高中数学005组卷

章末综合测评(三)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·菏泽高二期末)对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中：①若a>b，c≠0，则ac>bc；②若a>b，则ac2>bc2；③若ac2>bc2，则a>b；④若a>b>0，c>d，则ac>bd.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4【解析】若a>b，c<0时，ac<bc，①错；②中，若c＝0，则有ac2＝bc2，②错；③正确；④中，只有c>d>0时，ac>bd，④错，故选A.【答案】 A2．直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域．下列各点与原点位于同一区域的是()A．(－3,4) B．(－3，－4)C．(0，－3) D．(－3,2)【解析】当x＝y＝0时，3x＋2y＋5＝5>0，则原点一侧对应的不等式是3x ＋2y＋5>0，可以验证仅有点(－3，4)满足3x＋2y＋5>0.【答案】 A3．设A＝ba＋ab，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是()A．A≥B B．A>BC．A<B D．A≤B【解析】∵a，b都是正实数，且a≠b，∴A＝ba＋ab>2ba·ab＝2，即A>2，B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2＝－(x－2)2＋2≤2，即B≤2，∴A>B.【答案】 B4．已知0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是() 【导学号：05920084】A．a3＞b3 B.1a＜1bC．a b＞1 D．lg(b－a)＜0【解析】由0＜a＜b＜1，可得a3＜b3，A错误；1a＞1b，B错误；a b＜1，C错误；0＜b－a＜1，lg(b－a)＜0，D正确．【答案】 D5．在R上定义运算☆：a☆b＝ab＋2a＋b，则满足x☆(x－2)<0的实数x的取值范围为()A．(0,2)B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－1,2)【解析】根据定义得，x☆(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2<0，解得－2<x<1，所以所求的实数x的取值范围为(－2,1)．【答案】 B6．已知0<x<y<a<1，则有()A．log a(xy)<0B．0<log a(xy)<1C．1<log a(xy)<2D ．log a (xy )>2【解析】 0<x <y <a <1， 即0<x <a,0<y <a,0<xy <a 2.又0<a <1，f (x )＝log a x 是减函数， log a (xy )>log a a 2＝2，即log a (xy )>2. 【答案】 D7．不等式2x 2＋2x －4≤12的解集为( )A ．(－∞，－3]B ．(－3,1]C ．[－3,1]D ．[1，＋∞)∪(－∞，－3]【解析】 由已知得 2x 2＋2x －4≤2－1，所以x 2＋2x －4≤－1，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1.【答案】 C8．(2014·安徽高考)x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1D ．2或－1【解析】 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.【答案】 D9．已知正实数a ，b 满足4a ＋b ＝30，当1a ＋1b 取最小值时，实数对(a ，b )是( ) A ．(5,10) B ．(6,6) C ．(10,5) D ．(7,2)【解析】 1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·130·30＝130⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (4a ＋b )＝130⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b ≥130⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝310. 当且仅当⎩⎨⎧ba ＝4ab ，4a ＋b ＝30，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝10时取等号． 【答案】 A10．在如图1所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是( )图1A ．－3B ．3C ．－1D ．1【解析】 若最优解有无数个，则y ＝－1a x ＋za 与其中一条边平行，而三边的斜率分别为13，－1,0，与－1a 对照可知a ＝－3或1，又因z ＝x ＋ay 取得最小值，则a ＝－3. 【答案】 A11．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处【解析】 设车站到仓库距离为x ，土地费用为y 1，运输费用为y 2，由题意得y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，∵x ＝10时，y 1＝2，y 2＝8，∴k 1＝20，k 2＝45，∴费用之和为y ＝y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ×45x ＝8，当且仅当20x ＝4x 5，即x ＝5时取等号．【答案】 A12．设D 是不等式组⎩⎨⎧x ＋2y ≤10，2x ＋y ≥3，0≤x ≤4，y ≥1表示的平面区域，则D 中的点P (x ，y )到直线x ＋y ＝10的距离的最大值是( )A.2 B ．2 2 C ．32 D ．4 2【解析】 画出可行域，由图知最优解为A (1,1)，故A 到x ＋y ＝10的距离为d ＝4 2.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．函数y ＝2－x －4x (x >0)的值域为________． 【解析】 当x >0时，y ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≤2－2x ×4x ＝－2.当且仅当x ＝4x ，x ＝2时取等号．【答案】 (－∞，－2]14．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k <3，则k 的取值范围为________．【解析】 由题意得k ＋1＋k <3，即(k ＋2)·(k －1)<0，且k >0，因此k 的取值范围是(0,1)．【答案】 (0,1)15．(2015·山东高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y －x ≤1，x ＋y ≤3，y ≥1，则z ＝x ＋3y 的最大值为________．【解析】 根据约束条件画出可行域如图所示，平移直线y ＝－13x ，当直线y ＝－13x ＋z3过点A 时，目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝1，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，代入可得z ＝1＋3×2＝7.【答案】 716．(2015·浙江高考)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________．【解析】 ∵x 2＋y 2≤1，∴2x ＋y －4<0,6－x －3y >0，∴|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝10－3x －4y .令z ＝10－3x －4y如图，设OA 与直线－3x －4y ＝0垂直，∴直线OA 的方程为y ＝43x .联立⎩⎨⎧y ＝43x ，x 2＋y 2＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45， ∴当z ＝10－3x －4y 过点A 时，z 取最大值，z max ＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝15.【答案】 15三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2016·苏州高二检测)已知函数f (x )＝x 2＋2x ，解不等式f (x )－f (x －1)>2x －1.【解】 由题意可得x 2＋2x －(x －1)2－2x －1>2x －1，化简得2x (x －1)<0，即x (x －1)<0，解得0<x <1.所以原不等式的解集为{x |0<x <1}． 18．(本小题满分12分)设x ∈R ，比较11＋x与1－x 的大小． 【解】 作差：11＋x －(1－x )＝x 21＋x ，①当x ＝0时，∵x 21＋x ＝0，∴11＋x ＝1－x ；②当1＋x <0，即x <－1时， ∵x 21＋x <0，∴11＋x<1－x ； ③当1＋x >0且x ≠0，即－1<x <0或x >0时， ∵x 21＋x >0，∴11＋x>1－x . 19．(本小题满分12分)已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，求证：1x ＋4y ＋9z ≥36. 【导学号：05920085】【证明】 ∵(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ＝14＋y x ＋4x y ＋z x ＋9x z ＋4z y ＋9y z ≥14＋4＋6＋12＝36，∴1x ＋4y ＋9z ≥36.当且仅当x 2＝14y 2＝19z 2，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．20．(本小题满分12分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？【解】 设水稻种x 亩，花生种y 亩，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤2，240x＋80y≤400，x≥0，y≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤2，3x＋y≤5，x≥0，y≥0，画出可行域如图阴影部分所示而利润P＝(3×400－240)x＋(5×100－80)y＝960x＋420y(目标函数)，可联立⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝2，3x＋y＝5，得交点B(1.5,0.5)．故当x＝1.5，y＝0.5时，P最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1 650，即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大．21．(本小题满分12分)(2015·周口高二检测)已知函数f(x)＝x2＋3x－a(x≠a，a为非零常数)．(1)解不等式f(x)<x；(2)设x>a时，f(x)有最小值为6，求a的值．【解】 (1)f (x )<x ，即x 2＋3x －a<x ，整理得(ax ＋3)(x －a )<0. 当a >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3a (x －a )<0，∴解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3a <x <a； 当a <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3a (x －a )>0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－3a 或x <a . (2)设t ＝x －a ，则x ＝t ＋a (t >0)． ∴f (x )＝t 2＋2at ＋a 2＋3t＝t ＋a 2＋3t ＋2a ≥2t ·a 2＋3t ＋2a ＝2a 2＋3＋2a .当且仅当t ＝a 2＋3t ， 即t ＝a 2＋3时，等号成立，即f (x )有最小值2a 2＋3＋2a .依题意有：2a 2＋3＋2a ＝6，解得a ＝1.22．(本小题满分12分)(2015·济南师大附中检测)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16，(1)求不等式g (x )<0的解集；林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理 (2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围．【解】 (1)g (x )＝2x 2－4x －16<0，∴(2x ＋4)(x －4)<0，∴－2<x <4，∴不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}．(2)∵f (x )＝x 2－2x －8.当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立，∴x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15，即x 2－4x ＋7≥m (x －1)．∴对一切x >2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立． 而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥2(x －1)×4x －1－2＝2(当且仅当x ＝3时等号成立)，∴实数m 的取值范围是(－∞，2]．。

成都实验中学2025届高考数学五模试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b +=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ） A ．12 B ．22 C ．32 D ．332．已知01a b <<<，则（ ）A ．()()111b b a a ->-B ．()()211b b a a ->-C ．()()11a b a b +>+D ．()()11a b a b ->-3．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ）A ．3πB ．3π-C ．23πD ．23π- 4．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下：嘉宾A B C D E F 评分 96 95 96 89 97 98嘉宾评分的平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（ ）A ．122x x x +=B ．122x x x +>C ．122x x x +<D ．12122x x x x x +>>> 5．已知a b ，满足23a =，3b =，6a b ⋅=-,则a 在b 上的投影为（ ）A ．2-B ．1-C ．3-D ．26．已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围（ ） A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(0,2] 7．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．110．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（ ）A ．503πB ．21πC ．1003πD ．42π12．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高一（下）5月名校联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1．复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） ()i 3i z =+A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量，，．若，则（ ）()1,1a =- ()2,1b = ()2,c λ= ()2c a b +∥λ=A ． B ．0 C ．D ．812-123．已知为第三象限角，则（ ） 3sin 2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭αtan α=A ．B CD4．金字塔一直被认为是古埃及的象征，然而，玛雅文明也有类似建筑，玛雅金字塔是仅次于埃及金字塔的著名建筑．玛雅金字塔由巨石堆成，其下方近似为正四棱台，顶端是祭神的神殿，其形状近似为正四棱柱．整座金字塔的高度为29m ，金字塔的塔基（正四棱台的下底面）的周长为220m ，塔台（正四棱台的上底面）的周长为52m ，神殿底面边长为9m ，高为6m ，则该玛雅金字塔的体积为（）A ．B ．30455m 3C ．37217m 3D ．45439.5m 3 374920m 35．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知，，，若满足条ABC △a x =6c =60A =︒件的三角形有两个，则x 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．(⎤⎦()()3,6()+∞6．已知一个正六棱锥的所有顶点都在一个球的表面上，六棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，则球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．43π83π163π4π7．若，则（ ）sin 2204πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭tan tan 44ππθθ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．－2B ．1C ．2D ．48．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知，，ABC △3B π=8a =，点O 是的外心，若，则（ ）cos cos 6b A a B +=ABC △BO xBA yBC =+x y +=A ．B ．C ．D ． 