多边形的内角和定理及外角和定理的推导及应用.2.如何运用正多边形铺设地面.【本章思想方法】1.体会和掌握分类讨论思想.如解决已知等腰三角形的周长和一边长的相关问题、不清楚三角形形状以及解决与三角形高相关的问题,需要分类讨论.2.体会方程思想.如根据多边形内角和公式可以建立方程,从而运用方程思想解决.课时计划9.1 三角形4课时9.2 多边形的内角和与外角和2课时9.3 用正多边形铺设地面2课时9.1 三角形9.1.1 认识三角形第1课时三角形的相关概念及分类教学目标一、基本目标1.理解三角形、三角形的边、顶点、内角、外角等概念.2.会将三角形分类.3.理解等腰三角形、等边三角形的概念.二、重难点目标【教学重点】三角形内角、外角、等腰三角形、等边三角形等概念.【教学难点】三角形的外角.教学过程环节1 自学提纲,生成问题【5min阅读】阅读教材P72~P74的内容,完成下面练习.【3min反馈】1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.2.如图,线段AB、BC、CA是三角形的边,点A、B、C是三角形的顶点,∠A、∠B、∠是相邻两边组成的角,叫做三角形的内角,简称三角形的角.3.我们把有两边相等的三角形称为等腰三角形.其中相等的两边叫做等腰三角形的腰;把三边相等的三角形称为等边三角形.4.所有内角都是锐角的三角形是锐角三角形;有一个角是直角的三角形是直角三角形;有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形.5.三角形的分类(按角分):锐角三角形、钝角三角形和直角三角形;三角形的分类(按边分):不等边三角形和等腰三角形.环节2 合作探究,解决问题活动1 小讨论(师生互学)【例1】如图所示,图中共有多少个三角形?请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角.【互动探索】(引发学生思考)根据三角形的定义,让不在同一条直线上的三个点组合即可.【解答】图中共有7个三角形,分别是:△ABC、△ABF、△ABE、△ADE、△AEF、△BCF、△BDE.以E为顶点的角是∠AEF、∠AED、∠DE、∠DEF、∠AEB、∠BEF.【互动总结】(学生总结,老师点评)找的时候要有顺序,注意要不重不漏地找到所有三角,一般从一边开始,依次进行.【例2】△ABC的周长为22cm,AB边比AC边长2cm,BC边是AC边的一半,求△ABC三边的长.【互动探索】(引发学生思考)设BC=x cm→用含x的式子表示出AC、AB→由周长为22cm列出方程→求解得出各边长.【解答】设B=x cm,则AC=2cm,AB=(2x+2)cm.∵△ABC的周长为22cm,∴2x+2x+2+x=22,解得x=4,∴AC=8cm,BC=4cm,AB=10cm.【互动总结】(学生总结,老师点评)此题主要考查了三角形的周长公式,根据题意得出关于三角形周长的方程是解题的关键.活动2 巩固练习(学生独学)1.下列说法:①等边三角形是等腰三角形;②三角形按边分类可为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形;③三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确的有( B )A .1个B .2个C .3个D .4个2.如图,图中直角三角形共有( C )A .1个B .2个C .3个D .4个3.已知一个三角形的周长为27cm ,三边长的比为2∶3∶4,则最长边比最短边长6cm.4.如图,BD 是长方形ABCD 的一条对角线,CE ⊥BD 于点E .(1)写出图中所有的直角三角形;(2)写出图中的锐角三角形和钝角三角形.解:(1)直角三角形有:△ABD 、△BCD 、△BCE 、△CDE . (2)锐角三角形:△ABE ;钝角三角形:△ADE .环节3 课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)三角形⎩⎪⎨⎪⎧ 三角形的概念三角形的分类⎩⎨⎧ 按角分类按边分类练习设计请完成本课时对应练习!第2课时 三角形的高、中线与角平分线教学目标一、基本目标1.掌握三角形的高、中线和角平分线的概念.2.会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线,通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)、三角形的三条中线和三条角平分线分别交于一点.二、重难点目标【教学重点】理解三角形的高、中线与角平分线.【教学难点】会利用三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点解决问题.教学过程环节1 自学提纲,生成问题【5min阅读】阅读教材P75的内容,完成下面练习.【3min反馈】1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.2.在三角形中,连结一个顶点与它对边中点的线段,叫做三角形的中线.三角形的三条中线相交于一点.3.在三角形中,一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.