2016-2017学年高中数学人教A版选修2-1学业测评:3.2.1 空间向量与平行关系 Word版含解析
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高中数学选修2-1测试题全套及答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出命题:“若x 2+y 2=0,则x =y =0”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( )A .0个B .1个C .2个D .3个2.若命题p ∨q 与命题p ⌝都是真命题,则( )A .命题p 不一定是假命题B .命题q 一定是真命题C .命题q 不一定是真命题D .命题p 与命题q 的真假相同3.设x ∈Z ,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题p :∀x ∈A ,2x ∈B ,则( )A .⌝p :∀x ∈A ,2x ∉B B .⌝p :∀x ∉A ,2x ∉BC .⌝p :∃x 0∉A ,2x 0∈BD .⌝p :∃x 0∈A ,2x 0∉B4.命题“若f (x )是奇函数,则f (-x )是奇函数”的否命题是( )A .若f (x )是偶函数,则f (-x )是偶函数B .若f (x )不是奇函数,则f (-x )不是奇函数C .若f (-x )是奇函数,则f (x )是奇函数D .若f (-x )不是奇函数,则f (x )不是奇函数5.设U 为全集,A,B 是集合,则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.命题“若△ABC 有一内角为π3,则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A .与原命题同为假命题B .与原命题的否命题同为假命题C .与原命题的逆否命题同为假命题D .与原命题同为真命题7.若“0<x <1”是“(x -a )[x -(a +2)]≤0”的充分不必要条件,则实数a 的取值X 围是( )A .(-∞,0]∪[1,+∞)B .(-1,0)C .[-1,0]D .(-∞,-1)∪(0,+∞)8.命题p :若a ·b >0,则a 与b 的夹角为锐角;命题q :若函数f (x )在(-∞,0]及(0,+∞)上都是减函数,则f (x )在(-∞,+∞)上是减函数.下列说法中正确的是( )A .“p ∨q ”是真命题B .“p ∧q ”是假命题C .⌝p 为假命题D .⌝q 为假命题9.下列命题中是假命题的是( )A .存在α,β∈R ,使tan(α+β)=tan α+tan βB .对任意x >0,有lg 2x +lg x +1>0C .△ABC 中,A >B 的充要条件是sin A >sin BD .对任意φ∈R ,函数y =sin(2x +φ)都不是偶函数10.下面四个条件中,使a >b 成立的充分不必要的条件是( )A .a >b +1B .a >b -1C .a 2>b 2D .a 3>b 311.已知A :13x -<,B :(2)()0x x a ++<,若A 是B 的充分不必要条件,则实数a 的取值X 围是( )A .(4,+∞)B .[4,+∞)C .(-∞,4]D .(-∞,-4)12.已知命题p:不等式(x -1)(x -2)>0的解集为A ,命题q:不等式x 2+(a -1)x -a >0的解集为B ,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值X 围是( )A .(-2,-1]B .[-2,-1]C .[-3,1]D .[-2,+∞)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上) 13若关于x 的不等式|x -m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3,则实数m 的取值X 围是________.14.若命题“∪x ∪R ,ax 2-ax -2≤0”是真命题,则实数a 的取值X 围是________.15.关于x 的方程x 2-(2a -1)x +a 2-2=0至少有一个非负实根的充要条件的a 的取值X 围是________.16.给出下列四个说法:①一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真;②命题“设a ,b ∈R ,若a +b ≠6,则a ≠3或b ≠3”是一个假命题;③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件; ④一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真.其中说法不正确的序号是________.17.已知命题p :∀x ∈[1,2]都有x 2≥a .命题q :∃x ∈R ,使得x 2+2ax +2-a =0成立,若命题p ∧q 是真命题,则实数a 的取值X 围是________.18.如果甲是乙的必要不充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要不充分条件,则丁是甲的__________条件.三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(10分)已知命题p:若,0≥ac 则二次方程02=++c bx ax 没有实根.(1)写出命题p 的否命题;(2)判断命题p 的否命题的真假, 并证明你的结论.20.(10分)已知集合A ={x |x 2-4mx +2m +6=0},B ={x |x <0},若命题“A ∩B =φ”是假命题,XX 数m 的取值X 围.21.(10分)已知P ={x |x 2-8x -20≤0},S ={x |1-m ≤x ≤1+m }.(1)是否存在实数m ,使x ∪P 是x ∪S 的充要条件,若存在,求出m 的X 围;若不存在,请说明理由;(2)是否存在实数m ,使x ∪P 是x ∪S 的必要条件,若存在,求出m 的X 围;若不存在,请说明理由.22.(10分)已知c >0,且c ≠1,设命题p :函数y =c x 在R 上单调递减;命题q :函数f (x )=x 2-2cx +1在⎝⎛⎭⎫12,+∞上为增函数,若命题p ∧q 为假,命题p ∨q 为真,XX 数c 的取值X 围.23.(10分)已知命题p :方程2x 2+ax -a 2=0在[-1,1]上有解;命题q :只有一个实数x 0满足不等式x 20+2ax 0+2a ≤0,若命题p ∨q 是假命题,求a 的取值X 围.24.(10分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{S n +1}是公比为2的等比数列. 证明:数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1=3.参考答案一、选择题1.D2.B3.D4.B5.C6.D7.C8.B9.D 10.A 11.D 12.A提示:1.逆命题为:若x =y =0,则x 2+y 2=0,是真命题.否命题为:若x 2+y 2≠0,则x ≠0或y ≠0,是真命题.逆否命题为:若x ≠0或y ≠0,则x 2+y 2≠0,是真命题.2.“p ⌝”为真命题,则命题p 为假,又p 或q 为真,则q 为真,故选B.3.由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得.命题p 是全称命题:∀x ∈A ,2x ∈B ,则⌝p 是特称命题:∃x 0∈A ,2x 0∉B .故选D.4.原命题的否命题是既否定题设又否定结论,故“若f (x )是奇函数,则f (-x )是奇函数”的否命题是B 选项.5.6.原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列,则△ABC 有一内角为π3”,它是真命题. 7.(x -a )[x -(a +2)]≤0⇒a ≤x ≤a +2,由集合的包含关系知:⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0,a +2≥1,⇒a ∈[-1,0]. 8.因为当a ·b >0时,a 与b 的夹角为锐角或零度角,所以命题p 是假命题;命题q 是假命题,例如f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +1,x ≤0,-x +2,x >0,综上可知,“p 或q ”是假命题. 9.对于A ,当α=β=0时,tan(α+β)=0=tan α+tan β,因此选项A 是真命题;对于B ,注意到lg 2x +lg x +1=⎝⎛⎭⎫lg x +122+34≥34>0,因此选项B 是真命题;对于C ,在△ABC 中,A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径),因此选项C 是真命题;对于D ,注意到当φ=π2时,y =sin(2x +φ)=cos 2x 是偶函数,因此选项D 是假命题. 10.a >b +1⇒a -b >1>0⇒a >b ,但a =2,b =1满足a >b ,但a =b +1,故A 项正确.对于B ,a >b -1不能推出a >b ,排除B ;而a 2>b 2不能推出a >b ,如a =-2,b =1,(-2)2>12,但-2<1,故C 项错误;a >b ⇔a 3>b 3,它们互为充要条件,排除D.11.由题知1324x x -<⇔-<<,当2a <时,(2)()02x x a x a ++<⇔-<<-,若A 是B 的充分不必要条件,则有A B ⊆且B A ≠,故有4a ->,即4a <-;当2a =时,B=φ,显然不成立;当2a >时,(2)()02x x a a x ++<⇔-<<-,不可能有A B ⊆,故(),4a ∈-∞-.12.不等式(x -1)(x -2)>0,解得x >2或x <1,所以A 为(-∞,1)∪(2,+∞).不等式x 2+(a -1)x -a >0可以化为(x -1)(x +a )>0,当-a ≤1时,解得x >1或x <-a ,即B 为(-∞,-a )∪(1,+∞),此时a =-1;当-a >1时,不等式(x -1)(x +a )>0的解集是(-∞,1)∪(-a ,+∞),此时-a <2,即-2<a <-1.综合知-2<a ≤-1.二、填空题13.(1,4) 14.[-8,0] 15.⎣⎡⎦⎤-2,9416.①② 17.(-∞,-2]∪{1} 18.充分不必要提示:13.由|x -m |<2得-2<x -m <2,即m -2<x <m +2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m -2<x <m +2}的真子集,于是有⎩⎪⎨⎪⎧m -2<2m +2>3,由此解得1<m <4,即实数m 的取值X 围是(1,4).14.由题意知,x 为任意实数时,都有ax 2-ax -2≤0恒成立.当a =0时,-2≤0成立.当a ≠0时,由⎩⎪⎨⎪⎧a <0,Δ=a 2+8a ≤0得-8≤a <0, 所以-8≤a ≤0.15.设方程的两根分别为x 1,x 2,当有一个非负实根时,x 1x 2=a 2-2≤0,即-2≤a ≤2;当有两个非负实根时,⎩⎪⎨⎪⎧Δ=(2a -1)2-4(a 2-2)≥0,x 1+x 2=2a -1>0,x 1x 2=a 2-2≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤9,a >12,a ≤-2或a ≥ 2.即2≤a ≤94.综上,得-2≤a ≤94. 16.①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系,故①错误;②此命题的逆否命题为“设a ,b ∈R ,若a =3且b =3,则a +b =6”,此命题为真命题,所以原命题也是真命题,②错误;③1x <12,则1x -12=2-x 2x <0,解得x <0或x >2,所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件,故③正确;④否命题和逆命题是互为逆否命题,真假性相同,故④正确.17.若p 是真命题,即a ≤(x 2)min ,x ∈[1,2],所以a ≤1;若q 是真命题,即x 2+2ax +2-a =0有解,则Δ=4a 2-4(2-a )≥0,即a ≥1或a ≤-2.命题“p 且q ”是真命题,则p 是真命题,q 也是真命题,故有a ≤-2或a =1.三、解答题19.解:(1)命题p 的否命题为:若,0<ac 则二次方程02=++c bx ax 有实根.(2)命题p 的否命题是真命题. 证明如下: ,04,0,02>-=∆>-<ac b ac ac 所以所以因为所以二次方程02=++c bx ax 有实根.故该命题是真命题.20.解:因为“A ∩B =∅”是假命题,所以A ∩B ≠∅.设全集U ={m |Δ=(-4m )2-4(2m +6)≥0},则U ={m |m ≤-1或m ≥32}. 假设方程x 2-4mx +2m +6=0的两根x 1,x 2均非负,则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ,x 1+x 2≥0,x 1x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ,4m ≥0,2m +6≥0⇒m ≥32. 又集合{m |m ≥32}关于全集U 的补集是{m |m ≤-1}, 所以实数m 的取值X 围是{m |m ≤-1}.21.解:(1)不存在.由x 2-8x -20≤0得-2≤x ≤10,所以P ={x |-2≤x ≤10},因为x ∈P 是x ∈S 的充要条件,所以P =S ,所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1-m =-2,1+m =10,所以⎩⎪⎨⎪⎧m =3,m =9, 这样的m 不存在.(2)存在.由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件,则S ⊆P .所以⎩⎪⎨⎪⎧1-m ≥-2,1+m ≤10,所以m ≤3. 又1+m ≥1-m,所以m ≥0.综上,可知0≤m ≤3时,x ∈P 是x ∈S 的必要条件.22.解:因为函数y =c x 在R 上单调递减,所以0<c <1.即p :0<c <1,因为c >0且c ≠1,所以⌝p :c >1.又因为f (x )=x 2-2cx +1在⎝⎛⎭⎫12,+∞上为增函数,所以c ≤12.即q :0<c ≤12,因为c >0且c ≠1, 所以⌝q :c >12且c ≠1. 又因为“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,所以p 真q 假或p 假q 真.①当p 真,q 假时,{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1=⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. ②当p 假,q 真时,{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12=∪. 综上所述,实数c 的取值X 围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. 23.解:由2x 2+ax -a 2=0得(2x -a )(x +a )=0,所以x =a 2或x =-a , 所以当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|-a |≤1,所以|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20+2ax 0+2a ≤0”,即抛物线y =x 2+2ax +2a 与x 轴只有一个交点,所以Δ=4a 2-8a =0,所以a =0或a =2.所以当命题q 为真命题时,a =0或a =2.所以命题“p 或q ”为真命题时,|a |≤2.因为命题“p 或q ”为假命题,所以a >2或a <-2.即a 的取值X 围为{a |a >2或a <-2}.24.证明: 因为数列{S n +1}是公比为2的等比数列,所以S n +1=S 1+1·2n -1,即S n +1=(a 1+1)·4n -1.因为a n =⎩⎪⎨⎪⎧a 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2, 所以a n =⎩⎪⎨⎪⎧a 1,n =1,3(a 1+1)·4n -2,n ≥2,显然,当n ≥2时,a n +1a n =4. ①充分性:当a 1=3时,a 2a 1=4,所以对n ∈N *,都有a n +1a n=4,即数列{a n }是等比数列. ②必要性:因为{a n }是等比数列,所以a 2a 1=4, 即3(a 1+1)a 1=4,解得a 1=3. 综上,数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1=3.第二章 圆锥曲线与方程 测试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如果抛物线的顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点在直线3x -4y -12=0上,那么抛物线的方程是( )A .y 2=-16xB .y 2=12xC .y 2=16xD .y 2=-12x2.设F 1,F 2分别是双曲线x 2-y 29=1的左、右焦点.若点P 在双曲线上,且|PF 1|=5,则|PF 2|=( )A .5B .3C .7D .3或73.已知椭圆x 225+y 29=1,F 1,F 2分别为其左、右焦点,椭圆上一点M 到F 1的距离是2,N 是MF 1的中点,则|ON |的长为( )A .1B .2C .3D .44.“2<m <6”是“方程x 2m -2+y 26-m=1表示椭圆”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为4,一个顶点是抛物线y 2=4x 的焦点,则双曲线的离心率e 等于( )A .2B .3C .32D .26.已知点A (3,4),F 是抛物线y 2=8x 的焦点,M 是抛物线上的动点,当|AM |+|MF |最小时,M 点坐标是( )A .(0,0)B .(3,26)C .(3,-26)D .(2,4)7.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为52,则椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的离心率为( )A .12B .33C .32D .228.