712233625362936二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A ．1，12，13，14，… B ．－1,2，－3,4，… C ．－1，－12，－14，－18，… D ．1, 2， 3，…，n【解析】 A 为递减数列，B 为摆动数列，D 为有穷数列． 【答案】 C2．已知数列{a n }是首项a 1＝4，公比q ≠1的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则公比q 等于( )A.12 B ．－1 C ．－2 D ．2【解析】 由已知，2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，所以q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1，因为q ≠1，所以q ＝－1.【答案】 B3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A ．33个B ．65个C ．66个D ．129个【解析】 设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }． 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝2.∴a n －1＝1·2n －1 ，a n ＝2n －1＋1，a 7＝65.【答案】 B4．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列 {b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项【解析】 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．【答案】 C5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a ≠0)，则{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 【解析】 ∵S n ＝a n －1(a ≠0)， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，n ＝1，(a －1)a n －1，n ≥2，当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }是一个常数列，也是等差数列；当a ≠1时，数列{a n }是一个等比数列．【答案】 C6．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A ．90B ．100C ．145D ．190 【解析】 设公差为d ， ∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )，∵d ≠0，∴d ＝2，从而S 10＝100. 【答案】 B7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．7【解析】 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4＝16， ∴a 3＋a 4－S 2＝(a 3－a 1)＋(a 4－a 2) ＝4d ＝16－4＝12， ∴d ＝3. 【答案】 B8．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．5 D.52【解析】 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n ＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项，2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 【解析】 ∵2a n ＋1－2a n ＝1， ∴a n ＋1－a n ＝12，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列， ∴a 101＝2＋12(101－1)＝52. 【答案】 D10．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图1所示：图1则第七个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．30【解析】 法一 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，∴a 6－a 5＝6，a 6＝21，a 7－a 6＝7，a 7＝28. 法二 由图可知第n 个三角形数为n (n ＋1)2， ∴a 7＝7×82＝28. 【答案】 B11．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n－1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ3n 为等差数列的实数λ＝( )A ．2B ．5C ．－12 D.12【解析】 a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n ，则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27，∵b 1＋b 3＝2b 2， ∴λ＝－12. 【答案】 C12．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )A ．S 17B ．S 18C ．S 19D ．S 20 【解析】 ∵a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|， ∴a 11＋a 10>0.S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10·(a 11＋a 10)>0.S 19＝19(a 1＋a 19)2＝192·2a 10<0.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为________．【解析】 由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝100[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2＝50×(25＋75＋100)＝10 000. 【答案】 10 00014．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________. 【导学号：05920082】【解析】 由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n ，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，把各式相加，得a 5－a 1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a 5＝14＋a 1＝14＋1＝15. 【答案】 1515．首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．【解析】 设a 1＝－24，公差为d ，∴a 10＝－24＋9d >0且a 9＝－24＋8d ≤0，∴83<d ≤3.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤83，316．已知公差不为零的正项等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，若a 5＝10，则S 5＝________.【解析】 设{a n }的公差为d ，则d ≠0. 由lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，得2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4，∴a 22＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d 2＝a 1d .又d ≠0，故d ＝a 1，a 5＝5a 1＝10，d ＝a 1＝2， S 5＝5a 1＋5×42×d ＝30. 【答案】 30三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．【解】 设该数列的公差为d ，前n 项和为S n .由已知可得 2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )， 所以a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.18．(本小题满分12分)(2016·唐山模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n＋2}是等比数列．【解】(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)·S n＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.(2)证明：∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n－1＝(n－2)S n－1＋2(n－1)，②①－②得na n＝(n－1)S n－(n－2)S n－1＋2＝na n－S n＋2S n－1＋2，∴－S n＋2S n－1＋2＝0，即S n＝2S n－1＋2.∴S n＋2＝2(S n－1＋2)．∵S1＋2＝4≠0.∴S n－1＋2≠0，∴S n＋2S n－1＋2＝2.即{S n＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．19．(本小题满分12分)(2015·北京高考)已知等差数列{a n}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.(1)求{a n}的通项公式；(2)设等比数列{b n}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？【解】(1)设等差数列{a n}的公差为d.因为a4－a3＝2，所以d＝2.又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.所以a n＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1,2，…)．(2)设等比数列{b n}的公比为q.因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，所以q＝2，b1＝4.所以b 6＝4×26－1＝128. 由128＝2n ＋2得n ＝63，所以b 6与数列{a n }的第63项相等．20．(本小题满分12分)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)，满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. 【导学号：05920083】(1)令c n ＝a nb n，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .【解】 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0， b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a n b n＝2，即c n ＋1－c n ＝2.所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1， 3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n .相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)3n ， 所以S n ＝(n －1)3n ＋1.21．(本小题满分12分)(2015·四川高考)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11 000成立的n 的最小值．【解】 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有 a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2.从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.所以数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n＝2n.(2)由(1)得1a n＝12n，所以T n＝12＋122＋…＋12n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫12n1－12＝1－12n.由|T n－1|<11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n－1<11 000，即2n>1 000.因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n≥10.于是使|T n－1|<11 000成立的n的最小值为10.22．(本小题满分12分)在等差数列{a n}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝a n(n＋1)2，记T n＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)n b n，求T n.【解】(1)由题意知(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝2，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n.(2)由题意知b n＝a n(n＋1)2＝n(n＋1)，所以T n＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n·(n＋1)．因为b n＋1－b n＝2(n＋1)，可得当n为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n ) ＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n2(4＋2n )2＝n (n ＋2)2，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝(n －1)(n ＋1)2－n (n ＋1)＝－(n ＋1)22.所以T n＝⎩⎨⎧－(n ＋1)22，n 为奇数，n (n ＋2)2，n 为偶数.。

2020年02月05日高中数学的高中数学组卷一．选择题（共37小题）1．若全集{0U =，1，2，3}且{2}U A =，则集合A 的真子集共有( )A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个2．集合{1，2，3}的真子集的个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．83．若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为( )A ．0X ⊆B ．{0}X ∈C ．X ∅∈D ．{0}X⊆ 4．集合{1A =-，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个5．若集合{|0}B x x =，且A B A =，则集合A 可能是( )A ．{1，2}B ．{|1}x xC ．{1-，0，1}D ．R6．设集合{|03A x x =<且}x N ∈的真子集的个数是( )A ．16B ．8C ．7D ．47．集合{1，2，3}的子集共有( )A ．7个B ．8个C ．6个D ．5个8．已知集合{1A =，2，3}，{2B =，3}，则( )A ．AB = B ．A B =∅C ．A B ⊂≠D ．B A ⊂≠9．已知集合{0A =，1}，{|B z z x y ==+，x A ∈，}y A ∈，则B 的子集个数为()A ．3B ．4C ．7D ．810．集合{|04}A x N x =∈<<的真子集个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．811．已知全集{0U =，1，2}且{2}U A =，则集合A 的真子集共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个12．集合{a ，}b 的子集有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个13．集合{a ，}b 的子集的个数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个14．定义集合*{|A B x x A =∈，且}x B ∉，若{1A =，3，5，7}，{2B =，3，5}，则*A B的子集个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．415．设{|4}P x x =<，2{|4}Q x x =<，则( )A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R P Q ⊆D ．R Q P ⊆16．已知集合{0M =，1}，则满足{0MN =，1，2}的集合N 的个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．8 17．满足{a ，}{b M a ，b ，c ，d ，}e 的集合M 的个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9 18．设集合{sin ,}3n M x x n Z π==∈，则满足条件33{,}22P M -=的集合P 的个数是( )A ．1B ．3C ．4D ．819．下列说法中，正确的是( )A ．任何一个集合必有两个子集B ．若A B φ=，则A ，B 中至少有一个为∅C ．任何集合必有一个真子集D ．若S 为全集，且A B S =，则A B S ==20．设集合{1A =，2，3，4，5，6}，{4B =，5，6，7，8}，则满足S A ⊆且SB ≠∅的集合S 的个数是( )A ．57B ．56C ．49D ．821．