环节2 合作探究,解决问题活动1 小组讨论(师生互学)1.用工具准确画出三角形的高.如图,线段AD是△ABC中BC边上的高.注意:标明垂直的记号和垂足的字母.教师点拨:回忆并演示“过一点画已知直线的垂线”画法.讨论:分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高,观察高与三角形的位置关系.结论:由作图可得:(1)三角形的三条高线相交于一点;(2)锐角三角形的三条高线相交于三角形的内部;(3)钝角三角形的三条高线相交于三角形的外部;(4)直角三角形的三条高线相交于三角形的直角顶点.2.画三角形的中线.如图,线段AD是△ABC中BC边上的中线.讨论:分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的中线,观察中线与三角形的位置关系.结论:由作图可得:(1)三角形的三条中线相交于一点;(2)锐角三角形的三条中线相交于三角形的内部;(3)钝角三角形的三条中线相交于三角形的内部;(4)直角三角形的三条中线相交于三角形的内部.3.画三角形的角平分线.如图,线段AD是△ABC的一条角平分线,则图中∠BAD=∠CAD.讨论:分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的角平分线,观察角平分线与三角形的位置关系.结论:由作图可得:(1)三角形的三条角平分线相交于一点;(2)锐角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部;(3)钝角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部;(4)直角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部.活动2 巩固练习(学生独学)1.如图,在△ABC中,EF∥AC,BD⊥AC于点D,交EF于点G,则下列选项中错误的是( C )A.BD是△ABC的高B.CD是△BCD的高C.EG是△ABD的高D.BG是△BEF的高第1题第2题2.如图,DE∥BC,CD是∠ACB的平分线,∠ACB=60°,那么∠EDC=30度.3.如图所示,CD为△ABC中AB边上的中线,△BCD的周长比△ACD的周长大3,BC=8,求边AC的长.解:∵CD 为△ABC 中AB 边上的中线,∴AD =BD .∵△BCD 的周长比△ACD 的周长大3,∴(BC +BD +CD )-(AC +AD +CD )=3,∴BC -AC =3.∵BC =8,∴AC =5.活动3 拓展延伸(学生对学)【例题】如图,在△ABC 中,∠B =30°,∠ACB =110°,AD 是BC 边上高线,AE 平分∠BAC ,求∠DAE 的度数.【互动探索】根据三角形的内角和等于180°列式求出∠BAC ,再根据角平分线的定义求出∠BAE ,根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD ,然后根据∠DAE =∠BAD -∠BAE 计算即可得解.【解答】∵∠B =30°,∠ACB =110°,∴∠BAC =180°-30°-110°=40°.∵AE 平分∠BAC ,∴∠BAE =12∠BAC =12×40°=20°. ∵∠B =30°,AD 是BC 边上高线,∴∠BAD =90°-30°=60°,∴∠DAE =∠BAD -∠BAE =60°-20°=40°.【互动总结】(学生总结,老师点评)本题考查了三角形的角平分线和高,熟记概念并准确识图,理清图中各角度之间的关系是解题的关键.环节3 课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)三角形的三线⎩⎨⎧ 高中线角平分线练习设计 请完成本课时对应练习!9.1.2 三角形的内角和与外角和教学目标一、基本目标1.理解“三角形的内角和等于180°”.2.掌握三角形的外角的定义和性质.3.使学生能熟练灵活地利用三角形内角和、外角和以及外角的两条性质进行有关计算.二、重难点目标【教学重点】1.三角形内角和定理.2.与三角形的外角有关的性质.【教学难点】1.三角形内角和定理的推导、验证过程.2.三角形外角的性质推理.教学过程环节1 自学提纲,生成问题【5min阅读】阅读教材P76~P79的内容,完成下面练习.【3min反馈】1.探索三角形的内角和都为180°.(1)在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码.(2)把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处,如图,用量角器量出∠BCD的度数,可得到∠A+∠B+∠ACB=180°.(3)把∠B和∠C剪下按下图拼在一起,如图,用量角器量一量∠MAN的度数,可得到∠BAC+∠B+∠C=180°.(4)三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.2.在△ABC中,∠A=60°,∠B=80°,则∠C=40°.3.如图,把△ABC的一边BC延长,得到∠ACD.像这样,三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.4.