设F 1,F 2是双曲线x 2-y 224=1的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且3|PF 1|=4|PF 2|,则△PF 1F 2的面积等于( )A .42B .83C .24D .489.已知点A (1,2)是抛物线C :y 2=2px 与直线l :y =k (x +1)的一个交点,则抛物线C 的焦点到直线l 的距离是( )A .22B .2C .322D .2210.若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP →·FP →的最大值为( )A .6B .3C .2D .811.已知以F 1(-2,0),F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x +3y +4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( )A .32B .26C .27D .712.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ,且|BC|=|CF 2|,则双曲线的渐近线方程为( )A .y=±3xB .y=±22xC .y=±(1+3)xD .y=±(3-1)x 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上)13.抛物线y =4x 2的焦点到准线的距离是_____.14.中心在原点,焦点在x 轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是_____.15.若点P 在曲线C 1:x 216-y 29=1上,点Q 在曲线C 2:(x -5)2+y 2=1上,点R 在曲线C 3:(x +5)2+y 2=1上,则|PQ |-|PR |的最大值是_____.16.已知点P 是抛物线y 2=2x 上的动点,点P 到准线的距离为d ,且点P 在y 轴上的射影是M ,点A (72,4),则|PA |+|PM |的最小值是_____.17.已知F 1为椭圆C :x 22+y 2=1的左焦点,直线l :y =x -1与椭圆C 交于A 、B 两点,则|F 1A |+|F 1B |的值为_____.18.过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点作斜率为3的直线与该抛物线交于A ,B 两点,A ,B 在y 轴上的正射影分别为D ,C ,若梯形ABCD 的面积为103,则p=_____. 三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(10分)已知双曲线的渐近线方程为y =±43x ,并且焦点都在圆x 2+y 2=100上,求双曲线方程.20.(10分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的一点,F 1,F 2是椭圆的左、右焦点,若PF 1⊥PF 2.试求:(1)椭圆的方程;(2)△PF 1F 2的面积.21.(10分)抛物线y 2=2px (p >0)有一个内接直角三角形,直角顶点是原点,一条直角边所在直线方程为y =2x ,斜边长为513,求此抛物线方程.22.(10分)已知抛物线C 的顶点在原点,焦点F 在x 轴的正半轴上,设A 、B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴),且|AF |+|BF |=8,线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q (6,0),求此抛物线的方程.23.(10分)设双曲线C :x 2a 2-y 2=1(a >0)与直线l :x +y =1相交于两点A 、B . (1)求双曲线C 的离心率e 的取值X 围;(2)设直线l 与y 轴的交点为P ,且PA →=512PB →,求a 的值.24.(10分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为63,且经过点(32,12). (1)求椭圆C 的方程;(2)过点P (0,2)的直线交椭圆C 于A ,B 两点,求△AOB (O 为原点)面积的最大值.参考答案一、选择题1.C 2.D 3.D 4.B 5.A 6.D 7.C 8.C 9.B 10.A 11.C 12.C 提示:1.由题设知直线3x -4y -12=0与x 轴的交点(4,0)即为抛物线的焦点,故其方程为y 2=16x .2.因为双曲线的定义可得||PF 1|-|PF 2||=2,所以|PF 2|=7或3.3.由题意知|MF 2|=10-|MF 1|=8,ON 是△MF 1F 2的中位线,所以|ON |=12|MF 2|=4. 4.若x 2m -2+y 26-m=1表示椭圆,则有⎩⎪⎨⎪⎧m -2>0,6-m >0,m -2≠6-m ,所以2<m <6且m ≠4,故2<m <6是x 2m -2+y 26-m=1表示椭圆的必要不充分条件. 5.依题意,得c =2,a =1,所以e =ca =2.6.由题知点A 在抛物线内.设M 到准线的距离为|MK |,则|MA |+|MF |=|MA |+|MK |,当|MA |+|MK |最小时,M 点坐标是(2,4).7.因为在双曲线中,e 2=c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a 2=54,所以b 2a 2=14,在椭圆中,e 2=c 2a 2=a 2-b 2a 2=1-b 2a 2=1-14=34,所以椭圆的离心率e =32.8.由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|=4|PF 2|可知,|PF 1|-|PF 2|=2,解得|PF 1|=8,|PF 2|=6,又|F 1F 2|=2c =10,所以△PF 1F 2为直角三角形,所以△PF 1F 2的面积S =12×6×8=24.9.将点(1,2)代入y 2=2px 中,可得p =2,即得抛物线y 2=4x ,其焦点坐标为(1,0),将点(1,2)代入y =k (x +1)中,可得k =1,即得直线x -y +1=0,所以抛物线C 的焦点到直线l 的距离d =|1-0+1|2=2.10.由椭圆方程得F (-1,0),设P (x 0,y 0),则OP →·FP →=(x 0,y 0)·(x 0+1,y 0)=x 20+x 0+y 20,因为P 为椭圆上一点,所以x 204+y 203=1,所以OP →·FP →=x 20+x 0+3(1-x 204)=x 204+x 0+3=14(x 0+2)2+2,因为-2≤x 0≤2,所以OP →·FP →的最大值在x 0=2时取得,且最大值等于6.11.根据题意设椭圆方程为x 2b 2+4+y 2b 2=1(b >0),则将x =-3y -4代入椭圆方程,得4(b 2+1)y 2+83b 2y -b 4+12b 2=0,因为椭圆与直线x +3y +4=0有且仅有一个交点,所以Δ=(83b 2)2-4×4(b 2+1)(-b 4+12b 2)=0,即(b 2+4)·(b 2-3)=0,所以b 2=3,长轴长为2b 2+4=27.12.根据双曲线的定义有|CF 1|-|CF 2|=2a ,而|BC|=|CF 2|,那么2a=|CF 1|-|CF 2|=|CF 1|-|BC|=|BF 1|,而又由双曲线的定义有|BF 2|-|BF 1|=2a ,可得|BF 2|=4a ,由于过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ,那么sin ∠BF 1F 2=c a ,那么cos ∠BF 1F 2=cb,根据余弦定理有cos ∠BF 1F 2=c b =ca a c a 222)4()2()2(222⨯⨯-+,整理有b 2-2ab -2a 2=0,即(a b)2-2a b -2=0,解得a b =1+3(a b =1-3<0舍去),故双曲线的渐近线方程为y=±abx=±(1+3)x .二、填空题13.1814.x 281+y 272=115.10 16.9217.82318.3 提示:13.由x 2=14y 知,p =18,所以焦点到准线的距离为p =18.14.依题意知:2a =18,所以a =9,2c =13×2a ,所以c =3,所以b 2=a 2-c 2=81-9=72,所以椭圆方程为x 281+y 272=1.15.依题意得,点F 1(-5,0)、F 2(5,0)分别为双曲线C 1的左、右焦点,因此有|PQ |-|PR |≤|(|PF 2|+1)-(|PF 1|-1)|≤||PF 2|-|PF 1||+2=2×4+2=10,故|PQ |-|PR |的最大值是10.16.设抛物线y 2=2x 的焦点为F ,则F (12,0),又点A (72,4)在抛物线的外侧,抛物线的准线方程为x =-12,则|PM |=d -12,又|PA |+d =|PA |+|PF |≥|AF |=5,所以|PA |+|PM |≥92.17.设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由⎩⎪⎨⎪⎧x 22+y 2=1,y =x -1,消去y 整理得3x 2-4x =0,解得x 1=0,x 2=43,易得点A (0,-1)、B (43,13).又点F 1(-1,0),因此|F 1A |+|F 1B |=12+(-1)2+(73)2+(13)2=823.18.由抛物线y 2=2px (p>0)得其焦点F (2p ,0),直线AB 的方程为y=3(x -2p ),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(假定x 2>x 1),由题意可知y 1<0,y 2>0,联立⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(32,整理有3y 2-2py -3p 2=0,可得y 1+y 2=32p,y 1y 2=-p 2,则有x 1+x 2=35p ,而梯形ABCD的面积为S=21(x 1+x 2)(y 2-y 1)=65p212214)(y y y y -+=103,整理有p 2=9,而p>0,故p=3.三、解答题19.解:设双曲线的方程为42·x 2-32·y 2=λ(λ≠0), 从而有(|λ|4)2+(|λ|3)2=100,解得λ=±576, 所以双曲线的方程为x 236-y 264=1和y 264-x 236=1. 20.解:(1)因为P 点在椭圆上,所以9a 2+16b 2=1,① 又PF 1⊥PF 2,所以43+c ·43-c =-1,得:c 2=25,②又a 2=b 2+c 2,③ 由①②③得a 2=45,b 2=20,则椭圆方程为x 245+y 220=1; (2)S 21F PF ∆=12|F 1F 2|×4=5×4=20.21.解:设抛物线y 2=2px (p >0)的内接直角三角形为AOB ,直角边OA 所在直线方程为y =2x ,另一直角边所在直线方程为y =-12x ,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =2x ,y 2=2px ,可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2,p ; 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =-12x ,y 2=2px ,可得点B 的坐标为(8p ,-4p ).因为|OA |2+|OB |2=|AB |2,且|AB |=513, 所以⎝⎛⎭⎫p24+p 2+(64p 2+16p 2)=325, 所以p =2,所以所求的抛物线方程为y 2=4x .22.解:设抛物线的方程为y 2=2px (p >0),其准线方程为x =-p2, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为|AF |+|BF |=8, 所以x 1+p 2+x 2+p2=8,即x 1+x 2=8-p ,因为Q (6,0)在线段AB 的中垂线上,所以QA =QB ,即(x 1-6)2+y 21=(x 2-6)2+y 22,又y 21=2px 1,y 22=2px 2,所以(x 1-x 2)(x 1+x 2-12+2p )=0, 因为x 1≠x 2,所以x 1+x 2=12-2p ,故8-p =12-2p ,所以p =4, 所以所求抛物线方程是y 2=8x .23.解:(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2-a 2y 2-a 2=0,x +y =1,消y 得x 2-a 2(1-x )2-a 2=0,即(1-a 2)x 2+2a 2x -2a 2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=-2a 21-a 2,x 1x 2=-2a21-a 2.因为与双曲线交于两点A 、B ,所以⎩⎪⎨⎪⎧1-a 2≠0,4a 4+8a 2(1-a 2)>0,可得0<a 2<2且a 2≠1,所以e 的取值X 围为(62,2)∪(2,+∞); (2)由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=-2a 21-a 2,x 1x 2=-2a21-a2.因为P A →=512PB →,所以x 1=512x 2,则1712x 2=-2a 21-a 2,①512x 22=-2a 21-a 2,② 由①2②得,a 2=289169,结合a >0,则a =1713. 24.解:(1)由e 2=a 2-b 2a 2=1-b 2a 2=23,得b a =13,①由椭圆C 经过点(32,12),得94a 2+14b 2=1,②联立①②,解得b =1,a =3, 所以椭圆C 的方程是x 23+y 2=1;(2)易知直线AB 的斜率存在,设其方程为y =kx +2,将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立,消去y 得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0, 令Δ=144k 2-36(1+3k 2)>0,得k 2>1,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-12k 1+3k 2,x 1x 2=91+3k 2,所以S △AOB =|S △POB -S △POA |=12×2×|x 1-x 2|=|x 1-x 2|,因为(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(-12k 1+3k 2)2-361+3k 2=36(k 2-1)(1+3k 2)2,设k 2-1=t (t >0), 则(x 1-x 2)2=36t(3t +4)2=369t +16t+24≤3629t ×16t+24=34, 当且仅当9t =16t ,即t =43时等号成立,此时k 2=73,△AOB 面积取得最大值32.第三章 空间向量与立体几何一、选择题1.若A (0,-1,1),B (1,1,3),则|AB |的值是(). A .5B .5C .9 D .32.化简AB +CD -CB -AD ,结果为().A .0B .ABC .ACD .3.若a ,b ,c 为任意向量,m ∈R ,则下列等式不成立的是(). A .(a +b )+c =a +(b +c )B .(a +b )·c =a ·c +b ·c C .m (a +b )=m a +m b D .(a ·b )·c =a ·(b ·c )4.已知+=(2,-1,0),a -b =(0,3,-2),则cos<,>的值为(). A .31B .-32C .33D .375.若P 是平面α 外一点,A 为平面α 内一点,n 为平面α 的一个法向量,且<,n >=40º,则直线PA 与平面α 所成的角为().A .40ºB .50ºC .40º或50ºD .不确定6.若A ,B ,C ,D 四点共面,且 = + 3+ 2+ x ,则x 的值是().A .4B .2C .6D .-67.在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB =4,AD =3,AA 1=5,∠BAD =90º,∠BAA 1=∠DAA 1=60º,则AC 1的长等于().A .85B .50C .85D .528.已知向量a =(2,-1,3),b =(-4,2,x ),c =(1,-x ,2),若(a +b )⊥c ,则x 等于().A .4B .-4C .21D .-6 9.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,考虑下列命题①(A A 1+11D A +11B A )2=3(11B A )2;②A 1·(11B A -A A 1)=0;③向量1AD 与向量A 1的夹角为60º;④正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为|··|. 错误命题的个数是().A .1个B .2个C .3个D .4个10.已知四边形ABCD 满足·>0,·>0,·>0,·>0,则该四边形为().A .平行四边形B .梯形C .任意的平面四边形D .空间四边形 二、填空题11.设a =(-1,1,2),b =(2,1,-2),则a -2b =.1AA12.已知向量a ,b ,c 两两互相垂直,且|a |=1,|b |=2,|c |=3,s =a +b +c ,则|s |=. 13.若非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则a 与b 所成角的大小.14.若n 1,n 2分别为平面α,β 的一个法向量,且<n 1,n 2>=60º,则二面角α-l -β 的大小为.15.设A (3,2,1),B (1,0,4),则到A ,B 两点距离相等的点P (x ,y ,z )的坐标x ,y ,z 应满足的条件是 .16.已知向量n A A 1=2a ,a 与b 夹角为30º,且|a |=3,则21A A +32A A +…+n n A A 1-在向量b 的方向上的射影的模为.三、解答题17.如图,在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,底面是平行四边形, O 是B 1D 1的中点.求证:B 1C //平面ODC 1.18.如图,在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,侧棱垂直于底面,底边CA =CB =1,∠BCA =90º,棱AA 1=2,M ,N 分别是11B A 、的中点.A A 1ABA 1B 1D CD 1C 1O(第17题)(1)求BN ·M C 1;(2)求cos<1BA ,1CB >.19.如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AD =AA 1=1,AB =2,点E 在棱AB 上移动.ACBA 1C 1B 1N M(第18题)(1)证明:D 1E ⊥A 1D ;(2)当E 为AB 的中点时,求点E 到面ACD 1的距离; (3)AE 等于何值时,二面角D 1—EC —D 的大小为4.20.如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,∠DAB 为直角,AB //CD ,AD =CD =2AB ,E ,F 分别为PC 、CD 中点.ABA 1D B 1C D 1C 1E(第19题)(1)试证:CD ⊥平面BEF ;(2)设PA =k ·AB ,且二面角E —BD —C 的平面角大于30º,求k 的取值X 围.参考答案一、选择题 1.D2.A3.D 4.B解析:两已知条件相加,得 a =(1,1,-1),再得 b =(1,-2,1),则cos<a ,b >=||||b a •=-32. 5.B6.D7.C8.B9.B 10.D解析:由AB ·BC >0得∠ABC >90º,同理,∠BCD >90º,∠CDA >90º,∠DAB >90º,若ABCD 为平面四边形,则四个内角之和为360º,这与上述得到结论矛盾,故选D .二、填空题11.(-5,-1,6) .12.14. 13.90°.BACPE FD(第20题)14.60º或120º. 15.4x +4y -6z +3=0. 16.3. 三、解答题17.提示:∵C B 1=D A 1=11C A +D C 1=21OC +D C 1. ∴ 直线B 1C 平行于直线OC 1与C 1D 所确定的平面ODC 1. 18.(1)0.提示:可用向量计算,也可用综合法得C 1M ⊥BN ,进而得两向量数量积为0. (2)1030. 提示:坐标法,以C 为原点,CA ,CB ,CC 1所在直线为x ,y ,z 轴.19.(1)提示:以D 为原点,直线DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z 轴,可得1·E D 1=0.(2)31. 提示:平面ACD 1的一个法向量为n 1=(2,1,2),d =11n n | |1·E D =31. (3)2-3.提示:平面D 1EC 的一个法向量为n 2=(2-x ,1,2)(其中AE =x ),利用 cos 4x =2-3.20.(1)提示:坐标法,A 为原点,直线AD ,AB ,AP 分别为x ,y ,z 轴.(2)k >15152.提示:不妨设AB =1,则PA =k ,利用cos<n 1,n 2><23,其中n 1,n 2分别为面EBD ,面BDC 的一个法向量.。
