·34 ·于是32279a c ab +−≤取2,0,2a b c λ====, 则32()2f x x x =++,有实根1,−1,0+,显然,满足题设条件,且332279a c ab λ+−=所以332279a c ab λ+−. 三、在世界杯足球赛前,F 国教练为了考察1234567,,,,,,A A A A A A A 这七名队员,准备让他们在三场训练比赛(每场90分钟)都上场.假设在比赛的任何时刻,这些队员中有且仅有一人在场上,并且1234,,,A A A A 每人上场的总时间(以分种为单位)均被7整除,567,,A A A 每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除.如果每场换人次数不限,那么按每名队员上场的总时间计算,共有多少种不同的情况.解 设第i 名队员上场的时间为i x 分钟(i = 1,2,i x 7)⋅⋅⋅,问题即为求不定方程127270x x x +++=L , ① 在条件7|i x (1,2,3,4)i =且13|j x (5,6,7)j =下的正整数解的组数,若127(,,,)x x x L 是满足条件①的一组正整数解,则应有12347x x x x m +++=,56713x x x n ++=,,m n N ∈.于是,m n 即是不等方程713270m n += ② 在条件4,3m n ≥≥,下的一组正整数解.由②得27013463877n n m n −−==−+. 易观察到33,3m n ==是不定方程②在条件4,3m n ≥≥下的一组正整数解.进而20,10m n ==;7,17m n ==也是②满足条件的正整数解,并且仅有上述三组解,⑴当33,3m n ==时,显然567x x x === 13,仅有一种可能. 又设7i i x y =(1,2,3,4)i =,于是由不定方程123433y y y y +++=,有413331324960C C −−==组正整数解, 此时①有满足条件的3324960C =组正整数解. ⑵当20,10m n ==时,设7i i x y =(1,2,i = 3,4),13j j x y =(5,6,7)j = 1234y y y y +++=20,有319C 组正整数解; 56710y y y ++=,有29C 组正整数解. 此时①有满足条件的32199C C ⋅=34884组正整数解. ⑶当7,17m n ==时,设7i i x y =(1,2,3,i = 4),13j j x y =(5,6,7)j =. 12347y y y y +++=,有36C 组正整数解; 56717y y y ++=,有216C 组正整数解; 此时①有满足条件的326162400C C ⋅=组正整数解, 综上,①满足条件的正整数解的组数为 3323232199616C C C C C +⋅+⋅ 496034884240042244=++=. (本刊资料室) 数学竞赛问题(5) 广州大学理学院数学系 吴伟朝 89. 设11a =,123(6)n n n a a n +=++(1,n = 2,3,)L . ⑴ 求通项公式n a ; ⑵ 求出所有的n ,使得n a 能被110整除; ⑶ 问:此数列中是否有无限多个项n a ,能被2002整除？如果有,请找出无限多个n ,使之满足要求,即2002整除n a . 90. 设n 和m 为正整数,求和: 212()n i i S m i ==−∑. (答案写成关于n 和m 的最简式子)·35 ·91. 求出所有的正整数n ,使得202n +能整除20032002n +.注:本题是本人为2002年首届女子数学奥林匹克(简称CGMO)所命的第1题.92. 试求出所有的函数:f R R →,使得对于任何的,x y R ∈,都有(()())2()f x f x xf y x xf y ++=+.93. 试求出所有的函数:f R R →,使得对于任何的,x y R ∈,都有(()(())())3()f x f x f f x xf y x xf y +++=+.94. 设R 是实数集,试求出所有的函数:f R R →,使得对于任何的实数x 和y ,都有22()()()f x y xf x yf y −=−.注:本题是本人为2002年美国数学奥林匹克(USAMO)所命的第4题,于2001年9月25日在美国东部提出并解答,赛后USAMO 委员会认为本题是好题.95. 给定一个正整数2n ≥,试求解下列各个问题:(a ) 试求出所有的函数:f R R →,使得对于任何的,x y R ∈,都有11()()()n n n n f x y x f x y f y −−−=−;(b ) 试求出所有的函数:f R R →,使得对于任何的,x y R ∈,都有11()()()n n n n f x y x f x yf y −−−=−.注:(a )和(b )都是上面的2002-USAMO -4(即第94题)的推广.96. 求下列方程组的所有实数解:22224936,4.x y x y +−= +−= 97. 给定一个正整数k ,设,a b 是两个正整数()a b ≤,使得ab a b ++能整除22a b k ++⑴ 求证:必有221a b k k ab a b++=+++; ⑵ 确定(求出)所有这样的a 和b .98. 试求出所有的函数:f R R →,使得对于任何的,x y R ∈,都有22(()())f xf x yf y x y −=−.99. 试求出所有的正整数n ,使得21n +能整除20022003n +.100. 求出所有的实数k ,使得关于x 的方程22(2002)0x k x k ++−=的两个根皆为整数. 101. 