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.5.△ABC中,∠A=80°,∠B=40°,∠ACD是△ABC的一个外角,则∠ACD =120°.环节2 合作探究,解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图,D是△ABC中BC边延长线上一点,DF⊥AB交AB于点F,交AC 于点E,若∠A=46°,∠D=50°,求∠ACB的度数.【互动探索】(引发学生思考)DF⊥AB,∠D=50°→得∠B的度数,结合∠A =46°→得∠ACB的度数(三角形内角和定理).【解答】在△DFB中,∵DF⊥AB,∴∠DFB=90°.∵∠D=50°,∠DFB+∠D+∠B=180°,∴∠B=40°.在△ABC中,∵∠A=46°,∠B=40°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=94°.【互动总结】(学生总结,老师点评)求三角形的内角,一般和三角形内角和定理有关,解决问题时要根据图形特点,在不同的三角形中,灵活运用三角形内角和定理求解.【例2】如图所示,P为△ABC内一点,∠BPC=150°,∠ABP=20°,∠ACP =30°,求∠A的度数.【互动探索】(引发学生思考)∠A与已知角不在同一个三角形内→考虑作辅助线,如图→利用三角形的外角性质求解.【解答】如图,延长BP交AC于点E,则∠BPC、∠PEC分别为△PCE,△ABE 的外角,∴∠BPC=∠PEC+∠PCE,∠PEC=∠ABE+∠A,∴∠PEC=∠BPC-∠PCE=150°-30°=120°,∴∠A=∠PEC-∠ABE=120°-20°=100°.【互动总结】(学生总结,老师点评)解决此类题的一般方法是作辅助线,利用三角形的外角的性质将已知与未知的角联系起来是计算角的度数的方法.此题也可以延长CP与AB相交,还可以连结AP并延长与BC相交,同学们可以自己尝试另外两种解法.活动2 巩固练习(学生独学)1.如果将一副三角板按如图方式叠放,那么∠1等于( B )A.120°B.105°C.60°D.45°2.在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C,则∠C=50°.3.已知三角形三个内角的度数之比为1∶3∶5,则这三个内角的度数分别为20°,60°,100°.4.求下列各图中∠1的度数.解:左图:∠1=90°;中图:∠1=80°;右图:∠1=95°.5.已知△ABC中,DE∥BC,∠AED=50°,CD平分∠ACB,求∠CDE的度数.解:∵DE ∥BC ,∠AED =50°,∴∠ACB =∠AED =50°.∵CD 平分∠ACB ,∴∠BCD =12∠ACB =25°.∵DE ∥BC ,∴∠EDC =∠BCD =25°. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图,点P 是△ABC 内一点.(1)求证:∠BPC >∠A ;(2)若PB 平分∠ABC ,PC 平分∠ACB ,∠A =40°,求∠P 的度数.【互动探索】(1)延长BP 交AC 于点D (如图),根据△PDC 外角的性质知∠BPC >∠1,根据△ABD 外角的性质知∠1>∠A ,所以易证∠BPC >∠A ;(2)由三角形内角和定理求出∠ABC +∠ACB =140°,由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果.【解答】(1)证明:延长BP 交AC 于点D ,如图所示.∵∠BPC 是△CDP 的一个外角,∠1是△ABD 的一个外角,∴∠BPC >∠1,∠1>∠A ,∴∠BPC >∠A .(2)在△ABC 中,∵∠A =40°,∴∠ABC +∠ACB =180°-∠A =180°-40°=140°.∵PB 平分∠ABC ,PC 平分∠ACB ,∴∠PBC =12∠ABC ,∠PCB =12∠ACB . 在△ABC 中,∠P =180°-(∠PBC +∠PCB )=180°-⎝ ⎛⎭⎪⎫12∠ABC +12∠ACB =180°-12(∠ABC +∠ACB )=180°-12×140°=110°. 【互动总结】(学生总结,老师点评)此题主要考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理、三角形的角平分线定义;熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理是解决问题的关键.环节3 课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)三角形的内角和与外角和⎩⎪⎨⎪⎧ 三角形的内角和等于180°三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角练习设计请完成本课时对应练习!9.1.3 三角形的三边关系教学目标一、基本目标1.掌握三角形三边关系. 2.利用三角形三边关系判断三条线段能否组成三角形以及已知三角形的两边会求第三边的取值范围.二、重难点目标【教学重点】掌握三角形三边关系.【教学难点】三角形三边关系的应用.教学过程环节1 自学提纲,生成问题【5min 阅读】阅读教材P80~P81的内容,完成下面练习.