已知集合{1A =，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是( )A ．15B ．16C ．3D ．422．已知集合{1A =，2，3}，{2B =，3}，则( )A ．AB = B ．A B =∅C ．A B ⊆D ．B A ⊆23．集合2{|6y N y x ∈=-+，}x N ∈的真子集的个数是( )A ．9B ．8C ．7D ．624．已知集合2{|20A x ax x a =++=，}a R ∈，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是( )A ．1B ．1-C ．0，1D ．1-，0，125．设集合{1M =-，1}，2{|6}N x x x =-<，则下列结论正确的是( )A ．N M ⊆B ．N M =∅C ．M N ⊆D ．M N R =26．集合{1，2，3}的子集共有( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个27．已知集合{1M =-，0，1}，{|cos N y y x ==，}x M ∈，则集合N 的子集个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．828．下列四个命题：①{0}∅=；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个29．若集合{1A =，2}，{1B =，3}，则集合A B 的真子集的个数为( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．1630．已知集合{1A =，2，3}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，}x y A +∈，则集合B 的子集的个数为( )A ．4B ．7C ．8D ．1631．若{1，2}{1A ⊆⊆，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是( )A ．6B ．7C ．8D ．932．设集合{P =立方后等于自身的数}，那么集合P 的真子集的个数是( )A ．3B ．4C ．7D ．833．已知集合{2A =，3}，{2B =，4}，P AB =，则集合P 的子集的个数是( ) A ．2B ．4C ．8D ．16 34．集合3{|1}A x N x =∈，2{|log (1)1}B x N x =∈+，S A ⊆，S B ≠∅，则集合S 的个数为( )A ．0B ．2C ．4D ．835．若{1，2}{1A ⊆⊆，2，3，4，5}，则集合A 的个数是( )A ．8B ．7C ．4D ．336．下列集合中，是集合2{|5}A x x x =<的真子集的是( )A ．{2，5}B ．(6,)+∞C ．(0,5)D ．(1,5)37．已知集合{A a =，b ，}c ，下列可以作为集合A 的子集的是( )A ．aB ．{a ，}cC ．{a ，}eD ．{a ，b ，c ，}d二．填空题（共10小题）38．集合{1-，0，1}共有 个子集．39．若全集{0U =，1，2，3}且{2}U A =，则集合A 的真子集共有 个．40．已知a 是实数，若集合{|1}x ax =是任何集合的子集，则a 的值是 ．41．集合{1A =，2}的子集个数为 ．42．满足{0，1，2}{0A ⊆，1，2，3，4，5}的集合A 的个数是 个．43．若规定1{E a =，210}a a ⋯的子集{}12,,nk k k a a a ⋯为E 的第k 个子集，其中_11_21_31_12222k k k k n k ----=+++⋯+．则 （1）1{a ，3}a 是E 的第 个子集；（2）E 的第211个子集是 ．44．已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==，若B A ⊆，则实数a 构成的集合为 ．45．集合{1，2，3}的真子集共有 个．46．已知集合{A a =，b ，}c ，则集合A 的真子集的个数是 ．47．已知集合{0A =，1，2}，则A 的子集的个数为 ．三．解答题（共3小题）48．已知集合{|(3)(5)0}A x x x =+-，{|223}B x m x m =-<<-，且B A ⊆，求实数m 的取值范围．49．设集合1{|24}32x A x -=，22{|3210}B x x mx m m =-+--<． （1）当x Z ∈时，求A 的非空真子集的个数．（2）若B =∅，求m 的取值范围．（3）若A B ⊇，求m 的取值范围．50．设集合1{|24}32x A x -=，22{|3210}B x x mx m m =-+--<． （1）当x Z ∈时，求A 的非空真子集的个数；，求m的取值范围．（2）若A B2020年02月05日高中数学的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共37小题）1．若全集{0U =，1，2，3}且{2}U A =，则集合A 的真子集共有( ) A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个【分析】利用集合中含n 个元素，其真子集的个数为21n -个，求出集合的真子集的个数．【解答】解：{0U =，1，2，3}且{2}U A =，{0A ∴=，1，3}∴集合A 的真子集共有3217-= 故选：C ．【点评】求一个集合的子集、真子集的个数可以利用公式：若一个集合含n 个元素，其子集的个数为2n ，真子集的个数为21n -．2．集合{1，2，3}的真子集的个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】集合{1，2，3}的真子集是指属于集合的部分组成的集合，包括空集．【解答】解：集合的真子集为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，∅．共有7个． 故选：C ．【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M 的子集问题一般来说，若M 中有n 个元素，则集合M 的子集共有2n 个．3．若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为( )A ．0X ⊆B ．{0}X ∈C ．X ∅∈D ．{0}X ⊆【分析】根据0大于1-可知0是集合X 中的元素，且以0为元素的集合是集合X 的子集，即可判断出答案．【解答】解：根据集合中的不等式1x >-可知0是集合X 的元素即0X ∈，则{0}X ⊆ 故选：D ．【点评】此题考查学生掌握元素与集合关系的判断方法，以及理解子集和真子集的概念来判断两集合之间的关系，也是高考常考的题型．学生做题时容易把元素与集合的关系与集合与集合的关系混淆．4．集合{1A=-，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有() A．2个B．4个C．6个D．8个【分析】根据题意，列举出A的子集中，含有元素0的子集，进而可得答案．【解答】解：根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，1}-，0，1}，四个；-、{1故选：B．【点评】元素数目较少时，宜用列举法，当元素数目较多时，可以使用并集的思想．5．若集合{|0}=，且A B AB x x=，则集合A可能是()A．{1，2}B．{|1}x x C．{1-，0，1}D．R⊆，进而可得答案．【分析】集合{|0}B x x=，且A B A=，则故A B【解答】解：集合{|0}=，且A B AB x x=，⊆，故A B故A答案中{1，2}满足要求，故选：A．【点评】本题考查的知识点是集合的子集，集合的交集运算，难度不大，属于基础题．6．设集合{|03=<且}A x x∈的真子集的个数是()x NA．16B．8C．7D．4【分析】由集合{|03=<且}A x x∈，根据真子集的定义即可得出答案．x N【解答】解：集合{|03∈=，1，2}，x NA x x=<且}{0∴集合A的真子集是：ϕ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，共有7个，故选：C．【点评】本题考查了集合的子集，属于基础题，关键是掌握真子集的定义．7．集合{1，2，3}的子集共有()A．7个B．8个C．6个D．5个【分析】集合{1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．【解答】解：集合{1，2，3}的子集有：⋯，2，3}共8个．∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}{1故选：B．【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M 的子集问题一般来说，若M 中有n 个元素，则集合M 的子集共有2n 个．8．已知集合{1A =，2，3}，{2B =，3}，则( )A ．AB = B ．A B =∅C ．A B ⊂≠D ．B A ⊂≠ 【分析】直接利用集合的运算法则求解即可．【解答】解：集合{1A =，2，3}，{2B =，3}，可得A B ≠，{2AB =，3}，B A ⊂≠，所以D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．9．已知集合{0A =，1}，{|B z z x y ==+，x A ∈，}y A ∈，则B 的子集个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8 【分析】先求出集合B 中的元素，从而求出其子集的个数．【解答】解：由题意可知，集合{|B z z x y ==+，x A ∈，}{0y A ∈=，1，2}，则B 的子集个数为：328=个，故选：D ．【点评】本题考察了集合的子集个数问题，若集合有n 个元素，其子集有2n 个．10．集合{|04}A x N x =∈<<的真子集个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8【分析】先求出集合的元素的个数，再代入21n -求出即可．【解答】解：集合{|04}{1A x N x =∈<<=，2，3}，∴真子集的个数是：3217-=个，故选：C ．【点评】本题考查了集合的子集问题，若集合的元素有n 个，则子集的个数是2n 个，真子集的个数是21n -个，本题是一道基础题．11．已知全集{0U =，1，2}且{2}U A =，则集合A 的真子集共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个【分析】根据题意，易得{1A =，0}，由集合的元素数目与集合子集数目的关系，可得其子集的数目，排除其本身这个子集后可得其真子集的数目，即可得答案．【解答】解：根据题意，全集{1U =，2，0}，且{2}U A =，则{1A =，0}， A 的子集有224=个，其中真子集有413-=个；故选：A ．【点评】本题考查集合的元素数目与集合子集数目的关系：若A 中有n 个元素，则A 有2n 个子集．12．集合{a ，}b 的子集有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】根据子集的定义解答．【解答】解：集合{a ，}b 的子集有∅，{}a ，{}b ，{a ，}b 共有4个；故选：C ．【点评】本题考查了集合的子集的个数求法；如果集合有n 个元素，那么它的子集有2n 个．13．集合{a ，}b 的子集的个数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】若集合A 中有n 个元素，则集合A 有2n 个子集．由此能求出结果．【解答】解：集合{a ，}b 中有两个元素，∴集合{a ，}b 有224=个子集，故选：C ．【点评】本题考查集合的子集个数的求法，解题时要认真审题．注意公式若集合A 中有n 个元素，则集合A 有2n 个子集的灵活运用．14．定义集合*{|A B x x A =∈，且}x B ∉，若{1A =，3，5，7}，{2B =，3，5}，则*A B的子集个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】由定义*A B 即A 中的元素除去B 中元素构成的集合．写出*A B ，再判断子集个数即可．【解答】解：由题意：*{1A B =，7}，故其子集为∅，{1}，{7}，{1，7}，个数为4 故选：D ．【点评】本题考查集合的运算、集合子集个数问题，属基础知识、基本运算的考查．15．设{|4}P x x =<，2{|4}Q x x =<，则( )A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R P Q ⊆D ．R Q P ⊆【分析】此题只要求出24x <的解集{|22}x x -<<，画数轴即可求出．【解答】解：{|4}P x x =<，2{|4}{|22}Q x x x x =<=-<<，如图所示，可知Q P ⊆，故选：B ．【点评】此题需要学生熟练掌握子集、真子集和补集的概念，主要考查了集合的基本运算，属容易题．16．已知集合{0M =，1}，则满足{0MN =，1，2}的集合N 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【分析】由M 与N 的并集得到集合M 和集合N 都是并集的子集，又根据集合M 的元素得到元素2一定属于集合N ，找出两并集的子集中含有元素2的集合的个数即可．【解答】解：由{0MN =，1，2}， 得到集合M M N ⊆，且集合N M N ⊆，又{0M =，1}，所以元素2N ∈，则集合N 可以为{2}或{0，2}或{1，2}或{0，1，2}，共4个．故选：C ．【点评】此题考查了并集的意义，以及子集和真子集．要求学生掌握并集的意义，即属于M或属于N 的元素组成的集合为M 和N 的并集，由集合M 得到元素2一定属于集合N 是本题的突破点．17．满足{a ，}{b M a ，b ，c ，d ，}e 的集合M 的个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【分析】根据题意，列举满足{a ，}{b Ma ⊆，b ，c ，d ，}e 的集合M ，即可得答案． 【解答】解：根据题意，满足{a ，}{b M a ，b ，c ，d ，}e 的集合M 有{a ，b ，}c ，{a ，b ，}d ，{a ，b ，}e ，{a ，b ，c ，}d ，{a ，b ，c ，}e ，{a ，b ，d ，}e ，共6个； 故选：A ．【点评】本题考查集合的子集的判断，解题时要注意符号“⊆”与“”的不同含义．18．设集合{sin,}3n M x x n Z π==∈，则满足条件33{,}22P M -=的集合P 的个数是( ) A ．1B ．3C ．4D ．8【分析】先利用列举法求出{|sin,}3n M x x n Z π==∈，再根据集合并集的定义“由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合叫做并集”进行反向求解集合P 即可．【解答】解：{|sin,}3n M x x n Z π==∈= 33{,}22PM -=，P ∴=或或{0,或{0} 故选：C ．【点评】本题主要考查了集合中并集的运算，是求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．19．下列说法中，正确的是( ) A ．任何一个集合必有两个子集 B ．若AB φ=，则A ，B 中至少有一个为∅C ．任何集合必有一个真子集D ．若S 为全集，且AB S =，则A B S ==【分析】根据空集是任何集合的子集可判断A 、C 不正确；可举简单的两个集合说明B 不正确；根据交集的运算说明D 不正确．【解答】解：A 、例如空集∅的子集只有它本身，即一个子集，故A 不正确；B 、如{1A =，2}，{3B =，4，5}，则A B φ=，且它们都不是空集，故B 不正确；C 、由空集是任何集合的子集和真子集的定义知，空集是本身的子集但不是真子集，故C 不正确；D 、因A B S =，则S A ⊂且S B ⊂，又因S 为全集，则A B S ==，故D 正确．故选：D ．【点评】本题考查了子集的定义和交集的运算，注意特殊情况“∅”的规定，对于选择题可以举例说明即可．20．设集合{1A =，2，3，4，5，6}，{4B =，5，6，7，8}，则满足S A ⊆且S B ≠∅的集合S 的个数是( ) A ．57B ．56C ．49D ．8【分析】因为集合S 为集合A 的子集，而集合A 的元素有6个，所以集合A 的子集有62个，又集合S 与集合B 的交集不为空集，所以集合S 中元素不能只有1，2，3，把不符合的情况舍去，即可得到满足题意的S 的个数．【解答】解：集合A 的子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，⋯，{1，2，3，4，5，6}，共123456666666164C C C C C C ++++++=个； 又S B ≠∅，{4B =，5，6，7，8}，所以S 不能为：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共8个， 则满足S A ⊆且S B ≠∅的集合S 的个数是64856-=．故选：B ．【点评】此题考查学生掌握子集的计算方法，理解交集的意义，是一道基础题． 21．已知集合{1A =，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是( ) A ．15B ．16C ．3D ．4【分析】根据集合的元素数目与真子集个数的关系，而A 有4个元素，计算可得答案． 【解答】解：根据集合的元素数目与真子集个数的关系，n 元素的真子集有21n -个， 集合A 有4个元素，则其真子集个数为42115-=， 故选：A ．【点评】本题考查集合的元素数目与真子集个数的关系，n 元素的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个．22．已知集合{1A =，2，3}，{2B =，3}，则( ) A ．A B =B ．A B =∅C ．A B ⊆D ．B A ⊆【分析】直接根据子集的定义，得出B A ⊆，且{2A B =，3}A =≠∅，能得出正确选项为D ．【解答】解：因为{1A =，2，3}，{2B =，3}， 显然，A B ≠且B A ⊆， 根据集合交集的定义得，{2A B =，3}A =，所以，AB ≠∅，故选：D ．【点评】本题主要考查了集合及其运算，涉及集合相等，子集和空集的定义，以及交集的运算，属于基础题．23．集合2{|6y N y x ∈=-+，}x N ∈的真子集的个数是( ) A ．9B ．8C ．7D ．6【分析】根据条件，让x 从0开始取值，求出对应的y 值：0x =，6y =；1x =，5y =；2x =，2y =；3x =，3y =-，显然x 往后取值对应的y 值都小于0，所以集合2{|6y N y x ∈=-+，}{2x N ∈=，5，6}，这样求出该集合的所有真子集即得到真子集的个数．