求出方程 22234004()(2002)0x y xy x y +++++=的所有整数解(,)x y . 102. 设a 是一个实参数,使得下列方程组: sin cos 1,cos sin ,x y x y a += += 总有实数解(,)x y ,试求出的a 取值范围. 103. 设a 是一个实参数,使得下列方程组:sin cos 1,cos sin ,8x y x y a += −= 总有实数解(,)x y ,试求出a 的取值范围. 104. 给定一个正整数k ,求证:存在无限多组正整数对(,)a b ()a b ≤,使得ab 能整除2()a b k ++. 105. 是否存在函数:f N N →,使得对于每一个n N ∈,都有()2()()(1)f n f f n n ⋅=+并说明理由. 106. 给定一个正数k ,在△ABC 中,角,,A B C 的对边长度分别是,,a b c ,且()k c a −等于AC 边上的高h ,试求 sin cos 22C A C A f −+=+ 的取值范围. 107. 试求出所有的函数:f R R →,使得对于任何的,x y R ∈,都有 ()(())3()(())m n m f x y f y y f y f x ++=−++ (,m n 是给定的正整数,()()n f y 表示()f y 的n 次迭代) 108. 给定一个常数0k ≠,试求出所有的函数:f R R →,使得对于任何的,x y R ∈,都有()()()()()f kf x xf y f kx xf y +=+. 109. 设I 是ABC ∆的内心,直线CI 和BI 分别交对边AB 和AC 于点P 和Q ,求证: IP IQ =的充分必要条件是060BAC ∠=或AB AC =.110. 已知304x π<<,求证:sin()4x π+.111. 试求出所有的整数n ,使得22002n +能整除52002n +.112. 试求出所有的函数:f R R →,使得对于任何的,x y R ∈,都有21(()())1(()())2f f x xf y f x xf y +=−+.113. 试求出所有的函数:f R R →,使得对于任何的,x y R ∈,都有()()223()()2()f x f y f y y f x +=++.114. 试求出所有的函数:f R R →,使得对于任何的,x y R ∈,都有22(2())2()(())f x y f y y f y f x ++=++. 115、试求出所有的函数:f R R →,使得对于任何的,x y R ∈,都有()2()()()f x y f y xf x f y ++=−116. 试求出所有的函数:f R R →,使得对于任何的,x y R ∈,都有()()()()f f x xf y x f xy +=+. 117. 试求出所有的函数:f R R →,使得对于任何的,x y R ∈,都有()22()(1)()()f xf y y f xy x y f y =−+118. 试求出所有的严格单调函数:f R R →,使得对于任何的,x y R ∈,都有(()())()().f x f y xf y y f x yf x ++=++注:本题是对第35届(1994)IMO 的第5题的改进和推广.119. 试求出所有的正整数a 和b ()a b ≤, 使得(1)(1)a b ++能整除221a b ++.120. 确定所有的正整数对(,)a b ,使得a 整除21b +,且b 整除22a +.121. 试求出所有的函数:f R R →,使得对于任何的,x y R ∈,都有22()()()f x y xf x yf y +=+.122. 给定两个正数S 和1a ,定义 1n a += 11()nsn a a ++(1,2,3,)n =⋅⋅⋅,试求极限lim n x a →+∞.123. 给定一个正整数3n ≥和n 个正实数12n a a a <<⋅⋅⋅<.设n 个实变量12,,,x x ⋅⋅⋅n x .同时满足下列三个条件:(i)10x ≥; (ii)1122n n a x a x a x +≤+≤⋅⋅⋅≤+; (iii) 11221n n a x a x a x ++⋅⋅⋅+=.试求函数1212(,,,)n n f x x x x x x ⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+的最大值和最小值.124. 在△ABC 中,AB AC ≠,P 是AB 边或其延长线上的一点,且2AP AB AC ⋅=,设Q 是射线PC 上的一个点,直线BQ 与△APQ 的外接圆相交于另外一点D ,试确定所有这样的点Q 的位置,使得有2DQ DB DC ⋅=.注:本题于1999年5月18日为2000年第41届IMO 提出并解答,另外,第123题也是为IMO 提出并解答的.编 辑：《福 建 中 学 数 学》编 辑 部（福建师大数学系 350007 fjzxsx@ ） （月刊） 印 刷：福 建 师 范 大 学 印 刷 厂 2002 年第12期 发 行：福 州 市 邮 政 局（总第132期） 订 购：全 国 各 地 邮 局 （所）邮发代号34－9 二O O 二年十二月二十日出版 国内统一刊号：CN35－1084/O1 定价:2.00元 福 建 中 学 数 学ÿÿÿ234567ÿ89 ÿÿ ÿÿÿ ÿÿÿ ! "#$% &'()*+, '-##. /012345 6#7 89ÿ:;::;; -6--66<$=>ÿ?@A B C ÿ 9 ÿ&'()*+, '-##. /01D E F 6#7 89 :;::;;-6--66<$G ?