第二章综合素质检测时间120分钟,满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.(2015·广东文,8)已知椭圆x225+y2m2=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=导学号33780631()A.2B.3C.4D.9[答案] B[解析]由题意得:m2=25-42=9,因为m>0,所以m=3,故选B.2.抛物线y2=8x的焦点到直线x-3y=0的距离是导学号33780632() A.23B.2C. 3 D.1[答案] D[解析]由y2=8x可得其焦点坐标(2,0),根据点到直线的距离公式可得d=|2-3×0| 12+(-3)2=1.3.已知椭圆x2a2+y225=1(a>5)的两个焦点为F1、F2,且|F1F2|=8,弦AB经过焦点F1,则△ABF2的周长为导学号33780633()A.10 B.20C.241 D.441[答案] D[解析]由椭圆定义可知,有|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,∴△ABF2的周长L=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a.由题意可知b2=25,2c=8,∴c2=16a2=25+16=41,∴a=41,∴L=441,故选D.4.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为23,则双曲线的渐近线方程为导学号 33780634( )A .y =±2xB .y =±2xC .y =±22xD .y =±12x[答案] C[解析] ∵2b =2,2c =23,∴b =1,c =3,∴a 2=c 2-b 2=3-1=2,∴a =2,故渐近线方程为y =±22x .5.(2015·衡阳高二检测)“1<m <3”是“方程x 2m -1+y 23-m =1表示椭圆”的导学号 33780635( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 若方程x 2m -1+y23-m=1表示椭圆,则⎩⎪⎨⎪⎧m -1>03-m >0m -1≠3-m⇒1<m <3且m ≠2,∴选B.6.等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ,B 两点,|AB |=43,则C 的实轴长为导学号 33780636( )A. 2 B .2 2 C .4 D .8[答案] C[解析] |AB |=43,∴准线方程为x =-4,∴A (-4,23)在双曲线上设方程x 2a -y 2a 2=1(a ≠0),即16a 2-12a2=1,∴a =2,∴实轴长2a =4. 7.(2015·潮州高二检测)方程mx +ny 2=0与mx 2+ny 2=1(mn ≠0)在同一坐标系中的大致图象可能是导学号33780637( )[解析] 方程y 2=-m n x 表示焦点在x 轴的抛物线,当开口向右时,-mn >0,∴mn <0,∴mx 2+ny 2=1表示双曲线,选A.8.(2015·福建八县一中高二期末测试)经过点P (2,-2)且与双曲线C :x 22-y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是导学号 33780638( )A.x 24-y 22=1 B .y 22-x 24=1C.x 22-y 24=1 D .y 24-x 22=1[答案] B[解析] 设所求双曲线方程为x 22-y 2=λ(λ≠0),又∵点P (2,-2)在双曲线上, ∴42-4=λ,∴λ=-2. 所求双曲线的方程为y 22-x 24=1.9.经过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点,倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率为导学号 33780639( )A .2B . 3 C. 2 D . 5 [答案] A[解析] 由条件知,双曲线的渐近线与此直线平行,∴ba =tan60°=3,∴b =3a ,代入a 2+b 2=c 2中得4a 2=c 2,∴e 2=4,∵e >1,∴e =2,故选A.10.(2015·天津理,6)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线过点(2,3),且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=47x 的准线上,则双曲线的方程为导学号 33780640( )A.x 221-y 228=1 B .x 228-y 221=1C.x 23-y 24=1 D .x 24-y 23=1[解析] 双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±ba x ,由点(2,3)在渐近线上,所以b a =32,双曲线的一个焦点在抛物线y 2=47x 准线方程x =-7上,所以c =7,由此可解得a =2,b =3,所以双曲线方程为x 24-y 23=1,故选D.11.(2015·黑龙江哈师大附中高二期中测试)设P 为椭圆x 29+y 24=1上的一点,F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点,且∠F 1PF 2=60°,则|PF 1|·|PF 2|等于导学号 33780641( )A.83B .163C.433D.833[答案] B[解析] ∵a 2=9,b 2=4,∴c 2=5. 由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2a =6, ∴|PF 1|2+|FP 2|2+2|PF 1|·|PF 2|=36. 在△F 1PF 2中,由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cos60°=|F 1F 2|2=20, ∴|PF 1|2+|PF 2|2=|PF 1|·|PF 2|+20, ∴3|PF 1|·|PF 2|=16,∴|PF 1|·|PF 2|=163. 12.(2015·重庆文,9)设双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点是F ,左、右顶点分别是A 1、A 2,过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B 、C 两点.若A 1B ⊥A 2C ,则该双曲线的渐近线的斜率为导学号 33780642( )A .±12B .±22C .±1D .±2[答案] C[解析] 由已知得右焦点F (c,0)(其中c 2=a 2+b 2,c >0),A 1(-a,0)、A 2(a,0);B (c ,-b 2a)、C (c ,b 2a );从而A 1B ―→=(c +a ,-b 2a ),A 2C →=(c -a ,b 2a),又因为A 1B ⊥A 2C ,所以A 1B ―→·A 2C ―→=0,即(c -a )·(c +a )+(-b 2a )·(b 2a )=0;化简得到b 2a 2=1,即双曲线的渐进线的斜率为±1;故选C.二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上) 13.(2015·陕西理,14)若抛物线y 2=2px (p >0)的准线经过双曲线x 2-y 2=1的一个焦点,则p =________.导学号 33780643[答案] 2 2[解析] 由题意可知,抛物线的准线方程为x =-p2,因为p >0,所以该准线过双曲线的左焦点,由双曲线的方程可知,左焦点坐标为(-2,0);故由-2=-p2可解得p =2 2.14.(2016·山东理,13)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,AB ,CD 的中点为E 的两个焦点,且2|AB |=3|BC |,则E 的离心率是________.导学号 33780644[答案] 2[解析] 如图,由题意不妨设|AB |=3,则|BC |=2.设AB ,CD 的中点分别为M ,N ,则在Rt △BMN 中,|MN |=2c =2,故|BN |=|BM |2+|MN |2=(32)2+22=52.由双曲线的定义可得2a =|BN |-|BM |=52-32=1,而2c =|MN |=2,所以双曲线的离心率e =2c2a=2.15.(2015·南通高二检测)在平面直角坐标系xOy 中,已知△ABC 顶点A (-3,0)和C (3,0),顶点B 在椭圆x 225+y 216=1上,则sin A +sin C sin B=________.导学号 33780645[答案] 53[解析] 在椭圆x 225+y 216=1中a =5,b =4,c =3,∵三角形ABC 顶点A (-3,0)和C (3,0),顶点B 在x 225+y 216=1上,∴BC +AB =2a =10,由正弦定理sin A +sin C sin B =BC +AB AC =2a 2c =53.16.方程x 24-t +y 2t -1=1表示曲线C ,给出以下命题:导学号 33780646①曲线C 不可能为圆; ②若1<t <4,则曲线C 为椭圆; ③若曲线C 为双曲线,则t <1或t >4; ④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆,则1<t <52.其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号). [答案] ③④[解析] 显然当t =52时,曲线为x 2+y 2=32,方程表示一个圆;而当1<t <4,且t ≠52时,方程表示椭圆;当t <1或t >4时,方程表示双曲线;而当1<t <52时,4-t >t -1>0,方程表示焦点在x 轴上的椭圆,故③④为真命题.三、解答题(本大题共6个大题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)(2015·辽宁沈阳二中高二期中测试)已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆(x +1)2+y 2=4上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹.导学号 33780647[解析] 设点M 的坐标为(x ,y )、点A 的坐标为(x 0,y 0). 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x =4+x2y =3+y 02,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0=2x -4y 0=2y -3,又∵点A (x 0,y 0)在圆(x +1)2+y 2=4上, ∴(2x -3)2+(2y -3)2=4, 即(x -32)2+(y -32)2=1.故线段AB 的中点M 的轨迹是以点(32,32)为圆心,以1为半径的圆.18.(本小题满分12分)设F 1、F 2分别是椭圆E :x 2+y 2b2=1(0<b <1)的左、右焦点,过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点,且|AF 2|、|AB |、|BF 2|成等差数列.导学号 33780648(1)求|AB |;(2)若直线l 的斜率为1,求b 的值.[解析] (1)求椭圆定义知|AF 2|+|AB |+|BF 2|=4, 又2|AB |=|AF 2|+|BF 2|,得|AB |=43.(2)l 的方程式为y =x +c ,其中c =1-b 2,设A (x 1,y 1)、B (x 1,y 1),则A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =x +cx 2+y 2b 2=1, 消去y 化简得(1+b 2)x 2+2cx +1-2b 2=0. 则x 1+x 2=-2c1+b 2,x 1x 2=1-2b 21+b2. 因为直线AB 的斜率为1,所以|AB |=2|x 2-x 1|, 即43=2|x 2-x 1|. 则89=(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =4(1-b 2)(1+b 2)2-4(1-2b 2)1+b 2=8b 41+b 2, 解得b =22. 19.(本小题满分12分)椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为213.一双曲线和该椭圆有公共焦点,且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4,双曲线离心率与椭圆离心率之比为7︰3,求椭圆和双曲线的方程.导学号 33780649[解析] ①焦点在x 轴上,设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),且c =13.设双曲线为x 2m 2-y 2n 2=1(m >0,n >0),m =a -4.因为e 双e 椭=73,所以a m =73,解得a =7,m =3.因为椭圆和双曲线的半焦距为13, 所以b 2=36,n 2=4. 所以椭圆方程为x 249+y 236=1,双曲线方程为x 29-y 24=1.②焦点在y 轴上,椭圆方程为x 236+y 249=1,双曲线方程为y 29-x 24=1.20.(本小题满分12分)如图所示,F 1、F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右两个焦点,A 、B 为两个顶点,已知椭圆上的点(1,32)到F 1,F 2两点的距离之和为4.导学号 33780650(1)求椭圆C 的方程.(2)过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点,求△F 1PQ 的面积. [解析] (1)由题设知:2a =4,即a =2,将点(1,32)代入椭圆方程得122+(32)2b 2=1,解得b 2=3,故椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)由(1)知A (-2,0),B (0,3), 所以k PQ =k AB =32, 所以PQ 所在直线方程为y =32(x -1), 由⎩⎨⎧y =32(x -1),x 24+y23=1,消x 得8y 2+43y -9=0, 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则y 1+y 2=-32,y 1·y 2=-98, 所以|y 1-y 2|=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=34+4×98=212, 所以S △F 1PQ =12|F 1F 2|·|y 1-y 2|=12×2×212=212.21.(本小题满分12分)(2015·山东临沂市高二期末测试)已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,点M 在抛物线上,且点M 的横坐标为4,|MF |=5.导学号 33780651(1)求抛物线的方程;(2)设l 为过点(4,0)的任意一条直线,若l 交抛物线于A 、B 两点,求证:以AB 为直径的圆必过原点.[解析] (1)由题意得|MF |=4+p2=5,∴p =2,故抛物线方程为y 2=4x .(2)当直线l 的斜率不存在时,其方程为x =4.由⎩⎪⎨⎪⎧x =4y 2=4x ,得y =±4.∴|AB |=8,∴|AB |2=4,∴以AB 为直径的圆过原点.当直线l 的斜率存在时,设其方程为y =k (x -4)(k ≠0). 设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -4)y 2=4x ,得k 2x 2-(4+8k 2)x +16k 2=0, ∴x 1+x 2=4+8k 2k 2,x 1x 2=16.y 1y 2=k 2(x 1-4)(x 2-4) =k 2[x 1x 2-4(x 1+x 2)+16]=k 2[16-4×4+8k2k 2+16]=k 2(32-16-32k2k 2)=-16, ∴x 1x 2+y 1y 2=0.又OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2=0,∴OA ⊥OB ,∴以AB 为直径的圆必过原点.综上可知,以AB 为直径的圆必过原点.22.(本小题满分14分)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3),且点F (2,0)为其右焦点.(1)求椭圆C 的方程;导学号 33780652(2)是否存在平行于OA 的直线l ,使得直线l 与椭圆C 有公共点,且直线OA 与l 的距离等于4?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.[解析] (1)设椭圆的方程 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0), ∵F (2,0)是椭圆的右焦点,且椭圆过点A (2,3),∴⎩⎪⎨⎪⎧ c =22a =3+5=8,∴⎩⎪⎨⎪⎧c =2a =4.∵a 2=b 2+c 2, ∴b 2=12,故椭圆方程为x 216+y 212=1.(2)假设存在符合题意的直线l ,其方程y =32x +t .由⎩⎨⎧y =32x +t x 216+y212=1,消去y ,得3x 2+3tx +t 2-12=0.∵直线l 与椭圆有公共点, ∴Δ=(3t )2-12(t 2-12)≥0, 解得-43≤t ≤4 3.另一方面,由直线OA 与l 的距离等于4, 可得,|t |94+1=4,∴t =±213. 由于±213∉[-43,43], 故符合题意的直线l 不存在.。