【解答】解：0x =时，6y =； 1x =时，5y =； 2x =时，2y =； 3x =时，3y =-；函数26y x =-+，x N ∈，在[0，)+∞上是减函数；3x ∴时，0y <；2{|6y N y x ∴∈=-+，}{2x N ∈=，5，6}；∴该集合的所有真子集为：∅，{2}，{5}，{6}，{2，5}，{2，6}，{5，6}； ∴该集合的真子集个数为7．故选：C ．【点评】考查描述法表示集合，自然数集N ，以及真子集的概念．24．已知集合2{|20A x ax x a =++=，}a R ∈，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是( )A ．1B ．1-C ．0，1D ．1-，0，1【分析】若A 有且仅有两个子集，则A 为单元素集，所以关于x 的方程220ax x a ++=恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a 的取值范围． 【解答】解：由题意可得，集合A 为单元素集，（1）当0a =时，{|20}{0}A x x ===，此时集合A 的两个子集是{0}，∅， （2）当0a ≠时 则△2440a =-=解得1a =±， 当1a =-时，集合A 的两个子集是{1}，∅， 当1a =，此时集合A 的两个子集是{1}-，∅． 综上所述，a 的取值为1-，0，1． 故选：D ．【点评】本题考查根据子集与真子集的概念，解题时要认真审题，注意分析法、讨论法和等价转化法的合理运用．属于基础题．25．设集合{1M =-，1}，2{|6}N x x x =-<，则下列结论正确的是( ) A ．N M ⊆B ．NM =∅C ．M N ⊆D ．M N R =【分析】求出集合N ，从而判断出M ，N 的关系即可．【解答】解：集合{1M =-，1}，2{|6}{|23}N x x x x x =-<=-<<， 则M N ⊆， 故选：C ．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题． 26．集合{1，2，3}的子集共有( ) A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个【分析】集合{1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集． 【解答】解：集合{1，2，3}的子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共8个．故选：D ．【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M 的子集问题一般来说，若M 中有n 个元素，则集合M 的子集共有2n 个．27．已知集合{1M =-，0，1}，{|cos N y y x ==，}x M ∈，则集合N 的子集个数为( ) A ．3B ．4C ．7D ．8【分析】求出集合N，然后根据子集的含义知，集合{1N=，cos1}的子集中的元素是从集合N中取得，对于每一个元素都有取或不取两种方法，同乘法原理即可其子集的个数．【解答】解：集合{1==，}M=-，0，1}，{|cosN y y x∈，x M含有n个元素的集合的子集共有：2n个，所以{1N=，cos1}所以它的子集的个数为：4．故选：B．【点评】本题主要考查了集合的子集，一般地，含有n个元素的集合的子集共有：2n个．28．下列四个命题：①{0}∅=；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】利用空集的定义、属性对各个命题进行判断．Φ不含任何元素；空集是任何一个集合的子集．是任何非空集合的真子集．【解答】解：对于①Φ不含任何元素而{0}含元素0，故①错对于②空集是本身的子集，故②错对于③空集的子集只有其本身，故③错对于④，空集是任何一个集合的子集．是任何非空集合的真子集，故④对故选：B．【点评】本题考查空集的定义、性质：Φ不含任何元素；空集是任何一个集合的子集．是任何非空集合的真子集．29．若集合{1B=，3}，则集合A B的真子集的个数为()A=，2}，{1A．7B．8C．15D．16【分析】由根据集合的定义得到：集合{1A B=，2，3}，由此能求出集合A B的真子集个数．【解答】解：{1B=，3}，A=，2}，{1A B=，2，3}，∴集合{1-=．∴集合A B的真子集个数为3217故选：A．【点评】本题考查并集的运算和求集合的真子集的个数．若集合A中有n个元素，则集合A有21n -个真子集．30．已知集合{1A =，2，3}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，}x y A +∈，则集合B 的子集的个数为( ) A ．4B ．7C ．8D ．16【分析】先求出{(1,1)B =，(1,2)，(2,1)}，由此能求出B 的子集个数．【解答】解：集合{1A =，2，3}，平面内以(,)x y 为坐标的点集合{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，}x y A +∈，{(1,1)B ∴=，(1,2)，(2,1)}，B ∴的子集个数为：328=个．故选：C ．【点评】本题考查集合的子集的求法与性质，考查集合的含义，是基础题． 31．若{1，2}{1A ⊆⊆，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是( ) A ．6B ．7C ．8D ．9【分析】根据题意A 中必须有1，2这两个元素，因此A 的个数应为集合{3，4，5}的子集的个数．【解答】解：{1，2}{1A ⊆⊆，2，3，4，5}，∴集合A 中必须含有1，2两个元素， 因此满足条件的集合A 为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共8个．故选：C ．【点评】本题考查了子集的概念，熟练掌握由集合间的关系得到元素关系是解题的关键．有n 个元素的集合其子集共有2n 个．32．设集合{P =立方后等于自身的数}，那么集合P 的真子集的个数是( ) A ．3B ．4C ．7D ．8【分析】先根据立方后等于自身的数写出集合P ，再根据集合的元素数目与真子集个数的关系，而P 有3个元素，计算可得答案． 【解答】解：根据题意得：3x x =，则2(1)0x x -=， 即(1)(1)0x x x -+=，{0P ∴=，1，1}-， 那么集合P 真子集的个数为3217-=． 故选：C ．【点评】本题考查集合的元素数目与真子集个数的关系，n 元素的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个．33．已知集合{2A =，3}，{2B =，4}，P A B =，则集合P 的子集的个数是( )A ．2B ．4C ．8D ．16【分析】先由题设条件求出集合P 中元素的个数，再计算集合P 的子集的个数． 【解答】解：{2A =，3}，{2B =，4}，{2P AB ∴==，3，4}，∴集合P 的子集的个数328==．故选：C ．【点评】本题考查并集的运算和子集个数的求法，解题时要认真审题，仔细解答． 34．集合3{|1}A x N x=∈，2{|log (1)1}B x N x =∈+，S A ⊆，S B ≠∅，则集合S 的个数为( ) A ．0B ．2C ．4D ．8【分析】首先化简集合A 和B ，然后由条件可知S 中必含有元素1，可以有元素2，3，从而得出结果．【解答】解：2log (1)1x + 22log (1)log 2x ∴+∴1012x x x N +>⎧⎪+⎨⎪∈⎩故{0B =，1}，从0开始逐一验证自然数可知{1A =，2，3}，要使S A ⊆，SB ≠∅，S 中必含有元素1，可以有元素2，3，所以S 只有{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}． 故选：C ．【点评】此题考查了交集的定义以及集合的包含关系，得出S 中必含有元素1，可以有元素2，3是解题的关键．35．若{1，2}{1A ⊆⊆，2，3，4，5}，则集合A 的个数是( ) A ．8B ．7C ．4D ．3【分析】集合子集的列举要按照一定的顺序，防止遗漏．【解答】解：集合A 有：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}， {1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．故选：A ．【点评】本题考查了集合子集的列举及其个数，属于基础题． 36．下列集合中，是集合2{|5}A x x x =<的真子集的是( ) A ．{2，5}B ．(6,)+∞C ．(0,5)D ．(1,5)【分析】求解二次不等式化简A ，然后可得集合A 的真子集． 【解答】解：因为2{|5}{|05}A x x x x x =<=<<， 所以是集合2{|5}A x x x =<的真子集的是(1,5)． 故选：D ．【点评】本题考查集合的子集的求法，属于基础题．37．已知集合{A a =，b ，}c ，下列可以作为集合A 的子集的是( ) A ．aB ．{a ，}cC ．{a ，}eD ．{a ，b ，c ，}d【分析】根据集合的子集的定义，即可判断得到答案． 【解答】解：根据集合的子集的定义，∴集合{A a =，b ，}c 的子集为：∅，{}a ，{}b ，{}c ，{a ，}b ，{a ，}c ，{b ，}c ，{a ，b ，}c ，对应选项，则可以作为集合A 的子集的是{a ，}c ． 故选：B ．【点评】本题考查了集合的子集与真子集，研究集合的子集问题时，要特别注意∅．如果集合A 的元素个数是n ，则其子集个数是2n ，真子集个数是21n -．属于基础题． 二．填空题（共10小题）38．集合{1-，0，1}共有 8 个子集．【分析】集合{1P =，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集． 【解答】解：因为集合{1-，0，1}，所以集合{1-，0，1}的子集有：{1}-，{0}，{1}，{1-，0}，{1-，1}，{0，1}，{1-，0，1}，∅，共8个．故答案为：8．【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．39．若全集{0U=，1，2，3}且{2}A=，则集合A的真子集共有7个．U【分析】由全集{0U=，1，2，3}且{2}A=求出A集合，然后就可以算出真子集的个数．U【解答】{0U=，1，2，3}且{2}A=U∴=，1，3}{0A-=个A∴集合的真子集有3217故答案为：7【点评】本题主要考查集合的补集运算以及真子集个数的求法，只要利用公式即可得到答案，属易题．40．已知a是实数，若集合{|1}x ax=是任何集合的子集，则a的值是0．【分析】由题意，集合{|1}x ax=是任何集合的子集，则此集合必是空集，a的值易求得．【解答】解：由于a是实数，若集合{|1}x ax=是任何集合的子集，则此集合必是空集，故方程1a=ax=无根，所以0故答案为：0．【点评】本题考查集合中的参数取值问题，空集的概念，解题的关键是理解题意，得出是任何集合的子集的集合必是空集．41．集合{1A=，2}的子集个数为4．【分析】集合{1，2，}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．【解答】解：集合{1A=，2}的子集有∅，{1}，{2}，{1，2}共4个．故答案为4．【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．A⊆，1，2，3，4，5}的集合A的个数是6个．42．满足{0，1，2}{0【分析】由题意知集合A中一定含有0，1，2三个元素，问题转化为求{3，4，5}的子集，根据非空子集的公式，写出结果．【解答】解：由题意知集合A中一定含有0，1，2三个元素，∴问题转化为求{3，4，5}的子集，并且是求非空子集，∴有3217-=个，故答案为：7【点评】本题考查集合的子集与子集，注意条件中所要求的是要求的集合与{0，1，2}的包含的关系，不要出错，本题是一个基础题．43．若规定1{E a =，210}a a ⋯的子集{}12,,nk k k a a a ⋯为E 的第k个子集，其中_11_21_31_12222k k k k n k ----=+++⋯+．则（1）1{a ，3}a 是E 的第 5 个子集； （2）E 的第211个子集是 ．【分析】（1）由_11_21_31_12222k k k k n k ----=+++⋯+受到启发，根据集合元素的特征，将其用二进制表示出来，0为不出现，1为出现，进而可得答案； （2）十进制211等于二进制11010011，将其对应的集合写出即可．【解答】解：（1）1{a ，33}{a a =，1}a 化成二进制101(0为不出现，1为出现）， 这里3a 出现，2a 不出现，1a 出现，所以是101； 二进制的101等于十进制5，故第一个空填5； 故答案为：5．（2）十进制211等于二进制11010011， 即对应集合8{a ，7a ，5a ，2a ，1}a ，又由8{a ，7a ，5a ，2a ，11}{a a =，2a ，5a ，7a ，8}a 故第二空填1{a ，2a ，5a ，7a ，8}a ． 故答案为：1{a ，2a ，5a ，7a ，8}a ．【点评】本题是转化思想的典型题目，注意从题目的条件中寻找突破点，进而结合题意解题，解题中，特别注意与原题的验证．44．已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==，若B A ⊆，则实数a 构成的集合为 {1-，0，1} ．【分析】由集合2{|1}{1A x x ===-，1}，1{|1}{}B x ax a===，B A ⊆，B =∅，或{1}B =-，或{1}B =．由此能求出实数a 构成的集合．【解答】解：集合2{|1}{1A x x ===-，1}，1{|1}{}B x ax a===，B A ⊆， B ∴=∅，或{1}B =-，或{1}B =．当B =∅时，1a不存在，0a ∴=． 当{1}B =-时，11a =-，1a ∴=-． 当{1}B =时，11a=，1a ∴=． ∴实数a 构成的集合为{1-，0，1}．故答案为：{1-，0，1}．【点评】本题考查子集与真子集的应用，是基础题．解题时要认真审题，易错点是容易忽视B 为空集的情况．45．集合{1，2，3}的真子集共有 7 个．【分析】集合{1，2，3}的真子集是指属于集合的部分，包括空集．【解答】解：集合{1，2，3}的真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．故答案为：7【点评】本题考查集合的真子集个数问题，对于集合M 的真子集问题一般来说，若M 中有n 个元素，则集合M 的真子集共有(21)n -个46．已知集合{A a =，b ，}c ，则集合A 的真子集的个数是 7 ．【分析】由集合A 中的元素有3个，把3n =代入集合的真子集的公式21n -中，即可计算出集合A 真子集的个数．【解答】解：由集合A 中的元素有a ，b ，c 共3个，代入公式得：3217-=，则集合A 的真子集有：{}a ，{}b ，{}c ，{a ，}b ，{b ，}c ，{a ，}c ，∅共7个． 故答案为：7【点评】解得本题的关键是掌握当集合中元素有n 个时，真子集的个数为21n -．同时注意子集与真子集的区别：子集包含本身，而真子集不包含本身．47．已知集合{0A =，1，2}，则A 的子集的个数为 8 ．【分析】由集合A 中的元素有3个，把3n =代入集合的子集的公式2n 中，即可计算出集合A 子集的个数．【解答】解：由集合A 中的元素有0，1，2共3个，代入公式得：328=，则集合A 的子集有：{0，1，2}，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{1，2}，{0，2}，∅共8个． 故答案为：8．【点评】解得本题的关键是掌握当集合中元素有n 个时，真子集的个数为21n -．同时注意子集与真子集的区别：子集包含本身，而真子集不包含本身．三．解答题（共3小题）48．已知集合{|(3)(5)0}A x x x =+-，{|223}B x m x m =-<<-，且B A ⊆，求实数m 的取值范围．【分析】当B =∅时，223m m --；当B ≠∅时，22323235m m m m -<-⎧⎪--⎨⎪-⎩由此能求出实数m 的取值范围．【解答】解：{|(3)(5)0}{|35}A x x x x x =+-=-．{|223}B x m x m =-<<-，且B A ⊆∴当B =∅时，223m m --，即1m ．当B ≠∅时，B A ⊆，∴22323235m m m m -<-⎧⎪--⎨⎪-⎩，∴114m m m >⎧⎪-⎨⎪⎩，解得14m <． 综上，实数m 的取值范围{|4}m m ．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．49．设集合1{|24}32x A x -=，22{|3210}B x x mx m m =-+--<． （1）当x Z ∈时，求A 的非空真子集的个数．（2）若B =∅，求m 的取值范围．（3）若A B ⊇，求m 的取值范围．【分析】（1）由条件：“x Z ∈”知集合A 中的元素是整数，进而求它的子集的个数；（2）由条件：“B =∅”知集合B 中的没有任何元素是，得不等式的解集是空集，进而求m ；（3）由条件：“A B ⊇”知集合B 是A 的子集，结合端点的不等关系列出不等式后解之即得．【解答】解：化简集合{|25}A x x =-，集合B 可写为{|(1)(21)0}B x x m x m =-+--<（1）x Z ∈，{2A ∴=-，1-，0，1，2，3，4，5}，即A 中含有8个元素，A ∴的非空真子集数为822254-=（个)．（2）显然只有当121m m -=+即2m =-时，B =∅．（3）当B =∅即2m =-时，B A =∅⊆；当B ≠∅即2m ≠-时，（ⅰ）当2m <-时，(21,1)B m m =+-，要B A ⊆，只要21236152m m m +-⎧⇒-⎨-⎩，所以m 的值不存在；（ⅱ）当2m >-时，(1,21)B m m =-+，要B A ⊆，只要1212215m m m --⎧⇒-⎨+⎩． 【点评】本题考查集合的子集、集合的包含关系判断及应用以及空集的性质及运算．是一道中档题．50．设集合1{|24}32x A x -=，22{|3210}B x x mx m m =-+--<． （1）当x Z ∈时，求A 的非空真子集的个数；（2）若A B ⊇，求m 的取值范围．【分析】（1）由x Z ∈，知1{|24}{232x A x -==-，1-，0，1，2，3，4，5}．由此能求出A 的非空真子集的个数．（2）由{|25}A x x =-<<，22{|3210}{|(21)(1)0}B x x mx m m x x m x m =-+--<=---+=．A B⊇，知12215121m m m m --⎧⎪+⎨⎪-+⎩，或21215211m m m m +-⎧⎪-⎨⎪+-⎩，当B =∅，△0，由此能求出m 的取值范围． 【解答】解：（1）1{|24}{|25}32x A x x x -==-， x Z ∈，{2A ∴=-，1-，0，1，2，3，4，5}．A ∴的非空真子集的个数为822254-=．（2）{|25}A x x =-<<，22{|3210}{|(21)(1)0}B x x mx m m x x m x m =-+--<=---+=．A B ⊇，当B =∅，△0，解得2m =-．∴12215121m m m m --⎧⎪+⎨⎪-+⎩，或21215211m m m m +-⎧⎪-⎨⎪+-⎩，解得12m -，或m 不存在．故m 的取值范围{|12m m -或2}m =-．【点评】本题考查集合的真子集个数的求数，考查满足条件的实数的取值范围的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．。