@A B C ÿH ÿ IJKL (M N O P Q R (JK S T 5E U V W RL X IJ 5Y Z W 2U [ V W R I X LK 5Y Z W 2U \ V W \[X KJ 5Y Z W 2U ]C ^_:`;RK R]a a $b c d RK 5Z e C ÿf ÿ ! "#$%gh E Fijkl 5,m ' ##.n h *+E F , '-##. /012D E F 6#7 89:;::;;:;-6--6m 6<$C c go , mpqrst 5E Fu rvw C ÿx ÿy z F u r v w {|}h ~ , P : E ;C ÿÿ&'()*+, '-##. /01D E F 6#7 89ÿ :;::;; >-6--66<$<=?@A B C ÿx ÿy 5 C ÿÿ&'P:;:;=$= ()9 >?@A B C ÿÿ IJ ( : ;5V ÿIJKL ( 5 S Q |K¡L V ¢£U ¤ ¥¦§¨V ¢©¢Q KJR ªLI[ «R¬[®¯C d °'R[±²2KLC ÿx ÿ 2 `` ³´µ !¶ ·¸¹º»o ¼ ½5C ÿÿ , 'm \\.(E F g h 5M ¾5E E 1p c d ¿95, '-\\. /012345 \7 89ÿ::;;::;;- - -m $ C ÿÿ+ÀIJK Á IJK IKJ Â$Â$à Rª[ Q ÄU` RKI [JK RIK Â$Â$ÅÂÿÿ `[KJ $Â$ÅC Æh /JR J[$ÇÈ5É u r v w C :y Ê2Ã5ËÌv w ÍÎ;C ÿx ÿ 2 `` ³ µÏ Áз¸¹ÑÍÒo ÐÓ5ÔÕÖ¦º»o ¼ ½5C ÿ× ÿÆh ¿95, '-\\. /012345 \7 89ÿ:;::; ;:;:;- - - - - $ C ÿx ÿ 2 ```³ ·¸¹º»o ¼ ½5 Ø Ùy 2: `` ³´µ;Áз¸¹ÑÍÒ5ÔÕÚc C ÿÿ ! "#$% 123E , '-##. h Ûܯ :; : ; : ; -#--$ÿ: ; :!; "--%C Æh ()*+E F i j k l 5, '-##. ÝÞs t ßÄF v w 'ÿ: ;ÿ12D E F 6#7 89ÿ:: ;;:: ;;::;;:;-6-6-6-#=== 7àÿ: ;ÿ: ;áâã :;6-6ä-6.=å=$b :ä æ ;C ÿx ÿ 2 `` ³ µ ·¸¹º»o ¼ ½5 çe è :?éê äb ;C ÿ9 ÿc d o ¿95, '-\\./012345 \7 89ÿ: :; :;;-- - =:;:; - - $===C ÿ H ÿc d o ¿95, '-\\. /012345 \7 89ÿ: :;;:;:;C - - - - =$===ÿ f ÿ+ÀIJK Á IJ IK $ R Q EU RKJ RIK JRI JIK Â$Â$ëÂ$Â$ìC ^ `RJK Â$Å Æh ëì5e C ÿ ÿ IJKLíî(O ïS Q ðª# (1¢W JîªñW JL T 5U :òóW ô5ÄõU ; « I ð#©U öW ^ð#Ið ÿIJ $ Æh U #5¿9{÷5N øC ÿx ÿ 2 `` ³ùµ ¶ ·¸¹»o ¼ ½5 ú9ûü¯ý4úþ ûÑ úþÿû©¢úþ§C ÿ× 068(O C d °ÿ=%( C ÿ1 1ÿÿÿ× ÿ ! "#$% 23 ÍÎ 2 5Ë C ÿ: ;ÿ&'()*+, '-##. /01D E F 6#7 89::;;3:;>--6-6$<ÿ4 *+ ?d o ¿9z 55-C ÿ: ;ÿ&'()*+, '-##. /012D E F 6#7 89::;;3;--6-$ÿ6>64 *+ ?d o ¿9z 55-C ÿ: ;ÿ&'()*+, '-##. /01D E F 6#7 89::;;;3>--66-$<4 *+ ?d o ¿9z 55-C ÿ × +ÀIJK Á 7`IKJ ÅÂ$ IK JK $ V W 89£U I 9ÀIJK 5 C JK 5ÁU ¦KR 8 \8 :R \ t ;C ^ \RI $ c d _ \KR 5 C ÿx ÿ 2 `` ³7µ ¶»o ¼ ½ 9ûý4úþÿû úþÄ úC ÿ × ÿ+ÀIJK Á ÿ IKJ IK Â$Å$ÿ¦KíIJ 2Uí Jí$ d JK5Z e C ÿ×× ÿc d o ¿95 /0Ê2 5E P !!` ===$5ÄF C ÿ× ÿ ( I \ $7=ÿ `"= ÿ!`"J \ $7 C ]$ÿ \I 7 "J $ d ]C ÿx ÿ 2 `` ³ `µ ¶ û `` ³: ; !Á "#$%&ª '÷()*:+,;þ¿-.5 c :/,;C ÿ×9 ÿ&', :;0â1 :;- \$ 7((23, G 45G ÿ×H 9E N Ý éê6$Á!( 5Ä7 8Ø9:)÷<Ç =: = 9 ; Á (´ÿ5Ä7 c &'ÿ: ;ÿ9y >?E @A 5: P B G ÿ: ;ÿ95:)O ÆC G ?@A B C ÿ: ;ÿD ÷E z w F Á0o 45G H I J K G ÿx ÿ ( û `` ³ !