数学人教A 选修2-1第三章 空间向量与立体几何单元检测(时间:45分钟,满分:100分)一、选择题(每小题6分,共48分)1.已知点A (-4,8,6),则点A 关于y 轴对称的点的坐标为( ). A .(-4,-8,6) B .(-4,-8,-6) C .(-6,-8,4) D .(4,8,-6)2.若a =(0,1,-1),b =(1,1,0),且(a +λb )⊥a ,则实数λ的值为( ). A .-1 B .0 C .1 D .-23.若向量a =(1,λ,2),b =(2,-1,2),a ,b 夹角的余弦值为89,则λ等于( ), A .2 B .-2 C .-2或255 D .2或255- 4.已知a =(2,-1,2),b =(2,2,1),则以a ,b 为邻边的平行四边形的面积为( ).A B C .4 D .8 5.如图,在四面体ABCD 中,已知AB =b ,AD =a ,AC =c ,12BE EC =,则DE 等于( ).A .2133-++a b c B .2133++a b c C .2133-+a b c D .2133-+a b c 6.在三棱锥P -ABC 中,△ABC 为等边三角形,PA ⊥平面ABC ,且PA =AB ,则二面角A -PB -C 的平面角的正切值为( ).A B C D 7.已知A (1,2,3),B (2,1,2),P (1,1,2),点Q 在直线OP 上运动(O 为原点),则当QA QB ⋅取最小值时,点Q 的坐标为( ).A .444,,333⎛⎫⎪⎝⎭ B .848,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭C .884,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D .448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭8.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,E ,F 分别是BB 1,CD 的中点,则点F 到平面A 1D 1E 的距离为( ).A .310a B .10a C .10a D .710a 二、填空题(每小题6分,共18分)9.若向量a =(4,2,-4),b =(1,-3,2),则2a ·(a +2b )=________.10.如图,在矩形ABCD 中,AB =3,BC =1,EF ∥BC 且AE =2EB ,G 为BC 的中点,K 为△AFD 的外心,沿EF 将矩形折成120°的二面角A -EF -B ,此时KG 的长为__________.11.已知直线AB ,CD 是异面直线,AC ⊥AB ,AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,且AB =2,CD =1,则异面直线AB 与CD 所成角的大小为________.三、解答题(共3小题,共34分)12.(10分)已知向量a =(1,-3,2),b =(-2,1,1),点A (-3,-1,4),B (-2,-2,2). (1)求|2a +b |;(2)在直线AB 上,是否存在一点E ,使得OE ⊥b ?(O 为原点)13.(10分)如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面是边长为BAD =120°,且PA ⊥平面ABCD ,PA =,M ,N 分别为PB ,PD 的中点.(1)证明:MN∥平面ABCD;(2)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.14.(14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1.D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA1.(1)求证:CD=C1D;(2)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;参考答案1答案:D2答案:D 解析:a +λb =(λ,1+λ,-1). 由(a +λb )⊥a ,知(a +λb )·a =0, 所以1+λ+1=0,解得λ=-2. 3答案:C解析:由公式cos 〈a ,b 〉=||||⋅a ba b ,知89==λ=-2或255.4答案:A 解析:|a |=3,|b |=3,而a·b =4=|a||b|cos ,a b ,∴cos ,a b =49,故sin ,a b=于是以a ,b 为邻边的平行四边形的面积为 S =|a||b|sin ,a b=33⨯= 5答案:A 解析:DE =DA +AB +BE =DA +AB +13(AC -AB )=2133-++a b c .6答案:A 解析:设PA =AB =2,建立空间直角坐标系,平面PAB 的一个法向量是m =(1,0, 0),平面PBC 的一个法向量是n=⎫⎪⎪⎝⎭. 则cos 〈m ,n〉=·3||||||||3===m nm n m n . ∴正切值tan 〈m ,n.7答案:D 解析:由题意可知OQ =λOP ,故可设Q (λ,λ,2λ),∴QA ·QB =6λ2-16λ+10=242633λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,∴43λ=时,QA ·QB 取最小值,此时Q 的坐标为448,,333⎛⎫⎪⎝⎭. 8答案:C 解析:建立如图所示的坐标系,则A 1(a,0,a ),D 1(0,0,a ),A (a,0,0),B (a ,a,0),B 1(a ,a ,a ),E ,,2a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,F 0,,02a ⎛⎫⎪⎝⎭.设平面A 1D 1E 的法向量为n =(x ,y ,z ),则11·0A D =n ,11·0A E =n ,即(x ,y ,z )·(-a,0,0)=0,(x ,y ,z )·0,,2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=0, ∴-ax =0,02aay z -=. ∴x =0,2z y =. ∴n =0,,2z z ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴10,||||2FD d ⎛ ⋅⎝==n n . 9答案:32解析:2a·(a +2b )=2|a|2+4a·b =2×36+4×(-10)=32. 10解析:如图,过K 作KM ⊥EF ,M 为垂足,则向量MK 与FC 的夹角为120°.KG =KM +MF +FC +CG ,2KG =2KM +2MF +2FC +2CG +2KM ·MF +2FC ·CG +2KM ·FC +2KM ·CG . ∴2KG =1+14+1+14+0+0+2×1×1×cos 60°+0+0+2×12×12×cos 180°=2+12+1-12=3. ∴3KG =.答案:60° 解析:设AB 与CD 所成的角为θ, 则cos θ=cos ,AB CD =AB CD AB CD⋅.由于AB ·CD =(AC +CD +DB )·CD =AC ·CD +2CD +DB ·CD =0+12+0=1,∴cos θ=11212AB CD AB CD⋅==⨯. 由于0°<θ≤90°,∴θ=60°,故异面直线AB 与CD 所成角的大小为60°.12答案:解:(1)2a +b =(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a +b|=答案:解:OE =OA +AE =OA +t AB =(-3,-1,4)+t (1,-1,-2)=(-3+t ,-1-t,4-2t ).若OE ⊥b ,则OE ·b =0,所以-2(-3+t )+(-1-t )+(4-2t )=0,解得95t =,因此存在点E ,使得OE ⊥b ,此时E 点坐标为6142,,555⎛⎫--⎪⎝⎭. 13答案:证明:连结BD ,因为M ,N 分别是PB ,PD 的中点, 所以MN 是△PBD 的中位线.所以MN ∥BD . 又因为MN ⊄平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD , 所以MN ∥平面ABCD .答案:解法一:连结AC 交BD 于O ,以O 为原点,OC ,OD 所在直线为x ,y 轴,建立空间直角坐标系O -xyz ,如图所示.在菱形ABCD 中,∠BAD =120°,得AC =AB=BD=6. 又因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥AC .在直角△PAC中,AC =PA =AQ ⊥PC ,得QC =2,PQ =4,由此知各点坐标如下:A(,0,0),B (0,-3,0),C,0,0),D (0,3,0),P(0,,M 3,22⎛-- ⎝,N 3,22⎛- ⎝,Q 33⎛ ⎝⎭. 设m =(x ,y ,z )为平面AMN 的法向量. 由AM=32-⎝,AN=32-⎝,知30,230.2x y x y -+=+=取z =-1,得m =(0,-1). 设n =(x ,y ,z )为平面QMN 的法向量.由QM=32⎛- ⎝⎭,QN=32⎛- ⎝⎭知30,62330.2x y z x y ⎧--+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 取z =5,得n =(0,5). 于是cos 〈m ,n〉=·||||33=m n m n . 所以二面角A -MN -Q的平面角的余弦值为33.解法二:在菱形ABCD 中,∠BAD =120°,得AC =AB =BC =CD =DA ,BDAB . 又因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥AB ,PA ⊥AC ,PA ⊥AD . 所以PB =PC =PD . 所以△PBC ≌△PDC .而M ,N 分别是PB ,PD 的中点,所以MQ =NQ ,且AM =12PB =12PD =AN . 取线段MN 的中点E ,连结AE ,EQ , 则AE ⊥MN ,QE ⊥MN ,所以∠AEQ 为二面角A -MN -Q 的平面角.由AB =PA =,故在△AMN 中,AM =AN =3,MN =12BD =3,得AE =2.在直角△PAC 中,AQ ⊥PC ,得AQ =QC =2,PQ =4,在△PBC 中,cos ∠BPC =222526PB PC BC PB PC +-=⋅,得MQ =在等腰△MQN 中,MQ =NQ MN =3,得QE ==.在△AEQ 中,2AE =,2QE =,AQ =cos ∠AEQ =222233AE QE AQ AE QE +-=⋅.所以二面角A -MN -Q . 14答案:解:如图,以A 1为原点,A 1B 1,A 1C 1,A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A 1xyz ,则A 1(0,0,0),B 1(1,0,0),C 1(0,1,0),B (1,0,1).答案:解:如图,以A 1为原点,A 1B 1,A 1C 1,A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A 1xyz ,则A 1(0,0,0),B 1(1,0,0),C 1(0,1,0),B (1,0,1).设C 1D =x ,∵AC ∥PC 1, ∴111C P C D xAC CD x==-. 由此可得D (0,1,x ),P 0,1,01x x ⎛⎫+⎪-⎝⎭, ∴1A B =(1,0,1),1A D =(0,1,x ),1B P =1,1,01x x ⎛⎫-+⎪-⎝⎭. 设平面BA 1D 的一个法向量为n 1=(a ,b , c ),则11110,0.A B a c A D b cx ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令c =-1,则n 1=(1,x ,-1). ∵PB 1∥平面BA 1D ,高中数学-打印版精心校对 ∴n 1·1B P =1×(-1)+x ·11x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭+(-1)×0=0. 由此可得12x =,故CD =C 1D . 答案:解:由(1)知,平面BA 1D 的一个法向量n 1=11,,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.又n 2=(1,0,0)为平面AA 1D 的一个法向量, ∴cos 〈n 1,n 2〉=1212123||||312⋅==⨯n n n n . 故二面角A -A 1D -B 的平面角的余弦值为23. (3)求点C 到平面B 1DP 的距离. 答案:解:∵1PB =(1,-2,0),PD =10,1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭, 设平面B 1DP 的一个法向量n 3=(a 1,b 1,c 1), 则311113120,0.2PB a b c PD b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n 令c 1=1,可得n 3=11,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 又10,0,2DC ⎛⎫= ⎪⎝⎭, ∴点C 到平面B 1DP 的距离33||1||3DC d ⋅==n n .。
学业分层测评(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.命题“若函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则log a2<0”的逆否命题是( )A.若log a2≥0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数B.若log a2<0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数C.若log a2≥0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是增函数D.若log a2<0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是增函数【解析】 命题“若p,则q”的逆否命题为“若綈q,则綈p”.“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”,不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数”.【答案】 A2.(2016·济宁高二检测)命题“已知a,b都是实数,若a+b>0,则a,b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中,假命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3【解析】 逆命题“已知a,b都是实数,若a,b不全为0,则a+b>0”为假命题,其否命题与逆命题等价,所以否命题为假命题.逆否命题“已知a,b都是实数,若a,b全为0,则a+b≤0”为真命题,故选C.【答案】 C3.(2016·南宁高二检测)已知命题“若ab≤0,则a≤0或b≤0”,则下列结论正确的是( )A.原命题为真命题,否命题:“若ab>0,则a>0或b>0”B.原命题为真命题,否命题:“若ab>0,则a>0且b>0”C.原命题为假命题,否命题:“若ab>0,则a>0或b>0”D.原命题为假命题,否命题:“若ab>0,则a>0且b>0”【解析】 逆否命题“若a>0且b>0,则ab>0”,显然为真命题,又原命题与逆否命题等价,故原命题为真命题.否命题为“若ab>0,则a>0且b>0”,故选B.【答案】 B4.(2016·潍坊高二期末)命题“若x=3,则x2-2x-3=0”的逆否命题是( )A.若x≠3,则x2-2x-3≠0B.若x=3,则x2-2x-3≠0C.若x2-2x-3≠0,则x≠3D.若x2-2x-3≠0,则x=3【解析】 其逆否命题为“若x2-2x-3≠0,则x≠3”.故选C.【答案】 C5.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是( )A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3【答案】 A二、填空题6.(2016·三门峡高二期中)命题“若x>2,则x2>4”的逆命题是____________. 【导学号:18490009】【解析】 原命题的逆命题为“若x2>4,则x>2”.【答案】 若x2>4,则x>27.命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题是________.【解析】 否定条件与结论,得否命题“若a≤b,则2a≤2b-1”.【答案】 若a≤b,则2a≤2b-18.在空间中,给出下列两个命题:①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.其中逆命题为真命题的是________.