【3min 反馈】1.三角形三边关系:三角形的任意两边之和小于第三边.2.推论:三角形两边的差小于第三边.3.如果三角形三边的长度固定,那么三角形的形状和大小就能唯一确定下来.三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.4.如图是一个由四根木条钉成的框架,拉动其中两根木条后,它的形状将会改变,若固定其形状,下列有四种加固木条的方法,不能固定形状的是钉在________两点上的木条.( D )A.A、F B.C、EC.C、A D.E、F5.以下列各组线段为边,能组成三角形的是( B )A.2,3,5 B.5,6,10C.1,1,3 D.3,4,9环节2 合作探究,解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】已知三角形两边的长分别是3和7,则此三角形第三边的长可能是( )A.1 B.2C.8 D.11【互动探索】(引发学生思考)设第三边的长为x.根据三角形的三边关系,可得7-3<x<7+3,即4<x<10,所以此三角形第三边的长可能是8,故选C.【答案】C【互动总结】(学生总结,老师点评)已知三角形的两边长,则第三边长的范围为大于两边差且小于两边和.【例2】用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边的2倍,那么各边的长是多少?(2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗?【互动探索】(引发学生思考)(1)理解题意,得出等腰三角形的周长是18厘米→列方程求解;(2)知道等腰三角形的周长为18厘米→分类讨论,已知边是腰还是底边→得三角形另外两边长→三角形三边关系进行判断.【解答】(1)设底边长为x厘米,则腰长为2x厘米.根据题意,得x+2x+2x=18,解得x=3.6.∴三边长分别为3.6厘米,7.2厘米,7.2厘米.(2)①当4厘米长为底边,设腰长为x厘米,则4+2x=18,解得x=7.∴等腰三角形的三边长为7厘米,7厘米,4厘米;②当4厘米长为腰长,设底边长为x厘米,则4×2+x=18.解得x=10.∵4+4<10,∴此时不能构成三角形.∴能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形,且三边长分别为7厘米,7厘米和4厘米.【互动总结】(学生总结,老师点评)当已知等腰三角形的周长和一边长时,需要分类讨论已知的一边长是腰还是底边,再解决问题.活动2 巩固练习(学生独学)1.一个三角形的两边长分别为5cm和3cm,第三边也是整数,且周长是偶数,则第三边长是( B )A.2cm或4cm B.4cm或6cmC.4cm D.2cm或6cm2.已知a、b、c为三角形的三边,则︱a+b―c︱-︱b-c-a︱的化简结果是( D )A.2a B.-2bC.2a+2b D.2b-2c3.已知等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm,且它的周长大于14cm,则第三边长为6cm.4.三角形的三边长是三个连续的自然数,且三角形的周长小于20,求三边的长.解:2,3,4;3,4,5;4,5,6;5,6,7.环节3 课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)三角形的三边关系⎩⎨⎧ 两边之和大于第三边两边之差小于第三边三角形的稳定性练习设计请完成本课时对应练习!【素材积累】 辛弃疾忧国忧民辛弃疾曾写《美芹十论》献给宋孝宗。
三角形的内角和与外角和关系(基础)知识讲解【学习目标】1.理解三角形内角和定理的证明方法;2.掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质;3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算,证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角和1.三角形内角和定理:三角形的内角和为180°.2.结论:直角三角形的两个锐角互余.要点诠释:应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题:①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数;②已知三角形三个内角的关系,可以求出其内角的度数;③求一个三角形中各角之间的关系.要点二、三角形的外角1.定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.如图,∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释:(1)外角的特征:①顶点在三角形的一个顶点上;②一条边是三角形的一边;③另一条边是三角形某条边的延长线.(2)三角形每个顶点处有两个外角,它们是对顶角.所以三角形共有六个外角,通常每个顶点处取一个外角,因此,我们常说三角形有三个外角.2.性质:(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.