Á "#$%&ª '÷()*L ÎM N :O ,;þ¿-.5 P (c C ÿ×f ÿQ R ÀIJK s t §B ÿS T U S T U S T 0:_ ;äJ =I K $<Â=< ÿc Æh V ©¢Q 5Q W C ÿx ÿ (+ 77 ³ X Y Z [Á +,¿-.5 c c C ÿ× ÿ IJKL (M N O P Q R (JK S T 5E U V W RL X IJ 5Y Z W 2U [ ^R[\ c d RL 5Z e C :?r y E P d ]B ;C ÿÿ: ; ( s t v w =ÿ=\ c d ,- $==5 ^:_ `a ;C ÿ: ; :!;6 6 %( s t v w 6 6====$% ÿc d ,- $ÿ 6 ====%5 ^:_ `a ;ÿ ÿ+ÀIJK Á 7`K Â$Å L (JK ST E U ! ILK Â$Å ¦IJ 2U í «' `' IíJí$C ^Lí c d K Â5± W Kî5Z e C ÿx ÿ ( ¸¹P ¤b c "Úc ¿-.5d "Úc e 9Ä úC ÿ ÿd °'=u ( Cÿ ÿ&'()*+E F O 6 /0 F 6666===5Ëf ]7 ( 7```>ÿ@A B C ÿ× ÿc d o ¿95 a /0Ê2 5 P ! :!; a a = ==\`9~ÄF g §5 C ÿÿ IJKL (M N O P Q R (JK S T 5E U V W RL X IJ 5Y Z W 2U [ ^ RL JR JR J[ $< c d KLR Â5e :½h r y i ©¢, B ÍÎ;C ÿx ÿ ( ¸¹P ¤b c "Úc ¿-.5d "Úc e 9ûý4úþ û©¢úþÿûÑ úþ© úC ÿ9 ÿ&'()*+E F E j k B :;R ÿ/01D E F \7 89:;R =ÿ1 !1ÿÿÿ``: ;: ;> R $==?°A D 5 l C ÿx ÿ ( ¸¹P ¤b c "Úc ¿-.5d "Úc C ÿH ÿd P mùn =$o p $o q 5¿9 C ÿf ÿÚr s Ê2 5P m 'ÿÿ: ;ÿd o P m 5¿9O àÿ: ;ÿd o P m 5¿9 C ÿ ÿd o ¿95 1: ; /0ÿ 0â1S T 0 === ÿ0â1S T 0 _ ` =$C ÿx ÿ ( t "-.5u / b c v Úc C ÿ9 ÿ: ;ÿ §BCÿ: ;ÿ PC ÿx ÿ ;( t "-.5u / b c v Úc C ÿ 9 ÿ 0w (ÄF g h 5O d °'*+ x j m ¤y : ; äz /0ÝÞ{¯ß F v w 'ÿ: ;` äb b àÿ: ;ÿ ¬ä|}àÿ: ; {|É ~ : 3g `ðb *+ / ðb ;àÿ:!; 90F O 6 9 'w 6=÷ ä6z =C ÿx ÿ (1Ós :!;Á5û ùù þ5 ª: C ÿ 9 ÿg h E F O a c d o ¿95O 1: ;:; = = /0 = ===÷=a = Cÿ 9 ÿÆh ¿95O 1: ;:; = =/0 = ===÷ == ÿ9× ! ` ´ $$$$$«ÿ ù´ : ;66666 6====$= $% ÿ ÿ ` 666J J J J J J ===$$$$=«ÿ : ;6J 6=$% d °'ÿ! 666666 J J J ===== =$= ÿ C : ;66666 J J 6===== $=$%ÿx ÿ 2 `` ³ µ!¶ ·¸¹º»o ¼ ½5C ÿ9 :666 6==$$$ \ÿ ;%ÿ ! 7 : 666 6==$$$ $ÿ ;%C d °' %%¬g X : X Ü Ü ;C ÿ99 (E F /0 ßP m 'ÿ0â1S T 0 0â1S T 0 0â1S T 0 =$n o =$p o =$q 9 : ; c d o 5_ `a C ÿ9H ÿg h E F O !6 (E F /0 ßP m 'ÿ0â1S T 00â1S T 0 =$=$%ÿ0â1S T 0 0â1S T 0666 $=$=$ 9 : 66 %;c d o 5_ `a C ÿ9f ÿ ! "#$%C ÿ: ;ÿ&'()*+, '-##. /012345 6#7 89ÿ::;;:;: ;6--6-66$== C ÿ ÿ:; ::;;-66--6= ÿÿÿÿÿÿ$q :; 6-666n p ==ÿÿÿÿÿÿq Þ q Þ ÿ4 *+ ?d o ¿9z 55-C ÿ: ;ÿ&'()*+, '-##. /012345 6#7 89ÿ: ;::;;:;6--6-66 = $== ÿ:; ::;;-66--6= ÿÿÿÿ$q :; 6-666n p =ÿÿÿÿÿÿÿÿÿqÞ q Þ ÿ4 *+ ?d o ¿9z 55-C ÿ1 1ÿÿÿ9 c d o ¿95O 1: ; = /0 = = ==÷ ==C ÿx ÿ 2 `` ³ ·¸¹º»o ¼ ½5C ÿH ÿ: ;Æh ¿95 9 j k 5ß6 % % /012345ÄF Ý5O ÿ E h ÷ =àÿ: ;ÿÆh ¿95 9 j k 5ß 6 % % /012345ÄF |}5O ÿ E h ÷ =àÿ: ;ÿÆh ¿95 9 j k 5 ß 6 % % /012345s t v w ' `` 5ÄF O ÿ E h ÷ =Cÿ H Æh ¿95, '-\\. /012345 \7 89ÿ:! ;!:; ´:;- - - == ÿ:´ ;! $ =C ÿH ÿ: ; , '-\\.12345 ÿ \7 89: :;;:;:;- - - - =$== ÿd °'12345 \7 89ÿ:;:;:;- - - =$=àÿ: ;c d o ¿95, '-\\./012345 \7 89ÿ: :;;::;;:;- - - - =$==àÿ: ;ÿg h E F O 6 Æh ¿95,'-\\./012345 \7 89ÿ: :;;::;;:;66- - - - =$==C ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿH ÿ z ( 9 ß 5O '*+ÄF g §5«|}5O = /0==÷ =z =« = =÷ z =ÿ= ÿ: ;ÿd °'z 55z 9 x j F àÿ: ;ÿc d z 5Ëf