【解析】 ①的逆命题:若空间四点中任何三点都不共线,则这四点不共面,是假命题;②的逆命题:若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点,是真命题.【答案】 ②三、解答题9.写出命题“已知a,b∈R,若a2>b2,则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.【解】 逆命题:已知a,b∈R,若a>b,则a2>b2;否命题:已知a,b∈R,若a2≤b2,则a≤b;逆否命题:已知a,b∈R,若a≤b,则a2≤b2.原命题是假命题.逆否命题也是假命题.逆命题是假命题.否命题也是假命题.10.已知命题p:“若ac≥0,则二次方程ax2+bx+c=0没有实根”.(1)写出命题p的否命题;(2)判断命题p的否命题的真假,并证明你的结论.【解】 (1)命题p的否命题为“若ac<0,则二次方程ax2+bx+c=0有实根”.(2)命题p的否命题是真命题.证明如下:∵ac<0,∴-ac>0⇒Δ=b2-4ac>0⇒二次方程ax2+bx+c=0有实根.∴该命题是真命题.[能力提升]1.与命题“若a·b=0,则a⊥b”等价的命题是( )A.若a·b≠0,则a不垂直于bB.若a⊥b,则a·b=0C.若a不垂直于b,则a·b≠0D.若a·b≠0,则a⊥b【解析】 原命题与其逆否命题为等价命题.【答案】 C2.(2016·福州期末)命题“若x+y是偶数,则x,y都是偶数”的逆否命题是( )A.若x,y都不是偶数,则x+y不是偶数B.若x,y不都是偶数,则x+y是偶数C.若x,y不都是偶数,则x+y不是偶数D.若x,y都不是偶数,则x+y是偶数【解析】 “x,y都是偶数”的否定为“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定是“x+y不是偶数”.故选C.【答案】 C3.下列命题中________为真命题(填上所有正确命题的序号).①若A∩B=A,则A B;②“若x=y=0,则x2+y2=0”的逆命题;③“全等三角形是相似三角形”的逆命题;④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题.【解析】 ①错误,若A∩B=A,则A⊆B;②正确,它的逆命题为“若x2+y2=0,则x=y=0”为真命题;③错误,它的逆命题为“相似三角形是全等三角形”为假命题;④正确,因为原命题为真命题,故逆否命题也为真命题.【答案】 ②④4.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,然后判断真假. 【导学号:18490010】(1)等高的两个三角形是全等三角形;(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧.【解】 (1)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等高,是真命题;否命题:若两个三角形不等高,则这两个三角形不全等,是真命题;逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等高,是假命题.(2)逆命题:若一条直线平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线,是假命题;否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不平分弦所对的弧,是假命题;逆否命题:若一条直线不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线,是真命题.。
学业分层测评(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.设a ,b ,c 是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,下列命题:①(a ·b )c -(c ·a )b =0;②|a |=a ·a ;③a 2b =b 2a ;④(3a +2b )·(3a -2b )=9|a |2-4|b |2.其中正确的有( )A .①②B .②③C .③④D .②④【解析】 由于数量积不满足结合律,故①不正确,由数量积的性质知②正确,③中,|a |2·b =|b |2·a 不一定成立,④运算正确.【答案】 D2.已知a +b +c =0,|a |=2,|b |=3,|c |=4,则a 与b 的夹角〈a ,b 〉=( )A .30°B .45°C .60°D .以上都不对【解析】 ∵a +b +c =0,∴a +b =-c ,∴(a +b )2=|a |2+|b |2+2a ·b =|c |2,∴a ·b =32,∴cos 〈a ,b 〉=a ·b |a ||b |=14.【答案】 D3.已知四边形ABCD 为矩形,P A ⊥平面ABCD ,连接AC ,BD ,PB ,PC ,PD ,则下列各组向量中,数量积不为零的是( )A.PC →与BD →B.DA →与PB →C.PD→与AB → D.P A →与CD→ 【解析】 用排除法,因为P A ⊥平面ABCD ,所以P A ⊥CD ,故P A →·CD→=0,排除D ;因为AD ⊥AB ,P A ⊥AD ,又P A ∩AB =A ,所以AD ⊥平面P AB ,所以AD ⊥PB ,故DA →·PB →=0,排除B ,同理PD →·AB →=0,排除C.【答案】 A4.如图3-1-25,已知空间四边形每条边和对角线都等于a ,点E ,F ,G 分别是AB ,AD ,DC 的中点,则下列向量的数量积等于a 2的是( )图3-1-25A .2BA →·AC →B .2AD →·DB →C .2FG→·AC → D .2EF→·CB → 【解析】 2BA→·AC →=-a 2,故A 错;2AD →·DB →=-a 2,故B 错;2EF →·CB →=-12a 2,故D 错;2FG→·AC →=AC →2=a 2,故只有C 正确. 【答案】 C5.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,有下列命题:①(AA 1→+AD →+AB →)2=3AB →2; ②A 1C →·(A 1B 1→-A 1A →)=0; ③AD 1→与A 1B →的夹角为60°.其中正确命题的个数是( ) 【导学号:18490091】 A .1个 B .2个 C .3个D .0个【解析】 由题意知①②都正确,③不正确,AD 1→与A 1B →的夹角为120°.【答案】 B 二、填空题6.已知|a |=2,|b |=3,〈a ,b 〉=60°,则|2a -3b |=________. 【解析】 |2a -3b |2=(2a -3b )2=4a 2-12a ·b +9b 2 =4×|a |2+9×|b |2-12×|a |·|b |·cos 60°=61, ∴|2a -3b |=61. 【答案】617.已知|a |=2,|b |=1,〈a ,b 〉=60°,则使向量a +λb 与λa -2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________.【解析】由题意知⎩⎨⎧(a +λb )·(λa -2b )<0,cos 〈a +λb ,λa -2b 〉≠-1.即⎩⎨⎧(a +λb )·(λa -2b )<0,(a +λb )·(λa -2b )≠-|a +λb ||λa -2b |得λ2+2λ-2<0.∴-1-3<λ<-1+ 3. 【答案】 (-1-3,-1+3)8.如图3-1-26,已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等,M 是侧棱CC 1的中点,则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________.图3-1-26【解析】 不妨设棱长为2,则AB →1=BB 1→-BA →,BM →=BC →+12BB 1→,cos 〈AB 1→,BM →〉=(BB 1→-BA →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →+12BB 1→22×5=0-2+2-022×5=0,故填90°.【答案】 90° 三、解答题9.如图3-1-27,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 为AC 与BD 的交点,G 为CC 1的中点.求证:A 1O ⊥平面BDG .图3-1-27【证明】 设A 1B 1→=a ,A 1D 1→=b ,A 1A →=c . 则a ·b =0,a ·c =0,b ·c =0. 而A 1O →=A 1A →+AO → =A 1A →+12(AB →+AD →) =c +12(a +b ), BD→=AD →-AB →=b -a , OG→=OC →+CG → =12(AB →+AD →)+12CC 1→ =12(a +b )+12c .∴A 1O →·BD →=⎝⎛⎭⎪⎫c +12a +12b ·(b -a )=c ·(b -a )+12(a +b )·(b -a ) =c ·b -c ·a +12(b 2-a 2) =12(|b |2-|a |2)=0. ∴A 1O →⊥BD →. ∴A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O →⊥OG →. ∴A 1O ⊥OG .又OG ∩BD =O 且A 1O ⊄平面BDG ,∴A 1O ⊥平面BDG .10.已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =AA 1=2,AD =4,E 为侧面AB 1的中心,F 为A 1D 1的中点,试计算:(1)BC →·ED 1→;(2)BF →·AB 1→;(3)EF →·FC 1→. 【解】 如图所示,设AB →=a ,AD →=b ,AA 1→=c , 则|a |=|c |=2,|b |=4,a·b =b·c =c·a =0.(1)BC →·ED 1→=AD →·(EA 1→+A 1D 1→)=AD →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(AA 1→-AB →)+AD → =b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(c -a )+b =|b |2=42=16.(2)BF →·AB 1→=(BA 1→+A 1F →)·(AB →+BB 1→) =⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→-AB →+12AD →·(AB →+AA 1→) =⎝ ⎛⎭⎪⎫c -a +12b ·(a +c ) =|c |2-|a |2=22-22=0.(3)EF →·FC 1→=(EA 1→+A 1F →)·(FD 1→+D 1C 1→) =⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(AA 1→-AB →)+12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →+AB →=⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(c -a )+12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b +a =12(-a +b +c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b +a =-12|a |2+14|b |2=2.[能力提升]1.已知边长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1,则AO 1→·AC →的值为( ) A .-1 B .0 C .1D .2【解析】 AO 1→=AA 1→+A 1O 1→=AA 1→+12(A 1B 1→+A 1D 1→)=AA 1→+12(AB →+AD →),而AC →=AB →+AD →,则AO 1→·AC →=12(AB →2+AD →2)=1,故选C. 【答案】 C2.已知a ,b 是两异面直线,A ,B ∈a ,C ,D ∈b ,AC ⊥b ,BD ⊥b 且AB =2,CD =1,则直线a ,b 所成的角为( )A .30°B .60°C .90°D .45°【解析】 由于AB →=AC →+CD →+DB →,则AB →·CD →=(AC →+CD →+DB →)·CD→=CD →2=1. cos 〈AB →,CD →〉=AB →·CD →|AB →|·|CD →|=12,得〈AB →,CD →〉=60°. 【答案】 B3.已知正三棱柱ABC -DEF 的侧棱长为2,底面边长为1,M 是BC 的中点,若直线CF 上有一点N ,使MN ⊥AE ,则CNCF =________. 【导学号:18490092】【解析】 设CN CF =m ,由于AE →=AB →+BE →,MN →=12BC →+mAD →,又AE→·MN →=0, 得12×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12+4m =0,解得m =116. 【答案】 1164.如图3-1-28,平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =1,AD =2,AA 1=3,∠BAD =90°,∠BAA 1=∠DAA 1=60°,求AC 1的长.图3-1-28【解】 ∵AC 1→=AB →+AD →+AA 1→, ∴|AC 1→|=(AB →+AD →+AA 1→)2=AB →2+AD →2+AA 1→2+2(AB →·AD →+AB →·AA 1→+AD →·AA 1→). ∵AB =1,AD =2,AA 1=3,∠BAD =90°,∠BAA 1=∠DAA 1=60°, ∴〈AB →,AD →〉=90°,〈AB →,AA 1→〉=〈AD →,AA 1→〉=60°, ∴|AC 1→| =1+4+9+2(1×3×cos 60°+2×3×cos 60°)=23.。
学业分层测评(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.点A (-1,2,1)在x 轴上的投影点和在xOy 平面上的投影点的坐标分别为( )A .(-1,0,1),(-1,2,0)B .(-1,0,0),(-1,2,0)C .(-1,0,0),(-1,0,0)D .(-1,2,0),(-1,2,0)【解析】 点A 在x 轴上的投影点的横坐标不变,纵、竖坐标都为0,在xOy 平面上的投影点横、纵坐标不变,竖坐标为0,故应选B.【答案】 B2.在空间直角坐标系Oxyz 中,下列说法正确的是( ) A .向量AB→的坐标与点B 的坐标相同 B .向量AB→的坐标与点A 的坐标相同 C .向量AB→与向量OB →的坐标相同 D .向量AB→与向量OB →-OA →的坐标相同 【解析】 因为A 点不一定为坐标原点,所以A ,B ,C 都不对;由于AB→=OB →-OA →,故D 正确. 【答案】 D3.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 是上底面对角线AC 与BD 的交点,若A 1B 1→=a ,A 1D 1→=b ,A 1A →=c ,则B 1M →可表示为( )A.12a +12b +c B.12a -12b +c C .-12a -12b +cD .-12a +12b +c【解析】 由于B 1M →=B 1B →+BM →=B 1B →+12(BA →+BC →)=-12a +12b +c ,故选D.【答案】 D4.正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中,O 1,O 2,O 3分别是AC ,AB ′,AD ′的中点,以{AO →1,AO →2,AO →3}为基底,AC ′→=xAO →1+yAO 2→+zAO →3,则x ,y ,z 的值是( )A .x =y =z =1B .x =y =z =12C .x =y =z =22D .x =y =z =2【解析】 AC ′→=AA ′→+AD →+AB → =12(AB →+AD →)+12(AA ′→+AD →)+12(AA ′→+AB →) =12AC →+12AD ′→+12AB ′→=AO 1→+AO 3→+AO 2→, 由空间向量的基本定理,得x =y =z =1. 【答案】 A5.已知空间四点A (4,1,3),B (2,3,1),C (3,7,-5),D (x ,-1,3)共面,则x 的值为( ) 【导学号:18490096】A .4B .1C .10D .11【解析】 AB →=(-2,2,-2),AC →=(-1,6,-8),AD →=(x -4,-2,0),∵A ,B ,C ,D 共面, ∴AB→,AC →,AD →共面, ∴存在实数λ,μ,使AD→=λAB →+μAC →, 即(x -4,-2,0)=(-2λ-μ,2λ+6μ,-2λ-8μ), ∴⎩⎪⎨⎪⎧x -4=-2λ-μ,-2=2λ+6μ,0=-2λ-8μ,得⎩⎪⎨⎪⎧λ=-4,μ=1,x =11. 【答案】 D 二、填空题6.设{i ,j ,k }是空间向量的单位正交基底,a =3i +2j -k ,b =-2i +4j +2k ,则向量a 与b 的位置关系是________.【解析】 ∵a ·b =-6i 2+8j 2-2k 2=-6+8-2=0. ∴a ⊥b . 【答案】 a ⊥b7.如图3-1-32, 在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中,M 为AC 和BD 的交点,若AB →=a ,AD →=b ,AA 1→=c ,则B 1M →=________.图3-1-32【解析】 B 1M →=AM →-AB 1→=12(AB →+AD →)-(AB →+AA 1→)=-12AB →+12AD →-AA 1→=-12a +12b -c . 【答案】 -12a +12b -c8.已知点A 在基底{a ,b ,c }下的坐标为(2,1,3),其中a =4i +2j ,b =2j +3k ,c =3k -j ,则点A 在基底{i ,j ,k }下的坐标为________.【解析】 由题意知点A 对应的向量为2a +b +3c =2(4i +2j )+(2j +3k )+3(3k -j )=8i +3j +12k ,∴点A 在基底{i ,j ,k }下的坐标为(8,3,12). 【答案】 (8,3,12) 三、解答题9.已知{e 1,e 2,e 3}为空间一基底,且OA →=e 1+2e 2-e 3,OB →=-3e 1+e 2+2e 3,OC →=e 1+e 2-e 3,能否以OA →,OB →,OC →作为空间的一个基底? 