2022—2023学年度第二学期五校联考阶段测试高一年级数学试题（总分150分 考试时间120分钟）注意事项：1．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分．2．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用005毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上．3．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知α，β为锐角，5tan 12α=，()cos 10αβ+=-，则()tan αβ-的值为（ ） A ．477479 B ．479477 C ．479241-D ．477241- 2．若复数z 满足()()242i 3i z +=-，则z =（ ）A ．3BC D3．已知向量()2,a m =，()4,1b =-，且()()a b a b -⊥+，则实数m 等于（ ）A ．2B ．12C ．8D ．4．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E ，F 分别为CD ，AD 的中点，若以向量AE ，BF 为基底表示向量AC ，则下列结论正确的是（ ）A ．1355AC AE BF =+B ．3455AC AE BF =- C ．15AC AE BF =- D ．6255AC AE BF =- 5．如图，A B C '''△是ABC △用斜二测画法画出的直观图，则ABC △的周长为（ ）A ．12B ．(22+C ．(41D ．(22+ 16．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22sin sin 0a b A B c --+=，则ABC △的形状一定为（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形7．“阿基米德多面体”被称为半正多面体（semi-regularsolid ），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知正方体边长为6，则该半正多面体外接球的表面积为（ ）A ．72πB ．64πC ．56πD ．48π8．在ABC △中，CD 为角C 的平分线，若2B A =，34AD BD =，则cos A 等于（ ）A ．0B ．12C ．23D ．34二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，下列结论正确的是（ ）A ．OA 与HO 的夹角为π4B ．22OA OC DH -= C ．OD OF OE +=D ．OA在OD 上的投影向量为（其中e 为与OD 同向的单位向量） 10）A︒︒B ．2cos 15sin15cos75︒-︒︒C ．2tan151tan 15︒-︒D ．1tan151tan15+︒-︒11．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ）A ．若cos sin b a C c A =+，则45A =︒B ．若0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，则B C = C ．若A B >，则sin sin A B >D ．若4a =，π6B =，符合条件的ABC △有一个，则24b << 12．如图，正三棱锥A PBC -和正三棱锥D PBC -2BC =．若将正三棱锥A PBC -绕BC 旋转，使得点A ，P 分别旋转至点A '，P '处，且A '，B ，C ，D 四点共面，点A '，D 分别位于BC 两侧，则（ ）A ．A D CP '⊥B ．PP '∥平面A BDC 'C ．二面角A BC A '--的平面角的余弦值为13D ．多面体PP A BDC ''三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图，ABC △中，M 为AB 中点，5AB =，3CM =，EF 为圆心为C 、半径为1的圆的动直径，则BE AF ⋅的取值范围是______．14．已知ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()cos 2cos a C b c A =-，且a =b a ≥，则2c b -的取值范围是______． 15．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若2i 2i z z z ⋅+⋅=，则z =______．16．正三棱锥P ABC -的底面边长为3，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）如图，在ABC △中，已知2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，BM MC =，AN NC =，AM ，BN 相交于点P ．设AB a =，AC b =．（1）用向量a ，b 表示BN ；（2）求AM ，BN 夹角θ的余弦值．18．（本小题满分12分）计算．（1）求()sin501︒︒的值；（2）化简1sin2cos21sin2cos2θθθθ+-++． 19．（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin b B c C a -=．（1）证明：π2B C -=（2）若π3A =，a =ABC △的面积． 20．（本小题满分12分）已知复数z 是方程26130x x ++=的一个复数根，且z 的虚部大于零．（1）求z ；（2）若i az b =-（a ，b ∈R ，i 为虚数单位），求ab ．21．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11BB C C 是边长为1的正方形，侧面11BB C C ⊥侧面11AA B B ，4AB =，1160A B B ︒∠=，G 是11A B 的中点．（1）求证：平面GBC ⊥平面11BB C C ；（2）若P 为线段BC 的中点，求三棱锥A PBG -的体积．22．（本小题满分12分）十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晩期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆AB 和横档CD 构成，并且E 是CD 的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A 点观察．滑动横档CD 使得,A C 在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D ，DE 的影子恰好是AE ．然后，通过测量AE 的长度，可计算出视线和水平面的夹角CAD ∠（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．（1）若在某次测量中，横档CD 的长度为20，测得太阳高度角60CAD ∠=︒，求影子AE 的长；（2）若在另一次测量中，40AE =，横档CD 的长度为20，求太阳高度角的正弦值；（3）在杆AB 上有两点1A ，2A 满足1212AA AA =．当横档CD 的中点E 位于i A 时，记太阳高度角为i α（1,2i =），其中1α，2α都是锐角．证明：122αα<．2022—2023学年度第二学期五校联考阶段测试高一年级数学试题参考答案一、单选题1-5．DBDDC 6-8．DAC二、多选题9．BD 10．BD 11．ABC 12．BCD三、填空题13．1327,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 14．⎣ 15．1i /i 1--+ 16．27π2四、解答题17．（本小题满分10分）（1）12BN b a =- （2）14解：（1）由题意可得：1122BN AN AB AC AB b a =-=-=- （2）因为()111111222222AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC a b =+=+=+-=+=+ 由题意可得：1cos602442a b a b ⋅=︒=⨯⨯=∣ 可得222211444424BN b a b a a ⎛⎫=-=-⋅+=-+= ⎪⎝⎭ 222211111124722424AM a b a a b b ⎛⎫=+=+⋅+=++= ⎪⎝⎭ 221111112141222244BN AM b a a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=--⋅+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即2AM =，7BN =1AM BN ÷=所以1cos 2AM BN AM BN θ⋅===故AM ，BN 夹角θ． 18．（本小题满分12分）（1）1 （2）tan θ解：（1）()()2sin30cos10cos30sin10sin501sin50sin50sin10︒︒+︒︒︒+︒==︒⋅︒ 2sin 40cos 40sin80cos101cos10cos10cos10︒︒︒︒====︒︒︒（2）22222222221sin2cos2cos sin 2sin cos cos sin 2sin 2sin cos 1sin2cos2cos sin 2sin cos cos sin 2cos 2sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+-++-++==+++++-+ 222sin 2sin cos tan 2cos 2sin cos θθθθθθθ+==+. 19．（本小题满分12分）（1）证明见解析 （2解：（1）证明：因为sin sin b B c C a -=，所以22sin sin sin B C A -=，所以()()sin sin sin sin sin B A C C A B A +-+=．所以()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin B A C A C C A B A B A +-+=，即sin sin cos sin sin cos sin B A C C A B A -=．因为在ABC △中A 、B 、()0,πC ∈，所以sin 0A ≠，即sin cos sin cos 1B C C B -=，故()sin 1B C -=．即π2B C -=． （2）解：由（1）可知π2B C -=． 因为3A π=，所以2π3B C +=．则7π12B =，π12C =． 由正弦定理可知4sin sin sin a b c A B C===．则4sin b B =．4sin c C =故ABC △的面积1sin sin sin 2S bc A B C C C C ===== 20．（本小题满分12分）（1）32i z =-+ （2）34ab =-解：（1）由()22613340x x x ++=++=，即()234x +=-，可得32i x +=±，解得32i x =-±，因为z 的虚部大于零，所以32i z =-+（2）由（1）知32i z =-+，因为i az b =-，所以()32i 32i i az a a a b =-+=-+=-则321a b a -=⎧⎨=-⎩，解得13,22a b =-=，所以34ab =-． 21．（本小题满分12分）22．（1）证明见解析 （2）6解：（1）在1GBB △中，1122GB AB ==，11BB =，1160A B B ︒∠=，则在1GB B △中，由余弦定理得GB ==因为222221114BB GB GB +=+==，即22211GB BB GB =+， 所以1GB BB ⊥，由已知平面11BB C C ⊥平面11AA B B ，且平面11BB C C ⋂平面111AA B B BB =，又GB ⊂平面11AA B B ，故GB ⊥平面11BB C C ，又GB ⊂平面GBC ，则平面GBC ⊥平面11BB C C ．（2）由题意知，A PBG P ABG V V --=，由（1）知，GB ⊥平面11BB C C ，BC ⊂平面11BB C C ，则BC GB ⊥，又1BC BB ⊥，且1GB BB B ⋂=，GB ，1BB ⊂平面11AA B B ，可得BC ⊥平面11AA B B ，因此PB 为三棱锥P ABG -的高，因为1160A B B ︒∠=，190GBB ︒∠=，所以30ABG ∠=︒，又111sin 4222ABG S ABG AB BG =∠⨯⨯=⨯⨯=△所以111332A PBG P ABG ABG V V S PB --==⨯⨯== 23．（本小题满分12分）（1） （2）817（3）证明见解析． 解：（1）如图1，由题意得，20CD =，60CAD ∠=︒，且E 是CD 的中点，AE CD ⊥，30CAE ∠=︒，所以在ACE △中，2tan30CDAE ==︒（2）解法一：由题意，20CD =．由于E 是CD 的中点，且AE CD ⊥，所以10CE =，且AD AC === 由余弦定理得2221700170040015cos 22170017AD AC CD CAD AD AC +-+-∠===⋅⨯从而8sin 17CAD ∠==， 即太阳高度角的正弦值为817． 解法二：由题意，20CD =．由于E 是CD 的中点，且AE CD ⊥，所以10CE =，且AC ==，于是sin CE CAE AC ∠==且cos AE CAE AC ∠== 从而()8sin sin 22sin cos 217CAD CAE CAE CAE ∠=∠=∠∠==， 即太阳高度角的正弦值为817． （3）由题意，11tan 2CE AA α=，22tan 2CE AA α=， 因为1α，2α都是锐角，则1α，2π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2π0,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而2201tan 12α<-<． 根据1212AA AA =，可知212222122tan2tan 2tan tan 1221tan 22CE CE AA AA ααααα===<=-因为函数tan y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，且12α，2π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以122αα<，即122αα<．。

2022-2023学年江苏省盐城市五校高一下学期5月联考数学试题一、单选题1．已知α，β为锐角，5tan 12α=，()10cos 10αβ+=-，则()tan αβ-的值为（）A ．479241-B ．477241-C ．477479D ．479477【答案】B【分析】由同角三角函数的基本关系求出()sin αβ+，()tan αβ+，再由二倍角公式求出tan 2α，最后由()()tan tan 2αβααβ-=-+⎡⎤⎣⎦计算可得.【详解】因为α，β为锐角且()10cos 10αβ+=-，所以ππ2αβ<+<，所以()()2310sin 1cos 10αβαβ+=-+=，所以()()()sin tan 3cos αβαβαβ++==-+，又22522tan 12012tan 21tan 1195112ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()()()()tan 2tan 477tan 21tan 2tan 241tan ααααβαβαβαβ-=-==-⎡⎤+⎦-+⎣++.故选：B2．若复数z 满足()()242i 3i z +=-，则z =（）A ．3B ．5C ．3D ．2【答案】B【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数模的计算公式计算可得.【详解】因为()()242i 3i z +=-，所以()()()()()()()2223i 3i 42i 86i 42i 3216i 24i 12i 12i 42i42i 42i 2020z -------+=====-++-，所以()22125z =+-=.故选：B3．已知向量()()241a m b ==-，，，，且()()a b a b -⊥+ ，则实数m 等于（）A ．2B ．12C ．8D ．±13【答案】D【分析】根据()()a b a b -⊥+ ，由()()0a b a b +⋅-=求解.【详解】解：因为向量()()241a m b ==-，，，，所以()()2,1,6,1a b m a b m -=-++=-，因为()()a b a b -⊥+ ，所以()()()()()26110a b a b m m +⋅-=-⨯++-=，解得213=m ，即13m =±，故选：D4．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E ，F 分别为CD ，AD 的中点，若以向量AE ，BF为基底表示向量AC，则下列结论正确的是（）A ．1355AC AE BF=+ B ．3455AC AE BF=- C ．15AC AE BF=- D ．6255AC AE BF=- 【答案】D【分析】注意到AC AB AD =+ ，后利用,AE BF表示,AB AD ，即可得答案.【详解】注意到AC AB AD =+.又E 为DC 中点，则12AE AD DE AD AB =+=+；F 为AD 中点，则12BF BA AF AD AB =+=-.则15242455BF AE AD AD BF AE +=⇒=+；15242455AE BF AB AB AE BF -=⇒=- .则6255AC AB AD AE BF =+=-.故选：D5．如图，A B C ''' 是ABC 用斜二测画法画出的直观图，则ABC 的周长为（）A ．12B ．()225+C ．()412+D ．