(2)三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角.要点诠释:三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据.另外,在证明角的不等关系时也常想到外角的性质.3.三角形的外角和:三角形的外角和等于360°.要点诠释:因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角,由三角形的内角和是180°,可推出三角形的三个外角和是360°.【典型例题】类型一、三角形的内角和1.证明:三角形的内角和为180°.【答案与解析】解:已知:如图,已知△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180°.证法1:如图1所示,延长BC 到E ,作CD ∥AB .∵ AB ∥CD (已作),∴ ∠1=∠A (两直线平行,内错角相等),∠B=∠2(两直线平行,同位角相等).又∵∠ACB+∠1+∠2=180°(平角定义),∴∠ACB+∠A+∠B=180°(等量代换).证法2:如图2所示,在BC 边上任取一点D ,作DE ∥AB ,交AC 于E ,DF ∥AC ,交AB 于点F .∵DF ∥AC (已作),∴∠1=∠C (两直线平行,同位角相等),∠2=∠DEC (两直线平行,内错角相等).∵DE ∥AB (已作).∴∠3=∠B ,∠DEC=∠A (两直线平行,同位角相等).∴∠A=∠2(等量代换).又∵∠1+∠2+∠3=180°(平角定义),∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换).证法3:如图3所示,过A 点任作直线1l ,过B 点作2l ∥1l ,过C 点作3l ∥1l ,∵1l ∥3l (已作).∴∠l=∠2(两直线平行,内错角相等).同理∠3=∠4.又∵1l ∥2l (已作),∴∠5+∠1+∠6+∠4=180°(两直线平行,同旁内角互补).∴∠5+∠2+∠6+∠3=180°(等量代换).又∵∠2+∠3=∠ACB ,∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°(等量代换).【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种,无论哪种证明方法,都是应用的平行线的性质.2.在△ABC 中,已知∠A+∠B =80°,∠C =2∠B ,试求∠A ,∠B 和∠C 的度数.【思路点拨】题中给出两个条件:∠A+∠B =80°,∠C =2∠B ,再根据三角形的内角和等于180°,即∠A+∠B+∠C =180°就可以求出∠A ,∠B 和∠C 的度数.【答案与解析】解:由∠A+∠B =80°及∠A+∠B+∠C =180°,知∠C =100°.又∵ ∠C =2∠B ,∴ ∠B =50°.∴ ∠A =80°-∠B =80°-50°=30°.【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C =180°.本题可以设∠B =x ,则∠A =80°-x ,∠C =2x 建立方程求解.【高清课堂:与三角形有关的角 例1、】举一反三:【变式】已知,如图 ,在△ABC 中,∠C=∠ABC=2∠A ,BD 是AC 边上的高,求∠DBC 的度数.【答案】解:已知△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得:x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中, BD是AC边上的高,∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°-90°-72°=18°类型二、三角形的外角【高清课堂:与三角形有关的角例2、】3.(1)如图,AB和CD交于点O,求证:∠A+∠C=∠B+∠D .(2)如图,求证:∠D=∠A+∠B +∠C.【答案与解析】解:(1)如图,在△AOC中,∠COB是一个外角,由外角的性质可得:∠COB=∠A+∠C,同理,在△BOD中,∠COB=∠B+∠D,所以∠A+∠C=∠B+∠D.(2)如图,延长线段BD交线段与点E,在△ABE中,∠BEC=∠A+∠B ①;在△DCE中,∠BDC=∠BEC+∠C ②,将①代入②得,∠BDC=∠A+∠B+∠C,即得证.【总结升华】重要结论:(1)“8”字形图:∠A+∠C=∠B+∠D;(2)“燕尾形图”:∠D=∠A+∠B +∠C.举一反三:【变式1】如图,AB∥CD,AD和BC相交于点O,∠A=40°,∠AOB=75°,则∠C等于()A、40°B、65°C、75°D、115°【答案】B【变式2】如图,在△ABC中,∠A=70°,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,则∠BOC的度数为 .【答案】125°类型三、三角形的内角、外角综合4.如图所示,已知DE分别交△ABC的边AB、AC于D、E,交BC的延长线于F,∠B=67°,∠ACB=74°,∠AED=48°,求∠BDF的度数.