【导学号:18490097】【解】 假设OA→,OB →,OC →共面, 根据向量共面的充要条件有OA→=xOB →+yOC →, 即e 1+2e 2-e 3=x (-3e 1+e 2+2e 3)+y (e 1+e 2-e 3) =(-3x +y )e 1+(x +y )e 2+(2x -y )e 3.∴⎩⎪⎨⎪⎧-3x +y =1,x +y =2,2x -y =-1,此方程组无解. ∴OA→,OB →,OC →不共面. ∴{OA→,OB →,OC →}可作为空间的一个基底. 10.如图3-1-33,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,MA →=-13AC →,ND →=13A 1D →,设AB →=a ,AD →=b ,AA 1→=c ,试用a ,b ,c 表示MN →.图3-1-33【解】 连接AN ,则MN→=MA →+AN →.由已知可得四边形ABCD 是平行四边形,从而可得 AC→=AB →+AD →=a +b , MA →=-13AC →=-13(a +b ), 又A 1D →=AD →-AA 1→=b -c ,故AN →=AD →+DN →=AD →-ND →=AD →-13A 1D → =b -13(b -c ),MN →=MA →+AN →=-13(a +b )+b -13(b -c )=13(-a +b +c ).[能力提升]1.已知空间四边形OABC ,其对角线为AC ,OB .M ,N 分别是OA ,BC 的中点,点G 是MN 的中点,则OG→等于( ) A.16OA →+13OB →+12OC →B.14(OA →+OB →+OC →)C.13(OA →+OB →+OC →)D.16OB →+13OA →+13OC → 【解析】 如图,OG →=12(OM →+ON →) =12OM →+12×12(OB →+OC →) =14OA →+14OB →+14OC → =14(OA →+OB →+OC →). 【答案】 B2.若向量MA→,MB →,MC →的起点M 和终点A ,B ,C 互不重合无三点共线,则能使向量MA →,MB →,MC→成为空间一组基底的关系是( ) A.OM →=13OA →+13OB →+13OC → B.MA→=MB →+MC → C.OM→=OA →+OB →+OC → D.MA →=2MB →-MC → 【答案】 C3.在空间四边形ABCD 中,AB→=a -2c ,CD →=5a -5b +8c ,对角线AC ,BD 的中点分别是E ,F ,则EF→=________. 【解析】 EF →=12(ED →+EB →)=14(AD →+CD →)+14(AB →+CB →)=14AB →+14BD →+14CD →+14AB →+14CD →+14DB →=12(AB →+CD →)=3a -52b +3c . 【答案】 3a -52b +3c4.在直三棱柱ABO -A 1B 1O 1中,∠AOB =π2,AO =4,BO =2,AA 1=4,D 为A 1B 1的中点,在如图3-1-34所示的空间直角坐标系中,求DO →,A 1B →的坐标.图3-1-34【解】 ∵DO →=-OD →=-(OO 1→+O 1D →)=-[OO 1→+12(OA →+OB →)]=-OO 1→-12OA →-12OB →. 又|OO 1→|=|AA 1→|=4,|OA →|=4,|OB →|=2, ∴DO→=(-2,-1,-4). ∵A 1B →=OB →-OA 1→=OB →-(OA →+AA 1→) =OB →-OA →-AA 1→. 又|OB →|=2,|OA →|=4,|AA 1→|=4, ∴A 1B →=(-4,2,-4).。
章末综合测评(三) 空间向量与立体几何(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.与向量a =(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13,1,1 B .(-1,-3,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32,-1 D.()2,-3,-22【解析】 a =(1,-3,2)=-2⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32,-1.【答案】 C2.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,A 1E →=14A 1C 1→,AE →=xAA 1→+y (AB →+AD →),则( )A .x =1,y =12B .x =1,y =13C .x =12,y =1D .x =1,y =14【解析】 AE →=AA 1→+A 1E →=AA 1→+14A 1C 1→=AA 1→+14AC →=AA 1→+14(AB →+AD →),∴x =1,y =14.应选D.【答案】 D3.已知A (2,-4,-1),B (-1,5,1),C (3,-4,1),D (0,0,0),令a =CA →,b =CB →,则a +b 为( )A .(5,-9,2)B .(-5,9,-2)C .(5,9,-2)D .(5,-9,-2) 【解析】 a =CA →=(-1,0,-2),b =CB →=(-4,9,0), ∴a +b =(-5,9,-2). 【答案】 B4.在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中,若AC 1→=aAB →+2bAD →+3cA 1A →,则abc 的值等于( ) 【导学号:18490123】A.16B.56C.76D .-16【解析】 ∵AC 1→=AB →+AD →-AA 1→=aAB →+2bAD →+3cA 1A →,∴a =1,b =12,c =-13.∴abc =-16. 【答案】 D5.在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,下列结论不正确的是( ) A.AB →=-C 1D 1→ B.AB →·BC →=0 C.AA 1→·B 1D 1→=0D.AC 1→·A 1C →=0【解析】 如图,AB →∥C 1D 1→,AB →⊥BC →,AA 1→⊥B 1D 1,故A ,B ,C 选项均正确.【答案】 D6.已知向量a ,b 是平面α内的两个不相等的非零向量,非零向量c 在直线l 上,则“c ·a =0,且c ·b =0”是l ⊥α的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【解析】 若l ⊥α,则l 垂直于α内的所有直线,从而有c ·a =0,c ·b =0.反之,由于a ,b 是否共线没有确定,若共线,则结论不成立;若不共线,则结论成立.【答案】 B7.已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2),B (4,-3,7),C (0,5,1),则BC 边上的中线长为( )A .2B .3C .4D .5【解析】 设BC 的中点为D ,则D (2,1,4), ∴AD →=(-1,-2,2),∴|AD →|=(-1)2+(-2)2+22=3,即BC 边上的中线长为3. 【答案】 B8.若向量a =(x ,4,5),b =(1,-2,2),且a 与b 的夹角的余弦值为26,则x =( ) A .3 B .-3 C .-11D .3或-11【解析】 因为a·b =(x ,4,5)·(1,-2,2)=x -8+10=x +2,且a 与b 的夹角的余弦值为26,所以26=x +2x 2+42+52×1+4+4,解得x =3或-11(舍去),故选A. 【答案】 A9.如图1,在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为( )图1A.63B.255 C.155D.105【解析】 以D 点为坐标原点,以DA ,DC ,DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系(图略),则A (2,0,0),B (2,2,0),C (0,2,0),C 1(0,2,1),∴BC 1→=(-2,0,1),AC →=(-2,2,0),且AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量. ∴cos 〈BC 1→,AC →〉=BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|=45·8=105.∴sin 〈BC →1,AC →〉=|cos 〈BC →1,AC →〉|=105,∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为105. 【答案】 D10.已知正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.13【解析】 以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA 1=2AB =2,则D (0,0,0),C (0,1,0),B (1,1,0),C 1(0,1,2),则DC →=(0,1,0),DB →=(1,1,0),DC 1→=(0,1,2).设平面BDC 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ⊥DB →,n ⊥DC 1→,所以有⎩⎪⎨⎪⎧x +y =0,y +2z =0,令y=-2,得平面BDC 1的一个法向量为n =(2,-2,1).设CD 与平面BDC 1所成的角为θ,则sin θ=|cos 〈n ,DC →〉|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC→|n ||DC →|=23.【答案】 A11.已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,若点F 是侧面CD 1的中心,且AF →=AD →+mAB →-nAA 1→,则m ,n 的值分别为( )A.12,-12 B .-12,-12C .-12,12D.12,12【解析】 由于AF →=AD →+DF →=AD →+12(DC →+DD 1→)=AD →+12AB →+12AA 1→,所以m =12,n =-12,故选A.【答案】 A12.在矩形ABCD 中,AB =3,AD =4,PA ⊥平面ABCD ,PA =435,那么二面角A BD P的大小为( )A .30°B .45°C .60°D .75°【解析】 如图所示,建立空间直角坐标系,则PB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫3,0,-453,BD →=(-3,4,0).设n =(x ,y ,z )为平面PBD 的一个法向量,则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB →=0,n ·BD →=0,得⎩⎪⎨⎪⎧(x ,y ,z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3,0,-453=0,(x ,y ,z )·(-3,4,0)=0. 即⎩⎪⎨⎪⎧3x -453z =0,-3x +4y =0.令x =1,则n =⎝ ⎛⎭⎪⎫1,34,543.又n 1=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,0,453为平面ABCD 的一个法向量, ∴cos 〈n 1,n 〉=n 1·n |n 1||n |=32.∴所求二面角为30°.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上) 13.若a =(2x ,1,3),b =(1,-2y ,9),且a 与b 为共线向量,则x =________,y=________. 【导学号:18490124】【解析】 由题意得2x 1=1-2y =39,∴x =16,y =-32.【答案】 16 -3214.△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0,2),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,12, 2,C (-1,0, 2),则角A 的大小为________.【解析】 AB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,12,0,AC →=(-1,0,0),则cos A =AB →·AC →|AB →||AC →|=321×1=32,故角A 的大小为30°.【答案】 30°15.在空间直角坐标系Oxyz 中,已知A (1,-2,3),B (2,1,-1),若直线AB 交平面xOz 于点C ,则点C 的坐标为________.【解析】 设点C 的坐标为(x ,0,z ),则AC →=(x -1,2,z -3),AB →=(1,3,-4),因为AC →与AB →共线,所以x -11=23=z -3-4,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =53,z =13,所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53,0,13.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫53,0,1316.如图2,在四棱锥S ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的正方形,S 到A ,B ,C ,D 的距离都等于2.图2给出以下结论:①SA →+SB →+SC →+SD →=0;②SA →+SB →-SC →-SD →=0;③SA →-SB →+SC →-SD →=0;④SA →·SB →=SC →·SD →;⑤SA →·SC →=0,其中正确结论的序号是________.【解析】 容易推出:SA →-SB →+SC →-SD →=BA →+DC →=0,所以③正确;又因为底面ABCD 是边长为1的正方形,SA =SB =SC =SD =2,所以SA →·SB →=2×2cos ∠ASB ,SC →·SD →=2×2cos ∠CSD ,而∠ASB =∠CSD ,于是SA →·SB →=SC →·SD →,因此④正确;其余三个都不正确,故正确结论的序号是③④.【答案】 ③④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.如图3,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,PD ∥QA ,QA =AB =12PD .图3(1)证明:平面PQC ⊥平面DCQ ; (2)证明:PC ∥平面BAQ .【证明】 如图,以D 为坐标原点,线段DA 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .(1)依题意有Q (1,1,0),C (0,0,1),P (0,2,0),则DQ →=(1,1,0),DC →=(0,0,1),PQ →=(1,-1,0),所以PQ →·DQ →=0,PQ →·DC →=0,即PQ ⊥DQ ,PQ ⊥DC 且DQ ∩DC =D . 故PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ,所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)根据题意,DA →=(1,0,0),AB →=(0,0,1),AQ →=(0,1,0),故有DA →·AB →=0,DA →·AQ →=0,所以DA →为平面BAQ 的一个法向量.又因为PC →=(0,-2,1),且DA →·PC →=0,即DA ⊥PC ,且PC ⊄平面BAQ ,故有PC ∥平面BAQ .18. (本题满分12分)如图4,在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,∠ABC =90°,AB =BC =1,AA 1=2,求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值.图4【解】 因为BA 1→=BA →+AA 1→ =BA →+BB 1→,AC →=BC →-BA →, 且BA →·BC →=BB 1→·BA → =BB 1→·BC →=0,所以BA 1→·AC →=(BA →+BB 1→)·(BC →-BA →) =BA →·BC →-BA →2+BB 1→·BC →-BB 1→·BA →=-1.又|AC →|=2,|BA 1→|=1+2=3, 所以cos 〈BA 1→,AC →〉=BA 1→·AC →|BA 1→||AC →|=-16=-66,则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66. 19. (本小题满分12分)如图5,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.图5(1)求证:平面PBC ⊥平面PAC ;(2)若AB =2,AC =1,PA =1,求二面角C PB A 的余弦值. 【解】 (1)证明:由AB 是圆的直径,得AC ⊥BC , 由PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,得PA ⊥BC . 又PA ∩AC =A ,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC , 所以BC ⊥平面PAC . 因为BC ⊂平面PBC . 所以平面PBC ⊥平面PAC .(2)过C 作CM ∥AP ,则CM ⊥平面ABC .如图,以点C 为坐标原点,分别以直线CB ,CA ,CM 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.在Rt △ABC 中,因为AB =2,AC =1,所以BC = 3.又因为PA =1,所以A (0,1,0),B (3,0,0),P (0,1,1).故CB →=(3,0,0),CP →=(0,1,1). 设平面BCP 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1), 则⎩⎪⎨⎪⎧CB →·n 1=0,CP →·n 1=0,所以⎩⎨⎧3x 1=0,y 1+z 1=0,不妨令y 1=1,则n 1=(0,1,-1). 因为AP →=(0,0,1),AB →=(3,-1,0), 设平面ABP 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2), 则⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2=0,AB →·n 2=0,所以⎩⎨⎧z 2=0,3x 2-y 2=0,不妨令x 2=1,则n 2=(1, 3,0). 