()2225++【答案】C【分析】作出ABC 的直观图，计算出该三角形三边边长，即可得解.【详解】作出ABC 的直观图如下图所示：由图可得222222AB BC ==+=，4AC =，因此，ABC 的周长为442+.故选：C.6．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22sin sin 0a bA B c--+=，则ABC 的形状一定为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形【答案】B【分析】利用正弦定理边化角计算即可.【详解】在ABC 中，22sin sin 0a bA B c--+=，则由正弦定理得：则2(sin sin )2(sin sin )1(sin sin )0sin sin A B A B A B CC -⎛⎫-+=+⋅-= ⎪⎝⎭，因为三角形中，()0,πA B C Î、、，故2sin 010sin C C>⇒+≠，所以sin sin A B a b =⇒=，则ABC 的形状一定为等腰三角形．故选：B7．“阿基米德多面体”被称为半正多面体（semi-regularsolid ），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知正方体边长为6，则该半正多面体外接球的表面积为（）A ．48πB ．56πC ．64πD ．72π【答案】D【分析】利用几何体的对称性确定该半正多面体的外接球的球心及半径即可求解.【详解】如图，由半正多面体的对称性可知，其对称中心与相应的正方体的对称中心是同一点，其对称中心为正方体的体对角线的中点O ，点O 在平面ABC 的投影点为1O ，则有13OO =，13AO =，所以221132AO OO AO =+=，故该半正多面体的外接球的半径为32，外接球的表面积为()24π×32=72π.故选：D8．在ABC 中，CD 为角C 的平分线，若2B A =，34AD BD =，则cos A 等于（）A ．0B ．12C ．23D ．34【答案】C【分析】由CD 为角C 的平分线，34AD BD =，可得43AC BC =，设4AC x =，3BC x =，然后在ABC 中利用正弦定理可得432sin cos sin x xA A A=，化简计算可得答案【详解】因为CD 为角C 的平分线，所以AD ACBD BC=因为34AD BD =，所以43AC BC =所以不妨设4AC x =，3BC x =因为在ABC 中，sin sin AC BCB A=，2B A =所以43sin 2sin 2sin cos sin AC BC x xA A A A A=⇒=因为在ABC 中，sin 0A ≠，0x ≠所以43432sin cos sin 2cos x x A A A A=⇒=所以2cos 3A =.故选：C二、多选题9．八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA = ，下列结论正确的是（）A ．OA 与HO 的夹角为π4B ．OD OF OE+= C ．22OA OC DH -=D ．OA 在OD 上的投影向量为22e -（其中e 为与OD 同向的单位向量）【答案】CD【分析】利用正八边形的性质，结合向量的线性运算及投影向量的定义逐一分析运算即可.【详解】对于A ，由正八边形可得2ππ84AOH ∠==，OA 与HO 的夹角为3π4，故A 错误；对于B ，由于四边形ODEF 不是平行四边形，所以OD OF OE +≠，故B 错误；对于C ，AOC 是等腰直角三角形，所以112CA =+=，又22DH OA == ，所以22OA OC CA DH -==，故C 正确；对于D ，因为OA 与OD 的夹角为3π4.所以OA 在OD 上的投影向量为3πcos ,cos 422O e A OA OD e e ⋅=⋅=-（其中e 为与OD 同向的单位向量），故D 正确.故选：CD.10．计算下列各式，结果为3的是（）A ．2sin152cos15+︒︒B ．2cos 15sin15cos 75︒︒-︒C ．2tan151tan 15︒-︒D ．1tan151tan15+︒-︒【答案】AD【分析】运用诱导公式、辅助角公式、二倍角公式、和差角公式及切化弦化简计算即可.【详解】对于A 项，2sin152cos152sin(1545)2sin 603︒︒︒︒︒+=+==，故A 项成立；对于B 项，2223cos 15sin15cos 75cos 15sin 15cos(215)cos302︒︒︒︒︒︒︒-=-=⨯==，故B 项不成立；对于C 项，22222sin151sin 30tan15sin15cos1513cos152tan 30sin 151tan 15cos 15sin 15cos30261cos 15︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒=====---，故C 项不成立；对于D 项，1tan15tan 45tan15tan(4515)tan 6031tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒︒︒︒++==+==--，故D 项成立.故选：AD.11．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下列说法正确的是（）A ．若0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则B C =B ．若cos sin =+b a C c A ，则45A =︒C ．若A B >，则sin sin A B >D ．若4,6a B π==，符合条件的ABC 有一个，则24b <<【答案】ABC【分析】根据向量的四边形法则和正余弦弦定理，逐项分析判断即可得解.【详解】对A ，由,||||AB ACAB AC分别为向量,AB AC 方向上的单位向量，根据平行四边形法则向量||||AB ACAB AC +平分角BAC ∠，又0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则||||AB ACBC AB AC +⊥，所以AB AC =，所以B C =，故A 正确；对B ，由cos sin =+b a C c A ，根据正弦定理可得：sin sin cos sin sin sin()sin cos cos sin B A C C A A C A C A C =+=+=+，所以sin sin cos sin C A A C =，由在三角形中sin 0C >，所以tan 1A =，所以45A =︒，故B 正确；对C ，在三角形中，由A B >可得a b >，根据正弦定理可得sin sin A B >，故C 正确；对D ，若24b <<，即sin a B b a <<，此时符合条件的ABC 有两个，故D 错误.故选：ABC12．如图，正三棱锥A PBC -和正三棱锥D PBC -的侧棱长均为2，2BC =.若将正三棱锥A PBC -绕BC 旋转，使得点,A P 分别旋转至点,A P ''处，且,,,A B C D '四点共面，点,A D '分别位于BC 两侧，则（）A ．A D CP '⊥B ．PP '∥平面A BDC'C ．二面角A BC A '--的平面角的余弦值为13D ．多面体PP A BDC ''的外接球的体积为6π【答案】BCD【分析】根据题干数据可知正棱锥侧棱两两垂直，于是可以放进正方体，利用正方体的性质分析每个选项.【详解】正三棱锥A -PBC 和正三棱锥D -PBC 的侧棱长均为2，BC = 2，则正三棱锥A -PBC 中侧棱两两互相垂直，正三棱锥D -PBC 中侧棱两两互相垂直，则正三棱锥可以放到正方体中，当点,A P 分别旋转至点,A P ''处，且,,,A B C D '四点共面，点,A D '分别位于BC 两侧时，如图所示，连接A D '，PP '，如图所示A 选项，正方体中//DP A P ''且=DP A P ''，四边形PDA P ''为平行四边形，则有//DA PP ''PCP '△为等边三角形，则PP '与PC 夹角为60 ，//DA PP ''，有DA '与PC 夹角为60 ，选项A 错误；B 选项，//DA PP ''，PP '⊄平面A 'BDC ，DA '⊂平面A 'BDC ，//PP '平面A BDC '，选项B 正确；C 选项，根据旋转过程可知，二面角A BC A '--的平面角是下图二面角A BCD --平面角的补角.取BC 中点E ，连接,,AE DE AD ，根据三线合一，AE BC ⊥，DE BC ⊥，于是二面角A BC D --的平面角为AED ∠.根据正棱锥的性质，AD 连线经过PBC 的外心H ，根据正棱锥边长数据可得1AE DE ==，233BC BH ==，26232AD AH BH =-==，即263AD =，由余弦定理，241119cos 2113AED +-∠==-⋅⋅，即二面角A BC D --平面角的余弦值为13-，故二面角A BC A '--的平面角的余弦值为13，C 选项正确；D 选项，多面体PP A BDC ''的外接球即棱长为2的正方体的外接球，外接球的半径为62，体积为34π66π32⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，选项D 正确；故选：BCD三、填空题13．如图，ABC 中，M 为AB 中点，5,3,AB CM EF ==为圆心为C 、半径为1的圆的动直径，则⋅BE AF的取值范围是.【答案】1327,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由向量的运算得出74BE AF CE AB ⋅=⋅+ ，再由CE AB ⋅ 的范围得出⋅BE AF的取值范围.【详解】()()()2BE AF BC CE AC CE BC AC CE AC BC CE⋅=+⋅-=⋅+⋅-- ()()()()BC AC BM MC AM MC AM MC AM MC ⋅=+⋅+=-+⋅+ 222511944MC AM =-=-= ，且21CE = .即2579144BE AF CE AB CE AB ⋅=-+⋅-=⋅+设CE 与AB的夹角为[]0,θπ∈，则77cos 5cos 44BE AF CE AB θθ⋅+=+⋅= .因为[]cos 1,1θ∈-，所以BE AF ⋅∈ 7713275,5,4444⎡⎤⎡⎤-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.故答案为：1327,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦14．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()cos 2cos a C b c A =-，且3a =，b a ≥，则2cb -的取值范围是.【答案】3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到cos A ，即可求出A ，再根据正弦定理将边化角，将2cb -转化为关于B 的三角函数，再结合B 的范围及正弦函数的性质计算可得.【详解】因为()cos 2cos a C b c A =-，由正弦定理可得()sin cos 2sin sin cos A C B C A =-，即sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=，即()sin 2sin cos A C B A +=，所以sin 2sin cos B B A =，又sin 0B >，所以1cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以π3A =，由32sin sin sin 32a b c A B C ====，所以2sin b B =，2sin c C =，所以π2sin sin 2sin sin 23c b B C B B ⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭ππ33π2sin sin cos cos sin sin cos 3sin 33226B B B B B B ⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为b a ≥，所以B A ≥，所以π2π,33B ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以πππ,662B ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，所以π1sin ,162B ⎛⎫⎡⎫-∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，则π33sin ,362B ⎡⎫⎛⎫-∈⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭，即2c b -的取值范围为3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭15．已知z C ∈，z 为z 的共轭复数，若2i 2i z z z ⋅+⋅=，则z =．【答案】1i -/1i -+【分析】设()i ,z a b a b =+∈R ，根据复数相等列方程组求解即可.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，则()i ,z a b a b =-∈R ，由题意得()()()i i 2i i 2i a b a b a b +-+-=，即2222i 2i a b b a +++=，所以222022a b b a ⎧++=⎨=⎩，解得1a =，则1b =-，所以1i z =-．故答案为：1i-16．正三棱锥P -ABC 的底面边长为3，高为6，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积是.【答案】27π2【分析】取棱AB 的中点D ，连接CD ，作PH ⊥平面ABC ，垂足为H ，根据正三棱锥的性质，结合球心的性质，进而确定O 在PH 上，连接OC ，根据勾股定理求解即可.【详解】如图，取棱AB 的中点D ，连接CD ，作PH ⊥平面ABC ，垂足为H ，则6PH =.由正三棱锥的性质可知H 在CD 上，且2CH DH =.因为3AB =，所以332CD =，则3CH =.设三棱锥P -ABC 的外接球的球心为O ，半径为R ，则O 在PH 上，连接OC ，则()2222R CH OH PH OH =+=-，即()22236R OH OH =+=-，解得2278R =，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为227π4π2R =.故答案为：27π2四、解答题17．如图，在ABC 中，已知2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，BM MC = ，AN NC = ，AM ，BN 相交于点P .设AB a =，AC b = .(1)用向量a ，b 表示BN ；(2)求AM ，BN 夹角θ的余弦值.【答案】(1)12BN b a =- (2)714【分析】（1）根据向量的线性运算求解；（2）由题意可得1122AM a b =+ ，结合数量积的定义以及运算律运算求解.【详解】（1）由题意可得：1122BN AN AB AC AB b a =-=-=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r r .（2）因为()111111222222AM AB BC AB BC AB AC AB AB AC a b =+=+=+-=+=+uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r r ，由题意可得：1cos602442a b a b ⋅=︒=⨯⨯=r r r r ，可得222211444424BN b a b a b a ⎛⎫=-=-⋅+=-+= ⎪⎝⎭uuu r r r r r r r ，222211111124722424AM a b a a b b ⎛⎫=+=+⋅+=++= ⎪⎝⎭uuur r r r r r r ，221111112141222244BN AM b a a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=--⋅+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uuu r uuur r r r r r r r r ，即2,7,1AM BN AM BN ==⋅=uuur uuu r uuur uuu r ，所以17cos 1427AM BN AM BNθ⋅===⋅uuur uuu r uuur uuu r ，故AM ，BN 夹角θ的余弦值为714.18．计算.(1)求()sin 5013tan10︒+︒的值；(2)化简1sin 2cos 21sin 2cos 2θθθθ+-++.【答案】(1)1(2)tan θ【分析】（1）应用商数关系、和角正弦公式及二倍角正弦公式、诱导公式化简求值；（2）由平方关系、二倍角正余弦公式化简即可.【详解】（1）()cos103sin102(sin 30cos10cos30sin10)sin 5013tan10sin 50sin 50cos10sin10︒+︒︒︒+︒︒︒+︒=︒⋅=︒⋅︒︒2sin 40cos 40sin 80cos101cos10cos10cos10︒︒︒︒====︒︒︒.（2）22222222221sin 2cos 2cos sin 2sin cos cos sin 2sin 2sin cos 1sin 2cos 2cos sin 2sin cos cos sin 2cos 2sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+-++-++==+++++-+222sin 2sin cos tan 2cos 2sin cos θθθθθθθ+==+.19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin b B c C a -=．(1)证明：π2B C -=(2)若π3A =，23a =，求△ABC 的面积．【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）根据正弦定理边化角结合三角恒等变换化简得()sin 1B C -=，可证明；（2）结合（1）得7π12B =．π12C =，利用正弦定理及面积公式计算即可.【详解】（1）证明：因为sin sin b B c C a -=，所以22sin sin sin B C A -=，所以()()sin sin sin sin sin B A C C A B A +-+=．所以()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin B A C A C C A B A B A +-+=，即sin sin cos sin sin cos sin B A C C A B A -=．