àÿ: ;ÿc &'z ÷)_ ! G ° D 5 ½C ÿx ÿ 2 777³ ```³ ! ·¸¹º»o ¼ ½5C ÿH × ÿ 0F |g Ý5O ¬6F |g Ý5O 5 ª `` C ÿ: ;ÿ&'12¿9z 55 0¬ÿ6060606==ÿ5Ë (j G ° D 5 ½C ÿ: ;ÿg h E F O !a &'12¿9z 55 0¬6 a a 06=5Ë (j G ° D 5 ½C ÿH ÿ \=( O 5ܯCQ R 'E F , ÿ':: ; ;-\\ \\==== $7.s t s ÄF v w 'ÿ¡:::; ;:: ; ;: -- -- $¢7ÿ;à\=ÿ£: ; _ : ;: ;- - \=$$¢7C ÿc O ßÄF & 'ÿ: ;^: ;: ;- - $ ¤ $à^: ;- ÿ: ;- $ ¤ $àÿ: ;^¥s t ©F v w 'ÿ¦: ;- $ÿ: ;a - a (¬ 8 Ê5æ c d o¿9z 55-C ÿÿ§ÿÿÿÿ¨©u ªÿ«ÿÁÿ ÿ ÿ v §ÿ¨ÿ ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ¬ª« ÿ ```ùÿÿ®¯°±0±² ´ C S T ã³ÿ¬µ´³ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿµÿÿÿÿ¶©ªÿÿ«ÿÿÿ`ÿ ÿ ÿµÿ¶ÿ·ÿÿ `` ÿ³ !3ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ¸ÿÿÿÿ²©ªÿÿÿ ÿÿÿ!ÿÿÿ¹ÿÿÿºÿÿÿ»ÿÿÿ¬ ´3³ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ¼ÿÿÿÿ½© ÿÿÐÿÿ ÿÿ~ÿÿ¹ÿÿ»ÿ¬¿³ÿÿ¹¸Ñ¾ !¿7ÿÿÿ ¹ÿ¹©³ µ À¶o ÁÿÿÿÿÐ ÂE ´¾©ÃÄ ¿ ` !_¹ ÿÿh Å' C `` ÿÿÿÆÿÇÿÈÿÉÿÊÿÉÿ向迅速发展,在教育信息化的进程中,必须重视教师信息素养的培养,它是教师个人整体文化素养中的一个子系统,而不仅仅是一点信息技术,教师须从实际出发,创造性、综合性、全面性地活用信息的渠道和方式,探索设计和使用课件的新思路.如一款由广州恒福中学设计制作的高中语文课件《景泰蓝的制作》,该课件以同页形式( HTML文件)存在教师机上,学生可以通过内部局域网自由调阅,并可以经由教师机以代理服务器形式连入因特网,内容除了常规课件上都有的课文讲解、多媒体资料、巩固与反馈练习之外,有两个比较独特的部分:(l)网上资料,提供大量与课文有关的网页链接地址,学生可以点击后连入因特网上相应网站查询资料;(2)自由发言区,有些类似于BBS(电子公告板)或者聊天室,学生可以在上面自由的发表意见,或者把自己收集的自认为比较独特的资料贴在上面,供全班同学交流.这种课件在设计和使用上有以下几个特点:①以网页形式设计并在网上运行;②充分运用因特网上资源;③利用网络技术使得数据可以实时交换.当然,它也存在一定的局限性,如目前网上资料大多为人文类,理科课件很难采用这种形式,但它在课件形式的探索上给了我们新的启示. ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～接P28参考文摘[1] 银应元.平面几何的补形法.中学生数学, 1998.1.[2] 范子坚.利用“补形”证(解)几何题.中学数学研究,2001.7.[3] 李秀珍.构造平行四边形证题.学习方法报,2003(3).[4] 周春荔、王中峰.初中数学奥林匹克竞赛.山西教育出版社.[5] 刘运宜.巧构辅助线,妙搭“人工桥”.中学数学杂志,2003(1).数学竞赛问题（７） 广州大学理学院数学系吴伟朝176．设*{1,2,3,4}N=L,问:是否存在函数**:f N N→,使得对于任何的*n N∈,都有()(())(1)f n f f n n n⋅=⋅+?请说明理由.177．试求出所有的正整数n,使得22n+ 33n+能整除331n n++.178．试求出所有的实数a,使得关于x的一元二次方程227(2749)ax a a x+−+−+14a 490−=的两个根皆为整数.179．试求出所有的实数a,使得关于x的一元二次方程2430x ax a−+=的两根皆为整数.注本题是于2002年10月20日为“2002年(第四届)广州市中学生创新精神和实践能力测评(竞赛)”所命制的数学试题(初赛).180．在平面直角坐标系xoy,点P的坐标为(3,4),而点Q和R分别在x轴和y轴上,使得△PQR为正三角形,试求PQ的长度.181．求出方程组3340,(1)(1)7x yx y+=++=的所有复数解.182．在△ABC中,记12,B Cθθ∠=∠=,设P是BC边上的任意一点(不与B,C重合),线段AP的垂直平分线l交AB边于点T(不与,A B重合).试求出12,θθ应该满足的充分必要条件,使得当点P在线段BC内移动时,比值/AT TB的取值范围恰好是左闭右开的区间12[sin,sin)θθ.注本题于2002年11月11日为IMO而提出并解答的.183．设111,31(1,2,n na a a n n+==−+=3,)L.(1) 求出通项公式na;(2) 给定一个正整数t,问:该数列中是否有无限多个项na能被2t整除?请说明理由;(3) 问:对于给定的正整数t,数列中是否3132 有无限多个项n a 能被5t 整除?请说明理由.注 本题于2002年11月12日提出并解答. 184．试求出所有的函数:f R R →,使得对于任何的,x y R ∈,都有2(()(()))f x y f y f f y +++23(())y f x =+.185．