于是cos 〈n 1,n 2〉=322=64. 由图知二面角C PB A 为锐角,故二面角C PB A 的余弦值为64. 20. (本小题满分12分)如图6,在四棱锥P ABCD 中,AD ∥BC ,AB ⊥AD ,AB ⊥PA ,BC =2AB =2AD =4BE ,平面PAB ⊥平面ABCD .图6(1)求证:平面PED ⊥平面PAC; 【导学号:18490125】 (2)若直线PE 与平面PAC 所成的角的正弦值为55,求二面角A PC D 的余弦值. 【解】 (1)∵平面PAB ⊥平面ABCD , 平面PAB ∩平面ABCD =AB ,AB ⊥PA , ∴PA ⊥平面ABCD ,又∵AB ⊥AD ,故可建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示, 不妨设BC =4,AP =λ(λ>0),则有D (0,2,0),E (2,1,0),C (2,4,0),P (0,0,λ),∴AC →=(2,4,0),AP →=(0,0,λ),DE →=(2,-1,0), ∴DE →·AC →=4-4+0=0,DE →·AP →=0,∴DE ⊥AC ,DE ⊥AP 且AC ∩AP =A , ∴DE ⊥平面PAC . 又DE ⊂平面PED , ∴平面PED ⊥平面PAC .(2)由(1)知,平面PAC 的一个法向量是DE →=(2,-1,0),PE →=(2,1,-λ), 设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ,∴sin θ=|cos 〈PE →,DE →〉|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪4-155+λ2=55,解得λ=±2.∵λ>0,∴λ=2,即P (0,0,2),设平面PCD 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),DC →=(2,2,0),DP →=(0,-2,2), 由n ⊥DC →,n ⊥DP →,∴⎩⎪⎨⎪⎧2x +2y =0,-2y +2z =0,不妨令x =1,则n =(1,-1,-1). ∴cos 〈n ,DE →〉=2+13 5=155,显然二面角A PC D 的平面角是锐角, ∴二面角A PC D 的余弦值为155. 21. (本小题满分12分)如图7,四棱锥P ABCD 的底面ABCD 为一直角梯形,其中BA ⊥AD ,CD ⊥AD ,CD =AD =2AB ,PA ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点.图7(1)求证:BE ∥平面PAD ;(2)若BE ⊥平面PCD ,①求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值;②求二面角E BD C 的余弦值.【解】 设AB =a ,PA =b ,建立如图的空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (a ,0,0),P (0,0,b ),C (2a ,2a ,0),D (0,2a ,0),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ,a ,b 2.(1)BE →=⎝⎛⎭⎪⎫0,a ,b 2,AD →=(0,2a ,0),AP →=(0,0,b ),所以BE →=12AD →+12AP →, 因为BE ⊄平面PAD ,所以BE ∥平面PAD .(2)因为BE ⊥平面PCD ,所以BE ⊥PC ,即BE →·PC →=0,PC →=(2a ,2a ,-b ),所以BE →·PC →=2a 2-b 22=0,则b =2a . ①PD →=(0,2a ,-2a ),BC →=(a ,2a ,0),cos 〈PD →,BC →〉=4a 222a ·5a =105,所以异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为105. ②在平面BDE 和平面BDC 中,BE →=(0,a ,a ),BD →=(-a ,2a ,0),BC →=(a ,2a ,0),所以平面BDE 的一个法向量为n 1=(2,1,-1);平面BDC 的一个法向量为n 2=(0,0,1);cos 〈n 1,n 2〉=-16,所以二面角E BD C 的余弦值为66.22.(本小题满分12分)如图8,在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,M ,N 分别是棱AB ,AD ,A 1B 1,A 1D 1的中点,点P ,Q 分别在棱DD 1,BB 1上移动,且DP =BQ =λ(0<λ<2).图8(1)当λ=1时,证明:直线BC 1∥平面EFPQ ;(2)是否存在λ,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.【解】 以D 为原点,射线DA ,DC ,DD 1分别为x 轴,y 轴,z 轴的正半轴建立空间直角坐标系.由已知得B (2,2,0),C 1(0,2,2),E (2,1,0),F (1,0,0),P (0,0,λ),BC 1→=(-2,0,2),FP →=(-1,0,λ),FE →=(1,1,0).(1)当λ=1时,FP →=(-1,0,1),因为BC 1→=(-2,0,2).所以BC 1→=2FP →,可知BC 1∥FP ,而FP ⊂平面EFPQ ,且BC 1⊄平面EFPQ ,故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),由⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n =0,FP →·n =0,得⎩⎪⎨⎪⎧x +y =0,-x +λz =0, 于是可取n =(λ,-λ,1),同理可得平面PQMN 的一个法向量为m =(λ-2,2-λ,1),若存在λ,使得平面EFPQ 与平面PQMN 所在的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±22,故存在λ=1±22,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.。
数学选修2-1 综合测评时间:90分钟 满分:120分一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.与向量a =(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13,1,1 B .(-1,-3,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32,-1 D .(2,-3,-22)解析:向量的共线和平行是一样的,可利用空间向量共线定理写成数乘的形式.即b ≠0,a ∥b ⇔a =λb ,a =(1,-3,2)=-1⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32,-1,故选C. 答案:C2.若命题p :∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,tan x >sin x ,则命题綈p :( ) A .∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,tan x 0≥sin x 0 B .∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,tan x 0>sin x 0 C .∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,tan x 0≤sin x 0 D .∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,+∞,tan x 0>sin x 0 解析:∀x 的否定为∃x 0,>的否定为≤,所以命题綈p 为∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,tan x 0≤sin x 0.答案:C3.设α,β是两个不重合的平面,l ,m 是两条不重合的直线,则α∥β的充分条件是( )A .l ⊂α,m ⊂β且l ∥β,m ∥αB .l ⊂α,m ⊂β且l ∥mC .l ⊥α,m ⊥β且l ∥mD .l ∥α,m ∥β且l ∥m解析:由l ⊥α,l ∥m 得m ⊥α,因为m ⊥β,所以α∥β,故C 选项正确. 答案:C4.以双曲线x 24-y 212=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216+y 212=1B.x 212+y 216=1C.x 216+y 24=1D.x 24+y 216=1解析:由x 24-y 212=1,得y 212-x 24=1.∴双曲线的焦点为(0,4),(0,-4),顶点坐标为(0,23),(0,-23).∴椭圆方程为x 24+y 216=1.答案:D5.已知菱形ABCD 边长为1,∠DAB =60°,将这个菱形沿AC 折成60°的二面角,则B ,D 两点间的距离为( )A.32B.12C.32D.34解析:菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,则AC ′⊥BD ,沿AC 折叠后,有BO ⊥AC ′,DO ⊥AC ,所以∠BOD 为二面角B -AC -D 的平面角,即∠BOD =60°.因为OB =OD =12,所以BD =12.答案:B6.若双曲线x 26-y 23=1的渐近线与圆(x -3)2+y 2=r 2(r >0)相切,则r =( )A. 3 B .2 C .3 D .6解析:双曲线x 26-y 23=1的渐近线方程为y =±22x ,因为双曲线的渐近线与圆(x -3)2+y 2=r 2(r >0)相切,故圆心(3,0)到直线y =±22x 的距离等于圆的半径r ,则r =|2×3±2×0|2+4= 3. 答案:A7.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( ) A.83 B.38 C.43 D.34解析:取DA →,DC →,DD 1→分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,可求得平面AB 1D 1的法向量为n =(2,-2,1).故A 1到平面AB 1D 1的距离为d =|AA 1→·n ||n |=43. 答案:C8.等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ,B 两点,|AB |=43,则C 的实轴长为( )A. 2 B .2 2 C .4 D .8解析:抛物线y 2=16x 的准线方程是x =-4,所以点A (-4,23)在等轴双曲线C :x 2-y 2=a 2(a >0)上,将点A 的坐标代入得a =2,所以C 的实轴长为4.答案:C9.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别为A 1B 1,CC 1的中点,P 为AD 上一动点,记α为异面直线PM 与D 1N 所成的角,则α的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪π6≤α≤π2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ π4≤α≤π2D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ π3≤α≤π2 解析:取C 1D 1的中点E ,PM 必在平面ADEM 内,易证D 1N ⊥平面ADEM .本题也可建立空间直角坐标系用向量求解.答案:A10.已知P 是以F 1,F 2为焦点的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的一点,若PF 1→·PF 2→=0,tan ∠PF 1F 2=12,则此椭圆的离心率为( )A.12B.23C.13D.53解析:由PF 1→·PF 2→=0,得△PF 1F 2为直角三角形,由tan ∠PF 1F 2=12,设|PF 2|=s ,则|PF 1|=2s ,又|PF 2|2+|PF 1|2=4c 2(c =a 2-b 2),即4c 2=5s 2,c =52s ,而|PF 2|+|PF 1|=2a =3s ,∴a =3s 2,∴e =c a =53,故选D.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)11.若命题“∃x ∈R,2x 2-3ax +9<0”为假命题,则实数a 的取值范围是________.解析:原命题的否定形式为∀x ∈R,2x 2-3ax +9≥0,为真命题.即2x 2-3ax +9≥0恒成立,∴只需Δ=(-3a )2-4×2×9≤0,解得-22≤a ≤2 2.答案:[-22,22]12.在平面直角坐标系xOy 中,若定点A (1,2)与动点P (x ,y )满足OP →·OA →=4,则动点P 的轨迹方程是__________.解析:由OP →·OA →=4得x ·1+y ·2=4,因此所求动点P 的轨迹方程为x +2y -4=0.答案:x +2y -4=013.在四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为边长是1的正方形,P A =2,则AB 与PC 的夹角的余弦值为__________.解析:因为AB →·PC →=AB →·(P A →+AC →)=AB →·P A →+AB →·AC →=1×2×cos45°=1,又|AB →|=1,|PC →|=6,∴cos 〈AB →,PC →〉=AB →·PC →|AB →||PC →|=11×6=66. 答案:6614.过双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点作圆x 2+y 2=a 2的两条切线,切点分别为A ,B .若∠AOB =120°(O 是坐标原点),则双曲线C 的离心率为__________.解析:由题意,如图,在Rt △AOF 中,∠AFO =30°,AO =a ,OF =c ,∴sin 30°=OA OF =a c =12.∴e =c a =2.答案:2三、解答题(本大题共4小题,共50分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)已知命题p :不等式|x -1|>m -1的解集为R ,命题q :f (x )=-(5-2m )x 是减函数,若p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,求实数m 的取值范围.解:由于不等式|x -1|>m -1的解集为R ,所以m -1<0,m <1;因为f (x )=-(5-2m )x 是减函数,所以5-2m >1,m <2.即命题p :m <1,命题q :m <2.因为p 或q 为真,p 且q 为假,所以p 和q 中一真一假.当p 真q 假时应有⎩⎨⎧ m <1,m ≥2,m 无解. 当p 假q 真时应有⎩⎨⎧ m ≥1,m <2,1≤m <2.故实数m 的取值范围是1≤m <2.16.(12分)已知椭圆x 2b 2+y 2a 2=1(a >b >0)的离心率为22,且a 2=2b .(1)求椭圆的方程;(2)直线l :x -y +m =0与椭圆交于A ,B 两点,是否存在实数m ,使线段AB 的中点在圆x 2+y 2=5上,若存在,求出m 的值;若不存在,说明理由.解:(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c a =22,a 2=2b ,解得⎩⎨⎧ a =2,c =1,所以b 2=a 2-c 2=1,故椭圆的方程为x 2+y 22=1. (2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),线段AB 的中点为M (x 0,y 0).联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2+y 22=1,x -y +m =0,即3x 2+2mx +m 2-2=0,Δ=(2m )2-4×3×(m 2-2)>0,m 2<3,所以x 0=x 1+x 22=-m 3,y 0=x 0+m =2m 3,即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-m 3,2m 3.又因为M 点在圆x 2+y 2=5上,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫-m 32+⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32=5,解得m =±3与m 2<3矛盾.∴实数m 不存在.17.(13分)已知点P (1,3),圆C :(x -m )2+y 2=92过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-322,点F 为抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,直线PF 与圆相切.(1)求m 的值与抛物线的方程;(2)设点B (2,5),点Q 为抛物线上的一个动点,求BP →·BQ →的取值范围.解:(1)把点A 代入圆C 的方程,得(1-m )2+⎝ ⎛⎭⎪⎫-3222=92,∴m =1. 圆C :(x -1)2+y 2=92. 当直线PF 的斜率不存在时,不合题意.当直线PF 的斜率存在时,设为k ,则PF :y =k (x -1)+3,即kx -y -k +3=0.∵直线PF 与圆C 相切, ∴|k -0-k +3|k 2+1=322. 解得k =1或k =-1.当k =1时,直线PF 与x 轴的交点横坐标为-2,不合题意,舍去. 当k =-1时,直线PF 与x 轴的交点横坐标为4,∴p 2=4.∴抛物线方程为y 2=16x .(2)BP →=(-1,-2),设Q (x ,y ),BQ →=(x -2,y -5),则BP →·BQ →=-(x -2)+(-2)(y -5)=-x -2y +12=-y 216-2y +12=-116(y +16)2+28≤28.∴BP →·BQ →的取值范围为(-∞,28].18.(13分)如图,在四棱锥A -BCDE 中,底面BCDE 为矩形,侧面ABC ⊥底面BCDE ,BC =2,CD =2,AB =AC .(1)证明:AD ⊥CE ;(2)设CE 与平面ABE 所成的角为45°,求二面角C -AD -E 的余弦值.解:①(1)证明:作AO ⊥BC ,垂足为O ,则AO ⊥底面BCDE ,且O 为BC 的中点.以O 为坐标原点,射线OC 为x 轴正方向,建立如图①所示的直角坐标系O -xyz .设A (0,0,t ).由已知条件知C (1,0,0),D (1,2,0),E (-1,2,0),CE →=(-2,2,0),AD →=(1,2,-t ),所以CE →·AD →=0,得AD ⊥CE .(2)作CF ⊥AB ,垂足为F ,连接FE ,如图②所示.②设F (x,0,z ),则CF →=(x -1,0,z ),BE →=(0,2,0),CF →·BE →=0,故CF ⊥BE .又AB ∩BE =B ,所以CF ⊥平面ABE ,故∠CEF 是CE 与平面ABE 所成的角,∠CEF =45°. 由CE =6,得CF = 3.又CB =2,所以∠FBC =60°,所以△ABC 为等边三角形,因此A (0,0,3).作CG ⊥AD ,垂足为G ,连接GE .在Rt △ACD 中,求得|AG |=23|AD |.故G ⎝ ⎛⎭⎪⎫23,223,33,GC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫13,-223,-33, GE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-53,23,-33. 又AD →=(1,2,-3),GC →·AD →=0,GE →·AD →=0,所以GC →与GE →的夹角等于二面角C -AD -E 的平面角.故二面角C -AD -E 的余弦值cos 〈GC →,GE →〉=GC →·GE →|GC →||GE →|=-1010.。