因为在△ABC 中()0,πA B C Î、、，所以sin 0A ≠，即sin cos sin cos 1B C C B -=，故()sin 1B C -=．即π2B C -=．（2）解：由（1）可知π2B C -=．因为π3A =，所以2π3B C +=．则7π12B =．π12C =．由正弦定理可知4sin sin sin a b c A B C===．则4sin b B =．4sin c C =．故△ABC 的面积1sin 43sin sin 43cos sin 23sin 232S bc A B C C C C =====．20．已知复数z 是方程26130x x ++=的一个复数根，且z 的虚部大于零．(1)求z ；(2)若i az b =-（a ，R b ∈，i 为虚数单位），求ab ．【答案】(1)32iz =-+(2)34ab =-【分析】（1）根据复数根的求解即可得32i x +=±，进而可求，（2）利用复数的乘法运算以及复数相等的充要条件即可列方程求解.【详解】（1）由22613(3)40x x x ++=++=，即2(3)4x +=-，可得32i x +=±，解得32i x =-±，因为z 的虚部大于零，所以32iz =-+（2）由（1）知32i z =-+，因为i az b =-，所以(32i)32i iaz a a a b =-+=-+=-则321a b a -=⎧⎨=-⎩解得12a =-，32b =，所以34ab =-．21．如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11BB C C 是边长为1的正方形，侧面11BB C C ⊥侧面11AA B B ，4AB =，1160A B B ∠=︒，G 是11A B 的中点．(1)求证：平面GBC ⊥平面11BB C C ；(2)若P 为线段BC 的中点，求三棱锥A PBG -的体积．【答案】(1)证明见解析(2)36【分析】（1）在1GB B 中，由余弦定理求出GB ，由勾股定理逆定理得出1GB BB ⊥，再说明GB ⊥平面11BB C C 和GB ⊂平面GBC ，即可证明；（2）由A PBG P ABG V V --=，说明PB 为三棱锥P ABG -的高，即可求出体积．【详解】（1）在1GBB △中，1122GB AB ==，11BB =，1160A B B ∠=︒，则在1GB B 中，由余弦定理得221111112cos 3GB GB BB GB BB A B B =+-⋅∠=，因为22211221(3)4BB GB GB =+==+，即22211GB BB GB =+，所以1GB BB ⊥，由已知平面11BB C C ⊥平面11AA B B ，且平面11BB C C 平面111AA B B BB =，又GB ⊂平面11AA B B ，故GB ⊥平面11BB C C ，又GB ⊂平面GBC ，则平面GBC ⊥平面11BB C C ．（2）由题意知，A PBG P ABG V V --=，由（1）知，GB ⊥平面11BB C C ，BC ⊂平面11BB C C ，则BC GB ⊥，又1BC BB ⊥，且1GB BB B = ，1,GB BB ⊂平面11AA B B ，可得BC ⊥平面11AA B B ，因此PB 为三棱锥P ABG -的高，因为1160A B B ∠=︒，190GBB ∠=︒，所以30ABG ∠=︒，又111sin 433222ABG S ABG AB BG =∠⨯⨯=⨯⨯⨯=△，所以111333326A PBG P ABG ABG V V S PB --==⨯⨯=⨯⨯=△．22．十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置.如图1所示，十字测天仪由杆AB 和横档CD 构成，并且E 是CD 的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动.十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A 点观察.滑动横档CD 使得A ，C 在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D ，DE 的影子恰好是AE .然后，通过测量AE 的长度，可计算出视线和水平面的夹角CAD ∠（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.(1)若在某次测量中，横档CD 的长度为20，测得太阳高度角60CAD ∠=︒，求影子AE 的长；(2)若在另一次测量中，40AE =，横档CD 的长度为20，求太阳高度角的正弦值；(3)在杆AB 上有两点1A ，2A 满足1212AA AA =.当横档CD 的中点E 位于i A 时，记太阳高度角为()1,2i i α=，其中1α，2α都是锐角.证明：122αα<.【答案】(1)103(2)817(3)证明见解析.【分析】(1)由题意结合图形，在ACE △中用正切函数的定义即可求出AE .(2)先求出AD ，用余弦定理求出cos CAD ∠的值，再用同角的平方关系即可求出sin CAD ∠；或先求出sin CAE ∠和cos CAE ∠，再用正弦的二倍角公式求出sin CAD ∠.(3)先求出12tan,tan 22αα，通过变形得到12tan tan .2αα<讨论函数tan y x =在π(0,)2上的单调性，即可证明结论.【详解】（1）如图1，由题意得，20CD =，60CAD ∠=︒，且E 是CD 的中点，AE CD ⊥，30CAE ∠=︒，所以在ACE △中，2103tan 30CDAE == .（2）解法一：由题意，20CD =.由于E 是CD 的中点，且AE CD ⊥，所以10CE =，且221017AD AC AE CE ==+=.由余弦定理得2221700170040015cos ,22170017AD AC CD CAD AD AC +-+-∠===⋅⨯从而28sin 1cos ,17CAD CAD ∠=-∠=即太阳高度角的正弦值为817.解法二：由题意，20CD =.由于E 是CD 的中点，且AE CD ⊥，所以10CE =，且221017AC AE CE =+=，于是1sin 17CE CAE AC ∠==且4cos 17AE CAE AC ∠==，从而()148sin sin 22sin cos 2171717CAD CAE CAE CAE ∠=∠=∠∠=⨯⨯=,即太阳高度角的正弦值为817.（3）由题意，1212tan ,tan 22CE CE AA AA αα==，因为1α，2α都是锐角，则12π,0,2αα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2π(0,)24α∈，从而2201tan12α<-<.根据1212AA AA =，可知212222122tan 2tan 2tan tan .1221tan 22CE CE AA AA ααααα===<=-因为函数tan y x =在π(0,)2单调递增，且12π,(0,)22αα∈，所以122αα<，即122αα<.【点睛】方法点睛：新文化题出题的特点，就是先给出一段材料，然后利用材料中的有用信息解决问题，这种题目的特点，就是把要解决的实际问题转化为数学公式或者概念.在本题中，要把物体的长度，太阳高度角等实际生活中的条件转化为三角形中的长度和角度，从而利用三角函数的有关知识解答.。

高一年级5月联考数学试题一、单项选择题：（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 复平面内复数所对应的点为，则（）z ()2,1-i z +=A. 2B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的几何意义以及共轭复数的定义，根据模长公式即可求解.【详解】由题意可知，所以，进而2i z =-2i z =+i 22i z +=+==故选：C2. 已知点，，，若与共线，则在上的投影向量的坐标为()1,3A ()5,1B m -()3,1C m +ABACABAC（ ） A. B.C.D.()2,2-()2,2-()2,2()2,2--【答案】D 【解析】【分析】求向量的坐标，根据向量共线的坐标表示求，结合投影向量的定义求在上的,AB AC m AB AC投影向量的坐标.【详解】因为，，，()1,3A ()5,1B m -()3,1C m +所以，()()6,2,2,2AB m AC m =--=-因为与共线，AB AC所以，()()()62220m m -⨯---⨯=所以，，，4m =()2,2AB =-- ()2,2AC =所以在上的投影向量为， AB AC AB AC AC AB AC AB AC AC ⋅⋅⋅==-所以在上的投影向量的坐标为. ABAC()2,2--故选：D.3. 已知，，，则，的夹角为（ ）3a b ⋅=2a = 22a b -= a bA.B.C.D.π3π62π35π6【答案】B 【解析】【分析】由条件结合数量积的运算性质求，再由向量夹角公式求，的夹角.b a b【详解】因为，22a b -=所以，故，224a b -= 444a a a b b b ⋅-⋅+⋅=又，， 3a b ⋅=2a = 所以b =所以，又，cos ,a b a b a b⋅===⋅[],0,πa b ∈ 所以，即，的夹角为，π6,a b = ab π6故选：B.4. 某广场内供休闲人员休息的石凳是由一个正方体石块截去8个相同的四面体得到的，如图所示，若被截正方体石块棱长为，则该石凳的体积为（ ）（单位）60cm 3cmA. 180000B. 160000C. 140000D. 120000【答案】A 【解析】【分析】利用割补法，结合几何体的体积公式运算求解. 【详解】正方体的体积为， 3606060216000cm ⨯⨯=切去的每个四面体的体积为， 3113030304500cm 32⨯⨯⨯⨯=所以该石凳的体积为. 321600084500180000cm -⨯=故选：A.5. 在中，角、、的对边分别是，，，已知，且ABC A A B C a b c sin cos 2sin cos A C C A =222a c b -=，则（ ）b =A. 9B. 6C. 3D. 18【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理将条件转化为边的关系，解方程求即可. b 【详解】设的外接圆半径为， ABC A R 因为，sin cos 2sin cos A C C A =所以， 22222222222a a b c c c b a R ab R cb+-+-⨯=⨯⨯所以， 222222222a b c c b a +-=+-所以，又， 22233a c b -=222a c b -=所以，260b b -=所以或（舍去）， 6b =0b =故选：B .6. 如图，现有，，三点在同一水平面上的投影分别为，，，且，A B C 1A 1B 1C 11130AC B ∠=︒，由点测得点的仰角为，与的差为10，由点测得点的仰角为11160A B C ∠=︒C B 45︒1BB 1CC B A 45︒，则，两点到水平面的高度差为（ ）A C 111ABC 11AA CC -A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】A 【解析】【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，由条件解三角形求可得C 1CE BB ⊥E B 1BF AA ⊥F AF结论.【详解】过点作，垂足为，过点作，垂足为， C 1CE BB ⊥E B 1BF AA ⊥F 则，1111,CE C B BF B A ==设，11A B x =在中，由，，可得，111A B C △11130AC B ∠=︒11160A B C ∠=︒11190C A B ∠=所以，112B C x =因为与的差为10，所以，1BB 1CC 10BE =在中，，，， CEB A 90CEB ∠=o 10BE =45BCE ∠=o 所以，10CE =故，所以，210x =5x =在中，，，， AFB △90AFB ∠= 5BF =45ABF ∠=o 所以，5AF =所以，两点到水平面的高度差， A C 111A B C 1115AA CC BE AF -=+=故选：A.7. 在中，，，为的中点，于，是线段上的动点，则ABC A 2BA =4BC =D AC BE AC ⊥E H BE （ ）HD CA ⋅=A.B. 8C.D. 68-6-【答案】C 【解析】【分析】利用向量的线性运算,结合数量积的运算律,即可化简求解.【详解】法一： ()()()12HD CA HB BD CA HB CA BD CA BD CA BA BC BA BC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=+⋅-. ()()2211416622BA BC ==-=-- 法二：将特殊到，则 H B ()()12HD CA BD CA BA BC BA BC ⋅=⋅=+⋅-. ()()2211416622BA BC ==-=--故选：C8. 在中，已知，，点在边上，且，，则ABC A 30B =︒3AC =D AB 3BD =DA DC =A ∠=（ ） A.B.C.或 D.或 π3π6π3π9π6π18【答案】C 【解析】【分析】由三角形的内角和以及正弦定理可得，进而结合三角函数的性335π2cos 2sin 26CD θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭质，由角的范围即可得关系式求解.【详解】设，∴，，， A θ∠=DCA θ∠=2BDC θ∠=5π26BCD ∠θ=-则，0520,512206πθπθπθ⎧<<⎪⎪⎛⎫⇒∈⎨ ⎪⎝⎭⎪->⎪⎩中，BDC A 33π5π5πsin sin 22sin 2666CD CD θθ=⇒=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中，ADC △()33sin 3sin sin π2sin22cos CD CD θθθθθ=⇒==-故， 335ππ5πcos sin 2sin sin 25π2cos 6262sin 26CD θθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒=-⇒-=- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭又，， πππ,2122θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭5π5π20,66θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴或，则或， π5π226θθ-=-π5π2π26θθ-+-=π3θ=π9故选：C二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 将向量替换为复数，以下是向量的性质类比到复数中，其中在复数中结论仍然成立的是（ ）az A. 由，类比为：a a -=z z -=B. 由，类比为：a b a b +≤+1212z z z z +≤+C. 由，类比为22a a = 22z z =D. 由，类比为：a b a b ⋅≤⋅1212z z z z ⋅≤⋅【答案】AB 【解析】【分析】根据复数的模的性质和运算性质判断各命题的对错即可. 【详解】设，，则， i z x y =+,R x y ∈i z x y -=--所以，A 正确；z -==z =，，C 错误；()2222i 2i z x y x y xy =+=-+2222z x y ==+设，12i,i z a b z c d =+=+所以，，()12i z z ac bd ad bc ⋅=-++12z z =因为复数与实数不能比较大小，故D 错误，，()()22222221222z z a c b d a b c d ac bd +=+++=+++++，()2222212zz a b c d +=++++因为，(()2222222224a c a d b c b d =+++，()()222222242ac bd a c b d abcd +=++由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 22222a d b c abcd +≥ad bc =所以，22ac bd ≥+故，又，()()221212z z zz +≤+12120,0z z z z +≥+≥所以，B 正确； 1212z z z z +≤+故选：AB.10. 在中，角、、的对边分别是，，，下列说法正确的是（ ） ABC A A B C a b c A. “”是“是等腰三角形”的充分不必要条件 sin2sin2A B =ABC A B. “”是“”的充要条件sin sin A B >A B >C. 若，，则60A =︒2a =ABC AD. 若，，则周长的最大值为6 60A =︒2a =ABC A 【答案】BCD 【解析】【分析】利用三角函数的性质即可判断A ，由正弦定理边角化即可判断B,由余弦定理,结合不等式即可求解CD.【详解】对于A,在中由可得或，所以或ABC A sin2sin2A B =22A B,=22πA B +=,A B =π2A B +=，所以为等腰三角形或者为直角三角形，故“”是“是等腰三角形”的既不充ABC A sin2sin2A B =ABC A 分也不必要条件，故A 错误，对于B,由正弦定理可得,故“”是“”的充要条件，故sin sin A B >⇔a b >⇔A B >sin sin A B >A B >B 正确，对于CD,，时,则由余弦定理得，则，当且仅60A =︒2a =224=c b bc +-224=24bc c b bc bc ++³Þ£当时取等号，故故C 正确， b c =11sin 422bc A £´=又，当且仅当()()()()2222224==34=34344b c c b bc b cbc b c bc b c b c ++-+-Þ+-Þ+-£Þ+£时取等号，故，故D 正确，b c =6a b c ++≤故选：BCD11. 矩形中，，，动点满足，，，则下ABCD 2AB =4=AD P AP AB AD λμ=+[]0,1λ∈[]0,1μ∈列说法正确的是（ ）A. 若，则的最小值为41λ=DPB. 若，则的面积为定值 1μ=ABP AC. 若，则满足的点不存在 12μ=PA PB ⊥ P D. 