【思路点拨】要求∠BDF的度数,应从三角形内角和与三角形的外角出发,若将∠BDF看成△BDF的内角,只需求∠F的度数即可.【答案与解析】解:∵∠CEF=∠AED=48°,∠BCA=∠CEF+∠F,∴∠F=∠BCA-∠CEF=74°-48°=26°,∴∠BDF=180°-∠B-∠F=180°-67°-26°=87°.【总结升华】三角形内角和与外角是进行与角有关的计算或证明的重要工具,本题也可将∠BDF看成△ADE的外角来求解.举一反三:【变式】如图所示,已知△ABC中,P为内角平分线AD、BE、CF的交点,过点P作PG⊥BC 于G,试说明∠BPD与∠CPG的大小关系并说明理由.【答案】解:∠BPD=∠CPG;理由如下:∵ AD、BE、CF分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分线,∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠BAC,∠3=12∠ACB,∴∠1+∠2+∠3=12(∠ABC+∠BAC+∠ACB)=90°,又∵∠4=∠1+∠2,∴∠4+∠3=90°,又∵ PG⊥BC,∴∠3+∠5=90°,∴∠4=∠5,即∠BPD=∠CPG.。
9.1.2三角形的内角和与外角和-课堂练习一、单选题1.锐角ABC 中,12B C ∠=∠,则B 的范围是( ) A .1020 B ︒<∠<︒B .2030B ︒<∠<︒C .3045B ︒<∠<︒D .4560B ︒<∠<︒2.如图,已知在△ABC 中,△C =90°,BE 平分△ABC ,且BE△AD ,△BAD =20°,则△AEB 的度数为( )A .100°B .110°C .120°D .130°3.小明把一副含有45°,30°角的直角三角板如图摆放其中△C =△F =90°,△A =45°,△D =30°,则△a +△β等于( )A .180°B .210°C .360°D .270°4.已知ABC 中,70A ∠=︒,50B ∠=︒,BCA ∠的角平分线CD 交边AB 于点D ,则BCD ∠=( ) A .30 B .60︒ C .45︒ D .120︒5.已知三角形的一个内角是另一个内角的23,是第三个内角的45,则这个三角形各内角的度数分别为( ) A .60°,90°,75°B .48°,72°,60°C .48°,32°,38°D .40°,50°,90°6.如图,△ABC 中,△ACB =90°,沿CD 折叠△CBD ,使点B 恰好落在AC 边上的点E 处,若△A =25°,则△BDC 等于( )A .44°B .60°C .67°D .70°二、填空题 7.如图,AD△BC ,△C =30°, △ADB:△BDC= 1:2,则△DBC 的度数是_______.8.如图,一轮船在海上往东行驶,在A 处测得灯塔C 位于北偏东60︒,在B 处测得灯塔C 位于北偏东25︒,则ACB =∠________︒.9.己知:如图,CE AB ⊥于E ,AD BC ⊥于D ,30A ∠=︒,则B ∠=________,C ∠=_________.10.在ABC 中,ABC ∠、ACB ∠的平分线交于点O ,连结AO ,若25OBC ∠=︒,30OCB ∠=︒,则OAC ∠=_____.11.如图,△ABC 中,△A =40°,△B =72°,CE 平分△ACB ,CD △AB 于D ,DF △CE ,则△CDF =_________度.12.如图,ABC 中,7565A B ∠=︒∠=︒,,将纸片的一角折叠,使点C 落在ABC 内,若120∠=︒,则2∠的度数是_____________.13.如图,△ACD =△A ,△BCF =△B ,则△A +△B +△ACB 等于______ .三、解答题14.如图,在ABC 中,BF 平分ABC ∠,CF 平分ACB ∠,65A ∠=︒,求F ∠的度数.15.已知:如图,在△ABC 中,△A△△ABC△△ACB=3△4△5,BD ,CE 分别是边AC ,AB 上的高,BD ,CE 相交于H ,求△BHC 的度数.答案第4页,共1页。
三角形的内角和与外角和课件一、教学内容本节课的教学内容来自于人教版小学数学四年级下册第107页至108页,主要讲述三角形的内角和与外角和。
学生将通过学习,了解三角形的内角和总是180度,以及外角与相邻内角的关系。
二、教学目标1. 学生能够通过实际操作,探究并证明三角形的内角和总是180度。
2. 学生能够理解三角形外角与相邻内角的关系,并能运用这一关系解决实际问题。
3. 培养学生的观察能力、操作能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点重点:三角形内角和总是180度,外角与相邻内角的关系。
难点:如何引导学生通过实际操作发现并证明三角形的内角和,以及如何理解外角与相邻内角的关系。
四、教具与学具准备教具:三角板、量角器、直尺。
学具:每个学生准备一个三角形模型,以及用于画图的铅笔和橡皮。
五、教学过程1. 实践情景引入:让学生拿出自己的三角形模型,观察并描述三角形的特征。
3. 理解外角和:让学生用自己的三角形模型,尝试测量每个三角形的外角,并记录下来。
然后,引导学生发现并理解外角与相邻内角的关系。
4. 例题讲解:出示一些有关三角形内角和与外角的例题,让学生们运用所学知识解决问题。