设0121,(0,1,2,1()nn n a a a n a +===+3,)L ,求证:113(24nn i n a −=≤<注 本题于2002年12月23日为2003年CMO 提出并解答的.186．求证:平面格点凸九边形内部至少包含11个格点.187．在凸四边形ABCD 中,,CD AB > /2,BC AB ≥点P 在BC 边上(不与,B C 重合),且APD ABC BCD ∠=∠=∠,DP 平分ADC ∠.求证:AP 平分BAD ∠.188．在同一个平面上,△ABC 和△ADE 的各自的三个顶点都沿逆时针方向依次排列,△ABC ≌△ADE , 25,ABC ∠=° AED ∠= 105°,两条直线BC 与AD 相交于点P ,另两条直线BA 与DE 相交于点Q .求BPD ∠的所有可能的度数(小于180°)使得△EAQ 为一个直角三角形(要求画出草图).注 本题是于2002年10月为广州市海珠区南武中学初二年级数学竞赛而命制的,后来又作为广州大学数学系本科生《初等几何》期末考试题.189．设“命题P ”为:在凸四边形ABCD 中,若AD CD =,且对角线BD 平分ABC ∠,则,,,A B C D 四点共圆.(1)问:“命题P ”是否正确?如对,请证之;如错,请举反例.(2)若“P ”不正确,请在“P ”的条件中添加一个“简单条件”,使新命题成立,并给出证明.(要画出草图)注 本题是于2002年12月为广州大学数学系本科生期末《初等几何》考试而命制的.190．设ABCD 为凸四边形,7,AB =BC 4=,5CD =,6DA =,一个半径为r 的圆能被ABCD 所完全覆盖.(1) 求证:r <.(2) 求出的r 最大可能值以及相应的ABCD 的形状.191．设两个正数,a b 使得下列关于x 的b ≥−总是有实数解.试求22(,)3f a b a ab b =−+的取值范围.注 以上两题于2003年5月提出并解答于新加坡.192．设111,1,a b ==1,n n a na n +=+1n b +(1)(1,2,3).n n b n n =++=L 求证132n ea +−≤−1122n e e b +−≤,并求出极限11lim ()2n n n ea b +→+∞+−,其中e 是自然对数的底,即1lim (1)n n e n→+∞=+.注 本题于2003年5月提出并解答于新加坡.193．解不等式:(2cos )(1sin cos )x x x ++− cos (12sin cos )x x x ≥⋅+−.194．(1)试求出所有的有序正整数对(,)a b ,使得a 能整除21b b ++,且b 能整除2a 1a +−.(2) 试求出所有的有序正整数对(,)a b ,使得a 能整除21b b ++,且b 能整除22a a ++ 3.(3) 试求出所有的有序正整数对(,)a b ,使得a 能整除23b +,且b 能整除23a +.(4) 试求出所有的有序正整数对(,)a b ,使得a 能整除23b +,且b 能整除25a +.195．设12340,3,6,22,a a a a ====5a 60,=且53218686n n n n n a a a a a ++++=+−−(n = 1,2,3,4,)L ;另外,12341,1,6,16,B B B B ==== 552,B =67150,458,B B ==且762n n B B ++=+ 54321710121646n n n n n n B B B B B B +++++−−++− (1,2,3,4,)n =L .求证:21323n n n a a B ++++=+ 21,n n B B ++−32123n n n n a a a a ++++−−=4n B +− 243n n B B ++(1,2,3,4,)n =L .注 以上三道题也是本人于2003年2月4日至6月7日在新加坡访问期间提出的.33196．给定一个整数t 及另一个非负整数m (允许相等).求证:存在无限多组整数向量(,,)a c d ,使得同时适合下列四个条件:(1) 0a c >>; (2) a 与c 互素;(3) a 可以充分地大(即任给0M >,存在a M >);(4) 使得an t +能整除cn d +的正整数n 恰好有m 个.注 本题是“第77题”及“第161题”的深入推广.所谓“整数向量(,,a c d )”指的是“各个坐标,,a c d 皆为整数的三元有序整数组”.197．试求出所有这样的非零实数k ,使得下列关于x 的不等式组2220,1/1,(21)4(1)240x x k k x k k x k k >>− −+−+−≤总是有实数解的.198．试求出所有的整数对(,)x y ,使得22988729y x x =++.199．设11a =,212(1)n n n a a n n +=+−+ (1,2,3,4,)n =L .试求出通项公式n a .(答案应写为封闭的形式)200．设n 是一个正整数,且3不能除21n +,集合{1,2,3,,21,2}S n n =−L 的非空子集A 具有下列性质:若,x A ∈则21,|2n x n +− 12|x +−两个数中至多有一个属于A .(1) 问:这种A 一共有多少个?请说明理由.(2) 试求A 的元素个数(记为||A )的最大值,并求出具有元素个数最大性质的A 的个数.注 以上4道题也是在新加坡访问期间提出的.201．试求出所有的函数:f R R →,使得对于任何的,x y R ∈,都有2(())(1)(()())1f xf y y f xy f x =−−−. 注 本题于2003年3月4日为《美国数学月刊》问题解答栏而提出.202．