学业分层测评(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.对于空间中任意三个向量a ,b ,2a -b ,它们一定是( ) A .共面向量 B .共线向量C .不共面向量D .既不共线也不共面向量【解析】 由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A2.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD →=7a -2b ,则一定共线的三点是( )A .A ,B ,D B .A ,B ,C C .B ,C ,DD .A ,C ,D【解析】 BD→=BC →+CD →=-5a +6b +7a -2b =2a +4b ,BA →=-AB→=-a -2b ,∴BD →=-2BA →, ∴BD→与BA →共线, 又它们经过同一点B , ∴A ,B ,D 三点共线. 【答案】 A3.A ,B ,C 不共线,对空间任意一点O ,若OP →=34OA →+18OB →+18OC→,则P ,A ,B ,C 四点( ) A .不共面B .共面C .不一定共面D .无法判断【解析】 ∵34+18+18=1, ∴点P ,A ,B ,C 四点共面. 【答案】 B4.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,用向量AB →,AD →,AA 1→表示向量BD 1→的结果为( )图3-1-11A.BD 1→=AB →-AD →+AA 1→B.BD 1→=AD →+AA 1→-AB →C.BD 1→=AB →+AD →-AA 1→D.BD 1→=AB →+AD →+AA 1→ 【解析】 BD 1→=BA →+AA 1→+A 1D 1→=-AB →+AA 1→+AD →.故选B. 【答案】 B5.如图3-1-12,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G ,H ,P ,Q 分别是A 1A ,AB ,BC ,CC 1,C 1D 1,D 1A 1的中点,则( )图3-1-12A.EF→+GH →+PQ →=0B.EF→-GH →-PQ →=0 C.EF→+GH →-PQ →=0 D.EF→-GH →+PQ →=0 【解析】 由题图观察,EF →、GH →、PQ →平移后可以首尾相接,故有EF→+GH →+PQ →=0. 【答案】 A 二、填空题6.已知两非零向量e 1,e 2,且e 1与e 2不共线,若a =λe 1+μe 2(λ,μ∈R ,且λ2+μ2≠0),则下列三个结论有可能正确的是________.(填序号)①a 与e 1共线;②a 与e 2共线;③a 与e 1,e 2共面.【解析】 当λ=0时,a =μe 2,故a 与e 2共线,同理当μ=0时,a 与e 1共线,由a =λe 1+μe 2知,a 与e 1,e 2共面.【答案】 ①②③7.已知O 为空间任意一点,A ,B ,C ,D 四点满足任意三点不共线,但四点共面,且OA →=2xBO →+3yCO →+4zDO →,则2x +3y +4z 的值为________.【解析】 由题意知A ,B ,C ,D 共面的充要条件是对空间任意一点O ,存在实数x 1,y 1,z 1,使得OA →=x 1OB →+y 1OC →+z 1OD →,且x 1+y 1+z 1=1,因此2x +3y +4z =-1.【答案】 -18.设e 1,e 2是空间两个不共线的向量,已知AB →=2e 1+k e 2,CB →=e 1+3e 2,CD →=2e 1-e 2,且A ,B ,D 三点共线,则k =________. 【导学号:18490085】【解析】 由已知可得:BD →=CD →-CB →=(2e 1-e 2)-(e 1+3e 2)=e 1-4e 2,∵A ,B ,D 三点共线,∴AB→与BD →共线,即存在λ∈R 使得AB →=λBD →. ∴2e 1+k e 2=λ(e 1-4e 2)=λe 1-4λe 2, ∵e 1,e 2不共线,∴⎩⎪⎨⎪⎧λ=2,k =-4λ,解得k =-8. 【答案】 -8 三、解答题9.已知四边形ABCD 为正方形,P 是四边形ABCD 所在平面外一点,P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ,Q 是CD 的中点.求下列各式中x ,y 的值.(1)OQ →=PQ →+xPC →+yP A →; (2)P A →=xPO →+yPQ →+PD →. 【解】 如图所示,(1)∵OQ→=PQ →-PO → =PQ →-12(P A →+PC →)=PQ →-12P A →-12PC →, ∴x =y =-12. (2)∵P A →+PC →=2PO →, ∴P A →=2PO →-PC →. 又∵PC→+PD →=2PQ →, ∴PC→=2PQ →-PD →. 从而有P A →=2PO →-(2PQ →-PD →) =2PO→-2PQ →+PD →. ∴x =2,y =-2.10.如图3-1-13,四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形,且不共面,M ,N 分别是AC ,BF 的中点,判断CE→与MN →是否共线.图3-1-13【解】 ∵M ,N 分别是AC ,BF 的中点, 又四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形, ∴MN →=MA →+AF →+FN →=12CA →+AF →+12FB →. 又∵MN →=MC →+CE →+EB →+BN →=-12CA →+CE →-AF →-12FB →, ∴12CA →+AF →+12FB →=-12CA →+CE →-AF →-12FB →.∴CE→=CA →+2AF →+FB →=2(MA →+AF →+FN →), ∴CE→=2MN →,∴CE →∥MN →,即CE →与MN →共线. [能力提升]1.若P ,A ,B ,C 为空间四点,且有P A →=αPB →+βPC →,则α+β=1是A ,B ,C 三点共线的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【解析】 若α+β=1,则P A →-PB →=β(PC →-PB →),即BA →=βBC →,显然A ,B ,C 三点共线;若A ,B ,C 三点共线,则有AB→=λBC →,故PB →-P A →=λ(PC →-PB →),整理得P A →=(1+λ)PB →-λPC →,令α=1+λ,β=-λ,则α+β=1,故选C.【答案】 C2.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P ,M 为空间任意两点,如果有PM →=PB 1→+7BA →+6AA 1→-4A 1D 1→,那么M 必( )A .在平面BAD 1内B .在平面BA 1D 内C .在平面BA 1D 1内D .在平面AB 1C 1内【解析】 由于PM →=PB 1→+7BA →+6AA 1→-4A 1D 1→=PB 1→+BA →+6BA 1→-4A 1D 1→=PB 1→+B 1A 1→+6BA 1→-4A 1D 1→=P A 1→+6(P A 1→-PB →)-4(PD 1→-P A 1→)=11P A 1→-6PB →-4PD 1→,于是M ,B ,A 1,D 1四点共面,故选C. 【答案】 C3.已知两非零向量e 1,e 2,且e 1与e 2不共线,若a =λe 1+μ e 2(λ,μ∈R ,且λ2+μ2≠0),则下列三个结论有可能正确的是________. 【导学号:18490086】①a 与e 1共线;②a 与e 2共线;③a 与e 1,e 2共面.【解析】 当λ=0时,a =μ e 2,故a 与e 2共线,同理当μ=0时,a 与e 1共线,由a =λe 1+μ e 2,知a 与e 1,e 2共面.【答案】 ①②③4.如图3-1-14所示,M ,N 分别是空间四边形ABCD 的棱AB ,CD 的中点.试判断向量MN→与向量AD →,BC →是否共面.图3-1-14【解】 由题图可得:MN →=MA →+AD →+DN →, ① ∵MN→=MB →+BC →+CN →,②又MA→=-MB →,DN →=-CN →, 所以①+②得:2MN→=AD →+BC →, 即MN →=12AD →+12BC →,故向量MN →与向量AD →,BC →共面.。
学业分层测评
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.l 1的方向向量为v 1=(1,2,3),l 2的方向向量v 2=(λ,4,6),若l 1∥l 2,则λ=( )
A .1
B .2
C .3
D .4 【解析】 ∵l 1∥l 2,∴v 1∥v 2,则1
λ=2
4,∴λ=2.
【答案】 B
2.若AB →=λCD →+μCE →,则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )
A .相交
B .平行
C .在平面内
D .平行或在平面内
【解析】 ∵AB
→=λCD →+μCE →,∴AB →,CD →,CE →共面,则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内.
【答案】 D
3.已知平面α内有一个点A (2,-1,2),α的一个法向量为n =(3,1,2),则下列点P 中,在平面α内的是( )
A .(1,-1,1) B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫1,3,32 C.⎝
⎛
⎭
⎪⎫1,-3,32
D.⎝
⎛
⎭
⎪⎫-1,3,-32
【解析】 对于B ,AP →=⎝
⎛⎭
⎪⎫-1,4,-12,
则n ·AP →=(3,1,2)·⎝
⎛⎭
⎪⎫-1,4,-12
=0, ∴n ⊥AP →,则点P ⎝
⎛⎭
⎪⎫1,3,32在平面α内.
【答案】 B
4.已知直线l 的方向向量是a =(3,2,1),平面α的法向量是u =(-1,2,-1),则l 与α的位置关系是( )
A .l ⊥α
B .l ∥α
C .l 与α相交但不垂直
D .l ∥α或l ⊂α
【解析】 因为a ·u =-3+4-1=0,所以a ⊥u .所以l ∥α或l ⊂α.
【答案】 D
5.若u =(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A .(0,-3,1)
B .(2,0,1)
C .(-2,-3,1)
D .(-2,3,-1)
【解析】 同一个平面的法向量平行,故选D. 【答案】 D 二、填空题
6.若平面α,β的法向量分别为(-1,2,4),(x ,-1,-2),并且α⊥β,则x 的值为________.
【解析】 因为α⊥β,那么它们的法向量也互相垂直,则有-x
-2-8=0,所以x =-10.
【答案】 -10
7.若a =(2x ,1,3),b =(1,-2y ,9),且a 与b 为共线向量,则x =________,y =________.
【解析】 由题意得2x 1=1-2y =39,∴x =16,y =-3
2.
【答案】 16 -3
2
8.已知A (4,1,3),B (2,3,1),C (3,7,-5),点P (x ,-1,3)在平面ABC 内,则x =________.
【解析】 AB
→=(-2,2,-2),AC →=(-1,6,-8), AP
→=(x -4,-2,0),由题意知A ,B ,C ,P 四点共面, ∴AP
→=λAB →+μAC →=(-2λ,2λ,-2λ)+(-μ,6μ,-8μ)=(-2λ-μ,2λ+6μ,-2λ-8μ).
∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ+6μ=-2,-2λ-8μ=0,∴⎩
⎪⎨⎪⎧λ=-4,
μ=1, 而x -4=-2λ-μ,∴x =11. 【答案】 11 三、解答题
9.已知O ,A ,B ,C ,D ,E ,F ,G ,H 为空间的9个点(如图3-2-6所示),并且OE
→=kOA →,OF →=kOB →,OH →=kOD →,AC →=AD →+mAB →,EG →=EH
→+mEF →.求证: 【导学号:18490106】
图3-2-6
(1)A ,B ,C ,D 四点共面,E ,F ,G ,H 四点共面; (2)AC →∥EG →; (3)OG
→=kOC →. 【解】 (1)由AC
→=AD →+mAB →,EG →=EH →+mEF →,知A ,B ,C ,D 四点共面,E ,F ,G ,H 四点共面.
(2)∵EG
→=EH →+mEF →=OH →-OE →+m (OF →-OE →) =k (OD
→-OA →)+km (OB →-OA →)=kAD →+kmAB → =k (AD →+mAB →)=kAC →, ∴AC
→∥EG →. (3)由(2)知OG →=EG →-EO →=kAC →-kAO → =k (AC →-AO →)=kOC →. ∴OG
→=kOC →. 10.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1,DC 的中点,求证:AE →是平面A 1D 1
F 的法向量. 【证明】 设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (1,0,0),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,1,12,D 1(0,0,1),F ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0,12,0,A 1(1,0,
1),AE →=⎝
⎛⎭
⎪⎫0,1,12,
D 1F →=⎝
⎛⎭
⎪⎫0,12,-1,A 1D 1→=(-1,0,0).
∵AE →·D 1F →=⎝
⎛⎭
⎪⎫0,1,12·⎝
⎛⎭
⎪⎫0,12,-1
=12-1
2=0, 又AE →·A 1D 1→=0, ∴AE →⊥D 1F →,AE →⊥A 1D 1→. 又A 1D 1∩D 1F =D 1, ∴AE ⊥平面A 1D 1F , ∴AE →是平面A 1D 1
F 的法向量. [能力提升]
1.已知平面α的一个法向量是(2,-1,1),α∥β,则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )
A .(4,2,-2)
B .(2,0,4)
C .(2,-1,-5)
D .(4,-2,2)
【解析】 ∵α∥β,∴β的法向量与α的法向量平行,又∵(4,-2,2)=2(2,-1,1),解得应选D.
【答案】 D
2.已知直线l 过点P (1,0,-1),平行于向量a =(2,1,1),平面α过直线l 与点M (1,2,3),则平面α的法向量不可能...
是( )
A .(1,-4,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1
4,-1,12 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫-1
4,1,-12 D .(0,-1,1)
【解析】 因为PM
→=(0,2,4),直线l 平行于向量a ,若n 是平面α的法向量,则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧n·
a =0,n ·
PM →=0,把选项代入验证,只有选
项D 不满足,故选D.
【答案】 D
3.若A ⎝
⎛⎭
⎪⎫0,2,198,B ⎝
⎛⎭
⎪⎫1,-1,58,C ⎝
⎛
⎭
⎪⎫-2,1,58是平面α内的
三点,设平面α的法向量a =(x ,y ,z ),则x ∶y ∶z =________.
【解析】 因为AB →=⎝
⎛⎭
⎪⎫1,-3,-74,
AC →=⎝
⎛⎭
⎪⎫-2,-1,-74,
又因为a ·AB →=0,a ·AC →=0, 所以⎩⎪⎨⎪⎧x -3y -74z =0,
-2x -y -7
4z =0,
解得⎩⎪⎨⎪⎧x =23y ,z =-4
3y .
所以x ∶y ∶z =2
3y ∶y ∶⎝ ⎛⎭
⎪⎫-43y =2∶3∶(-4).
【答案】 2∶3∶(-4)
4.如图3-2-7,四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,PB 与底面
所成的角为45°,底面ABCD 为直角梯形,∠ABC =∠BAD =90°,P A =BC =1
2AD =1.问:在棱PD 上是否存在一点E ,使得CE ∥平面P AB ?若存在,求出E 点的位置;若不存在,请说明理由. 【导学号:18490107】
图3-2-7
【解】 分别以AB ,AD ,AP 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,如图,则P (0,0,1),C (1,1,0),D (0,2,0), 设E (0,y ,z ),则
PE
→=(0,y ,z -1), PD
→=(0,2,-1), ∵PE
→∥PD →,∴y (-1)-2(z -1)=0, ①
∵AD
→=(0,2,0)是平面P AB 的法向量, CE
→=(-1,y -1,z ), ∴由CE ∥平面P AB, 可得CE
→⊥AD →, ∴(-1,y -1,z )·(0,2,0)=2(y -1)=0, ∴y =1,代入①式得z =1
2.∴E 是PD 的中点, 即存在点E 为PD 中点时,CE ∥平面P AB .。