5. 随堂练习:让学生独立完成一些有关三角形内角和与外角的练习题,巩固所学知识。
六、板书设计三角形的内角和:总是180度外角与相邻内角的关系:外角等于不相邻的两个内角之和七、作业设计1. 请用你所学的知识,画出一个任意的三角形,并测量其内角和。
答案:三角形的内角和总是180度。
2. 请用你所学的知识,解释下面这个问题:一个三角形的两个内角分别是60度和70度,求第三个内角的度数。
答案:第三个内角的度数是50度。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过实际操作,让学生们发现了三角形的内角和总是180度,以及外角与相邻内角的关系。
在教学过程中,学生们积极参与,课堂氛围良好。
但在今后的教学中,还需要注意引导学生更好地理解外角与相邻内角的关系,并能够灵活运用这一关系解决实际问题。
9.12三角形的内角和与外角和教材分析1.本节的主要内容三角形的内角和与外角和,为进一步研究多边形的相关概念作铺垫。
2.本节课在教材中有着重要的地位。
三角形的内角和与外角和是今后求角的度数的基础知识之一,为以后学习多边形的内角和与外角和做铺垫。
学情分析1.通过提问,课内、课外的练习与作业反馈回来的学生已学的知识,即是灵活掌握三角形的相关知识。
2.学生认知发展分析:三角形的内外角关系是今后求角的度数的基础知识之一,在小学已经通过拼接的方法得到了三角形内角和是180度,我们可以用类似的方法得出三角形的外角和及其性质。
3.学生认知障碍点:学生不善于利用三角形外角的性质解题。
教学目标1.理解三角形的外角和的意义;探索并了解三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和;会利用三角形的外角的性质进行有关计算。
2.通过观察对比、动手操作、讨论交流等方式的学习,探索三角形外角的性质以及三角形的外角和。
3.进一步发展几何观念,养成主动探索、勇于发现、敢于实践及合作交流的习惯。
教学重点三角形的内角和与外角和。
教学难点三角形的内角和与外角和及应用。
教学过程 一、导学提纲: 1.预习提问(1)三角形的内角的一条边与另一条边的 线所组成的角叫做三角形的外角。
(2)一个三角形有 个内角,有 个外角。
与同一个内角相邻的外角有 个,它们是 关系。
(3)三角形的内角和等于 。
2.出示导纲(一)探索三角形的外角的性质自学课本76~77页内容,完成下列题目: (1)填一填:一个三角形的每一个外角对应 个相邻的内角和 个不相邻的内角。
三角形的外角与它相邻的内角之间是 关系。
(2)做一做:取准备好的如图1所示图形的白纸,然后把∠ACB 和∠BAC 剪下拼在一起,CABD图1放到∠CBD 上。
你有什么发现?根据你的发现,用“>”、“<”或“=”填空: ∠ACB +∠BAC ∠CBD ;∠CBD ∠ACB ,∠CBD ∠BAC 。
(3)议一议:直角三角形的两个余角 。
初中数学知识点三角形的内角和与外角和初中数学知识点——三角形的内角和与外角和三角形是初中数学中最基础且重要的几何图形之一。
在学习三角形的知识时,了解三角形的内角和与外角和是必不可少的。
本文将详细介绍三角形的内角和与外角和的概念、性质以及相关的定理和公式。
一、三角形的内角和三角形的内角和指的是三角形内部三个角的度数之和。
对于任意一个三角形ABC,其内角和为180度,即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
这个性质是初中数学中最基本的三角形知识之一。
利用三角形内角和的性质,我们可以解决一系列与三角形有关的问题。
例如,已知两个角度,可以利用三角形内角和的性质求解第三个角的度数;已知三个角度,可以判断三角形的类型(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)等。
二、三角形的外角和三角形的外角和指的是三角形内部一个角的补角的度数之和。
对于任意一个三角形ABC,以角A为例,其外角和为360度,即∠D + ∠E + ∠F = 360°。
其中∠D,∠E,∠F 为角A的三个补角。
三角形的外角和是基于三角形内角和的概念进行推导得出的,它的计算方法非常简单。
我们只需利用补角的性质,将三个外角与其对应的内角相加即可得到外角和。
三、三角形内角和与外角和的定理和公式除了基本定义外,三角形的内角和与外角和还有一些重要的定理和公式。
1. 定理1:等腰三角形的内角和为180度若一个三角形两边的长度相等,则该三角形称为等腰三角形。
由等腰三角形的性质可知,等腰三角形的两个底角度数相等。
因此,一个等腰三角形的内角和可以表示为2x + y = 180°。
其中,x为等腰三角形的两个底角的度数,y为顶角的度数。
2. 定理2:直角三角形的内角和为180度直角三角形是指一个角为90度的三角形。
由直角三角形的性质可知,其直角角度固定为90度,而其余两个锐角的和为90度。
因此,直角三角形的内角和可以表示为90° + x + y = 180°。
三角形的内角和与外角三角形是几何学中最基本的图形之一,其特点是由三条边和三个角确定。
掌握了三角形的基本性质对于解决相关问题至关重要。
本文将重点探讨三角形的内角和与外角的关系。
一、三角形的内角和每个三角形都有三个内角,它们的和总是等于180度。