试求出所有的函数:f R R →,使得对于任何的,x y R ∈,都有2(()())f x y f y yf x +++22()(())y xf y f x =++.注 本题于2003年3月19日为《美国数学月刊》而提出.203．试求出所有的正整数n ,使得42n− 136能被n 整除.204．给定三个正数k ,12,,t t 且1k t >.设,a b 是两个正实数,满足关系式:12111a tb t k −=++, 试求a b −的取值范围.205．设,x y R ∈, 且33,x x y y +=−试求22x y −的取值范围.206．化简:e (e 是自然对数ln x 的底).207．求出所有的x ,且090x °<<°,使得1tan sin(4)x x +=.208．已知:x 是一个实数,且满足条件x =, 求证:01x <<.209．设()()f x ax x R =∈,其中a 是实数.试判断()f x 单调性(求a 的值,使()f x 单调).210．设12x =,1(21)21n n n x x n +++=+(n =1,2,3,)L .(1)求证1[]212124n i i n n i i iC x iC +−==∑,且12(n n x x n +≤= 1,2,3,)=L (其中1[]2n +为不大于12n +的最大整数).(2)求极限1lim (/)n n n x x +→+∞.211．设k 是正整数,定义一个数列1{}i i a ≥34 如下:1a k =,22(1)a k =+,21(1)i i a k a ++=+− i a 1(1,2,3,4,)k i ++=L 试确定所有的k ,使得1{}i i a ≥中有无限多个项是完全平方数.注 本题于2001年7月6日为《美国数学月刊》问题解答栏而提出,它来源于我们提出的一个数论问题.212．设n 是一个整数,且3n ≥,试求出所有的正数α,它具有如下的性质:若12,,,A A L n A 均是任意正数,且12n A A A α+++=L ,则一定有一系列不等式1sin 2sin (1,2,3,,)niji A A j n =>=∑L .注 本题的答案是απ=,于2001年7月1日提出并解答.213．1xx x =++. 214．试求出所有的整数k ,使得关于x 的方程22(21)10x k x k −++−=至少有一个整数根.注 本题被作为广州大学数学系《初等数学研究》期末考题.215．求出最小的实数a ,且/4a π<,使得对于任何的,[,/4)x y a π∈,都有不等式cos()2sin()x y x y −≤+.216．设*{1,2,3,}N =L ,函数*:f N → *N 对于每一个*n N ∈,都有(())()f f n nf n =.(1)试确定(2000)f 的最小可能值.(2)问:(2000)f 是否有最大可能值?请说明理由.注 本题于2000年为IMO 而提出.217．求出所有这样的实数a ,使得关于x≥. 注 本题为广州大学数学系本科生《解题方法》期末考试题.218．试求出所有的函数:f R R →,使得对于任何的,x y R ∈,都有 44()f x y −()(()())(()())x y f x f y xf x yf y =−++. 注 本题于2000年11月15日为《美国数学月刊》问题解答栏而提出.219．设*{1,2,3,4,}N =L ,{1,2,3,4,m N = ,}m L .试求出所有的正整数m ,使得存在至少一个映射*:m f N N →,对于所有的m n N ∈,都有(())2001f f n n n −=+,并求出相应的合乎要求的映射f 的个数(如果这样的m 存在).注 本题于2001年元月为IMO 而提出的. 220．给定一个正整数k ,且2k ≥.试求出所有的函数:f R R →,使得对于任何的,x y R ∈,都有(())2(())k k f x y f y y f x ++=+.221．给定一个正整数k ,且2k ≥.试求出所有的函数:f R R →,使得对于任何的,x y ∈ R ,都有(2)()(())k k f x y y f y f x +=++. 222．确定所有的整数对,()m n m n ≤,使得113n m +与7n m +的最大公因数为6,且11m 3n +与7m n +的最大公因数为10.注 本题于2003年2月13日提出于新加坡.223．(1)解方程12−=.(2)解方程=224．求出所有这样的实数k ,使得对于任意的有理数r ,关于x 的方程2(3x r ++)k x +22320r r k −+=的两个根均为有理数.225．设12342,3,5,7,,p p p p ====L 即n p 为第n 个素数(1,2,3,)n =L .试求出所有的n ,使得++++>L . 注 本题的答案为3n ≥.以上三题于2003年2月中旬提出于新加坡.226．设12342,3,5,7,,p p p p ====L 即n p 为第n 个素数(1,2,3,)n =L .求出最大的正的常数C ,使得当n 充分大时,都有不等式++++≥L .注 本题极难,于2003年2月中旬提出于35新加坡.227．++的大小.请说明理由.注 本题于2003年2月中旬为在新加坡.留学的中国武汉市学生而命制的测试题,经推广后得到以上的第225题及第226题.228．求出所有这样的实数k ,使得关于x 的方程22(1/2))k x k x ++−+ 1)/40k =的两个根都是有理数.注 本题于2003年3月18日提出于 sin .gapore229．设k 一个正整数,且2k 能整除04006C 2240062003400640064006333i i C C C +⋅++⋅++⋅L L ,求k 的最大可能值.230．