若，，则的面积为 13λ=23μ=ABP A 83【答案】BCD【解析】【分析】建立平面直角坐标系，由条件确定点的坐标，依次判断各选项即可.P 【详解】以点为原点，为轴的正方向，建立平面直角坐标系，A ,AB AD,x y 则，()()()0,0,2,0,0,4A B D 所以，()()2,0,0,4AB AD ==因为，AP AB AD λμ=+ 所以，故点的坐标为，()2,4AP λμ=P ()2,4λμ对于A ：因为，所以点的坐标为，，1λ=P ()2,4μ[]0,1μ∈所以，()2,44DP μ=-所以，当且仅当时取等号，2DP =≥1μ=所以当时，取最小值，最小值为2，A 错误；1μ=DP对于B ，因为，所以点的坐标为， 1μ=P ()2,4λ所以点到边的距离为， P AB 4所以的面积，B 正确； ABP A 12442S =⨯⨯=对于C ，因为，所以点的坐标为， 12μ=P ()2,2λ所以，， ()2,2PA λ=-- ()22,2PB λ=--若，则，化简得，PA PB ⊥24440λλ-++=210λλ-+=方程无实数根，即满足的点不存在，C 正确；210λλ-+=PA PB ⊥P 对于D ，因为，，所以点的坐标为， 13λ=23μ=P 28,33⎛⎫ ⎪⎝⎭所以的面积为，D 正确； ABP A 1882233⨯⨯=故选：BCD.12. 已知圆锥的母线长为6，侧面积为，则下列说法正确的是（ ） 18πA. 该圆锥的体积为B. 该圆锥的内切球的体积为C. 该圆锥的外接球的表面积为D. 该圆锥的内接正方体的棱长为48π18-【答案】AC 【解析】【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解底面圆半径，由体积公式即可判断A,由内切球以及外接球的几何性质,结合勾股定理,相似,即可判断BCD.【详解】对于A ：设圆锥底面半径为，母线为,则侧面积为， r l 12π618π32r r ⋅⋅=⇒=，故圆锥体积为，故A正确；=21π33V =⨯⨯=对于B ：由于,所以,62l r ==60ABO ∠= 如图，内切球和圆锥侧面和底面分别切于,,故内切球半径，,C O OO BCO B ¢¢@A A 3tan30r '=⋅︒=故内切球的体积为，故B 错误；34π3⨯=对于C ：外接球的球心为半径, ,MR 则满足：，∴，故C 正确；()2223R RR =+⇒=(24π48πS =⨯=对于D ：以圆锥的顶点以及正方体的一条面对角线作截面如下，设内接正方体的棱长为，a，故D 错. a =⇒=-故选：AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知复数为纯虚数，则复数的虚部为______. ()()221i z m m m m =-+-∈R 1iz+【答案】## 12-0.5-【解析】【分析】根据纯虚数的定义可得，进而利用复数的除法运算即可化简求解.0m =【详解】为纯虚数，则且，故，()()221i z m m m m =-+-∈R 2=0m m -210m -≠0m =则，所以，故的虚部为， i z =-()()()i 1i i 1i ===1i 1i 1i 1i 2z -----+++-1i z+12-故答案为： 12-14. 中，，，，则______. ABC A π6B ∠=AB =2AC =BC =【答案】2或4 【解析】【分析】利用余弦定理解三角形可得结论.【详解】由余弦定理可得， 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅又，，， π6B ∠=AB =2AC =所以，2680BC BC -+=所以或，满足构成三角形. 2BC =4BC =故答案为：2或415. 将边长为1的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则纸片扫过的区域形成的几何体的3π表面积为______. 【答案】 2π23+【解析】【分析】确定几何体的结构特征，计算各面的面积相加即可. 【详解】由已知可得该几何体为底面半径为，高为的圆柱的，如下图： 1116所以该几何体的表面积， 2112π22π12π12663S =+⨯⨯⨯+⨯⨯=+故答案为：. 2π23+16. 如图所示，中，，以的中点为圆心，为直径在三角形的ABC A AB AC ==2BC =BC O BC 外部作半圆弧，点在半圆弧上运动，设，，则当取最大值时，BC P BOP θ∠=[]0,πθ∈PA PB ⋅______.cos θ=【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，利用单位圆以及向量数量积的坐标运算，结合辅助角公式即可求解.或者利用向量的线性运算，由数量积的运算律以及定义即可求解. 【详解】法一：如图建立平面直角坐标系，得，，，()0,2A -()10B ,()cos ,sin P θθ()()cos ,2sin 1cos ,sin 12sin cos PA PB θθθθθθ⋅=---⋅--=+-∴为锐角且，()1sin cos 11PA PB θθθϕ⋅=+=+-≤ ϕ1tan 2ϕ=此时πcos sin 2θϕθϕ-=⇒=-==法二：()()11PA PB PO OA PO OB PO OB OA PO OP OB OA OP ⋅=+⋅+=+⋅+⋅⋅=--⋅，以下同上.π1cos 12cos 2θθ⎛⎫=++⋅⋅+ ⎪⎝⎭12sin cos θθ=+-故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，，，.(),2a m =- ()4,b m m =-)c = m ∈R （1）若，且方向相反，求实数的值；a b ∥m （2）若与的夹角为，求实数的值.a c120︒m 【答案】（1）2 （2）0【解析】【分析】（1）由向量共线的坐标运算即可求解，（2）由数量积的坐标运算以及定义，列方程即可化简求解. 【小问1详解】由与平行得：，a b ()224280m m m m m ⋅=-⋅-⇒+-=∴或，()()2402m m m -+=⇒=4m =-当时，，，与平行，且方向相反，满足要求；2m =()2,2a =- ()2,2b =- a b当时，，，方向相同，不满足要求；4m =-()4,2a =-- ()8,4b =--故. 2m =【小问2详解】，22cos120a c⋅=-=⨯︒，平方得：， 2-=2223440m m m -+=+⇒-=∴或，0m=m =,所以不符合要求,故舍去； 20-<m =∴0m =18. 某种建筑使用的钢筋混凝土预制件模型如下图所示，该模型是由一个正四棱台从正中间挖去一个圆柱孔而成，已知该正四棱台上底和下底的边长分别为和，棱台的高为，中间挖去的圆40cm 100cm 40cm 柱孔的底面半径为.计算时取3.14.10cm π（1）求浇制一个这样的预制件大约需要多少立方厘米混凝土；（2）为防止该预制件风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液，若每升保护液大约可以涂，27000cm 请计算涂一个这样的预制件大约需要购买保护液多少升？（结果取整数） 【答案】（1）3195440cm （2）4升 【解析】【分析】（1）由台体体积公式求正四棱台的体积，再求所挖去的圆柱的体积，相减可得几何体的体积； （2）计算该几何体的表面积，由此计算所需购买保护液的体积. 【小问1详解】由已知正四棱台的上底面积，下底面积，高，21401600S ==2210010000S ==40h =所以正四棱台的体积； (221140401002080003V =⋅⋅+=由已知圆柱的底面半径，高，10r =40h '=所以圆柱的体积；22π10404000π4000 3.1412560V =⋅⋅=≈⨯=故该预制件的体积 320800012560195440cm V =-=故浇制一个这样的预制件大约需要混凝土. 3195440cm 【小问2详解】作该几何体的截面，过点作，垂足为，如下：A AM CD ⊥M由已知，， 10040302DM -==40AM =， 50=故该预制件的表面积，()22240100504010042π102π104025600600π2S +⨯=++⨯-⋅+⨯⨯=+∴，225600600 3.1427484cm S ≈+⨯=，274847000 3.94÷≈≈所以涂一个这样的预制件大约需要购买保护液4升.19. 已知，是夹角为的两个单位向量.1e 2e60︒（1）若，求实数的值；()()1212423e ke ke e +⊥-k （2）若两向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.12e e λ- 122e e +λ【答案】（1）或；1k =6k =-（2） 115,,224⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据向量垂直的性质列方程，利用数量积运算化简方程求的值； k （2）结合向量夹角公式列不等式求的取值范围. λ【小问1详解】因为，()()1212423e ke ke e +⊥- 所以，又，是夹角为的两个单位向量.()()12124230e ke ke e +⋅-= 1e 2e 60︒所以，化简得 ()21832121102k k k -+-⨯⨯⨯=2560k k +-=所以， ()()160k k -+=所以或； 1k =6k =-【小问2详解】因为两向量与的夹角为钝角，12e e λ- 122e e +所以，且向量与不共线，()()121220e e e e λ-⋅+< 12e e λ- 122e e +由，可得，()()121220e e e e λ-⋅+< ()12211102λλ-+-⨯⨯⨯<所以， 54λ<当向量与平行时，， 12e e λ- 122e e + ()121212122t e e t e e tλλλ=⎧-=+⇒⇒=-⎨-=⎩ 实数的取值范围是. λ115,,224⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足ABC A A B C a b c ()20b c AB AC b BA BC +⋅⋅+⋅⋅=．（1）求角；A（2）若为的中点，且，的角平分线交于点，且，求边长． D BC AD =BAC A BC E 43AE =a 【答案】（1）2π3（2） 【解析】【分析】（1）利用向量的夹角公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取cos A A 值范围可得出角的值；A （2）根据为的中点，有，从而得到，再根据D BC ()12AD AB AC =+ ()2312b c bc +-=，从而得到，再结合余弦定理即可求得的值． ABE AEC ABC S S S =+A A A ()43bc b c =+a 【小问1详解】由，()20b c AB AC b BA BC +⋅⋅+⋅⋅=则，所以，()2cos cos 0b c bc A b ac B +⋅+⋅=()2cos cos 0b c A a B ++=则由正弦定理得，即， ()sin 2sin cos sin cos 0B C A A B ++=sin cos 2sin cos sin cos 0B A C A A B ++=所以，即， ()sin 2sin cos 0A B C A ++=sin 2sin cos 0C C A +=又，则，所以，得， ()0,πC ∈sin 0C ≠12cos 0A +=1cos 2A =-又，所以． ()0,πA ∈2π3A =【小问2详解】由为的中点，则，即，D BC ()12AD AB AC =+12AD AB AC =+ 所以，即，即，222242cos π3AD b c bc =++⋅ ()222123b c bc b c bc =+-=+-()2312b c bc +-=由是的角平分线，所以， AE BAC ∠π3BAE CAE ∠=∠=又，则， ABE AEC ABC S S S =+A A A 12π1π1πsin sin sin 232323bc c AE b AE ⋅=⋅⋅+⋅⋅所以，得， ()bc AE b c =⋅+()43bc b c =+所以，解得，()()2412b c b c +-+=6b c +=8bc =由余弦定理得， ()22222π2cos 368283a b c bc b c bc =+-⋅=+-=-=故a =21. 在正三棱柱中，，为线段上的动点，设，111ABC A B C -AB =12AA =F 11A B 111A F A B λ=.[]0,1λ∈（1）当时，求三棱锥的体积； 12λ=1F ACC -（2）求的最小值，并求取最小值时的值. 1AF FC +λ【答案】（1 （2）7， 213λ=【解析】【分析】（1）根据锥体体积公式求解即可；（2）将矩形沿展开，使之与共面，利用余弦定理求，即得的最小11A B BA 11A B 111A B C 1AC 1AF FC +值，利用正弦定理求，再求，由此的值. 11sin A AC ∠1A F λ【小问1详解】 当时，得出为的中点，则 12λ=F 11A B(1111111121112223F ACC F AC A A FC A A B C A V V V V ----====⨯⨯=【小问2详解】将矩形沿展开，与共面，11A B BA 11A B 111A B C如图所示，，11150C A A ∠=︒∴，17AC ==故的最小值为71AF FC +中，由正弦定理得：11C A A △11111117sin 1sin150sin 2C A C A A AC A AC ∠∠=⇒=⇒=︒因为， ()110,30A AC ∠∈∴， 1113cos 14A AC ∠==所以11tan A AC ∠=∴， 1112tan A F A AC ∠=⋅=则. 111213A F AB λ===22. 已知在中，为边上的点，且，.ABC A D AB 13AD DB =2BC =（1）若，，求边的长； 4AB =2sin 3CDB ∠=AC （2）若，设，，试将的面积表示为的函数，并求函数23CD DB =CDB θ∠=()0,πθ∈ABC A S θ最大值.()y S θ=【答案】（1（2），；16sin 1312cos y θθ=-()0,πθ∈165【解析】【分析】（1）由条件求，根据正弦定理求，由此可求，再由余弦定理求DB sin DCB ∠cos DBC ∠AC ；（2）设，根据余弦定理用表示，结合三角形面积公式用表示的面积， 3DB t =θ2t θABC A 方法一：利用正弦函数的范围求函数的最大值，()y S θ=方法二：利用二倍角公式和同角关系化简可得，结合基本不等式求其最大值.232tan225tan12y θθ=+【小问1详解】由，，则，13AD DB =4AB =3DB =在中，， BCD △23sin 12sin sin sin 3BC DB DCB CDB DCB DCB ∠∠∠∠=⇒=⇒=∵，∴， ()0,πDCB ∠∈π2DCB ∠=∴； 2cos sin 3DBC CDB ∠∠==在中，由余弦定理得：ABC A AC ==【小问2详解】由，设，则， 23CD DB =3DB t =2CD t =∵，∴，13AD DB =AD t =在中，由余弦定理得：，BCD △2224449223cos 1312cos t t t t t θθ=+-⋅⋅⋅⇒=-的面积， ABC A 244116sin 23sin 4sin 3321312cos BCD S S t t t θθθθ==⨯⨯⨯⨯==-A ∴，.16sin 1312cos y θθ=-()0,πθ∈法一：（※）16sin 16sin 12cos 131312cos y y y θθθθ=⇒+=-，其中，()13y θϕ⇒+=cos ϕ=sin ϕ=∴(222sin 16916144y y θ+⇒≤+∴，又，所以，当且仅当时等号成立， 222516y ≤0y >1605y <≤()sin 1θϕ+=所以当时， 512sin cos ,cos sin 1313θϕθϕ====函数取最大值，最大值为16sin 1312cos y θθ=-165故函数最大值为. ()y S θ=165法二：∴ 222232sin cos16sin 221312cos 13sin 13cos 12cos 12sin 2222y θθθθθθθθ==-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又，22232sin cos32tan22225sincos25tan1222θθθθθθ==++()0,πθ∈所以，32161525tan2tan2y θθ=≤=+当且仅当，即，即取最大值，125tan2tan2θθ=1tan25θ=5tan 12θ=故函数最大值为. ()y S θ=165【点睛】.。

2025届吉林省田家炳高中高考数学五模试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎦B．⎫⎪⎪⎣⎭ C．⎛ ⎝⎦D．⎫⎪⎪⎣⎭2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（ ） ABC．D3．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ） ABC ．12D4．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( ) A ．()()ln 1f x x =+B ．()1f x x -=C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D ．()()()()2,00,01,02x xx f x x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩ 5．已知01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是（ ） A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∨⌝是真命题D ．()p q ∧⌝是假命题6．已知函数2211()log 13||f x x x ⎛⎫=+++⎪⎝⎭，则不等式(lg )3f x >的解集为（ ）A ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,10)D ．1,1(1,10)10⎛⎫⋃⎪⎝⎭7．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ） A ．33i - B ．33i +C ．13i +D ．13i -8．已知(2sin,cos),(3cos,2cos)2222xxxxa b ωωωω==，函数()f x a b =·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ） A ．85[,)52B ．75[,)42C ．57[,)34D ．7(,2]49．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则||EB =（ ）A ．194B ．114C ．32D ．7410．若集合{|2020}A x N x =∈=，22a =，则下列结论正确的是（ ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉11．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．12．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．4π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。