这个性质可以用数学公式表示如下:α + β + γ = 180°其中,α、β、γ分别表示三角形的三个内角的度数。
无论是等边三角形、等腰三角形还是一般三角形,这个性质都是成立的。
举例来说,对于一个等边三角形,其三个内角都是60度,三个角的和等于180度;对于一个等腰三角形,其两个底角相等,而底角的角度与顶角之和也为180度。
通过计算三角形的内角和,我们可以根据已知角度求出未知角度,或者判断一个三角形的类型。
二、三角形的外角和三角形的每个内角都对应一个外角,外角定义为与该内角相邻而不共线的角。
与内角和类似,三角形的外角和也有一个固定的值,即360度。
这个性质可以用以下公式表示:α' + β' + γ' = 360°其中,α'、β'、γ'分别表示三角形的三个外角的度数。
三角形的外角和的这个性质可以用于解决一些几何问题。
例如,若一个内角为90度,则它对应的外角为270度;若一个内角大于180度,则它对应的外角小于180度。
三、内角和与外角的关系内角和与外角和之间有一个简单的关系:一个内角的度数与其对应的外角的度数之和总是等于180度。
这可以通过以下公式表示:α + α' = 180°β + β' = 180°γ + γ' = 180°换句话说,每一个内角加上其对应的外角结果都等于180度。
这个关系也可以从一个三角形的外角和等于360度以及内角和等于180度推导出来。
我们可以通过这一关系,通过已知的内角求解其对应的外角,或者通过已知的外角求解其对应的内角。
射洪县天仙中学数学导学案七年级(下)
三角形的内角和与外角和综合运用
课型 :预习+展示 班级 小组 小主人姓名
【目标要求】
1、复习巩固三角形的外角的性质、三角形的内角和与外角和定理;
2、能熟练地运用三角形外角的性质、三角形的内角和与外角和进行计算和说理.
【重 点】三角形外角的性质、三角形外角和定理的应用;
【难 点】灵活运用三角形的外角性质和外角和定理.
一、知识储备
(根据课件,回顾)。
1.如图示填空:
(1)BAACD____
(2)AACD______,BACD_______
(3) BAACB
请用文字语言叙述上面三个结论。
2、想一想, △ABC的外角共有几个呢?回忆:什么是三角形
的内角和?
如图示:思考∠1+∠2 +∠3 =
即:三角形的外角和是
二、展露头角
1、在△ABC中,若∠A=80°,∠C=20°,则∠B=____,若∠A=80°,∠B=∠C,则
∠C=____。
2、一个三角形三个内角度数的比是2∶3∶4,那么这个三角形是 三角形.
3、 如图,在△ABC中∠C=60°,∠B=50°,AD是∠BAC的平分线,
则∠BAD= ∠DAC= , ∠ADB=_____。
4、如图,∠1,∠2,∠3的大小关系是( )(用“<”符号连结)
3题 4题
A
D
B
C
射洪县天仙中学数学导学案七年级(下)
5、如图,DE∥BC,∠ADE=60°,∠C=50°,则∠A= .
6、如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 .
三、自信展示
1、如图,已知∠B=40°,∠D=59°,∠DEC=47°,求∠F的度数.
2、如图,△ABC中,∠A=500,∠ABC的平分线与∠C的外角∠ACE
平分线交于D,求∠D的度数。
四、强者闯关
7.如右图,AC∥DE,BD平分∠ABC交AC于F,∠ABC=70°,∠E=50°,求∠D,∠A的度数.
五、反思评价
1 整理今天所学内容,展示 次,质疑 次,参与 次。
2 反思我这节课的表现,学习状态( )
A 很认真,值得表扬 B 还可以,继续努力 C 还得加油
I
H
G
E
F
D
B
C
A
5题
B C
D E
A
B C D
A
E
F
射洪县天仙中学数学导学案七年级(下)
跟踪评价
1.三角形的三个外角中,最多有_______个锐角.
2.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为_____.
3.如图1所示,∠ABC,∠ACB的内角平分线交于点O,∠ABC 的内角平分线与∠ACB
的外角平分线交于点D,∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60
.
则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=________.
4.如图2所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.
5.已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为( )
A.90° B.110° C.100° D.120°
6.如图3所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )
A.120° B.115° C.110° D.
(1) (2) (3)
1题 2题 3题
7、如图,已知DF⊥AB于点F,且∠A=45°,∠D=30°,求∠ACB的度数.
8、已知△ABC中,∠A=40°,剪去∠A后成四边形,求∠1+∠2的度数。
D
C
B
A
E
O
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
F
E
A
B C D