设两个正数a 和b 使得下列关于xb ≥−总是有实数解.试求1(,)1a f ab b +=+的取值范围.231．[]x 表示不大于x 的最大整数.试求出所有的实数x ,使得2[/3][2]16x x x +=+.232．试求出所有的正整数n ,使得下述命题对于7k =是成立的,但对于6k =却是不成立的:对于任何的k 个整数123,,,,k a a a a L (允许相等) ,必定存在相应的k 个整数123,,,x x x ,k x L (也允许相等),且||2(1,i x i ≤=2,3,)k L , 12||||||0k x x x +++≠L ,使得n 能整除 112233k k a x a x a x a x ++++L .注 以上4题也于2003年在新加坡访问期间提出.233．求证:(1)函数()sin(sin )f x x x =+ ()x R ∈是一个最小正周期为2π的周期函数.(2)函数()sin(sin )()g x x x x R =∈不是一个周期函数.234．(1)设,x y 为实数,且2186x y xy ==,求x y +的值.(2)设n 是正整数,求证: 11(1)(21)ni i i i =+−∑1111313(1/2)n i n n i i ==−⋅++−∑. 注 本题是为2003年广州大学数学系MO 方向研究生招生考试命制的(A 卷).235．求出所有的锐角θ的度数,使得有sin(10)sin(2110)sin(110)θθθ−°+°−+°sin(220)2cos10θ+°=°.236．设11,{|22}x x a R A x a +−∈=+=,B {sin |}R θθ=∈.若A B I 中有且仅有一个元素,求a 的取值范围.237．设11x =,且131,(4|())31,(4|n n n nx n x x x +−+=+))n n x +试求{}n x 的通项公式以及2000x 的末尾三位数字.238．试求函数()cos f θθ=(0/2)θπ≤≤的最大值与最小值以及相应的θ,并确定()f θ的单调区间(指明是递增的还是递减的).239．在△ABC 中,AB AC =.求证:(1)在△ABC 内部存在一点P 使得PB AB =且2ABP ACP ∠=∠的充分必要条件是60°< 120BAC ∠<°.(2)若(1)中所述的点P 存在,则30PCB ∠=°.注 本题于1999年月10月为IMO 提出并解答的.240．试求出所有的正整数n 和k ,使得四个数n ,1n +,2n +,3n +的最小公倍数是3910k ×.注 本题于2003年7月1日为IMO 而提出并解答的.241．(1)试求出所有的整数对(,)x y ,使得2(2003)0xy x y +++=.(2)试求出所有的整数对(,)x y ,使得 2()20030xy x y +++=.注 本题的(1)已发表于《美国数学月刊》(Monthly)的“问题解答栏”(2003年第6期,第11023题).(未完待续)ÿÿ123245567897 148 64864 ÿ64972 8 ! "#$%ÿ8674672 7462 &&&&''''(( ÿ)*+726*+746&&(,-,-ÿ8ÿ)627 .64 .&&(,-/- ÿ01ÿ23456789:;<3=>384?@A B C 13D 8E F G H I J K L M N O P Q R ;9:;S T ;U V ;<3W X Y Z [\]^ 23_`B a J Y - b c d 8783e X Y Z f g 8h i j A 8 k K l 8456h m n >3 9:=>3o 3 ?p A B K q 1r s t u v ÿw ÿy z {|}ÿ~w ÿ ; Z 8 o k%ÿ A Yÿ ÿ ÿ ÿ ÿ¡ÿ ÿ¢£ÿY ÿ¤Y ÿf ÿ¥ÿAÿY Y ÿ ÿ¦ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ A ÿYYÿ ÿ ÿ¦ÿ ÿ ÿ ÿÿÿÿ§¨© ªA Z u Y «¬ÿ«¨ Z ! k Z $®8¯V °±²Y «³´ ; µ¢ ÿÿ ¶@·¸¹A B 3 ÿº»ÿ «3¼ª½ ¾ ¿À8 Á¢£Y ÃÄ# Å( Z A Y ¦ 4ÆÇ 8ȤY ¬r f ¥ &( ÿÿÿÿÿ ; Z É Y ;¢£Y ;¤Y ;f ¥8V 5ÊY «8ËÇÊY « b Ì ³´8Í#ÎÏ µ¢ ÿ01ÿ2ÐÑB a J k ÒÓ ÔÕ$®8ÖB a J Z ×V Ø®8ÙA Ú Û3 "ÜÝÞßà=8Z áâã É Y ;¢£Y ;¤Y ;f ¥ äb ;åæ;b Ì çÌ8è3ÉÎÏ éêëB a J Z U V Z $® ;ìíîïð3 ñòóôõªöñò8÷øH I J K L ^M ù Ìú% ZÞ´û Y Z ÿÿüýþÿ01234ÿÿ5¸6Z ÌZ 7Y Z 8ÿÿ9 ÿÿ>É Þ Y % 8 888 Þÿ( ÿ> É Þ Y % 88 8 8 Þ ( ÿ¶ 8!"# !"# ¶ ÿ$"#!"# ¶ $ û ÿ u &X Ä%ÿ' ÿ( Y$)ÿ¶ ) *û+, ÿ- ./ 8!"# 01!.. Æ6û ÿ1ÿ23423¾ ¡¡¦@456A 78Ú5> ð3893 ©:3 Ú¦Û3 ÿ3 ./ 8 !"01!. Æ6û¬ÿ./ 8 !"# 01!.. Æ6û ÿ; X Ä%ÿ ÿ)$ ÿ w > > É $ 8?8 ÿ@ 8 A $ ÞB C Y 8 =Y ÿ1ÿ23 ¶@¶D E 2ÉèìF K ÁG ÿw H > É ¶II$4C Y ÞC Y I ÿ1ÿ23 ¶@ D ¶E 2ÉèìF ÿJ ¶ J ÿ。
